Fiche explicative de la leçon: Vitesse moyenne Sciences • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à faire la distinction entre la vitesse constante et la vitesse moyenne.

Rappelons que la vitesse d’un objet est une mesure de la distance parcourue par cet objet par unité de temps.

Rappelons aussi que si un objet se déplace à une vitesse constante, cela veut dire que la valeur de sa vitesse ne change pas. Autrement dit, un objet se déplaçant à une vitesse constante parcourt des distances égales sur des intervalles de temps égaux.

Par exemple, la voiture représentée sur le schéma ci-dessous roule à une vitesse constante.

Dans cet exemple, la voiture parcourt une même distance de 20 m sur chaque intervalle de temps de 1 s.

Si un objet se déplace à une vitesse constante et parcourt une distance en un temps , on peut relier ces trois grandeurs par l’équation suivante : 

Cette équation s’applique au mouvement dans son ensemble mais aussi à toute section individuelle du mouvement.

Pour s’en convaincre, on peut faire l’exercice avec la voiture représentée sur la figure ci-dessus et montrer que la vitesse de la voiture sera toujours de 20 m/s peu importe la section du mouvement considérée pour calculer cette vitesse.

Cela est vrai pour tout objet se déplaçant à vitesse constante. Quelle que soit la section du mouvement considérée pour le calcul, la vitesse calculée sera toujours la même pour un objet se déplaçant à vitesse constante.

Cependant, tous les objets ne se déplacent pas toujours à vitesse constante.

Prenons un exemple concret en considérant à nouveau le mouvement d’une voiture. Initialement, cette voiture devait être garée quelque part. Autrement dit, à un certain moment, cette voiture est passée d’un état « sans mouvement » à un état « en mouvement » ; cela est généralement décrit en disant que la voiture est initialement au repos. Un objet au repos a une vitesse de 0 m/s.

Si nous avons une voiture dont la vitesse est initialement de 0 m/s et, qu’après un certain temps, elle se déplace à une vitesse de 20 m/s, sa vitesse ne peut pas être constante. Sur l’intervalle de temps où la vitesse de la voiture est passée de 0 m/s à 20 m/s, la vitesse de la voiture n’avait pas une valeur constante de 0 m/s, ni une valeur constante de 20 m/s. Sur cet intervalle de temps, la vitesse a pris toutes les valeurs comprises entre 0 m/s et 20 m/s.

Lorsque la vitesse d’un objet n’est pas constante, cela signifie qu’il ne parcourt pas des distances égales sur des intervalles de temps égaux. Dans ce cas, on dit que l’objet a une vitesse non constante ou variable.

Que la vitesse d’un objet soit constante ou non, on peut toujours parler de vitesse moyenne sur un intervalle donné.

Lorsque l’on parle de moyenne en physique, il s’agit généralement de la moyenne d’une série de mesures. Dans ce contexte, on pourrait imaginer une voiture parcourant plusieurs fois la même distance le long d’une route. Nous pourrions mesurer la vitesse de la voiture pour chaque parcours, puis prendre la moyenne de toutes ces mesures pour obtenir la vitesse moyenne.

Cependant, dans le contexte d’une vitesse qui n’est pas constante, la notion de vitesse moyenne se réfère à autre chose. Considérons un objet dont la vitesse varie alors qu’il se déplace sur une certaine distance sur certain intervalle de temps. La moyenne dont il est question n’est pas la moyenne d’une série de mesures. Il s’agit en fait de la moyenne de toutes les valeurs de vitesses prises par l’objet pendant son mouvement.

Considérons une voiture qui se déplace de la manière suivante : 

On peut voir sur le schéma que la voiture ne parcourt pas une distance égale sur chaque intervalle de 1 s. Nous savons donc que la voiture n’a pas une vitesse constante.

Plus la distance parcourue sur un intervalle de temps de 1 s est grande, plus la vitesse moyenne sur cet intervalle est grande.

Dans ce cas, la voiture parcourt une distance plus grande sur l’intervalle compris entre 1 s et 2 s que sur les deux autres intervalles, nous pouvons donc dire que sa vitesse moyenne est plus grande sur ce deuxième intervalle.

Regardons quelques exemples de problèmes.

