Fiche explicative de la leçon : Médiatrice d'une corde Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème de la médiatrice d'une corde passant par le centre d'un cercle et sa réciproque pour résoudre des problèmes.

Commençons par rappeler les définitions d’un rayon, d’une corde et d’un diamètre dans un cercle. Un rayon est un segment qui a pour extrémités le centre du cercle et un point sur la circonférence de ce cercle.

Une corde est un segment dont les extrémités appartiennent à la circonférence du cercle.

Un diamètre est une corde spéciale qui passe par le centre du cercle. Comme illustré sur la figure, un diamètre se compose également de deux rayons.

Dans cette fiche explicative, nous allons étudier les médiatrices des cordes, comme celle qui suit.

Nous allons étudier trois théorèmes relatifs aux médiatrices des cordes. Prenons une corde dans un cercle, une droite qui passe par le centre du cercle, 𝐴, et qui coupe également la corde, 𝐵𝐶, comme le montre la figure.

Nous allons maintenant démontrer par l’absurde que la droite qui coupe cette corde en son milieu, et qui passe par le centre du cercle, est également perpendiculaire à la corde. On va supposer que 𝐴𝐷𝐵90 et 𝐴𝐷𝐶90.

Sur le schéma, nous pouvons voir que nous avons le cercle de centre 𝐴, la corde 𝐵𝐶 coupée en son milieu par la droite 𝐸𝐹 et les deux rayons 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶.

Etant donné que 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont des rayons du cercle, ils sont de même longueur. De plus, comme 𝐸𝐹 coupe 𝐶𝐵 en son milieu, on peut dire que les longueurs de 𝐶𝐷 et 𝐷𝐵 sont égales. Enfin, 𝐴𝐶𝐷 et 𝐴𝐷𝐵 ont 𝐴𝐷 comme côté commun, de sorte que nous pouvons remarquer que ces triangles ont leurs côtés deux à deux de même longueur. Les propriétés des triangles superposables permettent d’écrire 𝐴𝐶𝐷𝐴𝐷𝐵.

Ensuite, on considère les angles 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐷𝐵. On se place sur la corde 𝐶𝐵 du cercle qui représente un segment de droite. Les angles de même sommet sur une droite forment un angle plat, c’est-à-dire la somme de leurs mesures vaut 180. En raison de la superposition de 𝐴𝐶𝐷 et 𝐴𝐷𝐵, on a 𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐷𝐶. Ainsi, on a 𝐴𝐷𝐵=𝐴𝐷𝐶=1802=90.

Cela contredit notre hypothèse de départ et vérifie donc notre démonstration. Résumons ce que nous venons de prouver avec le théorème suivant.

Théorème : Théorème de la médiatrice d’une corde - 1ère partie

Si on a un cercle de centre 𝐴 qui contient une corde 𝐵𝐶, alors, la droite qui passe par 𝐴 et qui coupe la corde 𝐵𝐶 en son milieu est perpendiculaire à 𝐵𝐶.

Le deuxième théorème est très similaire. Cependant, nous partons d’une hypothèse légèrement différente. Cette fois, nous avons un cercle, une corde et une droite passant par le centre du cercle, 𝐴, qui est aussi perpendiculaire à la corde 𝐵𝐶 comme indiqué sur cette figure.

Le théorème dit que la droite qui passe par le centre du cercle et qui est perpendiculaire à la corde coupe également celle-ci en son milieu. La preuve de ce deuxième théorème est très semblable à la première, et donc, nous ne le prouverons pas ici.

Théorème : Théorème de la médiatrice d’une corde - 2ème partie

Si on a un cercle de centre 𝐴 qui contient une corde 𝐵𝐶, alors, la droite qui passe par 𝐴, et qui est perpendiculaire à 𝐵𝐶 coupe 𝐵𝐶 en son milieu.

Le dernier théorème que nous étudierons est la réciproque de ces théorèmes. C’est très similaire aux deux autres, mais avec des hypothèses légèrement différentes. Ce théorème dit que la médiatrice d’une corde passe également par le centre du cercle. La preuve est aussi très semblable à celle du premier théorème, et c’est donc un exercice laissé au lecteur.

