Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème de la médiatrice d'une corde passant par le centre d'un cercle et sa réciproque pour résoudre des problèmes.
Commençons par rappeler les définitions d’un rayon, d’une corde et d’un diamètre dans un cercle. Un rayon est un segment qui a pour extrémités le centre du cercle et un point sur la circonférence de ce cercle.
Une corde est un segment dont les extrémités appartiennent à la circonférence du cercle.
Un diamètre est une corde spéciale qui passe par le centre du cercle. Comme illustré sur la figure, un diamètre se compose également de deux rayons.
Dans cette fiche explicative, nous allons étudier les médiatrices des cordes, comme celle qui suit.
Nous allons étudier trois théorèmes relatifs aux médiatrices des cordes. Prenons une corde dans un cercle, une droite qui passe par le centre du cercle, , et qui coupe également la corde, , comme le montre la figure.
Nous allons maintenant démontrer par l’absurde que la droite qui coupe cette corde en son milieu, et qui passe par le centre du cercle, est également perpendiculaire à la corde. On va supposer que et .
Sur le schéma, nous pouvons voir que nous avons le cercle de centre , la corde coupée en son milieu par la droite et les deux rayons et .
Etant donné que et sont des rayons du cercle, ils sont de même longueur. De plus, comme coupe en son milieu, on peut dire que les longueurs de et sont égales. Enfin, et ont comme côté commun, de sorte que nous pouvons remarquer que ces triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur. Les propriétés des triangles superposables permettent d’écrire
Ensuite, on considère les angles et . On se place sur la corde du cercle qui représente un segment de droite. Les angles de même sommet sur une droite forment un angle plat, c’est-à-dire la somme de leurs mesures vaut . En raison de la superposition de et , on a . Ainsi, on a
Cela contredit notre hypothèse de départ et vérifie donc notre démonstration. Résumons ce que nous venons de prouver avec le théorème suivant.
Théorème : Théorème de la médiatrice d’une corde - 1ère partie
Si on a un cercle de centre qui contient une corde , alors, la droite qui passe par et qui coupe la corde en son milieu est perpendiculaire à .
Le deuxième théorème est très similaire. Cependant, nous partons d’une hypothèse légèrement différente. Cette fois, nous avons un cercle, une corde et une droite passant par le centre du cercle, , qui est aussi perpendiculaire à la corde comme indiqué sur cette figure.
Le théorème dit que la droite qui passe par le centre du cercle et qui est perpendiculaire à la corde coupe également celle-ci en son milieu. La preuve de ce deuxième théorème est très semblable à la première, et donc, nous ne le prouverons pas ici.
Théorème : Théorème de la médiatrice d’une corde - 2ème partie
Si on a un cercle de centre qui contient une corde , alors, la droite qui passe par , et qui est perpendiculaire à coupe en son milieu.
Le dernier théorème que nous étudierons est la réciproque de ces théorèmes. C’est très similaire aux deux autres, mais avec des hypothèses légèrement différentes. Ce théorème dit que la médiatrice d’une corde passe également par le centre du cercle. La preuve est aussi très semblable à celle du premier théorème, et c’est donc un exercice laissé au lecteur.
Théorème : Réciproque du théorème de la médiatrice d’une corde
Si on a un cercle de centre qui contient une corde , alors, la médiatrice de passe par .
Maintenant que nous avons écrit ces trois théorèmes, voyons quelques exemples sur leurs utilisations pour calculer des longueurs et des mesures d’angles manquants.
Exemple 1: Déterminer une longueur manquante en utilisant les médiatrices des cordes
Sachant que et , déterminez .
Réponse
Sur la figure, nous pouvons voir que nous avons un cercle de centre, . Il y a une corde coupée en son milieu par le segment au point . Nous pouvons appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde qui affirme que dans un cercle de centre dans lequel on a une corde , alors, la droite qui passe par et coupe la corde en son milieu est perpendiculaire à . Ainsi, on peut dire que
L’énoncé nous dit que . et sont des rayons du cercle ; par conséquent,
On a également , ajoutons-les sur le schéma.
On peut voir sur le schéma que est un triangle rectangle dont nous connaissons deux des côtés. On peut trouver le côté restant à l’aide du théorème de Pythagore :
Il ne reste plus qu’à utiliser le fait que est le milieu de , alors . En remplaçant par sa valeur, on obtient
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer ces théorèmes pour calculer l’aire d’un triangle.
Exemple 2: Déterminer une longueur manquante et l’aire d’un triangle en utilisant les médiatrices des cordes
Sur la figure ci-dessous, si et , déterminez la longueur de et l’aire de au dixième près.
Réponse
Comme est le centre du cercle et que coupe en son milieu , on peut appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde, qui dit que dans un cercle de centre dans lequel on a une corde , la droite qui passe par et coupe cette corde en son milieu est alors perpendiculaire à . Ainsi, on peut dire que
On nous a donné la longueur de , et on sait aussi que est le milieu de cette corde, ainsi
En ajoutant cette information sur le schéma, nous pouvons voir que nous avons un triangle rectangle, , dans lequel on connaît les longueurs de deux côtés. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de :
Pour répondre à la première partie de la question, on doit arrondir cette valeur au dixième près. Ainsi, on obtient
Ensuite, on doit déterminer l’aire de . On sait que est perpendiculaire à , donc on a . On sait aussi que , donc il ne nous reste qu’à trouver la longueur de .
et sont deux rayons du cercle, donc ils ont la même longueur. Par conséquent, . On peut trouver la longueur de en soustrayant la longueur de à la longueur de . Ainsi, on obtient
On sait que l’aire d’un triangle est donnée par la formule
En utilisant cette formule, on trouve que l’aire de ce triangle est
Il reste à arrondir au dixième près, pour trouver que la solution est
Dans notre prochain exemple, nous verrons comment on peut utiliser des médiatrices des cordes pour trouver un angle manquant.