Exemple 1: Déterminer la section d’un mouvement où la vitesse moyenne d’un objet est la plus grande

La vitesse d’une voiture en plastique est mesurée en enregistrant sa position à chaque seconde. Sur quel intervalle de temps la vitesse moyenne de la voiture est-elle la plus grande ? 

1. entre le début de la mesure et 1 seconde après le début de la mesure
2. entre 1 seconde après le début de la mesure et 2 secondes après le début de la mesure
3. entre 2 secondes après le début de la mesure et 3 secondes après le début de la mesure

Réponse

On nous demande ici de déterminer sur quel intervalle de temps la vitesse moyenne de la voiture est la plus grande. Tous les intervalles de temps représentés ont une même durée de 1 s. Cela veut dire que pour déterminer l’intervalle sur lequel la vitesse moyenne est la plus grande, nous devons déterminer l’intervalle de temps sur lequel la voiture parcourt la plus grande distance.

En regardant le schéma, on peut voir que sur le premier intervalle, entre le moment où la mesure commence et 1 s plus tard, la voiture se déplace d’une distance de 1 m.

Sur le deuxième intervalle, de 1 s à 2 s après le début de la mesure, la voiture parcourt une distance supérieure à 1 m. On peut le voir sur le schéma de la manière suivante : au début de l’intervalle, la voiture est alignée avec le repère indiquant 1 m. À la fin de l’intervalle, la voiture est située après le repère suivant de 1 m - elle a donc parcouru une distance supérieure à 1 m sur cet intervalle de temps.

Sur le troisième intervalle, de 2 s à 3 s après le début de la mesure, la voiture parcourt une distance inférieure à 1 m. Nous pouvons le voir sur le schéma car, au début de l’intervalle, la voiture est située après le repère de 1 m et, à la fin de l’intervalle, elle est alignée avec le repère suivant de 1 m.

Nous savons que la voiture parcourt la plus grande distance sur l’intervalle de temps situé entre 1 s après le début de la mesure et 2 s après le début de la mesure. Nous savons donc que sa vitesse moyenne est la plus grande sur cet intervalle.

La réponse à la question est donc que la vitesse moyenne de la voiture est la plus grande entre 1 seconde après le début de la mesure et 2 secondes après le début de la mesure. Cela correspond à la réponse B.

Exemple 2: Déterminer les intervalles où la vitesse d’un objet n’est pas constante

La voiture représentée ci-dessous roulait à une vitesse constante avant que la mesure commence et que l’on enregistre sa position à chaque seconde. Quand la voiture ne se déplace-t-elle pas à une vitesse constante de 1 mètre par seconde ? 

1. entre 1 seconde après le début de la mesure et 3 secondes après le début de la mesure
2. entre le début de la mesure et 1 seconde après le début de la mesure
3. sur l’ensemble de son mouvement

Réponse

On nous demande de déterminer quand la voiture représentée sur le schéma n’a pas une vitesse constante de 1 m/s.

La voiture peut seulement avoir une vitesse de 1 m/s sur un intervalle de temps de 1 s si elle parcourt une distance totale de 1 m sur cet intervalle. Si elle parcourt une distance différente, c’est que la valeur de la distance ne vaut pas 1 m sur cette seconde, donc sa vitesse moyenne doit être différente de 1 mètre par seconde.

En regardant le schéma, on peut voir que sur le premier intervalle la voiture se déplace d’une distance de 1 m. Il est donc possible que la vitesse de la voiture soit constante avec une valeur de 1 m/s sur cet intervalle.

Notons bien que la voiture n’a pas forcément une vitesse constante de 1 m/s sur cet intervalle mais ce n’est pas impossible. Tout ce que nous savons avec certitude, c’est que la moyenne sur cet intervalle est de 1 m/s ; il se peut que la vitesse ait changé au cours de cet intervalle de 1 s.

Sur l’intervalle suivant (entre 1 s et 2 s après le début de la mesure), la voiture parcourt une distance supérieure à 1 m. Au début de l’intervalle, elle est alignée avec le repère de 1 m mais, à la fin de l’intervalle, elle est située avant le repère suivant de 1 m.

Sur l’intervalle entre 1 s et 2 s après le début de la mesure, la voiture ne peut donc pas avoir une vitesse moyenne de 1 m/s. Sa vitesse moyenne doit être plus grande.

