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Fiche explicative de la leçon : Collision et conservation de la quantité de mouvement Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la loi de conservation de la quantité de mouvement pour étudier les collisions sur un axe et à différencier les collisions élastiques des collisions inélastiques.

Rappelons d’abord la relation entre l’impulsion produite par l’action d’une force et la variation de la quantité de mouvement.

Propriété : Impulsion et variation de la quantité de mouvement

Pour un corps de masse constante, l’impulsion produite par l’action d’une force sur un intervalle de temps est égale à la variation de la quantité de mouvement du corps:𝐽=𝐹𝑡=Δ𝑝.d

Considérons deux particules, 1 et 2, de quantités de mouvement respectives 𝑝i et 𝑝i, comme indiqué sur le schéma suivant. Pendant le temps de la collision, la particule 1 exerce une force 𝐹 sur la particule 2 et la particule 2 exerce une force 𝐹 sur la particule 1. Ces deux forces résultent de l’interaction entre la particule 1 et la particule 2. La troisième loi du mouvement de Newton nous dit que ces forces sont égales en intensité mais opposées en direction. Par conséquent, nous avons 𝐹=𝐹.

La particule 1 subit une variation de sa quantité de mouvement due à l’action de la force exercée par la particule 2 pendant la collision (entre 𝑡 et 𝑡), elle est donnée par Δ𝑝=𝑝𝑝=𝐽=𝐹𝑡.fid

De même, la variation de la quantité de mouvement de la particule 2 est donnée par Δ𝑝=𝑝𝑝=𝐽=𝐹𝑡.fid

Comme 𝐹=𝐹 , nous avons 𝐽=𝐽Δ𝑝=Δ𝑝Δ𝑝+Δ𝑝=0.

La dernière équation montre qu’il n’y a pas de changement de la quantité de mouvement totale des deux particules pendant la collision;la quantité de mouvement totale est constante. On dit que la quantité de mouvement est une quantité conservée.

Loi : Conservation de la quantité de mouvement

Pour deux corps ou plus dans un système isolé (ce qui signifie qu’il n’y a pas de forces extérieures agissant sur lui) agissant l’un sur l’autre, leur quantité de mouvement totale reste constante:Δ𝑝=0.total

Nous savons maintenant que pour toute collision entre deux particules, la quantité de mouvement totale est conservée si nous supposons qu’il n’y a pas d’autres interactions que l’interaction entre les particules en collision (nous supposons donc qu’il n’y a pas de frottement). Cependant, cela signifie-t-il que l’énergie cinétique totale est conservée?

Par souci de simplicité, nous allons maintenant considérer les collisions entre des particules qui se déplacent sur une même ligne droite. Dans ce cas, tous les vecteurs, tels que la vitesse, la force et l’impulsion, sont des vecteurs unidimensionnels le long de l’axe de mouvement. Cela nous permettra d’utiliser leur composante unique le long de l’axe du mouvement au lieu de leurs formes vectorielles dans toutes les équations.

Considèrons deux corps de masse égale 𝑚, qui se déplacent à des vitesses égales 𝑣, les uns vers les autres le long d’une surface horizontale lisse, s’approchant d’un point où ils vont se heurter, comme le montre la figure suivante.

La composante de la quantité de mouvement totale initiale (c.-à-d. avant la collision) des deux corps le long de l’axe du mouvement est donnée par 𝑝=𝑚𝑣+𝑚(𝑣)𝑝=𝑚𝑣𝑚𝑣=0.ii

Comme la quantité de mouvement d’un système isolé est conservée, nous savons qu’après la collision, la quantité de mouvement totale des deux corps est également nulle.

Nous voyons que cela signifie que les deux vitesses après la collision doivent être de même intensité mais de sens opposés. Les particules rebondissent l’une sur l’autre lors d’une collision (chaque particule est repoussée par l’autre particule);par conséquent, leurs vitesses après la collision ont changé de signe et l’intensité des vitesses a probablement changé par rapport à leur valeur avant collision, 𝑣. Cela peut être représenté comme indiqué sur le schéma suivant, où 𝑘 est positif.

