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Fiche explicative de la leçon: Cordes parallèles et tangentes dans un cercle Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les cordes parallèles et les tangentes et les cordes parallèles d'un cercle pour déduire les mesures égales des arcs entre elles, et déterminer les longueurs ou les angles manquants.

Nous allons commencer par rappeler une partie de la terminologie des cercles. Considérons le cercle suivant de centre 𝑀.

Une corde est un segment dont les extrémités se situent sur la circonférence du cercle. Sur le schéma ci-dessus, 𝐴𝐵 est une corde.

Une tangente à un cercle est quant à elle une droite qui coupe le cercle exactement une fois. Sur le schéma ci-dessus, 𝐶𝐷 est une tangente au cercle au point 𝑃.

Lorsque des droites sont ajoutées à un cercle, les points où elles le coupent divisent sa circonférence en un certain nombre d’arcs. Par exemple, il y a deux arcs entre les points 𝐴 et 𝐵. L’arc le plus court est appelé l’arc mineur𝐴𝐵 (c’est l’arc dont la mesure est inférieure à 180) et l’arc le plus long (l’arc de mesure supérieure à 180) est appelé l’arc majeur. On désigne l’arc mineur de 𝐴 à 𝐵 par 𝐴𝐵.

En gardant ces définitions à l’esprit, nous allons maintenant définir et démontrer un théorème qui relie des cordes parallèles et des arcs dans un cercle.

Théorème : Mesures des arcs entre des cordes parallèles

Les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales.

Sur le schéma, 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐶𝐷, donc 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐵𝐷.

Bien que la démonstration de ce théorème sorte du cadre de cette fiche explicative, il peut être démontré en peu d’étapes en utilisant le théorème de l’angle au centre et les propriétés des angles entre des droites parallèles. Nous allons maintenant appliquer ce théorème avec d’autres propriétés des cordes pour déterminer la mesure d’un arc.

Exemple 1: Utiliser les propriétés des cordes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc

Sur la figure ci-dessous, sachant que la mesure de l’arc 𝐵𝐷=65, déterminez la mesure de l’arc 𝐶𝐷.

Réponse

On rappelle que les arcs formés par deux cordes parallèles sont superposables. Sur le schéma, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont des cordes parallèles, donc les arcs entre elles sont superposables. C’est-à-dire 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐵𝐷=65.

Ensuite, comme 𝐴𝐵 est une corde qui passe par le centre du cercle, il s’agit d’un diamètre. Par conséquent, la mesure de l’arc 𝐴𝐵 est de 180.

En divisant 𝐴𝐵 en trois arcs distincts, on peut former et résoudre une équation pour déterminer la mesure de l’arc 𝐶𝐷:𝑚𝐴𝐵=𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐶𝐷+𝑚𝐵𝐷180=65+𝑚𝐶𝐷+65180=130+𝑚𝐶𝐷.

Par conséquent, 𝑚𝐶𝐷=180130=50.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser ce théorème avec des propriétés d’angles pour déterminer une mesure d’arc inconnue.

Exemple 2: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour déterminer la mesure d’un arc

Calculez 𝑚𝐵𝐸.

Réponse

On rappelle que les arcs entre deux cordes parallèles sont superposables. Comme 𝐴𝐵 et 𝐶𝐸 sont parallèles, on en déduit que 𝑚𝐵𝐸=𝑚𝐴𝐶.

Nous pouvons de plus voir que les angles 𝐷𝑀𝐵 et 𝐴𝑀𝐶 sont opposés par le sommet. Comme des angles opposés par le somment sont égaux, 𝑚𝐴𝑀𝐶=𝑚𝐷𝑀𝐵=39.

Alors, comme 𝐴𝑀𝐶 est l’angle au centre interceptant 𝐴𝐶, 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐴𝑀𝐶=39.

Nous savons qu’elle est égale à 𝑚𝐵𝐸, d’où 𝑚𝐵𝐸=𝑚𝐴𝐶=39.

Un corollaire utile au théorème ci-dessus est que l’affirmation réciproque est également vraie. Si les mesures des deux arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles.

