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Fiche explicative de la leçon : Degré et coefficient des polynômes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le degré d'un polynôme et à utiliser la terminologie associée aux polynômes, tels que terme, coefficient et constante.

Les polynômes sont omniprésents en mathématiques;on les utilise pour résoudre des problèmes d’optimisation, de mécanique des projectiles et de finance, pour ne citer que quelques exemples. Pour bien expliquer ce que sont les polynômes, il nous faut commencer par décrire l’élément de base d’un polynôme:le monôme.

Définition : Monôme

Un monôme est une expression algébrique constituée d’un seul terme, qui est un produit de constantes et de variables dans lequel les puissances des variables ne peuvent être qu’entières et positives.

Par exemple, l’expression 𝑥 est un monôme, car elle se compose d’un seul terme dont l’unique variable est élevée à une puissance entière positive. Pour mieux comprendre ce concept, entraînons-nous à trouver les monômes parmi les expressions de la liste suivante:

  1. 2𝑦
  2. 𝑥+2𝑥
  3. 𝑦
  4. 1𝑥
  5. 0
  6. 2𝑥𝑦𝑧

On observe que l’expression a n’est constituée que d’un seul terme, que l’on peut réécrire sous la forme 2𝑦. Comme la variable 𝑦 est élevée à une puissance entière positive, cette expression est un monôme.

Dans l’expression b, on remarque deux termes non nuls. Par conséquent, il ne s’agit pas d’un monôme, mais de la somme de deux monômes.

On peut réécrire l’expression c sous la forme 𝑦 et étant donné que 12 n’est pas un entier, il ne s’agit pas d’un monôme.

On peut réécrire l’expression d sous la forme 𝑥, où la puissance de la variable est négative, donc l’expression n’est pas un monôme.

On peut réécrire l’expression e, qui est simplement 0, sous la forme 0𝑥, donc 0 est un monôme. De la même manière, 1 est un monôme car on peut réécrire 1 sous la forme 𝑥. En réalité, toute constante est un monôme, car on peut réécrire toute constante 𝑐 sous la forme 𝑐𝑥.

Enfin, on observe que l’expression f n’est constituée que d’un seul terme dans lequel chacune des variables est élevée à une puissance entière positive. Ainsi, il s’agit d’un monôme. Il faut bien noter que les facteurs constants peuvent être élevés à n’importe quelle puissance, car seules les puissances des variables sont concernées par la restriction sur les puissances. C’est pourquoi on peut avoir un facteur de 2 dans le monôme de la proposition f.

Avant de passer à la définition des polynômes, apprenons un mot de terminologie pour les monômes. On dit du facteur constant d’un monôme que c’est son coefficient. Par exemple, le coefficient de 2𝑦 est 2 et le coefficient de 2𝑥𝑦𝑧 est 2.

Nous sommes maintenant prêts à donner la définition des polynômes en utilisant les monômes.

Définition : Polynômes

Un polynôme est une expression constituée d’une somme de monômes, où chaque monôme est appelé un terme monomial. Le nombre de termes d’un polynôme est le nombre de monômes dans l’expression.

Par exemple, nous avons vu que 𝑥+2𝑥 était la somme de deux monômes;il s’agit par conséquent d’un polynôme. Comme ce polynôme ne comporte qu’une seule variable, la variable 𝑥, on dit que c’est un polynôme à une variable.

Pour qu’une expression soit un polynôme, il suffit que chacun de ses termes soit un monôme;on notera par conséquent que tout monôme est un polynôme. En particulier, puisque les constantes sont des monômes, toute constante est un polynôme.

Avant de nous intéresser à la terminologie, assurons-nous d’avoir bien compris le concept de polynôme en identifiant les polynômes dans la liste d’expressions suivante:

  1. 𝑥+𝑥+3
  2. 𝑥𝑦𝑧
  3. 𝑦𝑥

On observe que l’on peut réécrire le deuxième terme de l’expression a sous la forme 𝑥. La puissance de la variable n’est pas un entier, donc cette expression n’est pas un polynôme.

Dans l’expression b, chaque terme est le produit de constantes et de variables élevées à une puissance entière positive;par conséquent, chaque terme est un monôme. On peut réécrire la différence de ces termes sous la forme d’une somme:𝑥𝑦+𝑧. Donc, cette expression est un polynôme.

Enfin, on peut réécrire l’expression c sous la forme 𝑦𝑥=𝑦𝑥, où la puissance de la variable 𝑥 est strictement négative;par conséquent, cette expression n’est pas un polynôme.

