Fiche explicative de la leçon: Degré et coefficient des polynômes Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer le degré d'un polynôme et à utiliser la terminologie associée aux polynômes, tels que terme, coefficient et constante.

Les polynômes sont omniprésents en mathématiques ; on les utilise pour résoudre des problèmes d’optimisation, de mécanique des projectiles et de finance, pour ne citer que quelques exemples. Pour bien expliquer ce que sont les polynômes, il nous faut commencer par décrire l’élément de base d’un polynôme : le monôme.

Par exemple, l’expression est un monôme, car elle se compose d’un seul terme dont l’unique variable est élevée à une puissance entière positive. Pour mieux comprendre ce concept, entraînons-nous à trouver les monômes parmi les expressions de la liste suivante : 

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On observe que l’expression a n’est constituée que d’un seul terme, que l’on peut réécrire sous la forme . Comme la variable est élevée à une puissance entière positive, cette expression est un monôme.

Dans l’expression b, on remarque deux termes non nuls. Par conséquent, il ne s’agit pas d’un monôme, mais de la somme de deux monômes.

On peut réécrire l’expression c sous la forme et étant donné que n’est pas un entier, il ne s’agit pas d’un monôme.

On peut réécrire l’expression d sous la forme , où la puissance de la variable est négative, donc l’expression n’est pas un monôme.

On peut réécrire l’expression e, qui est simplement 0, sous la forme , donc 0 est un monôme. De la même manière, 1 est un monôme car on peut réécrire 1 sous la forme . En réalité, toute constante est un monôme, car on peut réécrire toute constante sous la forme .

Enfin, on observe que l’expression f n’est constituée que d’un seul terme dans lequel chacune des variables est élevée à une puissance entière positive. Ainsi, il s’agit d’un monôme. Il faut bien noter que les facteurs constants peuvent être élevés à n’importe quelle puissance, car seules les puissances des variables sont concernées par la restriction sur les puissances. C’est pourquoi on peut avoir un facteur de dans le monôme de la proposition f.

Avant de passer à la définition des polynômes, apprenons un mot de terminologie pour les monômes. On dit du facteur constant d’un monôme que c’est son coefficient. Par exemple, le coefficient de est 2 et le coefficient de est .

Nous sommes maintenant prêts à donner la définition des polynômes en utilisant les monômes.

Par exemple, nous avons vu que était la somme de deux monômes ; il s’agit par conséquent d’un polynôme. Comme ce polynôme ne comporte qu’une seule variable, la variable , on dit que c’est un polynôme à une variable.

Pour qu’une expression soit un polynôme, il suffit que chacun de ses termes soit un monôme ; on notera par conséquent que tout monôme est un polynôme. En particulier, puisque les constantes sont des monômes, toute constante est un polynôme.

Avant de nous intéresser à la terminologie, assurons-nous d’avoir bien compris le concept de polynôme en identifiant les polynômes dans la liste d’expressions suivante : 

On observe que l’on peut réécrire le deuxième terme de l’expression a sous la forme . La puissance de la variable n’est pas un entier, donc cette expression n’est pas un polynôme.

Dans l’expression b, chaque terme est le produit de constantes et de variables élevées à une puissance entière positive ; par conséquent, chaque terme est un monôme. On peut réécrire la différence de ces termes sous la forme d’une somme : . Donc, cette expression est un polynôme.

Enfin, on peut réécrire l’expression c sous la forme , où la puissance de la variable est strictement négative ; par conséquent, cette expression n’est pas un polynôme.

Avant de passer aux exemples, apprenons quelques mots de terminologie pour être en mesure de décrire les polynômes que nous rencontrerons.

À l’aide de ces définitions, déterminons le degré, le terme dominant et le coefficient dominant du polynôme .

Premièrement, pour déterminer le degré de ce polynôme, on doit calculer pour chaque terme non nul la somme des puissances des variables. Dans le premier terme, la puissance de est égale à 2. Et puisque , on peut dire que est élevé à la puissance 1. Ainsi, la somme des puissances des variables du premier terme est . Par conséquent, le premier monôme de notre polynôme est de degré 3.

Procédons de la même façon pour le second terme. On peut voir que les puissances des variables du second terme sont 1, 2 et 1. On en déduit que ce monôme est de degré 4 ; le degré du monôme de plus haut degré est égal à 4, donc le polynôme est de degré 4.

Deuxièmement, on note que le terme de plus haut degré est  ; il s’agit donc du terme dominant.

Ce polynôme est constitué de deux monômes, donc on peut dire qu’il s’agit d’un polynôme de deux termes.

Enfin, le coefficient du terme dominant est son facteur constant ; dans notre polynôme, le facteur constant du terme dominant est . Donc, le coefficient dominant du polynôme est .

Voyons maintenant dans un exemple comment trouver le degré d’un polynôme à une variable.

Dans l’exemple précédent, nous avons découvert une propriété intéressante : dans un polynôme à une seule variable, la somme des puissances de la variable, dans chaque terme, est simplement la puissance de la variable. On peut donc affirmer que le degré de tout polynôme à une variable est la plus grande puissance de la variable apparaissant dans un terme non nul.

Dans les prochains exemples, nous verrons d’autres termes utiles pour décrire les différentes parties d’une expression polynomiale.

Entraînons-nous maintenant à identifier le coefficient d’un terme donné dans un polynôme à une variable.

Dans le prochain exemple, nous déterminerons le coefficient et le degré d’un monôme.

Dans le dernier exemple, nous déterminerons laquelle des expressions d’une liste est de même degré qu’un polynôme donné.

Pour finir, récapitulons quelques points importants de cette fiche explicative.