Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les cordes parallèles et les tangentes et les cordes parallèles d'un cercle pour déduire les mesures égales des arcs entre elles, et déterminer les longueurs ou les angles manquants.
Nous allons commencer par rappeler une partie de la terminologie des cercles. Considérons le cercle suivant de centre .
Une corde est un segment dont les extrémités se situent sur la circonférence du cercle. Sur le schéma ci-dessus, est une corde.
Une tangente à un cercle est quant à elle une droite qui coupe le cercle exactement une fois. Sur le schéma ci-dessus, est une tangente au cercle au point .
Lorsque des droites sont ajoutées à un cercle, les points où elles le coupent divisent sa circonférence en un certain nombre d’arcs. Par exemple, il y a deux arcs entre les points et . L’arc le plus court est appelé l’arc mineur (c’est l’arc dont la mesure est inférieure à ) et l’arc le plus long (l’arc de mesure supérieure à ) est appelé l’arc majeur. On désigne l’arc mineur de à par .
En gardant ces définitions à l’esprit, nous allons maintenant définir et démontrer un théorème qui relie des cordes parallèles et des arcs dans un cercle.
Théorème : Mesures des arcs entre des cordes parallèles
Les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales.
Sur le schéma, est parallèle à , donc .
Bien que la démonstration de ce théorème sorte du cadre de cette fiche explicative, il peut être démontré en peu d’étapes en utilisant le théorème de l’angle au centre et les propriétés des angles entre des droites parallèles. Nous allons maintenant appliquer ce théorème avec d’autres propriétés des cordes pour déterminer la mesure d’un arc.
Exemple 1: Utiliser les propriétés des cordes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc
Sur la figure ci-dessous, sachant que la mesure de l’arc , déterminez la mesure de l’arc .
Réponse
On rappelle que les arcs formés par deux cordes parallèles sont superposables. Sur le schéma, et sont des cordes parallèles, donc les arcs entre elles sont superposables. C’est-à-dire .
Ensuite, comme est une corde qui passe par le centre du cercle, il s’agit d’un diamètre. Par conséquent, la mesure de l’arc est de .
En divisant en trois arcs distincts, on peut former et résoudre une équation pour déterminer la mesure de l’arc :
Par conséquent,
Dans le prochain exemple, nous allons utiliser ce théorème avec des propriétés d’angles pour déterminer une mesure d’arc inconnue.
Exemple 2: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour déterminer la mesure d’un arc
Calculez .
Réponse
On rappelle que les arcs entre deux cordes parallèles sont superposables. Comme et sont parallèles, on en déduit que .
Nous pouvons de plus voir que les angles et sont opposés par le sommet. Comme des angles opposés par le somment sont égaux,
Alors, comme est l’angle au centre interceptant ,
Nous savons qu’elle est égale à , d’où
Un corollaire utile au théorème ci-dessus est que l’affirmation réciproque est également vraie. Si les mesures des deux arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles.
Il existe de plus une autre propriété concernant des cordes de longueurs égales. Si deux cordes sont de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de ces cordes sont de même mesure.
Sur le schéma, comme et sont de même longueur, .
Nous allons montrer comment appliquer ces propriétés dans le prochain exemple.
Exemple 3: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour prouver que des cordes sont parallèles
Sur le schéma ci-dessous, la mesure de , la mesure de et la mesure de . Que pouvez-vous conclure à propos de et ? 
- Ils sont parallèles.
- Ils ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
- Ils sont perpendiculaires.
- Ils sont de même longueur.
- Ils sont parallèles et de même longueur.
Réponse
Commençons par ajouter la mesure de chaque arc au schéma.
Comme la mesure de chaque arc est égale à la mesure de l’angle que forme l’arc au centre du cercle, la somme de toutes les mesures d’arc dans un cercle est égale à .
Par conséquent,
Donc,
Nous rappelons ensuite que si les mesures de deux arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles. Comme , les cordes et sont parallèles et la réponse est A ou E. Nous observons de plus que comme , ces arcs ne sont pas superposables et les cordes ne peuvent donc pas être de même longueur. La réponse est par conséquent A.
