Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à convertir les radians en degrés et vice-versa.
Le radian est une unité de mesure d’angle, comme les degrés. On peut l’utiliser comme une alternative aux degrés. Commençons par définir formellement ce qu’est un radian.
Soit un cercle de centre et de rayon .
Maintenant, imaginons que l’on prenne une nouvelle longueur du rayon pour l’enrouler le long de la circonférence du cercle.
On a alors un secteur circulaire de rayon et de longueur d’arc . L’angle au centre est défini comme étant l’angle de 1 radian ( rad).
Définition : Radians
Un radian est, dans un cercle, la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc de longueur égale au rayon du cercle.
Maintenant que nous avons défini ce qu’est un radian, on s’intéresse alors à la conversion entre radians et degrés.
On rappelle que la distance autour d’un cercle est son périmètre ou sa circonférence et que l’on obtient sa valeur en multipliant par le diamètre, . On peut donc obtenir le périmètre, notée , par la formule
On peut aussi décrire le périmètre en fonction du rayon comme
On considère le secteur du cercle ci-dessus, dont l’arc a une longueur égale à , et on cherche le nombre maximal d’arcs de cercle de longueur que l’on pourrait enrouler le long de la circonférence du cercle. Tel que nous l’avons défini, l’arc a une longueur égale au rayon, , donc le nombre maximal d’arcs pouvant tenir sur la circonférence du cercle est de .
On sait qu’une approximation de la valeur de est . Par conséquent, on peut placer 6 arcs complet sur la circonférence du cercle et il nous reste alors une portion de la circonférence égale à arc, comme illustré sur la figure ci-dessus.
Il faut exactement arcs pour couvrir entièrement la circonférence du cercle, donc le cercle comprend exactement secteurs circulaires. L’angle de chaque secteur étant de 1 radian, il en découle que la somme des angles de tous les secteurs est de .
Par ailleurs, on sait que dans un cercle, la somme en degrés des angles au centre est de ; il en découle que
Cette égalité nous donne une formule de conversion idéale entre les deux unités de mesure. On peut aussi diviser chacun des côtés de l’égalité par 2 ou par 4 pour obtenir deux formules de conversion alternatives : et
De même, partant de la formule , on peut diviser chacun des membres par pour trouver la valeur de 1 radian en degrés :
Si l’on connaît au moins l’une de ces formules de conversion, on peut convertir n’importe quel angle en radians en un angle en degrés, et vice-versa.
Comment : Convertir des radians en degrés
Voyons maintenant quelques exemples de conversions d’angles en degrés en angles en radians.
Exemple 1: Convertir un angle en degrés en un angle en radians
Convertissez les mesures d’angles ci-dessous pour passer d’une mesure en degrés à une mesure en radians. Donnez vos réponses en fonction de et sous la forme la plus simple.
Réponse
Pour convertir un angle en degrés en un angle en radians, nous nous rappelons la formule de conversion :
Partie 1
Dans la première partie de cette question, nous devons convertir l’angle de en radians. On remarque que est la moitié de . Par conséquent, on peut diviser chaque membre de la conversion par 2 pour obtenir
On peut donc répondre à la question en écrivant que en radians est
Notez que l’on doit donner notre réponse en fonction de , donc on ne transforme pas notre résultat en un nombre décimal ; on le laisse tel quel.
Partie 2
Pour déterminer la mesure de l’angle de en radians, on prend la formule et on divise les deux membres par 6 pour obtenir
On aurait aussi pu utiliser l’équivalence trouvée dans la première partie de la question, c’est-à-dire et diviser chacun des membres par 3 pour obtenir
Que cela soit par l’une ou l’autre des méthodes, on conclut que en radians est
Partie 3
Lorsque l’on doit convertir un angle en degrés et que celui-ci n’est pas un facteur de , il est souvent plus simple de commencer par trouver combien vaut en radians.
On sait que
En divisant des deux membres par 180, on trouve que
Puisque l’on doit convertir en radians, on doit multiplier chacun des membres de cette équation par 55. On obtient alors
Pour simplifier la fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, c’est-à-dire 5, et on trouve que
Ainsi, est équivalent à .
Dans la question précédente, nous avons vu comment convertir l’angle de en radians, en le divisant d’abord par et en le multipliant ensuite par . On peut appliquer cette même méthode pour trouver la mesure de n’importe quel angle.
Comment : Convertir un angle en degrés en un angle en radians
Pour convertir n’importe quel angle en degrés en un angle en radians, on multiplie l’angle donné par :
Dans la question suivante, nous examinerons comment convertir un angle donné en radians en un angle en degrés.
Exemple 2: Convertir un angle en radians en un angle en degrés
Convertissez en degrés.
Réponse
Pour passer d’un angle en radians à un angle en degrés, on se souvient que
On remarque que pour convertir en degrés, on doit diviser chaque membre de l’équation par 3 pour obtenir
Ainsi, est équivalent, en degrés, à .