L’énergie cinétique initiale totale est 𝐾=12𝑚𝑣+12𝑚(𝑣)=𝑚𝑣.i

Et l’énergie cinétique finale totale est 𝐾=12𝑚(𝑘𝑣)+12𝑚(𝑘𝑣)=𝑚𝑘𝑣𝐾=𝑘𝐾.ffi

Ainsi, 𝑘 est le rapport de l’énergie cinétique totale des corps après et avant la collision:𝑘=𝐾𝐾.fi

Lorsque nous considérons un système fermé, l’énergie mécanique totale ne peut pas augmenter car l’énergie ne peut pas être créée. Les deux particules se déplacent horizontalement, ce qui signifie que leur énergie gravitationnelle potentielle est constante. Par conséquent, l’énergie cinétique totale après la collision ne peut pas dépasser l’énergie cinétique totale avant la collision. Par conséquent, nous avons 𝐾𝐾0𝑘10𝑘1.fi

Quand 𝑘=1, l’intensité des vitesses est conservée. Par conséquent, nous avons 𝐾=𝐾.if

L’énergie cinétique est conservée lors de la collision;on dit alors que la collision est élastique.

Quand 𝑘1, il y a une perte d’énergie cinétique pendant la collision due au frottement entre les deux particules. On dit qu’une partie de l’énergie cinétique a été dissipée. Ce type de collision est appelé collision inélastique.

Une collision parfaitement inélastique est une collision au cours de laquelle la quantité maximale d’énergie cinétique est perdue. Cela se produit lorsqu’une partie de l’énergie cinétique est perdue en liant les corps. Les deux corps restent donc collés l’un à l’autre après la collision et ont la même vitesse finale.

Dans l’exemple ci-dessus, cela signifierait que les deux corps ont une vitesse nulle après la collision, car ils doivent avoir des vitesses d’intensité égale mais de directions opposées. On a alors 𝑘𝑣=𝑘𝑣=0 et 𝑘=0.

Résumons les différents types de collision.

Définition : Types de collision de particules

Une collision élastique est une collision au cours de laquelle l’énergie cinétique est conservée.

Une collision inélastique est une collision au cours de laquelle une partie de l’énergie cinétique est dissipée par frottement entre les deux particules.

Une collision parfaitement inélastique se produit lorsque l’énergie cinétique est dissipée par frottement et par liaison des deux particules, ce qui fait que les deux corps restent collés l’un à l’autre et ont la même vitesse après la collision.

Considérons maintenant une situation, impliquant à nouveau deux corps de même masse, où la quantité de mouvement totale est non nulle, comme indiqué sur la figure suivante.

La composante de la quantité de mouvement totale initiale (c.-à-d. avant la collision) des deux corps le long de l’axe du mouvement est donnée par 𝑝=𝑚𝑣+0=𝑚𝑣.i

La figure suivante montre un résultat de post-collision possible pour le mouvement des corps.

Pour ce résultat, le corps initialement en mouvement est au repos tandis que le corps initialement au repos a une vitesse égale à la vitesse de pré-collision du corps initialement en mouvement. La collision entre les corps est parfaitement élastique car l’énergie cinétique est conservée 𝐾=𝐾=12𝑚𝑣if.

Dans le cas de la collision parfaitement inélastique, les deux corps restent collés l’un à l’autre et ont la même vitesse finale, comme indiqué sur la figure suivante. La composante de la vitesse finale est 𝑣2 de sorte que la quantité de mouvement totale est conservée.

Alors que l’énergie cinétique totale initiale est de 𝐾=12𝑚𝑣,i l’énergie cinétique totale finale est donnée par 𝐾=212𝑚𝑣2𝐾=14𝑚𝑣.ff

La perte d’énergie cinétique est de Δ𝐾=|𝐾𝐾|Δ𝐾=|||14𝑚𝑣12𝑚𝑣|||Δ𝐾=14𝑚𝑣.fi

On peut montrer mathématiquement que c’est la perte maximale d’énergie cinétique pour laquelle la quantité de mouvement est conservée.

La figure suivante montre un résultat post-collision qui conserve la quantité de mouvement.

La quantité de mouvement initiale est toujours 𝑝=𝑚𝑣,i et la quantité de mouvement finale est 𝑝=𝑚(2𝑣)+𝑚(𝑣)=𝑚𝑣.f

L’énergie cinétique initiale est donnée par 𝐾=12𝑚𝑣,i et l’énergie cinétique finale est donnée par 𝐾=12𝑚(𝑣)+12𝑚(2𝑣)𝐾=12𝑚𝑣+2𝑚𝑣𝐾=52𝑚𝑣.fff

On voit que 𝐾=5𝐾.fi

Ce résultat n’est pas physiquement possible toutefois, car cela signifierait que de l’énergie est créée. Nous voyons que la conservation de la quantité de mouvement ne permet pas de déterminer si un résultat de collision est possible ou non. Nous devons aussi vérifier que l’énergie cinétique post-collision ne dépasse pas sa valeur pré-collision.