Avant de passer aux exemples, apprenons quelques mots de terminologie pour être en mesure de décrire les polynômes que nous rencontrerons.

Définition : Degré, terme dominant et coefficient dominant d’un polynôme et d’un monôme

  • Le degré d’un monôme est la somme des puissances de ses variables.
  • Le degré d’un polynôme est le degré le plus élevé de ses monômes. Une définition équivalente est que le degré d’un polynôme est la plus grande somme obtenue en additionnant les puissances des variables de chaque terme du polynôme.
  • Le terme de plus haut degré d’un polynôme est appelé le terme dominant.
  • Le coefficient du terme dominant est appelé le coefficient dominant.

À l’aide de ces définitions, déterminons le degré, le terme dominant et le coefficient dominant du polynôme 4𝑥𝑦3𝑥𝑦𝑧.

Premièrement, pour déterminer le degré de ce polynôme, on doit calculer pour chaque terme non nul la somme des puissances des variables. Dans le premier terme, la puissance de 𝑥 est égale à 2. Et puisque 𝑦=𝑦, on peut dire que 𝑦 est élevé à la puissance 1. Ainsi, la somme des puissances des variables du premier terme est 2+1=3. Par conséquent, le premier monôme de notre polynôme est de degré 3.

Procédons de la même façon pour le second terme. On peut voir que les puissances des variables du second terme sont 1, 2 et 1. On en déduit que ce monôme est de degré 4;le degré du monôme de plus haut degré est égal à 4, donc le polynôme est de degré 4.

Deuxièmement, on note que le terme de plus haut degré est 3𝑥𝑦𝑧;il s’agit donc du terme dominant.

Ce polynôme est constitué de deux monômes, donc on peut dire qu’il s’agit d’un polynôme de deux termes.

Enfin, le coefficient du terme dominant est son facteur constant;dans notre polynôme, le facteur constant du terme dominant est 3. Donc, le coefficient dominant du polynôme est 3.

Voyons maintenant dans un exemple comment trouver le degré d’un polynôme à une variable.

Exemple 1: Trouver le degré d’un polynôme

Déterminez le degré de 𝑦7𝑦.

Réponse

On rappelle que le degré d’un polynôme est la plus grande somme obtenue en additionnant les puissances des variables de chaque terme du polynôme. Le polynôme donné dans l’énoncé ne comporte qu’une seule variable, donc cette somme ne sera ici composée que d’une seule puissance. Il suffit par conséquent de trouver la plus grande puissance de la variable 𝑦. On trouve la puissance la plus élevée dans le terme 𝑦, où la variable est élevée à la puissance 4. Par conséquent, on peut dire que le degré de notre polynôme est égal à 4 et que notre polynôme est du quatrième degré.

Dans l’exemple précédent, nous avons découvert une propriété intéressante:dans un polynôme à une seule variable, la somme des puissances de la variable, dans chaque terme, est simplement la puissance de la variable. On peut donc affirmer que le degré de tout polynôme à une variable est la plus grande puissance de la variable apparaissant dans un terme non nul.

Dans les prochains exemples, nous verrons d’autres termes utiles pour décrire les différentes parties d’une expression polynomiale.

Exemple 2: Identifier le terme constant dans un polynôme

Quelle est le terme constant dans l’expression 4𝑥𝑦+27?

Réponse

Dans toute expression, le terme constant est le terme qui reste toujours fixe. Autrement dit, c’est le terme qui ne contient pas de variable. On peut voir que le premier terme, 4𝑥, contient la variable 𝑥 et que le deuxième terme, 𝑦, contient la variable 𝑦;donc, ces termes ne sont pas des termes constants. Le troisième terme est 27;il ne contient aucune variable.

Ainsi, dans notre expression, le terme constant est 27.

Entraînons-nous maintenant à identifier le coefficient d’un terme donné dans un polynôme à une variable.

Exemple 3: Trouver le coefficient d’un terme dans un polynôme

Quel est le coefficient de 𝑣 dans l’expression 𝑣2𝑣?

Réponse

On rappelle que le facteur constant d’un monôme est appelé son coefficient. Par conséquent, dans cet exemple, on doit trouver le facteur constant de 𝑣 dans l’expression 𝑣2𝑣. Pour cela, on peut noter que 𝑣=1𝑣 et donc que le facteur constant de ce terme est 1.

Par conséquent, dans notre expression, le coefficient de 𝑣 est 1.

Dans le prochain exemple, nous déterminerons le coefficient et le degré d’un monôme.