Théorème : Réciproque du théorème de la médiatrice d’une corde

Si on a un cercle de centre 𝐴 qui contient une corde 𝐵𝐶, alors, la médiatrice de 𝐵𝐶 passe par 𝐴.

Maintenant que nous avons écrit ces trois théorèmes, voyons quelques exemples sur leurs utilisations pour calculer des longueurs et des mesures d’angles manquants.

Exemple 1: Déterminer une longueur manquante en utilisant les médiatrices des cordes

Sachant que 𝐴𝑀=200cm et 𝑀𝐶=120cm, déterminez 𝐴𝐵.

Réponse

Sur la figure, nous pouvons voir que nous avons un cercle de centre, 𝑀. Il y a une corde 𝐴𝐵 coupée en son milieu par le segment 𝑀𝐷 au point 𝐶. Nous pouvons appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde qui affirme que dans un cercle de centre 𝑀 dans lequel on a une corde 𝐴𝐵, alors, la droite qui passe par 𝑀 et coupe la corde 𝐴𝐵 en son milieu est perpendiculaire à 𝐴𝐵. Ainsi, on peut dire que 𝑚𝑀𝐶𝐵=90.

L’énoncé nous dit que 𝐴𝑀=200cm. 𝐴𝑀 et 𝐵𝑀 sont des rayons du cercle;par conséquent, 𝐵𝑀=200.cm

On a également 𝑀𝐶=120cm, ajoutons-les sur le schéma.

On peut voir sur le schéma que 𝑀𝐶𝐵 est un triangle rectangle dont nous connaissons deux des côtés. On peut trouver le côté restant à l’aide du théorème de Pythagore:𝐵𝐶=200120=160.cm

Il ne reste plus qu’à utiliser le fait que 𝐶 est le milieu de 𝐴𝐵, alors 𝐴𝐵=2𝐵𝐶. En remplaçant 𝐵𝐶 par sa valeur, on obtient 𝐴𝐵=320.cm

Dans l’exemple suivant, nous verrons comment appliquer ces théorèmes pour calculer l’aire d’un triangle.

Exemple 2: Déterminer une longueur manquante et l’aire d’un triangle en utilisant les médiatrices des cordes

Sur la figure ci-dessous, si 𝑀𝐴=17,2cm et 𝐴𝐵=27,6cm, déterminez la longueur de 𝑀𝐶 et l’aire de 𝐴𝐷𝐵 au dixième près.

Réponse

Comme 𝑀 est le centre du cercle et que 𝑀𝐷 coupe 𝐴𝐵 en son milieu 𝐶, on peut appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde, qui dit que dans un cercle de centre 𝑀 dans lequel on a une corde 𝐴𝐵, la droite qui passe par 𝑀 et coupe cette corde 𝐴𝐵 en son milieu est alors perpendiculaire à 𝐴𝐵. Ainsi, on peut dire que 𝑚𝑀𝐶𝐴=90.

On nous a donné la longueur de 𝐴𝐵, et on sait aussi que 𝐶 est le milieu de cette corde, ainsi 𝐴𝐶=27,62=13,8.cm

En ajoutant cette information sur le schéma, nous pouvons voir que nous avons un triangle rectangle, 𝑀𝐶𝐴, dans lequel on connaît les longueurs de deux côtés. On peut utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur de 𝑀𝐶:𝑀𝐶=17,213,8=10,266.cm

Pour répondre à la première partie de la question, on doit arrondir cette valeur au dixième près. Ainsi, on obtient 𝑀𝐶=10,3.cm

Ensuite, on doit déterminer l’aire de 𝐴𝐷𝐵. On sait que 𝑀𝐷 est perpendiculaire à 𝐴𝐵, donc on a 𝑚𝐴𝐶𝐷=90. On sait aussi que 𝐴𝐵=27,6cm, donc il ne nous reste qu’à trouver la longueur de 𝐶𝐷.

𝑀𝐷 et 𝑀𝐴 sont deux rayons du cercle, donc ils ont la même longueur. Par conséquent, 𝑀𝐷=17,2cm. On peut trouver la longueur de 𝐶𝐷 en soustrayant la longueur de 𝑀𝐶 à la longueur de 𝑀𝐷. Ainsi, on obtient 𝐶𝐷=17,210,266=6,933.cm

On sait que l’aire d’un triangle est donnée par la formule aireduntrianglebasehauteur=12××.