Il existe de plus une autre propriété concernant des cordes de longueurs égales. Si deux cordes sont de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de ces cordes sont de même mesure.

Sur le schéma, comme 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont de même longueur, 𝑚𝐴𝐵=𝑚𝐶𝐷.

Nous allons montrer comment appliquer ces propriétés dans le prochain exemple.

Exemple 3: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour prouver que des cordes sont parallèles

Sur le schéma ci-dessous, la mesure de 𝐴𝐵=62, la mesure de 𝐵𝐶=110 et la mesure de 𝐴𝐷=126. Que pouvez-vous conclure à propos de 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶?

  1. Ils sont parallèles.
  2. Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
  3. Ils sont perpendiculaires.
  4. Ils sont de même longueur.
  5. Ils sont parallèles et de même longueur.

Réponse

Commençons par ajouter la mesure de chaque arc au schéma.

Comme la mesure de chaque arc est égale à la mesure de l’angle que forme l’arc au centre du cercle, la somme de toutes les mesures d’arc dans un cercle est égale à 360.

Par conséquent, 𝑚𝐴𝐵+𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐶𝐷+𝑚𝐴𝐷=36062+110+𝑚𝐶𝐷+126=360298+𝑚𝐶𝐷=360.

Donc, 𝑚𝐶𝐷=360298=62.

Nous rappelons ensuite que si les mesures de deux arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles. Comme 𝑚𝐶𝐷=𝑚𝐴𝐵, les cordes 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont parallèles et la réponse est A ou E. Nous observons de plus que comme 𝑚𝐵𝐶𝑚𝐴𝐷, ces arcs ne sont pas superposables et les cordes ne peuvent donc pas être de même longueur. La réponse est par conséquent A.

Nous allons maintenant étendre notre théorème des cordes parallèles pour y inclure une corde et une tangente parallèles.

Théorème : Mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles

Les mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle sont égales.

Sur le schéma, 𝐴𝐵 est parallèle à la tangente en 𝐶 donc 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐵𝐶.

Une fois de plus, bien que la démonstration de ce théorème sorte du cadre cette fiche explicative, il peut être démontré en quelques étapes à l’aide du théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Étudions maintenant une application de ce théorème.

Exemple 4: Utiliser les propriétés des cordes et des tangentes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc

Soit le cercle de centre 𝑀, 𝐴𝐵 est une corde et 𝐶𝐷 est une tangente. Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 et que la mesure de 𝐴𝐵=72, déterminez la mesure de 𝐵𝐶.

Réponse

Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷, nous allons utiliser le théorème suivant:les mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle sont égales. Cela signifie que 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐵𝐶. Nous savons de plus que 𝑚𝐴𝐵=72 et que la somme des mesures de tous les arcs qui composent le cercle est de 360. Par conséquent, 𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐴𝐵=360𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐵𝐶+72=360𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐵𝐶=288.

Comme 𝑚𝐴𝐶=𝑚𝐵𝐶, on peut réécrire cette équation par 𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐵𝐶=2882𝑚𝐵𝐶=288𝑚𝐵𝐶=144.

Par conséquent, la mesure de 𝐵𝐶 est 144.

Appliquons maintenant les deux théorèmes simultanément pour résoudre un problème impliquant des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle.

Exemple 5: Utiliser les propriétés des cordes et des tangentes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc

Sur la figure suivante, dans le cercle de centre 𝑀, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont deux cordes du cercle et 𝐸𝐹 est une tangente au cercle en 𝐸. Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, la mesure de 𝐴𝐶=30 et que la mesure de 𝐷𝐸=74, déterminez la mesure de 𝐴𝐵.

Réponse

Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, nous pouvons appliquer les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle pour déterminer la mesure de 𝐴𝐵. C’est-à-dire que les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales et que les mesures des arcs entre une corde et une tangente, parallèles, d’un cercle sont égales.

Nous savons que 𝑚𝐴𝐶=30, donc 𝑚𝐵𝐷=30 car 𝐴𝐵𝐶𝐷.