Regardons un exemple de collision entre deux corps.

Exemple 1: Déterminer l’impulsion de la collision de deux sphères dans un plan horizontal

Une sphère de masse 675 g se déplace en ligne droite sur une table horizontale lisse à une vitesse de 31 cm/s. La sphère percute une autre sphère lisse de masse 837 g qui est au repos sur la table. Si la première sphère reste au repos à la suite d’un impact, déterminez l’intensité de l’impulsion entre les deux sphères.

Réponse

La quantité de mouvement de la sphère initialement en mouvement est donnée par 𝑝=𝑚𝑣,i𝑚 est la masse de la sphère et 𝑣 sa vitesse avant la collision:𝑝=675(31)=20925/.igcms

L’unité dyne est définie comme dynegrammecentimètreseconde=.

Ainsi, la quantité de mouvement totale est de 20‎ ‎925 dyn⋅s.

Après la collision, la sphère initialement en mouvement est au repos. Sa quantité de mouvement après la collision est donc nulle. La variation de la quantité de mouvement de cette sphère provoquée par la collision avec une autre sphère est Δ𝑝=𝑝𝑝Δ𝑝=020925Δ𝑝=20925.fidyns

L’impulsion sur cette sphère causée par la force exercée par l’autre sphère pendant la collision est donnée par 𝐽=Δ𝑝𝐽=20925.dyns

Une impulsion d’intensité égale mais de sens opposé est produite sur l’autre sphère, initialement au repos. Par conséquent, l’intensité de l’impulsion entre les deux sphères est |𝐽|=20925.dyns

Voyons maintenant un exemple permettant de voir comment la conservation de la quantité de mouvement peut déterminer la vitesse de post-collision d’un corps.

Exemple 2: Déterminer la vitesse d’une sphère après une collision avec une sphère identique sur une même ligne

Deux sphères, 𝐴 et 𝐵, de masse égale ont été projetées l’une vers l’autre le long d’une ligne droite horizontale à une vitesse de 19 cm/s et de 29 cm/s respectivement. Après l’impact, la sphère 𝐵 se déplace à une vitesse de 10 cm/s dans le sens opposé. Déterminez la vitesse de la sphère 𝐴 après la collision sachant que sa direction initiale est la direction positive.

Réponse

On peut définir la direction initiale de la sphère 𝐴 comme positive. Cela donne la quantité de mouvement initiale de la sphère 𝐴𝑝=19𝑚, et la quantité de mouvement initiale de la sphère 𝐵𝑝=29𝑚,𝑚 est la masse de de chaque sphère.

La quantité de mouvement totale est donnée par 𝑝=𝑝+𝑝=𝑚(1929)=𝑚(10)=10𝑚.total

Après la collision, la sphère 𝐵 prend une trajectoire opposée. La sphère 𝐵 se déplaçait initialement dans le sens négatif, son sens de déplacement devient donc positif. La quantité de mouvement de la sphère 𝐵 est donnée par 𝑝=10𝑚.

Selon le principe de conservation de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement de la sphère 𝐴 après la collision est donnée par 𝑝=𝑝𝑝,𝑝=10𝑚10𝑚=20𝑚.total

La vitesse de la sphère 𝐴 après la collision peut être déterminée par la formule 𝑝=𝑚𝑣.

En prenant 𝑣 comme inconnue, on a 𝑣=20𝑚𝑚=20/.cms

Voyons maintenant un exemple de la façon dont la conservation de la quantité de mouvement permet de déterminer l’impulsion de la force de la collision de corps se déplaçant dans des directions opposées ainsi que la vitesse d’un corps après la collision.

Exemple 3: Déterminer l’impulsion exercée sur une sphère en collision avec une autre sphère se déplaçant dans le sens opposé

Deux sphères de masses 200 g et 350 g se déplacent l’une vers l’autre le long d’une même ligne droite horizontale. La première se déplace à une vitesse de 14 m/s et la seconde à une vitesse de 3 m/s. Les deux sphères entrent en collision. En conséquence, la première sphère se déplace à une vitesse de 7 m/s dans le sens opposé. Sachant que le sens positif est le sens du mouvement de la première sphère avant l’impact, déterminez l’impulsion 𝐼 exercée par la deuxième sphère sur la première ainsi que la vitesse 𝑣 de la deuxième sphère après l’impact.

Réponse

Nous commençons par convertir les masses des sphères en unité de masse dans la base SI, le kilogramme.