Exemple 3: Déterminer un angle manquant en utilisant les médiatrices des cordes
et sont deux cordes d’un cercle de centre , situées de part et d’autre du centre, où . Soit et les milieux respectifs de et , déterminez .
Réponse
Nous pouvons commencer en remarquant que et passent par le centre du cercle et coupe respectivement les cordes et en leur milieu. Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde qui dit que dans un cercle de centre dans lequel on a une corde , la droite qui passe par et coupe la corde en son milieu est alors perpendiculaire à . En utilisant ce théorème, on peut dire que et , donc on a
Maintenant, si l’on considère le quadrilatère , nous connaissons les mesures de trois de ses angles intérieurs. Comme les mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère ont une somme toujours égale à , on peut trouver la mesure de l’angle inconnu comme suit :
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver le périmètre d’un triangle en utilisant les médiatrices des cordes.
Exemple 4: Déterminer le périmètre d’un triangle tracé à l’intérieur d’un autre triangle inscrit dans un cercle
Dans un cercle de centre , , et . Sachant que et , déterminez le périmètre de .
Réponse
La première chose que nous remarquons est que les segments et passent tous les deux par et sont respectivement perpendiculaires aux cordes et . Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème, qui dit que dans un cercle de centre dans lequel on a une corde , la droite qui passe par et est perpendiculaire à coupe aussi en son milieu.
En utilisant cette information, on peut dire que
Cela signifie que est le milieu de et est le milieu de .
Nous allons maintenant utiliser le théorème du milieu qui dit que dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés du triangle est parallèle au troisième côté et est également la moitié de la longueur de ce troisième côté. Par conséquent, nous avons
On sait aussi que et . En additionnant ces trois longueurs, on obtient la solution :
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser les médiatrices pour déterminer le diamètre d’un cercle, connaissant la longueur d’une corde.
Exemple 5: Déterminer la longueur du diamètre d’un cercle étant donnée la longueur d’une de ses cordes
En utilisant la figure et le fait que , déterminez le diamètre du cercle.
Réponse
On doit déterminer la longueur du diamètre du cercle. Étant donné que le diamètre est le double du rayon, il suffit d’identifier le rayon du cercle.
La première chose que nous remarquons est que le segment passe par le centre du cercle et est également perpendiculaire à la corde . Cela permet de dire que coupe en son milieu. Comme , on peut dire que
Ensuite, considérons . Nous savons que , mais on sait aussi que , car ce sont deux rayons du cercle. Par conséquent, ce triangle est un triangle équilatéral. En utilisant cela, on peut dire que
Le schéma suivant regroupe les informations que nous avons trouvées jusqu’à présent.
Nous allons maintenant considérer . Nous pouvons voir que c’est un triangle rectangle, dans lequel nous savons et . Il y a deux méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer la longueur de , qui est aussi le rayon du cercle. Nous exposerons les deux méthodes.
Méthode 1
Nous commencerons par considérer . On sait que la somme des mesures des angles d’un triangle vaut et les deux autres angles de mesurent et . Par conséquent,
Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que dans un tel triangle, le côté qui est opposé à l’angle de est la moitié de la longueur de l’hypoténuse, alors .
Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui nous dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En appliquant cela à notre triangle, on obtient
Ensuite, nous pouvons remplacer et et écrire :
Comme on doit prendre la racine carrée dans la dernière étape, on va donc négliger la solution négative puisque la longueur de doit être positive. Maintenant, nous pouvons trouver la longueur de en utilisant . Cela nous donne
C’est le rayon du cercle. Cependant, on nous a demandé de chercher le diamètre, on prend le double de ce qu’on a trouvé, soit
Méthode 2
Dans la deuxième méthode, nous utiliserons la trigonométrie dans un triangle rectangle. Nous savons que
Dans notre cas, le côté opposé est et l’hypoténuse est . On peut réécrire cette formule pour obtenir
Maintenant que nous avons trouvé la longueur du rayon, il ne reste plus qu’à le doubler pour déterminer la longueur du diamètre. Cela nous donne
Nous avons maintenant vu divers exemples illustrant la façon dont les médiatrices des cordes peuvent être utilisées pour trouver les longueurs manquantes, les mesures d’angles et d’autres inconnues dans les problèmes impliquant des cercles. Récapitulons quelques points clés de la fiche explicative.
Points clés
- Si on a un cercle de centre dans lequel on a une corde , alors la droite qui passe par et coupe la corde en son milieu est perpendiculaire à .
- Si on a un cercle de centre dans lequel on a une corde , alors la droite qui passe par et est perpendiculaire à coupe aussi en son milieu.
- Si on a un cercle de centre dans lequel on a une corde , alors la médiatrice de passe par .
- Ces théorèmes peuvent être utilisés pour déterminer les longueurs manquantes, les mesures d’angles et d’autres inconnues dans les problèmes impliquant des cercles.