Lorsque nous convertissons des angles qui sont des facteurs de ou de , on peut utiliser la méthode vue dans les exemples précédents. Cependant, il existe un moyen efficace de convertir un angle en radians en un angle en degrés en une seule étape.
Comment : Convertir un angle en radians en un angle en degrés
Pour convertir n’importe quel angle mesuré en radian en un angle en degrés, on multiplie l’angle donné par :
Voyons maintenant une application de cela dans le prochain exemple.
Exemple 3: Convertir un angle en radians en un angle en degrés
Convertissez 0,5 rad en degrés en arrondissant à la seconde près.
Réponse
On rappelle que pour passer d’une mesure d’angle en radian en une mesure en degrés, on multiplie l’angle par :
Ici, on peut remplacer par la mesure donnée dans l’énoncé, 0,5 radian, à la place de l’angle dans la formule. On a alors
On doit maintenant convertir cet angle en degrés, donné par un nombre décimal, en un angle en degrés, minutes et secondes. On trouve la valeur pour les degrés en prenant la partie entière de notre résultat. Donc donne .
Passons maintenant aux minutes ; on multiplie par 60 la partie décimale du nombre décimal initial et on ne garde que la partie entière, obtenant ainsi 38 minutes. C’est-à-dire,
Pour trouver les secondes, on multiplie la partie décimale du résultat précédent par 60, puis on arrondit à l’entier le plus proche. C’est-à-dire,
Ainsi, on peut conclure que 0,5 rad est équivalent à .
Dans le prochain exemple, nous appliquerons les formules de conversion pour résoudre un problème un peu plus compliqué.
Exemple 4: Résoudre un problème impliquant des mesures en degrés et en radians
Déterminez la valeur en degrés des deux angles dont la somme fait et dont la différence est de . Donnez les réponses arrondies au degré près.
Réponse
On commence par désigner les deux angles inconnus par et . On sait que leur somme en degrés est de et que leur différence en radians est de . On peut donc établir deux équations :
On peut résoudre ces équations et ainsi trouver les valeurs de et si l’on parvient à exprimer les angles dans la même unité de mesure pour les deux équations. Par conséquent, nous allons utiliser la formule de conversion entre les radians et les degrés :
On peut soit exprimer les deux angles en degrés, soit les exprimer tous les deux en radians ; puisqu’on nous demande de donner la réponse finale en degrés, il est plus judicieux de convertir l’angle de radians en degrés.
En comparant et , on remarque qu’il nous faut diviser les deux membres de la formule par 6. Par conséquent,
On aurait aussi pu utiliser la règle selon laquelle pour convertir un angle en radians en un angle en degrés, on doit multiplier l’angle donné par . Donc, pour convertir en degrés, on fait ce qui suit :
Les deux méthodes donnent pour résultat que ; on peut maintenant remplacer dans la deuxième équation, , pour obtenir
On peut alors résoudre notre système de deux équations par substitution ou par combinaison :
En procédant par combinaison pour éliminer la variable , on additionne les équations (1) et (2) comme suit :
Pour trouver la valeur de , on divise les deux membres par 2 et on a
Ensuite, en remplaçant par dans la première équation, , et en réarrangeant, on trouve
Par conséquent, et et nous pouvons donner notre réponse en degrés en écrivant que les deux angles sont .
Dans le prochain exemple, nous feront appel à nos connaissances sur la conversion entre les radians et les degrés pour résoudre un problème sur les angles d’un triangle.
Exemple 5: Résoudre un problème impliquant des mesures en degrés et en radians
L’un des angles d’un triangle mesure et un autre mesure . Trouvez la mesure en radians du troisième angle, en fonction de .
Réponse
On peut dessiner un triangle avec les deux mesures d’angle données dans l’énoncé, et .
On doit trouver le troisième angle de ce triangle et donner sa valeur en radians ; on écrira pour l’instant que cet angle mesure .
Pour convertir l’angle de en radians, on le multiplie par . On a alors
On peut donc écrire que les trois angles du triangle sont de , et .
Pour trouver l’angle inconnu, on se rappelle que la somme des angles dans un triangle est égale à . Cependant, puisqu’ici on utilise des mesures en radians, et que , on peut aussi dire qu’en radians, la somme des angles dans un triangle est égale à .
Grâce à cette information, on peut établir une équation d’inconnue :
On simplifie notre équation, ce qui donne
On soustrait des deux membres et on trouve
Ainsi, le troisième angle du triangle est de .
Résumons maintenant les notions les plus importantes.
Points clés
- Les radians et les degrés sont des unités de mesure d’angle.
- Un radian est, dans un cercle, la mesure de l’angle au centre dont les côtés interceptent un arc de longueur égale au rayon du cercle.
- On peut convertir entre les degrés et les radians en utilisant les formules :
- ;
- ;
- .
- On peut aussi convertir un angle en degrés en un angle en radians en le multipliant par ; inversement, on peut convertir un angle en radians en un angle en degrés en le multipliant par .
