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Fiche explicative de la leçon: Applications sur les polygones semblables Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de polygones semblables pour résoudre des expressions et des équations algébriques.

Commençons par récapituler ce que signifie que deux polygones sont semblables.

Définition : Polygones semblables

Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, leurs angles correspondants sont superposables et les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.

Comment exprimer la similitude de deux polygones et écrire l’énoncé de similitude

Considérer deux polygones semblables, 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻, comme indiqué ci-dessous. La similitude des deux polygones peut être écrite comme 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. L’ordre des lettres est important et indique à quel sommet d'un des polygones correspond chaque sommet de l'autre polygone. Dans cet exemple, le sommet 𝐴 correspond au sommet 𝐸, le sommet 𝐵 correspond au sommet 𝐹, et ainsi de suite.

Pour deux polygones semblables, le rapport de chaque paire de côtés correspondants est le même. C’est ce qu’on appelle le rapport de similitude. Pour les polygones semblables 𝐴𝐵𝐶𝐷 et 𝐸𝐹𝐺𝐻, le rapport de similitude est égal à chacun des quatre rapports ci-dessous:𝐴𝐵𝐸𝐹=𝐵𝐶𝐹𝐺=𝐶𝐷𝐺𝐻=𝐷𝐴𝐻𝐸.

On complète notre affirmation de similitude pour ces deux polygones en listant les paires d’angles superposables:𝐴=𝐸,𝐵=𝐹,𝐶=𝐺,𝐷=𝐻.

Lors du calcul d’un rapport de similitude, la direction dans laquelle on travaille est importante:si le rapport de similitude des polygones 𝐴𝐵𝐶𝐷 à 𝐸𝐹𝐺𝐻 est 𝑘, alors le rapport de similitude des polygones 𝐸𝐹𝐺𝐻 à 𝐴𝐵𝐶𝐷 est 1𝑘. On doit s'assurer de toujours diviser les longueurs d’un même polygone par les longueurs correspondantes de l’autre.

Dans notre premier exemple, nous rappelons comment utiliser des proportions pour calculer une longueur inconnue dans un quadrilatère lorsque l'on peut calculer le rapport de similitude et que la longueur du côté correspondant est donnée numériquement.

Exemple 1: Déterminer une longueur inconnue pour des quadrilatères semblables

Si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑋𝑌𝑍𝐿, quelle est la longueur de 𝐴𝐷?

Réponse

D’après la figure, il semble que les deux polygones ont été dessinés dans la même orientation et, par exemple, le côté 𝐵𝐶 sur le plus grand polygone correspond au côté 𝑌𝑍 sur le plus petit polygone. Cela est confirmé par l’ordre des lettres dans l'énoncé de similitude donné:si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑋𝑌𝑍𝐿, alors le sommet 𝐴 correspond au sommet 𝑋, le sommet 𝐵 correspond au sommet 𝑌, et ainsi de suite.

D’après la figure, on voit que l'on nous donne une paire de longueurs correspondantes, les longueurs des côtés 𝐵𝐶 et 𝑌𝑍. Le côté dont on veut calculer la longueur, côté 𝐴𝐷, correspond au côté 𝑋𝐿 sur le plus petit polygone. Comme les deux polygones sont semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles et on peut donc écrire le rapport de similitude pour ces deux paires de côtés correspondants:𝐴𝐷𝑋𝐿=𝐵𝐶𝑌𝑍.

En remplaçant les longueurs de 𝑋𝐿, 𝐵𝐶 et 𝑌𝑍, on forme l'équation:𝐴𝐷14=1812.

Afin de résoudre pour 𝐴𝐷, on multiplie les deux côtés de l’équation par 14 ce qui donne:𝐴𝐷=18×1412=21.

La longueur de 𝐴𝐷 est 21 cm.

Notre premier exemple nous a permis de récapituler les principes de base de l’utilisation de la proportionnalité des côtés correspondants dans des polygones semblables afin de calculer une longueur de côté inconnue. Nous allons maintenant étendre ces compétences à des problèmes dans lesquels certaines des longueurs des côtés sont exprimées algébriquement. On commence chaque problème de la même manière:en utilisant les longueurs des côtés qui nous sont données, numériquement ou algébriquement, pour établir une équation en utilisant la proportionnalité des paires de longueurs des côtés correspondants. Ensuite, on résout cette équation pour déterminer la ou les valeurs inconnues.

Dans notre premier exemple de ce type, on considère une paire de triangles rectangles semblables dans lesquels les longueurs de deux côtés d’un triangle ont été données numériquement et les longueurs des deux côtés correspondants de l’autre triangle ont été exprimées algébriquement.

Exemple 2: Établir et résoudre une équation pour déterminer une valeur inconnue étant donnée des triangles semblables

Sachant que les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐵𝐶 sont semblables, calculer la valeur de 𝑥.

