Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les mesures des angles inscrits interceptant le même arc ou des arcs superposables.
Commençons par définir certains termes clés.
Définition : Angles inscrits
Un angle inscrit est l’angle formé par deux cordes qui ont une extrémité commune sur la circonférence d’un cercle. Dans la figure ci-dessous, est un angle inscrit.
On dit aussi que l’angle intercepte l’arc .
Il y a un certain nombre de propriétés qui s’appliquent à de tels angles. Dans cette fiche explicative, nous allons étudier l’une de ces propriétés.
Propriété : Des angles inscrits interceptant le même arc sont égaux
Dans la figure suivante, , car les deux angles interceptent l’arc .
De même, puisque et interceptent tous deux l’arc , ils sont égaux.
On peut parfois rencontrer cette propriété sous la forme équivalente suivante : « les angles d’un même segment sont égaux ».
On l’appelle parfois de manière informelle la propriété du « nœud papillon », car la paire d’angles inscrits forme un nœud papillon. Il est important de noter que cette expression est informelle et ne doit pas être mentionnée dans une démonstration mathématique ou autre !
Un aspect incroyablement puissant de cette propriété est que l’on peut construire autant d’angles que l’on souhaite interceptant un arc et qu’ils seront tous égaux. De même, tous les angles interceptant l’arc sont également égaux.
Avant de montrer une application de cette propriété d’angle inscrit, nous allons proposer une petite preuve géométrique. Dans cette démonstration, commençons par placer le centre du cercle et par construire les rayons et .
Ensuite, appliquons la propriété suivante. La mesure d’un angle inscrit est la moitié de celle de l’angle au centre qui intercepte le même arc. En d’autres termes, la mesure de l’angle au centre est le double de celle de l’angle inscrit. Pour la suite, on pose , bien que l’on aurait pu choisir . Par conséquent,
De même, d’après la même propriété,
Ainsi, , comme attendu.
Nous allons maintenant montrer une application simple de cette propriété.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle inscrit interceptant le même arc de cercle qu’un autre angle inscrit donné
Sachant que et , trouvez et .
Réponse
Bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire, il peut être judicieux de commencer par ajouter les angles donnés à la figure. On a et , donc la figure est comme indiquée.
Ensuite, on observe que le premier angle inconnu intercepte le même arc que . On sait que les angles interceptant le même arc sont égaux, donc
De même, intercepte le même arc que . Par conséquent,
Dans notre premier exemple, nous avons montré une application de la propriété des angles inscrits en utilisant des expressions numériques. On peut également appliquer cette propriété pour résoudre des problèmes contenant des expressions algébriques. Dans notre deuxième exemple, nous allons présenter un tel cas.
Exemple 2: Résoudre des équations en utilisant deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle
Si et , déterminez la valeur de .
Réponse
On rappelle que les angles interceptant le même arc sont égaux. Sur cette figure, et interceptent tous deux l’arc , donc ces deux angles sont égaux. Cela nous permet de poser et de résoudre une équation en . Puisque et ,
Par conséquent, .
Une propriété particulièrement intéressante qui résulte des propriétés des angles inscrits est que l’angle inscrit interceptant un demi-cercle mesure . Ceci est illustré dans la figure suivante, où est le diamètre du cercle et .
Dans notre prochain exemple, nous allons combiner cette propriété avec des données sur les angles afin de trouver des valeurs manquantes.
Exemple 3: Déterminer la mesure d’un angle inscrit en utilisant un autre angle inscrit interceptant des arcs du cercle
Sachant que est un diamètre du cercle et , trouvez .
Réponse
Avec des questions contenant beaucoup de détails, il peut être difficile de savoir exactement par où commencer. Dans ces cas, on peut commencer par déterminer des angles « faciles à calculer ».
On rappelle que l’angle inscrit interceptant un demi-cercle vaut . En utilisant cette propriété, on peut voir que .
Puisque la somme des mesures des angles d’un triangle vaut , on peut calculer la mesure de :
Ceci est utile car on sait aussi que les segments et sont parallèles, donc on peut utiliser le fait que les angles alternes-internes sont égaux pour calculer .