Sur l’intervalle entre 2 s et 3 s après le début de la mesure, la voiture parcourt une distance inférieure à 1 m. Au début de l’intervalle, elle est située devant le repère de 1 m mais, à la fin de l’intervalle, elle est alignée avec le repère suivant de 1 m.

Sur l’intervalle entre 2 s et 3 s après le début de la mesure, la voiture ne peut donc pas avoir une vitesse moyenne de 1 m/s. Sa vitesse moyenne doit être inférieure.

Notre réponse est donc que la voiture ne se déplace pas à une vitesse constante de 1 mètre par seconde entre 1 seconde après le début de la mesure et 3 secondes après le début de la mesure. Cela correspond à la réponse A.

Nous avons vu la signification de la vitesse moyenne d’un objet. La vitesse moyenne peut aussi être décrite de manière mathématique.

La vitesse moyenne d’un objet sur une distance donnée est égale à la distance totale parcourue divisée par le temps total nécessaire pour parcourir cette distance.

Pour voir ce que cela signifie, considérons une voiture qui se déplace comme indiqué sur le schéma ci-dessous : 

Le schéma représente deux intervalles de temps : un premier entre 0 seconde et un instant et un deuxième, entre et un instant . Le schéma indique également la distance parcourue par la voiture sur chacun de ces deux intervalles, à partir d’une distance de 0 mètre à 0 seconde. Après un certain temps , la voiture a parcouru une distance . Après un certain temps , la voiture a parcouru une distance totale .

Supposons que nous voulons déterminer la vitesse moyenne de cette voiture sur le deuxième intervalle représenté, c’est-à-dire entre l’instant et l’instant . Nous pouvons le faire de la manière suivante.

Nous savons que la vitesse moyenne sur un intervalle est égale à la distance totale parcourue sur cet intervalle, divisée par le temps total nécessaire pour parcourir cette distance. Nous devons donc exprimer la durée du deuxième intervalle ainsi que la distance parcourue sur cet intervalle.

L’intervalle de temps commence à l’instant et se termine à l’instant . La durée de cet intervalle est donc .

À la fin de l’intervalle, la voiture a parcouru une distance totale de à partir de sa position à 0 seconde. Cependant, au début de l’intervalle, la voiture avait déjà parcouru une distance de . La distance parcourue sur le deuxième intervalle est donc .

Ensuite, la vitesse moyenne est la distance parcourue sur l’intervalle, , divisée par la durée de cet intervalle, .

Mathématiquement, cela s’écrit ainsi

Dans cette expression, représente la variation de la distance totale parcourue par la voiture sur l’intervalle de temps .

Nous pouvons écrire cela de manière plus compacte en utilisant la notation suivante : 

Le symbole est utilisé pour indiquer une variation de distance et une variation de temps sur un intervalle donné.

Avec cette notation, nous pouvons définir la vitesse moyenne d’un objet de manière mathématique comme suit.

Les distances et peuvent prendre n’importe quelle valeur représentant le début et la fin de la section du mouvement de l’objet considéré. D’autre part, est le temps nécessaire à l’objet pour parcourir une distance et est le temps nécessaire à l’objet pour parcourir une distance .

Dans certains cas, on nous demande de déterminer une vitesse moyenne sur un intervalle commençant au point où démarre la mesurer (c’est-à-dire à 0 mètre et 0 seconde ). Dans ce cas, et . De même, et .

Considérons une voiture qui se déplace comme indiqué sur le schéma ci-dessous : 

Supposons que nous voulons calculer la vitesse moyenne sur la première seconde du mouvement.

La section commence à l’instant et se termine à l’instant . Au début de cette section, la voiture a parcouru 0 mètre à partir du point correspondant au début de la mesure, nous avons donc . À la fin de cette section, la voiture a parcouru 6 mètres à partir de sa position au début de la mesure, nous avons donc .

Nous pouvons alors calculer la vitesse moyenne de la voiture sur cette section comme suit : 

Supposons maintenant que nous voulons connaître la vitesse moyenne de la voiture sur l’intervalle suivant de 1 seconde. Cette section commence à l’instant et se termine à l’instant . Au début de cette section, la voiture est située à 6 mètres de sa position initiale, nous avons donc . À la fin de la section, la voiture est située à 16 mètres de sa position initiale, donc .