En utilisant cette formule, on trouve que l’aire de ce triangle est airedecm𝐴𝐷𝐵=12×27,6×6,933=95,683.

Il reste à arrondir au dixième près, pour trouver que la solution est airedecm𝐴𝐷𝐵=95,7.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment on peut utiliser des médiatrices des cordes pour trouver un angle manquant.

Exemple 3: Déterminer un angle manquant en utilisant les médiatrices des cordes

𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont deux cordes d’un cercle de centre 𝑀, situées de part et d’autre du centre, où 𝑚𝐵𝐴𝐶=33. Soit 𝐷 et 𝐸 les milieux respectifs de 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶, déterminez 𝑚𝐷𝑀𝐸.

Réponse

Nous pouvons commencer en remarquant que 𝑀𝐸 et 𝑀𝐷 passent par le centre du cercle et coupe respectivement les cordes 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 en leur milieu. Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème de la médiatrice d’une corde qui dit que dans un cercle de centre 𝑀 dans lequel on a une corde 𝐴𝐵, la droite qui passe par 𝑀 et coupe la corde 𝐴𝐵 en son milieu est alors perpendiculaire à 𝐴𝐵. En utilisant ce théorème, on peut dire que 𝑀𝐷𝐴𝐵 et 𝑀𝐸𝐴𝐶, donc on a 𝑚𝑀𝐸𝐴=90𝑚𝑀𝐷𝐴=90.et

Maintenant, si l’on considère le quadrilatère 𝐴𝐷𝑀𝐸, nous connaissons les mesures de trois de ses angles intérieurs. Comme les mesures des angles intérieurs d’un quadrilatère ont une somme toujours égale à 360, on peut trouver la mesure de l’angle inconnu comme suit:𝑚𝐷𝑀𝐸=360909033=147.

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver le périmètre d’un triangle en utilisant les médiatrices des cordes.

Exemple 4: Déterminer le périmètre d’un triangle tracé à l’intérieur d’un autre triangle inscrit dans un cercle

Dans un cercle de centre 𝑂, 𝐴𝐵=35cm, 𝐶𝐵=25cm et 𝐴𝐶=40cm. Sachant que 𝑂𝐷𝐵𝐶 et 𝑂𝐸𝐴𝐶, déterminez le périmètre de 𝐶𝐷𝐸.

Réponse

La première chose que nous remarquons est que les segments 𝑂𝐸 et 𝑂𝐷 passent tous les deux par 𝑂 et sont respectivement perpendiculaires aux cordes 𝐴𝐶 et 𝐶𝐵. Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème, qui dit que dans un cercle de centre 𝑂 dans lequel on a une corde 𝐵𝐶, la droite qui passe par 𝑂 et est perpendiculaire à 𝐵𝐶 coupe aussi 𝐵𝐶en son milieu.

En utilisant cette information, on peut dire que 𝐴𝐸=𝐶𝐸𝐶𝐷=𝐷𝐵.et

Cela signifie que 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐶 et 𝐷 est le milieu de 𝐵𝐶.

Nous allons maintenant utiliser le théorème du milieu qui dit que dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés du triangle est parallèle au troisième côté et est également la moitié de la longueur de ce troisième côté. Par conséquent, nous avons 𝐸𝐷=12𝐴𝐵=352=17,5.cm

On sait aussi que 𝐶𝐸=12𝐴𝐶=20cm et 𝐶𝐷=12𝐶𝐵=12,5cm. En additionnant ces trois longueurs, on obtient la solution:lepérimètredecm𝐶𝐷𝐸=17,5+20+12,5=50.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment utiliser les médiatrices pour déterminer le diamètre d’un cercle, connaissant la longueur d’une corde.

Exemple 5: Déterminer la longueur du diamètre d’un cercle étant donnée la longueur d’une de ses cordes

En utilisant la figure et le fait que 𝐵𝐶=323cm, déterminez le diamètre du cercle.

Réponse

On doit déterminer la longueur du diamètre du cercle. Étant donné que le diamètre est le double du rayon, il suffit d’identifier le rayon du cercle.