De même, 𝑚𝐷𝐸=74=𝑚𝐶𝐸 car 𝐶𝐷𝐸𝐹.

La somme des mesures de tous les arcs qui composent le cercle est de 360, nous pouvons donc former et résoudre une équation pour déterminer 𝑚𝐴𝐵:𝑚𝐴𝐵+𝑚𝐴𝐶+𝑚𝐶𝐸+𝑚𝐵𝐷+𝑚𝐷𝐸=360𝑚𝐴𝐵+30+74+30+74=360𝑚𝐴𝐵+208=360𝑚𝐴𝐵=152.

Dans les exemples précédents, nous avons appliqué les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle pour déterminer les valeurs inconnues à partir d’informations sur leurs cordes et leurs tangentes. Ces propriétés peuvent également être appliquées avec des propriétés géométriques des polygones pour nous aider à déterminer des valeurs inconnues. Nous allons l’illustrer dans l’exemple suivant.

Exemple 6: Utiliser les propriétés des cordes parallèles, des angles et des rectangles pour déterminer la mesure d’un arc

Sur la figure suivante, un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscrit dans un cercle, où la mesure de 𝐴𝐵=71. Déterminez la mesure de 𝐴𝐷.

Réponse

Comme 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un rectangle, 𝐴𝐵 est parallèle à 𝐷𝐶 et 𝐷𝐴 est parallèle à 𝐵𝐶. Ces segments étant également des cordes du cercle, nous pouvons utiliser le théorème suivant:les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales.

Comme 𝑚𝐴𝐵=71, 𝑚𝐶𝐷=71. Et comme la somme de toutes les mesures d’arc qui composent un cercle est de 360, on peut former et résoudre l’équation suivante:𝑚𝐴𝐵+𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐶𝐷+𝑚𝐴𝐷=36071+𝑚𝐵𝐶+71+𝑚𝐴𝐷=360142+𝑚𝐵𝐶+𝑚𝐴𝐷=360.

Comme 𝐴𝐷 est parallèle à 𝐵𝐶, 𝑚𝐴𝐷=𝑚𝐵𝐶. Par conséquent, on peut former l’équation suivante:142+2𝑚𝐴𝐷=3602𝑚𝐴𝐷=218𝑚𝐴𝐷=109.

La mesure de 𝐴𝐷 est de 109.

Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles pour résoudre un problème où les mesures d’arc sont des expressions algébriques.

Exemple 7: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour déterminer la mesure d’un arc

Sur la figure suivante, 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹 sont deux cordes de même longueur et les cordes. 𝐵𝐶 et 𝐹𝐸 sont parallèles. Sachant que la mesure de 𝐴𝐶=120, déterminez la mesure de 𝐶𝐸.

Réponse

Tout d’abord, comme 𝐴𝐵 et 𝐸𝐹 sont de même longueur, nous pouvons en déduire que les mesures des arcs qu’elles interceptent doivent aussi être égales. C’est-à-dire 𝑚𝐴𝐵=𝑚𝐸𝐹=𝑥.

De même, comme 𝐵𝐶 et 𝐹𝐸 sont parallèles, nous savons que les mesures des arcs entre elles sont égales. Donc, 𝑚𝐶𝐸=𝑚𝐵𝐹=(𝑥+30).

Comme la somme de toutes les mesures d’arc d’un cercle est égale à 360, on a 𝑚𝐴𝐵+𝑚𝐵𝐹+𝑚𝐸𝐹+𝑚𝐶𝐸+𝑚𝐴𝐶=360𝑥+𝑥+30+𝑥+30+𝑥+120=3604𝑥+180=3604𝑥=180𝑥=45.

Comme 𝑚𝐶𝐸=(𝑥+30), on substitue 𝑥=45 dans cette expression:𝑚𝐶𝐸=(45+30)=75.

Nous allons maintenant récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales. Réciproquement, si les mesures des arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles.
  • Si deux cordes sont de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de chaque corde sont de même mesure.
  • Les mesures des arcs entre une corde et une tangente, parallèles, d’un cercle sont égales.

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