La vitesse moyenne est alors

Nous avons calculé les vitesses moyennes pour chacune des deux sections du mouvement représentées sur le schéma. Cela nous indique que la vitesse de la voiture ne peut pas être constante tout au long de son mouvement. On peut aussi le voir directement sur le schéma, car la voiture ne parcourt pas des distances égales sur des intervalles de temps égaux - la distance parcourue par la voiture sur le deuxième intervalle est supérieure à la distance parcourue sur le premier intervalle.

Considérons une autre voiture qui parcourt la même distance totale de 16 m, mais avec une vitesse constante. Le mouvement de la deuxième voiture est représenté sur le schéma ci-dessous : 

Nous pouvons de nouveau calculer la vitesse moyenne sur chacun des intervalles de 1 seconde représentés.

Sur le premier intervalle, nous avons et , ce qui donne . Au début de l’intervalle, la voiture a parcouru 0 mètre et, à la fin de l’intervalle, elle a parcouru 8 mètres , donc nous obtenons et . Cela nous donne .

En calculant la vitesse moyenne sur cet intervalle, nous avons

Sur le deuxième intervalle, nous avons et , ce qui donne . Au début de cet intervalle, la voiture a parcouru 8 mètres et, à la fin de l’intervalle, elle a parcouru 16 mètres, donc nous avons et . Cela donne .

La vitesse moyenne sur le deuxième intervalle est donnée par

Pour cette voiture qui se déplace à vitesse constante, nous avons donc trouvé la même vitesse moyenne pour les deux sections du mouvement.

Ce résultat est vrai de manière générale. Pour tout objet se déplaçant à vitesse constante, les valeurs de distance et de temps varient dans les mêmes proportions sur l’ensemble du mouvement. Cela signifie que l’équation de la vitesse constante peut être appliquée à n’importe quelle section du mouvement d’un objet et donnera le même résultat pour la vitesse, quelle que soit la section considérée.

Regardons quelques exemples de problèmes supplémentaires.

Exemple 3: Comparer les vitesses moyennes

La vitesse d’une voiture en plastique est mesurée en enregistrant sa position à chaque seconde. Comment peut-on comparer la vitesse moyenne de la voiture sur la première seconde et la vitesse moyenne sur l’ensemble du mouvement ? 

1. La vitesse moyenne sur la première seconde est supérieure à la vitesse moyenne sur l’ensemble de la période mesurée.
2. La vitesse moyenne sur la première seconde est égale à la vitesse moyenne sur l’ensemble de la période mesurée.
3. La vitesse moyenne sur la première seconde est inférieure à la vitesse moyenne sur l’ensemble de la période mesurée.

Réponse

Dans cette question, on nous demande de déterminer comment on peut comparer la vitesse moyenne de la voiture sur la première seconde et la vitesse moyenne sur toute la période mesurée.

Pour faire cela, nous devons déterminer la vitesse moyenne de la voiture sur ce premier intervalle. Puis, nous devons déterminer la vitesse moyenne sur toute la période mesurée. Finalement, il faudra comparer ces deux valeurs.

Sur le premier intervalle, nous pouvons voir sur la figure que la voiture se déplace sur une distance de 1 m. Cela signifie que, sur cet intervalle, nous avons et .

Nous avons utilisé un « 1 » en indice pour indiquer que ces valeurs correspondent au premier intervalle.

Rappelons l’équation de la vitesse moyenne  : 

En remplaçant et , nous avons , la vitesse moyenne sur le premier intervalle est donnée par

Considérons maintenant la durée totale des mesures.

Nous pouvons voir sur le schéma que la vitesse est mesurée sur une durée totale de 3 s et que la voiture parcourt une distance totale de 3 m sur cette durée. Cela signifie que nous avons et .

Nous avons utilisé un « T » en indice pour indiquer que ces valeurs correspondent à la durée totale sur laquelle la vitesse est mesurée.

En remplaçant et dans l’équation de la vitesse moyenne, nous obtenons que , la vitesse moyenne sur la durée totale, est donnée par

Nous voyons donc que et . Autrement dit, ces deux vitesses moyennes ont la même valeur.

La réponse à la question est donc que la vitesse moyenne sur la première seconde est égale à la vitesse moyenne sur la période totale de mesure. Cela correspond à la réponse B.

