Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les propriétés de polygones semblables pour résoudre des expressions et des équations algébriques.
Commençons par récapituler ce que signifie que deux polygones sont semblables.
Définition : Polygones semblables
Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, leurs angles correspondants sont superposables et les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.
Comment exprimer la similitude de deux polygones et écrire l’énoncé de similitude
Considérer deux polygones semblables, et , comme indiqué ci-dessous. La similitude des deux polygones peut être écrite comme . L’ordre des lettres est important et indique à quel sommet d'un des polygones correspond chaque sommet de l'autre polygone. Dans cet exemple, le sommet correspond au sommet , le sommet correspond au sommet , et ainsi de suite.
Pour deux polygones semblables, le rapport de chaque paire de côtés correspondants est le même. C’est ce qu’on appelle le rapport de similitude. Pour les polygones semblables et , le rapport de similitude est égal à chacun des quatre rapports ci-dessous :
On complète notre affirmation de similitude pour ces deux polygones en listant les paires d’angles superposables :
Lors du calcul d’un rapport de similitude, la direction dans laquelle on travaille est importante : si le rapport de similitude des polygones à est , alors le rapport de similitude des polygones à est . On doit s'assurer de toujours diviser les longueurs d’un même polygone par les longueurs correspondantes de l’autre.
Dans notre premier exemple, nous rappelons comment utiliser des proportions pour calculer une longueur inconnue dans un quadrilatère lorsque l'on peut calculer le rapport de similitude et que la longueur du côté correspondant est donnée numériquement.
Exemple 1: Déterminer une longueur inconnue pour des quadrilatères semblables
Si est semblable à , quelle est la longueur de ?
Réponse
D’après la figure, il semble que les deux polygones ont été dessinés dans la même orientation et, par exemple, le côté sur le plus grand polygone correspond au côté sur le plus petit polygone. Cela est confirmé par l’ordre des lettres dans l'énoncé de similitude donné : si est semblable à , alors le sommet correspond au sommet , le sommet correspond au sommet , et ainsi de suite.
D’après la figure, on voit que l'on nous donne une paire de longueurs correspondantes, les longueurs des côtés et . Le côté dont on veut calculer la longueur, côté , correspond au côté sur le plus petit polygone. Comme les deux polygones sont semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles et on peut donc écrire le rapport de similitude pour ces deux paires de côtés correspondants :
En remplaçant les longueurs de , et , on forme l'équation :
Afin de résoudre pour , on multiplie les deux côtés de l’équation par 14 ce qui donne :
La longueur de est 21 cm.
Notre premier exemple nous a permis de récapituler les principes de base de l’utilisation de la proportionnalité des côtés correspondants dans des polygones semblables afin de calculer une longueur de côté inconnue. Nous allons maintenant étendre ces compétences à des problèmes dans lesquels certaines des longueurs des côtés sont exprimées algébriquement. On commence chaque problème de la même manière : en utilisant les longueurs des côtés qui nous sont données, numériquement ou algébriquement, pour établir une équation en utilisant la proportionnalité des paires de longueurs des côtés correspondants. Ensuite, on résout cette équation pour déterminer la ou les valeurs inconnues.
Dans notre premier exemple de ce type, on considère une paire de triangles rectangles semblables dans lesquels les longueurs de deux côtés d’un triangle ont été données numériquement et les longueurs des deux côtés correspondants de l’autre triangle ont été exprimées algébriquement.
Exemple 2: Établir et résoudre une équation pour déterminer une valeur inconnue étant donnée des triangles semblables
Sachant que les triangles et sont semblables, calculer la valeur de .
Réponse
On nous dit que ces deux triangles sont semblables alors on commence par identifier les paires de côtés correspondants. D’après l’ordre des lettres dans l'énoncé de similitude, on sait que le côté correspond au côté et le côté correspond au côté . On nous donne des valeurs numériques pour les longueurs de ces deux côtés du triangle et des expressions algébriques pour les longueurs des côtés correspondants dans le triangle . Comme les deux triangles sont semblables, les longueurs des côtés correspondants sont proportionnels et, en utilisant le rapport de similitude, on a
La substitution des valeurs et des expressions pour ces quatre côtés donne une équation en :
On résout cette équation pour déterminer la valeur de . Afin d'éliminer les dénominateurs, on peut faire un produit en croix :
Développer chaque groupe de parenthèses donne
Enfin, on trouve en rassemblant les termes pareils :
Il est judicieux de vérifier nos réponses chaque fois que cela est possible. Dans l’exemple précédent, on pourrait utiliser la valeur de que l'on a trouvée pour calculer les longueurs des côtés et . Remplacer dans les expressions pour chacune de ces longueurs de côtés donne
On peut alors utiliser ces longueurs pour vérifier que les paires de côtés correspondantes sont bien proportionnelles :
Le rapport est le même pour les deux paires de côtés correspondants, ce qui confirme que notre valeur de est correcte.