Nous allons maintenant étendre notre théorème des cordes parallèles pour y inclure une corde et une tangente parallèles.
Théorème : Mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles
Les mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle sont égales.
Sur le schéma, est parallèle à la tangente en donc .
Une fois de plus, bien que la démonstration de ce théorème sorte du cadre cette fiche explicative, il peut être démontré en quelques étapes à l’aide du théorème de l’angle entre une corde et une tangente. Étudions maintenant une application de ce théorème.
Exemple 4: Utiliser les propriétés des cordes et des tangentes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc
Soit le cercle de centre , où est une corde et est une tangente. Sachant que et que la mesure de , déterminez la mesure de .
Réponse
Comme , nous allons utiliser le théorème suivant : les mesures des arcs entre une corde et une tangente parallèles d’un cercle sont égales. Cela signifie que . Nous savons de plus que et que la somme des mesures de tous les arcs qui composent le cercle est de . Par conséquent,
Comme , on peut réécrire cette équation par
Par conséquent, la mesure de est .
Appliquons maintenant les deux théorèmes simultanément pour résoudre un problème impliquant des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des cordes et des tangentes parallèles pour déterminer la mesure d’un arc
Sur la figure suivante, dans le cercle de centre , et sont deux cordes du cercle et est une tangente au cercle en . Sachant que , la mesure de et que la mesure de , déterminez la mesure de .
Réponse
Comme , nous pouvons appliquer les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle pour déterminer la mesure de . C’est-à-dire que les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales et que les mesures des arcs entre une corde et une tangente, parallèles, d’un cercle sont égales.
Nous savons que , donc car .
De même, car .
La somme des mesures de tous les arcs qui composent le cercle est de , nous pouvons donc former et résoudre une équation pour déterminer :
Dans les exemples précédents, nous avons appliqué les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles dans un cercle pour déterminer les valeurs inconnues à partir d’informations sur leurs cordes et leurs tangentes. Ces propriétés peuvent également être appliquées avec des propriétés géométriques des polygones pour nous aider à déterminer des valeurs inconnues. Nous allons l’illustrer dans l’exemple suivant.
Exemple 6: Utiliser les propriétés des cordes parallèles, des angles et des rectangles pour déterminer la mesure d’un arc
Sur la figure suivante, un rectangle est inscrit dans un cercle, où la mesure de . Déterminez la mesure de .
Réponse
Comme est un rectangle, est parallèle à et est parallèle à . Ces segments étant également des cordes du cercle, nous pouvons utiliser le théorème suivant : les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales.
Comme , . Et comme la somme de toutes les mesures d’arc qui composent un cercle est de , on peut former et résoudre l’équation suivante :
Comme est parallèle à , . Par conséquent, on peut former l’équation suivante :
La mesure de est de .
Dans le dernier exemple, nous allons montrer comment appliquer les théorèmes des cordes et des tangentes parallèles pour résoudre un problème où les mesures d’arc sont des expressions algébriques.
Exemple 7: Utiliser les propriétés des cordes parallèles et des angles pour déterminer la mesure d’un arc
Sur la figure suivante, et sont deux cordes de même longueur et les cordes. et sont parallèles. Sachant que la mesure de , déterminez la mesure de .
Réponse
Tout d’abord, comme et sont de même longueur, nous pouvons en déduire que les mesures des arcs qu’elles interceptent doivent aussi être égales. C’est-à-dire
De même, comme et sont parallèles, nous savons que les mesures des arcs entre elles sont égales. Donc,
Comme la somme de toutes les mesures d’arc d’un cercle est égale à , on a
Comme , on substitue dans cette expression :
Nous allons maintenant récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Les mesures des arcs entre des cordes parallèles d’un cercle sont égales. Réciproquement, si les mesures des arcs entre deux cordes sont égales, alors les cordes sont parallèles.
- Si deux cordes sont de même longueur, alors les arcs entre les extrémités de chaque corde sont de même mesure.
- Les mesures des arcs entre une corde et une tangente, parallèles, d’un cercle sont égales.