Les intensités des impulsions sur les sphères sont égales. Comme la vitesse de la première sphère avant et après la collision est connue, la variation de la vitesse de la première sphère due à la collision peut être déterminée:Δ𝑣=𝑣𝑣=7(14)=21/.ms

L’impulsion sur la première sphère est égale à sa variation de quantité de mouvement, 𝐽=𝑚Δ𝑣=0,2(21)=4,2.Ns

Une impulsion d’intensité égale mais de signe opposé agit sur la deuxième sphère. L’impulsion sur la deuxième sphère est ajoutée à sa quantité de mouvement. La quantité de mouvement initiale de la deuxième sphère est donnée par le produit de sa masse et de sa vitesse initiale. La vitesse initiale est dans le sens négatif:𝑝=3𝑚,𝑝=0,35(3)=1,05/,iikgms et ainsi, la quantité de mouvement finale de la deuxième sphère est de 𝑝=1,05+4,2=3,15/.fkgms

La vitesse de la deuxième sphère après la collision est le quotient de sa quantité de mouvement par sa masse, qui est 𝑣=𝑝0,35𝑣=3,150,35=9/.fffms

La vitesse de la deuxième sphère après la collision est de 9 m/s.

Regardons maintenant un exemple où deux corps entrent en collision, puis se déplacent comme un seul corps.

Exemple 4: Étudier la collision de deux corps en mouvement sur une même ligne dans deux cas différents

Deux sphères se déplacent le long d’une ligne droite. L’une a une masse 𝑚 et se déplace à une vitesse 𝑣, tandis que l’autre a une masse de 10 g et se déplace à une vitesse de 36 cm/s. Si les deux sphères se déplaçaient dans la même direction lors de la collision, elles fusionnent en un seul corps et se déplacent alors à une vitesse de 30 cm/s dans le même sens. Cependant, si elles se déplaçaient dans des directions opposées, elles fusionnent en un seul corps qui se déplace alors à une vitesse de 6 cm/s dans le même sens que la première sphère. Déterminez 𝑚 et 𝑣.

Réponse

Les états de pré et post-collision des deux corps lorsqu’ils ont la même direction de mouvement initiale sont illustrés sur la figure suivante.

En appliquant la loi de conservation de la quantité de mouvement totale du système, cela nous donne 𝑚𝑣+36(10)=30(𝑚+10)𝑚𝑣+360=30𝑚+300𝑚𝑣+60=30𝑚60=30𝑚𝑚𝑣.

Les états de pré-collision et de post-collision des deux corps lorsqu’ils ont des sens initialement opposés sont illustrés sur la figure suivante.

On applique la loi de conservation de la quantité de mouvement totale du système à cette deuxième situation, ce qui nous donne 36(10)+𝑚(𝑣)=6(𝑚+10)360𝑚𝑣=6𝑚60420=𝑚𝑣6𝑚.

On obtient le système d’équations suivant:60=30𝑚𝑚𝑣,420=𝑚𝑣6𝑚.

La somme des deux équations permet d’écrire 60+420=30𝑚𝑚𝑣+𝑚𝑣6𝑚480=24𝑚𝑚=48024=20.g

La valeur de 𝑚 peut être substituée dans l’une des équations de notre système pour obtenir la valeur de 𝑣.

En utilisant 60=30𝑚𝑚𝑣, on obtient 60=60020𝑣540=20𝑣𝑣=54020=27/.cms

Points Clés

  • La quantité de mouvement d’un corps est donnée par 𝑝=𝑚𝑣,𝑚 est la masse du corps et 𝑣 est la vitesse du corps. Pour un mouvement unidimensionnel, il suffit d’utiliser la relation scalaire de la quantité de mouvement, 𝑝=𝑚𝑣, où l’on définit un sens de déplacement positif et un sens opposé négatif.
  • La quantité de mouvement totale des particules dans un système fermé est une quantité conservée. Toute variation de la quantité de mouvement d’un corps doit entraîner une variation de la quantité de mouvement de certains autres corps.
  • Lorsque deux corps entrent en collision, ils exercent des forces de même intensité l’un sur l’autre à intervalles de temps égaux.
  • Pour un corps de masse constante, l’impulsion produite par l’action d’une force sur un intervalle de temps est égale à la variation de la quantité de mouvement du corps:𝐽=𝐹𝑡=Δ𝑝.d
  • Lorsque deux corps entrent en collision, l’intensité des impulsions sur chaque corps sont égales.
  • Une collision est parfaitement élastique si la somme des énergies cinétiques des corps en collision est la même avant et après la collision.
  • La somme des énergies cinétiques des corps en collision lors d’une collision peut diminuer, mais elle ne peut pas augmenter.

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