Enfin, on observe que et interceptent le même arc . Sachant que les angles interceptant le même arc sont égaux,
Donc, vaut .
Il n’est pas surprenant que l’on puisse étendre les propriétés des angles inscrits à des cercles distincts et des arcs de même mesure. En particulier, si deux cercles sont superposables, alors leurs angles inscrits qui interceptent des arcs de même mesure sont égaux.
Dans la figure suivante représentant deux cercles superposables, si , alors .
De même, dans un cercle, tous les angles inscrits interceptant des arcs superposables sont de même mesure. On peut être tenté de chercher la forme typique d’un « nœud papillon », mais dans notre prochain exemple, nous allons montrer pourquoi cela n’est pas toujours judicieux.
Exemple 4: Résoudre des équations en utilisant deux angles inscrits interceptant deux arcs de cercle superposables
Sachant que et , calculez la valeur de .
Réponse
On rappelle que les angles inscrits interceptant des arcs de cercle superposables sont de même mesure. Sur cette figure, on voit que l’arc est superposable à l’arc . Les angles inscrits interceptant ces arcs sont respectivement et , donc il en résulte que .
Ainsi, on peut poser et résoudre l’équation suivante :
Maintenant, considérons deux cercles concentriques. Deux cercles sont toujours semblables, et ceux-ci ont le même centre. Cela signifie que l’on peut résoudre des problèmes faisant intervenir des cercles concentriques en utilisant le fait que les angles inscrits interceptant deux arcs de même mesures sont égaux entre eux. Dans notre prochain exemple, nous allons représenter une telle situation.
Exemple 5: Résoudre des équations en utilisant deux angles inscrits interceptant deux arcs de même mesures dans deux cercles
Sur la figure, et passent par le centre des cercles. Sachant que et , calculez .
Réponse
La figure montre deux cercles concentriques. Puisque l’arc et l’arc ont le même angle au centre, ils doivent avoir la même mesure. Par conséquent, l’angle interceptant l’arc est égal à l’angle interceptant l’arc . Ces angles sont respectivement et .
Utilisons ces informations pour poser et résoudre une équation en :
Dans nos exemples précédents, nous avons utilisé les propriétés des angles inscrits dans un cercle pour déterminer les valeurs manquantes. Ainsi on peut appliquer le corollaire de notre propriété pour en déduire des affirmations sur les cercles. C’est-à-dire, si deux angles superposables interceptent le même segment et sont du même côté de celui-ci, alors leurs sommets et les extrémités de ce segment se situent sur un cercle dans lequel ce segment est une corde.
Montrons cela dans notre dernier exemple.
Exemple 6: Déterminer si un cercle peut passer par quatre points donnés en utilisant les mesures des angles sur le côté d’un segment
Sachant que et , un cercle peut-il passer par les points , , et ?
Réponse
On rappelle que si deux angles superposables interceptent le même segment et sont du même côté, alors leurs sommets et les extrémités du segment appartiennent à un cercle dans lequel ce segment est une corde.
Afin de déterminer si les points , , et se situent sur la circonférence d’un cercle, on commence par identifier les angles interceptant les mêmes segments. Les angles et interceptent tous deux et se situent du même côté de ce segment. Donc, si et sont superposables, c’est-à-dire , alors les points , , et se situent sur la circonférence d’un cercle.
D’après l’énoncé et . On peut utiliser cette information pour calculer puisque est un triangle isocèle :
Donc, . Comme ils ne sont pas superposables, on en déduit qu’un cercle ne peut pas passer par les points , , et .
Nous allons maintenant récapituler les concepts clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Un angle inscrit est l’angle formé par deux cordes qui ont une extrémité commune sur la circonférence d’un cercle.
- Les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
- Si deux arcs d’un même cercle sont superposables, leurs angles inscrits sont égaux.
- Si deux cercles sont superposables, alors les angles inscrits interceptant des arcs superposables ou des arcs de même mesure sont égaux.
- Si deux angles superposables interceptent le même segment et sont du même côté de celui-ci, alors leurs sommets et les extrémités du segment appartiennent à un cercle dans lequel ce segment est une corde.