Exemple 4: Déterminer quel objet a la plus grande vitesse moyenne

Un objet bleu et un objet orange se déplacent sur une grille dont les lignes sont équidistantes. Les deux objets se déplacent pendant 5 secondes. Les flèches indiquent les distances parcourues à chaque seconde. Quel objet a la plus grande vitesse moyenne ? 

1. l’objet bleu
2. Les deux objets ont la même vitesse moyenne.
3. l’objet orange

Réponse

Dans cette question, on nous donne un schéma représentant deux objets se déplaçant sur une grille. On nous demande quel objet a la plus grande vitesse moyenne.

Nous pouvons voir que les deux objets se déplacent de manière différente pendant le temps indiqué. L’objet orange se déplace d’un carré à chaque seconde ; il se déplace donc à vitesse constante. Parallèlement, l’objet bleu ne parcourt pas les mêmes distances par seconde ; sa vitesse n’est donc pas constante.

Cependant, nous pouvons voir que la distance totale parcourue par chacun des objets est la même. Sur la grille, cette distance totale est de 5 carrés. Nous ne savons pas combien mesure chaque carré en mètres, mais nous savons que les lignes de la grille sont équidistantes. Nous pouvons donc évaluer les distances en utilisant les « carrés » comme unité.

Dans l’énoncé, on nous dit que chaque objet se déplace pendant 5 s.

Comme les deux objets parcourent la même distance (5 carrés) et prennent le même temps pour le faire (5 secondes), nous savons que ces deux objets doivent avoir la même vitesse moyenne.

Nous pouvons calculer la valeur de cette vitesse moyenne, en utilisant une unité de carrés par seconde, avec l’équation de la vitesse moyenne : 

Dans ce cas, et . Cela nous donne une vitesse moyenne de

Rappelons que la distance totale et la durée totale sont les mêmes pour l’objet orange et l’objet bleu. Ce calcul de vitesse moyenne s’applique donc aux deux objets.

La réponse à la question est donc que les deux objets ont la même vitesse moyenne. Cela correspond à la réponse B.

L’exemple 4 met en évidence un point intéressant concernant la vitesse moyenne. La vitesse moyenne d’un objet sur un intervalle de temps donné est définie en utilisant la distance totale parcourue et la durée totale de l’intervalle. Peu importe la variation de la vitesse sur cet intervalle de temps ; tout ce qui importe est la valeur moyenne.

Cela signifie qu’il est possible que deux objets aient la même vitesse moyenne sur un intervalle de temps donné, même si sur cet intervalle la vitesse de chacun des objets varie de manière différente.

Nous avons vu comment calculer la vitesse moyenne d’un objet connaissant la distance totale parcourue par cet objet sur un intervalle de temps total .

Il est possible de modifier cette équation afin d’exprimer soit soit en fonction des autres termes. Cela fonctionne exactement de la même manière que lorsque on utilise l’équation pour un mouvement à vitesse constante.

Pour exprimer , nous avons l’équation suivante : 

Si nous connaissons la vitesse moyenne d’un objet et que nous savons quelle est la durée totale de son mouvement, cette équation nous permet de calculer la distance totale parcourue par cet objet. Cela est vrai que la vitesse de l’objet soit constante ou non ; il suffit de connaître la vitesse moyenne sur l’intervalle de temps .

Pour exprimer , nous obtenons l’équation suivante : 

Ensuite, si nous connaissons la vitesse moyenne d’un objet et la distance totale parcourue par l’objet, cette équation nous permet de calculer le temps nécessaire pour parcourir cette distance. Comme précédemment, peu importe que la vitesse soit constante ou non ; il suffit de connaître la moyenne de la distance parcourue.

Considérons un exemple concret où nous devons utiliser l’une de ces nouvelles équations.

Nous avons un coureur qui participe à une course de 400 m et dont la vitesse moyenne est de 8 m/s. Nous voulons savoir combien de temps il lui faut pour terminer la course.

Dans ce cas, nous avons une vitesse moyenne de et une distance totale parcourue de . Nous cherchons à déterminer la valeur de . Nous avons donc besoin de l’équation de la vitesse moyenne modifiée pour exprimer  : 

Nous pouvons ensuite remplacer les valeurs que nous avons pour et  : 

Enfin, en calculant le côté droit de l’équation, nous avons que

Nous avons donc calculé que le coureur met 50 s pour finir la course.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.