La première chose que nous remarquons est que le segment 𝑀𝐴 passe par le centre du cercle et est également perpendiculaire à la corde 𝐵𝐶. Cela permet de dire que 𝑀𝐴 coupe 𝐵𝐶 en son milieu. Comme 𝐵𝐶=323cm, on peut dire que 𝐵𝐷=163.cm

Ensuite, considérons 𝑀𝐵𝐴. Nous savons que 𝑀𝐵=𝐵𝐴, mais on sait aussi que 𝑀𝐵=𝑀𝐴, car ce sont deux rayons du cercle. Par conséquent, ce triangle est un triangle équilatéral. En utilisant cela, on peut dire que 𝑚𝐴𝑀𝐵=60.

Le schéma suivant regroupe les informations que nous avons trouvées jusqu’à présent.

Nous allons maintenant considérer 𝑀𝐷𝐵. Nous pouvons voir que c’est un triangle rectangle, dans lequel nous savons 𝐷𝑀𝐵=60 et 𝐵𝐷=163cm. Il y a deux méthodes que nous pouvons utiliser pour déterminer la longueur de 𝑀𝐵, qui est aussi le rayon du cercle. Nous exposerons les deux méthodes.

Méthode 1

Nous commencerons par considérer 𝑀𝐵𝐷. On sait que la somme des mesures des angles d’un triangle vaut 180 et les deux autres angles de 𝑀𝐷𝐵 mesurent 90 et 60. Par conséquent, 𝑀𝐵𝐷=1809060=30.

Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que dans un tel triangle, le côté qui est opposé à l’angle de 30 est la moitié de la longueur de l’hypoténuse, alors 𝑀𝐵=2𝑀𝐷.

Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore, qui nous dit que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. En appliquant cela à notre triangle, on obtient 𝑀𝐵=𝑀𝐷+𝐵𝐷.

Ensuite, nous pouvons remplacer 𝑀𝐵=2𝑀𝐷 et 𝐵𝐷=163cm et écrire:(2𝑀𝐷)=𝑀𝐷+1633𝑀𝐷=768𝑀𝐷=256𝑀𝐷=16.cm

Comme on doit prendre la racine carrée dans la dernière étape, on va donc négliger la solution négative puisque la longueur de 𝑀𝐷 doit être positive. Maintenant, nous pouvons trouver la longueur de 𝑀𝐵 en utilisant 𝑀𝐵=2𝑀𝐷. Cela nous donne 𝑀𝐵=32.cm

C’est le rayon du cercle. Cependant, on nous a demandé de chercher le diamètre, on prend le double de ce qu’on a trouvé, soit 64.cm

Méthode 2

Dans la deuxième méthode, nous utiliserons la trigonométrie dans un triangle rectangle. Nous savons que sinOpposéHypoténuse𝜃=.

Dans notre cas, le côté opposé est 𝐵𝐷 et l’hypoténuse est 𝑀𝐵. On peut réécrire cette formule pour obtenir 𝑀𝐵=16360=32.sincm

Maintenant que nous avons trouvé la longueur du rayon, il ne reste plus qu’à le doubler pour déterminer la longueur du diamètre. Cela nous donne 64.cm

Nous avons maintenant vu divers exemples illustrant la façon dont les médiatrices des cordes peuvent être utilisées pour trouver les longueurs manquantes, les mesures d’angles et d’autres inconnues dans les problèmes impliquant des cercles. Récapitulons quelques points clés de la fiche explicative.

Points clés

  • Si on a un cercle de centre 𝐴 dans lequel on a une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et coupe la corde 𝐵𝐶 en son milieu est perpendiculaire à 𝐵𝐶.
  • Si on a un cercle de centre 𝐴 dans lequel on a une corde 𝐵𝐶, alors la droite qui passe par 𝐴 et est perpendiculaire à 𝐵𝐶 coupe aussi 𝐵𝐶 en son milieu.
  • Si on a un cercle de centre 𝐴 dans lequel on a une corde 𝐵𝐶, alors la médiatrice de 𝐵𝐶 passe par 𝐴.
  • Ces théorèmes peuvent être utilisés pour déterminer les longueurs manquantes, les mesures d’angles et d’autres inconnues dans les problèmes impliquant des cercles.

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