Réponse

On nous dit que ces deux triangles sont semblables alors on commence par identifier les paires de côtés correspondants. D’après l’ordre des lettres dans l'énoncé de similitude, on sait que le côté 𝐴𝐶 correspond au côté 𝐴𝐶 et le côté 𝐵𝐶 correspond au côté 𝐵𝐶. On nous donne des valeurs numériques pour les longueurs de ces deux côtés du triangle 𝐴𝐵𝐶 et des expressions algébriques pour les longueurs des côtés correspondants dans le triangle 𝐴𝐵𝐶. Comme les deux triangles sont semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnels et, en utilisant le rapport de similitude, on a 𝐵𝐶𝐵𝐶=𝐴𝐶𝐴𝐶.

La substitution des valeurs et des expressions pour ces quatre côtés donne une équation en 𝑥:2𝑥+16=𝑥+34.

On résout cette équation pour déterminer la valeur de 𝑥. Afin d'éliminer les dénominateurs, on peut faire un produit en croix:4(2𝑥+1)=6(𝑥+3).

Développer chaque groupe de parenthèses donne 8𝑥+4=6𝑥+18.

Enfin, on trouve 𝑥 en rassemblant les termes pareils:8𝑥=6𝑥+142𝑥=14𝑥=7.

Il est judicieux de vérifier nos réponses chaque fois que cela est possible. Dans l’exemple précédent, on pourrait utiliser la valeur de 𝑥 que l'on a trouvée pour calculer les longueurs des côtés 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶. Remplacer 𝑥=7 dans les expressions pour chacune de ces longueurs de côtés donne 𝐴𝐶=𝑥+3=7+3=10,𝐵𝐶=2𝑥+1=(2×7)+1=15.

On peut alors utiliser ces longueurs pour vérifier que les paires de côtés correspondantes sont bien proportionnelles:𝐴𝐶𝐴𝐶=104=52,𝐵𝐶𝐵𝐶=156=52.

Le rapport est le même pour les deux paires de côtés correspondants, ce qui confirme que notre valeur de 𝑥 est correcte.

Dans chacun des deux exemples que nous avons considérés jusqu’à présent, les deux polygones semblables ont été dessinés dans la même orientation. Cependant, ce ne sera pas toujours le cas et on doit faire très attention quel que soit le problème que l'on traite à bien s'assurer de vérifier quels côtés des deux polygones se correspondent avant de commencer tout calcul. Considérons maintenant un exemple dans lequel les deux polygones sont tracés dans des orientations différentes.

Exemple 3: Établir et résoudre une équation avec des pentagones semblables

Sachant que les deux polygones sont semblables, déterminer la valeur de 𝑥.

Réponse

On note que les deux polygones sont clairement tracés dans des orientations différentes et on doit donc d’abord identifier les sommets qui correspondent l'un à l'autre. D’après la figure, on voit que l’angle en 𝑊 est superposable à l’angle en 𝑆 car les deux sont marqués par des arcs simples. On remarque aussi que l’angle en 𝐽 est superposable à l’angle en 𝑅 car les deux sont marqués d’un double arc. On peut donc dire que 𝑊𝐽𝐶𝑍𝑉𝑆𝑅𝑃𝑄𝑇, où l’ordre des lettres indique les sommets correspondants.

L’inconnue que nous voulons calculer, 𝑥, se trouve dans les expressions qui nous sont données pour les longueurs des côtés 𝑊𝐽 et 𝐽𝐶. Ces côtés correspondent aux côtés 𝑆𝑅 et 𝑅𝑃 du deuxième polygone, dont les longueurs sont données. On peut donc former une équation en utilisant le rapport de similitude pour ces deux polygones:𝑊𝐽𝑆𝑅=𝐽𝐶𝑅𝑃2𝑥+624=7𝑥728.

On résout cette équation pour déterminer la valeur de 𝑥. Premièrement, le membre de gauche peut être simplifié en factorisant le numérateur, puis en simplifiant par le diviseur commun 2 au numérateur et au dénominateur. Le membre de droite peut être simplifié en factorisant le numérateur, puis en simplifiant par le diviseur commun 7 au numérateur et au dénominateur:2(𝑥+3)24=7(𝑥1)28𝑥+312=𝑥14.

Comme 4 est un diviseur de 12, on peut éliminer les deux dénominateurs en multipliant les deux côtés de l’équation par 12 puis en simplifiant les diviseurs communs:12(𝑥+3)12=12(𝑥1)4𝑥+3=3(𝑥1).

Développer et rassembler les termes semblables donne 𝑥+3=3𝑥3𝑥+6=3𝑥6=2𝑥3=𝑥.

En utilisant le rapport de similitude pour ces deux polygones semblables, on trouve que 𝑥=3.