Exemple 4: Trouver le degré et le coefficient d’un monôme

Déterminez le coefficient et le degré de 7𝑥.

Réponse

On commence par remarquer que l’expression donnée dans l’énoncé consiste en un seul terme;de plus, ce terme est le produit de constantes et de variables élevées à une puissance entière positive, donc il s’agit d’un monôme. On rappelle que le coefficient d’un terme est son facteur constant. Étant donné que 𝑥 est une variable, le coefficient est 7.

On rappelle également que le degré d’un monôme est la somme des puissances de ses variables. Ici, il n’y a qu’une seule variable, élevée à la puissance 3;par conséquent, la somme des puissances des variables se résume à ce 3. Notre monôme est donc de degré 3.

Ainsi, le coefficient est 7 et le degré est 3.

Dans le dernier exemple, nous déterminerons laquelle des expressions d’une liste est de même degré qu’un polynôme donné.

Exemple 5: Identifier des polynômes de même degré

Parmi les expressions suivantes, laquelle est de même degré que 3𝑥+3𝑥𝑦+4𝑦?

  1. 2𝑥+2𝑥𝑦+3𝑦
  2. 3𝑎+3𝑎𝑏+2𝑏
  3. 3𝑏+3𝑎𝑏+2𝑎
  4. 3𝑥+2𝑥𝑦+3𝑦

Réponse

Pour commencer, on remarque que l’expression de référence, ainsi que toutes les expressions de la liste, sont des sommes de produits de constantes et de variables élevées à une puissance entière positive. Autrement dit, toutes ces expressions sont des polynômes. Ensuite, on rappelle que le degré d’un polynôme est la plus grande somme obtenue en additionnant les puissances des variables de chaque terme du polynôme.

Donc, pour répondre à la question, on va déterminer le degré de chacun de ces cinq polynômes. Commençons par le degré du polynôme de référence. On procède terme par terme, en additionnant les puissances des variables. Le premier terme ne contient qu’une seule variable, élevée à la puissance 8;donc, ce terme est de degré 8. Le deuxième terme contient deux variables, l’une élevée à la puissance 4 et l’autre à la puissance 2. On additionne ces deux valeurs et on trouve que le degré de ce terme est 4+2=6. Enfin, le troisième terme ne contient qu’une seule variable, donc son degré est la valeur de l’unique puissance, qui est égale à 2. Le plus grand degré est 8;ainsi, il nous faut déterminer laquelle des quatre expressions de la liste est un polynôme du huitième degré.

Examinons chaque polynôme de la liste un par un et déterminons son degré.

Dans le polynôme A, 2𝑥+2𝑥𝑦+3𝑦, le premier terme ne comporte qu’une seule variable, donc son degré est égal à la valeur de la puissance de 𝑥, qui est égale à 4. Le deuxième terme est de degré 8+3=11. On pourrait ensuite chercher le degré du troisième terme, mais ce n’est pas nécessaire;en effet, à ce stade, on a déjà montré que le polynôme est au moins de degré 11.

Dans le polynôme B, 3𝑎+3𝑎𝑏+2𝑏, le premier terme est de degré 7, le deuxième terme de degré 3+4=7 et le troisième terme de degré 2;donc, il s’agit d’un polynôme de degré 7.

Dans le polynôme C, 3𝑏+3𝑎𝑏+2𝑎, on observe que le premier terme est de degré 9. On en déduit que le polynôme est au moins de degré 9, donc de degré supérieur à 8;par conséquent, ce polynôme et notre polynôme de référence ne sont pas de même degré.

Enfin, dans le polynôme D, 3𝑥+2𝑥𝑦+3𝑦, le premier terme est de degré 2, le deuxième terme de degré 4+4=8 et le troisième terme de degré 7. Donc, le plus grand degré est 8 et le polynôme est de degré 8.

Par conséquent, la bonne réponse est le polynôme D.

Pour finir, récapitulons quelques points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Un monôme est une expression algébrique constituée d’un seul terme, qui est un produit de constantes et de variables dans lequel les puissances des variables ne peuvent être qu’entières et positives.
  • Un polynôme est une expression constituée d’une somme de monômes.
  • Un polynôme à une variable est un polynôme qui ne contient qu’une seule variable.
  • On dit du facteur constant d’un monôme que c’est son coefficient.
  • Le degré d’un polynôme est la plus grande somme obtenue en additionnant les puissances des variables de chaque terme du polynôme.
  • Le terme de plus haut degré d’un polynôme est appelé le terme dominant.
  • Le coefficient du terme dominant est appelé le coefficient dominant.

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