Dans chacun des deux exemples que nous avons considérés jusqu’à présent, les deux polygones semblables ont été dessinés dans la même orientation. Cependant, ce ne sera pas toujours le cas et on doit faire très attention quel que soit le problème que l'on traite à bien s'assurer de vérifier quels côtés des deux polygones se correspondent avant de commencer tout calcul. Considérons maintenant un exemple dans lequel les deux polygones sont tracés dans des orientations différentes.
Exemple 3: Établir et résoudre une équation avec des pentagones semblables
Sachant que les deux polygones sont semblables, déterminer la valeur de .
Réponse
On note que les deux polygones sont clairement tracés dans des orientations différentes et on doit donc d’abord identifier les sommets qui correspondent l'un à l'autre. D’après la figure, on voit que l’angle en est superposable à l’angle en car les deux sont marqués par des arcs simples. On remarque aussi que l’angle en est superposable à l’angle en car les deux sont marqués d’un double arc. On peut donc dire que , où l’ordre des lettres indique les sommets correspondants.
L’inconnue que nous voulons calculer, , se trouve dans les expressions qui nous sont données pour les longueurs des côtés et . Ces côtés correspondent aux côtés et du deuxième polygone, dont les longueurs sont données. On peut donc former une équation en utilisant le rapport de similitude pour ces deux polygones :
On résout cette équation pour déterminer la valeur de . Premièrement, le membre de gauche peut être simplifié en factorisant le numérateur, puis en simplifiant par le diviseur commun 2 au numérateur et au dénominateur. Le membre de droite peut être simplifié en factorisant le numérateur, puis en simplifiant par le diviseur commun 7 au numérateur et au dénominateur :
Comme 4 est un diviseur de 12, on peut éliminer les deux dénominateurs en multipliant les deux côtés de l’équation par 12 puis en simplifiant les diviseurs communs :
Développer et rassembler les termes semblables donne
En utilisant le rapport de similitude pour ces deux polygones semblables, on trouve que .
Dans certains problèmes il peut y avoir plusieurs variables inconnues. Dans de tels cas, on devra établir et résoudre plus d’une équation, mais le processus reste toujours le même : on détermine le rapport de similitude et on pose des équations en utilisant chaque paire de longueurs de côtés correspondants. Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la proportionnalité des longueurs des côtés dans une paire de polygones semblables afin de déterminer deux inconnues.
Exemple 4: Établir et résoudre des équations avec des quadrilatères semblables
Sachant que , déterminer les valeurs de et .
Réponse
On note d’abord que les deux polygones ont été tracés dans des orientations différentes. En utilisant l’ordre des lettres dans l’énoncé de similitude, on peut déterminer quels sommets correspondent les uns aux autres : correspond à , à , et ainsi de suite. Il peut être utile de redessiner le deuxième polygone dans la même orientation que le premier, bien que cela ne soit pas essentiel.
Il y a deux inconnues à calculer, et . Pour commencer, on peut calculer le rapport de similitude en utilisant les longueurs des côtés correspondants et , qui ont tous deux été donnés numériquement :
Un rapport de similitude de 2 signifie que les côtés du polygone sont chacun deux fois plus longs que les longueurs des côtés correspondants du polygone . Pour déterminer la valeur de , on considère le rapport de similitude entre les côtés et . On sait maintenant que ou, en utilisant le fait que les longueurs du polygone sont deux fois plus longues que les longueurs correspondantes du polygone , on peut adopter une approche un peu moins formelle et affirmer immédiatement que .
En remplaçant et , on obtient
Pour déterminer la valeur de , on considère le rapport de similitude pour les côtés et . Par une approche logique, on sait que la longueur de est la moitié de la longueur de , comme est un côté du plus petit polygone. Remplacer l’expression de la longueur de et la valeur de la longueur de donne
On résout cette équation pour déterminer la valeur de :
Donc, la solution est , .
Tous les problèmes que nous avons examinés jusqu’à présent sont liés au calcul d’une inconnue lorsqu’elle est utilisée pour exprimer la longueur d’un côté. Dans notre prochain exemple, nous allons considérer plutôt comment utiliser les propriétés de polygones semblables afin de calculer la valeur d’une inconnue lorsqu’elle se trouve dans l’expression de la mesure d’un angle. Cela va nécessiter une propriété différente des polygones semblables : plutôt que la proportionnalité des longueurs des côtés correspondants, nous allons utiliser la congruence des angles correspondants.