Dans certains problèmes il peut y avoir plusieurs variables inconnues. Dans de tels cas, on devra établir et résoudre plus d’une équation, mais le processus reste toujours le même:on détermine le rapport de similitude et on pose des équations en utilisant chaque paire de longueurs de côtés correspondants. Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la proportionnalité des longueurs des côtés dans une paire de polygones semblables afin de déterminer deux inconnues.

Exemple 4: Établir et résoudre des équations avec des quadrilatères semblables

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Réponse

On note d’abord que les deux polygones ont été tracés dans des orientations différentes. En utilisant l’ordre des lettres dans l’énoncé de similitude, on peut déterminer quels sommets correspondent les uns aux autres:𝐴 correspond à 𝐸, 𝐵 à 𝐹, et ainsi de suite. Il peut être utile de redessiner le deuxième polygone dans la même orientation que le premier, bien que cela ne soit pas essentiel.

Il y a deux inconnues à calculer, 𝑥 et 𝑦. Pour commencer, on peut calculer le rapport de similitude en utilisant les longueurs des côtés correspondants 𝐵𝐶 et 𝐹𝐺, qui ont tous deux été donnés numériquement:𝐵𝐶𝐹𝐺=105=2.

Un rapport de similitude de 2 signifie que les côtés du polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont chacun deux fois plus longs que les longueurs des côtés correspondants du polygone 𝐸𝐹𝐺𝐻. Pour déterminer la valeur de 𝑥, on considère le rapport de similitude entre les côtés 𝐶𝐷 et 𝐺𝐻. On sait maintenant que 𝐶𝐷𝐺𝐻=2 ou, en utilisant le fait que les longueurs du polygone 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont deux fois plus longues que les longueurs correspondantes du polygone 𝐸𝐹𝐺𝐻, on peut adopter une approche un peu moins formelle et affirmer immédiatement que 𝐶𝐷=2𝐺𝐻.

En remplaçant 𝐶𝐷=𝑥 et 𝐺𝐻=8, on obtient 𝑥=2×8=16.

Pour déterminer la valeur de 𝑦, on considère le rapport de similitude pour les côtés 𝐸𝐻 et 𝐴𝐷. Par une approche logique, on sait que la longueur de 𝐸𝐻 est la moitié de la longueur de 𝐴𝐷, comme 𝐸𝐻 est un côté du plus petit polygone. Remplacer l’expression de la longueur de 𝐸𝐻 et la valeur de la longueur de 𝐴𝐷 donne 𝐸𝐻=12𝐴𝐷2𝑦14=12×8.

On résout cette équation pour déterminer la valeur de 𝑦:2𝑦14=42𝑦=18𝑦=9.

Donc, la solution est 𝑥=16, 𝑦=9.

Tous les problèmes que nous avons examinés jusqu’à présent sont liés au calcul d’une inconnue lorsqu’elle est utilisée pour exprimer la longueur d’un côté. Dans notre prochain exemple, nous allons considérer plutôt comment utiliser les propriétés de polygones semblables afin de calculer la valeur d’une inconnue lorsqu’elle se trouve dans l’expression de la mesure d’un angle. Cela va nécessiter une propriété différente des polygones semblables:plutôt que la proportionnalité des longueurs des côtés correspondants, nous allons utiliser la congruence des angles correspondants.

Exemple 5: Former et résoudre des équations pour trouver une mesure d’angle inconnue avec des quadrilatères semblables

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est semblable à 𝑄𝑆𝑅𝑃, déterminer les valeurs de 𝑥 et 𝑦.

Réponse

On rappelle d’abord que les angles correspondants dans des polygones semblables sont superposables. On doit donc déterminer quels angles correspondent dans les deux quadrilatères. Après un examen plus approfondi de la figure, il apparaît que les deux quadrilatères n’ont pas été dessinés dans la même orientation, car les angles au sommet de chacun ne sont pas de même mesure.

Étant donné l’ordre des lettres dans l’affirmation de similitude, on en déduit que

  • le sommet 𝐴 correspond au sommet 𝑄;
  • le sommet 𝐵 correspond au sommet 𝑆;
  • le sommet 𝐶 correspond au sommet 𝑅;
  • le sommet 𝐷 correspond au sommet 𝑃.

Il peut-être utile d’utiliser des couleurs pour indiquer les angles correspondants dans les deux polygones, comme indiqué ci-dessous.

On peut maintenant établir des équations en égalisant les expressions ou les valeurs des mesures des angles correspondants. En considérant les angles 𝐷 et 𝑃, on a 3𝑥+65=98.

Afin de résoudre pour 𝑥, on soustrait 65 de chaque côté de l’équation puis on divise par 3:3𝑥=33𝑥=11.

Ensuite, en égalisant la valeur de l’angle 𝐶 avec l’expression pour la mesure de l’angle 𝑅 donne 𝑦+35=84.