Exemple 5: Former et résoudre des équations pour trouver une mesure d’angle inconnue avec des quadrilatères semblables
Sachant que est semblable à , déterminer les valeurs de et .
Réponse
On rappelle d’abord que les angles correspondants dans des polygones semblables sont superposables. On doit donc déterminer quels angles correspondent dans les deux quadrilatères. Après un examen plus approfondi de la figure, il apparaît que les deux quadrilatères n’ont pas été dessinés dans la même orientation, car les angles au sommet de chacun ne sont pas de même mesure.
Étant donné l’ordre des lettres dans l’affirmation de similitude, on en déduit que
- le sommet correspond au sommet ;
- le sommet correspond au sommet ;
- le sommet correspond au sommet ;
- le sommet correspond au sommet .
Il peut-être utile d’utiliser des couleurs pour indiquer les angles correspondants dans les deux polygones, comme indiqué ci-dessous.
On peut maintenant établir des équations en égalisant les expressions ou les valeurs des mesures des angles correspondants. En considérant les angles et , on a
Afin de résoudre pour , on soustrait 65 de chaque côté de l’équation puis on divise par 3 :
Ensuite, en égalisant la valeur de l’angle avec l’expression pour la mesure de l’angle donne
En soustrayant 35 de chaque côté de l’équation, on obtient
Ainsi, en utilisant la congruence des angles correspondants dans des polygones semblables, on trouve que et .
On peut vérifier notre réponse au problème précédent en calculant les mesures de chaque angle et en vérifiant que la somme des angles dans chaque quadrilatère est bien . En utilisant , la mesure de l’angle est
La mesure de l’angle est la même que la mesure de l’angle , qui est . Additionnant les quatre angles du quadrilatère on trouve ce qui confirme que notre valeur de est correcte.
Dans , la mesure de l’angle est
La mesure de l’angle est la même que la mesure de l’angle , qui est . Additionnant les quatre angles du quadrilatère on trouve ce qui confirme que notre valeur de est également correcte.
Dans notre dernier problème, nous allons examiner comment utiliser la proportionnalité des longueurs des côtés dans des polygones semblables afin de calculer le périmètre d’un triangle dans lequel certaines des longueurs des côtés sont exprimées algébriquement.
Exemple 6: Établir et résoudre des équations pour trouver un périmètre inconnu avec des triangles semblables
Sachant que , déterminer le périmètre de .
Réponse
Pour déterminer le périmètre d’un triangle , on doit d’abord calculer les longueurs de chacun de ses trois côtés. On nous donne la longueur du côté , mais on ne connaît aucune des deux autres. On sait, cependant, que les deux triangles sur la figure sont semblables et on peut donc exprimer le rapport de similitude entre les deux triangles en utilisant les paires de côtés correspondants :
En utilisant les expressions données pour les longueurs des côtés et et les valeurs numériques pour les longueurs des côtés et , on peut établir l’équation
On résout cette équation pour déterminer . Multiplier les deux côtés de l’équation par permet d'éliminer les deux dénominateurs simultanément :
En développant et en soustrayant 10 de chaque côté de l’équation, on obtient
Ceci est une équation du second degré en , qui peut être résolue en factorisant :
Puisque représente la longueur d’un côté, sa valeur doit être positive, et donc la valeur correcte est .
On connaît maintenant les longueurs de deux côtés d’un triangle et on veut calculer le troisième.
En utilisant le rapport de similitude pour les côtés , , , et , on a
Remplaçant , et donne
On résout en multipliant d’abord les deux côtés de l’équation par :
Ensuite, on divise les deux côtés de l’équation par et on simplifie :
Enfin, on calcule le périmètre du triangle en additionnant ses trois côtés :
Le périmètre du triangle vaut 7,2 unités.
Finissons par récapituler certains points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Deux polygones sont semblables s’ils ont le même nombre de côtés, leurs angles correspondants sont superposables et les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles.
- Le rapport de similitude pour une paire de polygones semblables est le rapport obtenu en divisant une longueur de côté dans un polygone par la longueur du côté correspondant dans l’autre, et il est le même pour toutes les paires de côtés correspondants.
- La proportionnalité des longueurs des côtés de polygones semblables peut être utilisée pour déterminer des variables inconnues lorsque les longueurs des côtés sont exprimées algébriquement. Cela nécessite d'établir et de résoudre des équations en utilisant les expressions et les valeurs données pour chaque longueur de côté.
- Comme les angles correspondants dans des polygones semblables sont superposables, des inconnues utilisées pour exprimer des mesures d’angle peuvent être déterminées en établissant et en résolvant des équations dans lesquelles on égalise d’abord les expressions pour les angles correspondants.
- Ces compétences peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes de géométrie de polygones semblables, tels que le calcul de leurs périmètres.