En soustrayant 35 de chaque côté de l’équation, on obtient 𝑦=49.

Ainsi, en utilisant la congruence des angles correspondants dans des polygones semblables, on trouve que 𝑥=11 et 𝑦=49.

On peut vérifier notre réponse au problème précédent en calculant les mesures de chaque angle et en vérifiant que la somme des angles dans chaque quadrilatère est bien 360. En utilisant 𝑥=11, la mesure de l’angle 𝐷 est (3𝑥+65)=((3×11)+65)=98.

La mesure de l’angle 𝐵 est la même que la mesure de l’angle 𝑆, qui est 97. Additionnant les quatre angles du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 on trouve 81+97+84+98=360, ce qui confirme que notre valeur de 𝑥 est correcte.

Dans 𝑄𝑆𝑅𝑃, la mesure de l’angle 𝑅 est (𝑦+35)=(49+35)=84.

La mesure de l’angle 𝑄 est la même que la mesure de l’angle 𝐴, qui est 81. Additionnant les quatre angles du quadrilatère 𝑄𝑆𝑅𝑃 on trouve 81+97+84+98=360, ce qui confirme que notre valeur de 𝑦 est également correcte.

Dans notre dernier problème, nous allons examiner comment utiliser la proportionnalité des longueurs des côtés dans des polygones semblables afin de calculer le périmètre d’un triangle dans lequel certaines des longueurs des côtés sont exprimées algébriquement.

Exemple 6: Établir et résoudre des équations pour trouver un périmètre inconnu avec des triangles semblables

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐶, déterminer le périmètre de 𝐴𝐵𝐶.

Réponse

Pour déterminer le périmètre d’un triangle 𝐴𝐵𝐶, on doit d’abord calculer les longueurs de chacun de ses trois côtés. On nous donne la longueur du côté 𝐴𝐶, mais on ne connaît aucune des deux autres. On sait, cependant, que les deux triangles sur la figure sont semblables et on peut donc exprimer le rapport de similitude entre les deux triangles en utilisant les paires de côtés correspondants:𝐴𝐶𝐴𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐵𝐶.

En utilisant les expressions données pour les longueurs des côtés 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 et les valeurs numériques pour les longueurs des côtés 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵, on peut établir l’équation 𝑥+32=5𝑥.

On résout cette équation pour déterminer 𝑥. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2𝑥 permet d'éliminer les deux dénominateurs simultanément:2𝑥(𝑥+3)2=5(2𝑥)𝑥𝑥(𝑥+3)=10.

En développant et en soustrayant 10 de chaque côté de l’équation, on obtient 𝑥+3𝑥=10𝑥+3𝑥10=0.

Ceci est une équation du second degré en 𝑥, qui peut être résolue en factorisant:(𝑥+5)(𝑥2)=0𝑥+5=0𝑥2=0𝑥=5𝑥=2.ouou

Puisque 𝑥 représente la longueur d’un côté, sa valeur doit être positive, et donc la valeur correcte est 𝑥=2.

On connaît maintenant les longueurs de deux côtés d’un triangle 𝐴𝐵𝐶 et on veut calculer le troisième.

En utilisant le rapport de similitude pour les côtés 𝐴𝐵, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, et 𝐵𝐶, on a 𝐴𝐵𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐵𝐶.

Remplaçant 𝐴𝐵=5, 𝐴𝐵=2 et 𝐵𝐶=8 donne 52=8𝐵𝐶.

On résout en multipliant d’abord les deux côtés de l’équation par 𝐵𝐶:52𝐵𝐶=8.

Ensuite, on divise les deux côtés de l’équation par 52 et on simplifie:𝐵𝐶=8÷52=8×25=3,2.

Enfin, on calcule le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 en additionnant ses trois côtés:perimeterof𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶=2+3,2+2=7,2.

Le périmètre du triangle 𝐴𝐵𝐶 vaut 7,2 unités.

Finissons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, leurs angles correspondants sont superposables et les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.
  • Le rapport de similitude pour une paire de polygones semblables est le rapport obtenu en divisant une longueur de côté dans un polygone par la longueur du côté correspondant dans l’autre, et il est le même pour toutes les paires de côtés correspondants.
  • La proportionnalité des longueurs des côtés de polygones semblables peut être utilisée pour déterminer des variables inconnues lorsque les longueurs des côtés sont exprimées algébriquement. Cela nécessite d'établir et de résoudre des équations en utilisant les expressions et les valeurs données pour chaque longueur de côté.
  • Comme les angles correspondants dans des polygones semblables sont superposables, des inconnues utilisées pour exprimer des mesures d’angle peuvent être déterminées en établissant et en résolvant des équations dans lesquelles on égalise d’abord les expressions pour les angles correspondants.
  • Ces compétences peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes de géométrie de polygones semblables, tels que le calcul de leurs périmètres.

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