Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment interpréter une matrice augmentée et comment représenter un système d’équations linéaires comme une matrice augmentée.
L’un des plus anciens problèmes généraux en mathématiques est de pouvoir résoudre un système d’équations linéaires à plusieurs variables. L’exemple non trivial le plus simple est un système de deux équations linéaires à deux variables, comme suit :
Dans ce cas, et sont les variables à déterminer, les nombres multipliant ces dernières étant appelées les « coefficients ». Pour cet exemple, le coefficient du terme en dans la première équation est 1, et le coefficient du terme en est 3. Pour la deuxième équation, le coefficient du terme en est 2 et le coefficient du terme en est .
Un exemple avec deux équations linéaires et deux variables comme celui ci-dessus est souvent simplement appelé « système de deux équations », et les élèves apprennent généralement à résoudre ces types de problèmes aux premières années du lycée. Les techniques utilisées pour résoudre ces systèmes relativement simples sont parfaitement valables, bien qu’elles deviennent beaucoup plus laborieuses lorsqu’elles s’étendent aux systèmes d’équations linéaires avec un plus grand nombre de variables ou d’équations. Par exemple, le système suivant de trois équations linéaires à trois variables :
Ce système d’équations linéaires nécessiterait beaucoup plus d’étapes pour le résoudre que le premier exemple, celles-ci augmentant le risque de faire des erreurs lors du calcul. Afin d’éviter cela et de disposer d’un environnement beaucoup plus clair pour résoudre des systèmes d’équations linéaires, la méthode particulière qui est normalement utilisée est « le pivot de Gauss–Jordan » aussi appelé « l’élimination de Gauss–Jordan ». Cette méthode a pour but d’éliminer toute information inutile en plaçant d’abord tous les coefficients d’un système d’équations linéaires dans une matrice, chaque coefficient de cette matrice correspondant à exactement un coefficient du système.
On considère le système d’équations linéaires suivant :
On doit se demander si ce niveau de détail est vraiment nécessaire. En d’autres termes, comment peut-on supprimer tout détail non essentiel sans perdre des informations sur le système ci-dessus ? Il faut d’abord standardiser l’ordre dans lequel les variables apparaissent dans les équations linéaires. Dans ce cas, en lisant de gauche à droite, chaque équation commence par le terme en avec son coefficient, suivi du terme en avec son coefficient, les deux étant sur le membre gauche de l’équation.
On colore les termes en en rose et les termes en en bleu. Ensuite, le système d'équations linéaires serait représenté par
L’alignement est tel que les termes en (et leurs coefficients) apparaissent directement les uns sous les autres, et il en va de même pour les termes en . À condition de respecter cet alignement, rien n’empêche d’écrire les coefficients sous la forme d’une matrice, comme suit :
Étant donné que la colonne de gauche concerne les coefficients des termes et que la colonne de droite est relative aux coefficients des termes , cette matrice encode les mêmes informations que le système original d'équations linéaires dans l'équation (1), seulement avec moins de détails requis.
On se propose maintenant d’inclure toutes les informations du système d’équations (1). Les termes sur le membre droit sont également alignés, et on peut les représenter dans la matrice où la barre verticale représente les signes égaux. Ainsi, le système original d'équations linéaires dans l'équation (1) a été contenu correctement, mais sans avoir besoin d'écrire les termes et .
Pour un système d’équations linéaires comme ci-dessus, cette approche peut paraître excessive. Cependant, elle devient plus utile quand le nombre d’équations ou d’inconnues augmente. Cette approche est tellement utile que chacune des matrices ci-dessus a un nom dédié, comme indiqué dans la définition suivante.
Définition: Matrice des coefficients et matrice augmentée d’un système d’équations linéaires
On considère un système d’équations linéaires général avec les inconnues et les coefficients :
Alors, la « matrice des coefficients » est et la « matrice augmentée » est
Cette définition générale donne une meilleure idée de la manière dont toutes les informations essentielles d’un système d’équations linéaires peuvent être mentionnées dans la matrice augmentée, éliminant ainsi la nécessité d’écrire constamment toutes les variables du système. Elle permet d’effectuer l’élimination de Gauss–Jordan, qui est la technique la plus couramment utilisée pour trouver la solution.
La matrice augmentée contient toutes les informations sur un système d’équations linéaires donné. Pour information, il existe des descriptions équivalentes de tels systèmes qui peuvent avoir leur propre utilité, surtout quand elles permettent de résoudre le problème à l’aide des opérations standard de l’algèbre linéaire. Par exemple, si on considère le système d’équations linéaires de la définition ci-dessus, et que l’on identifie la « matrice des coefficients » par .
On suppose également que l’on a respectivement défini la « matrice des variables » et la « matrice des constantes » par
En utilisant les propriétés du produit matriciel, on peut voir que le système d’équations linéaires peut alors être exprimé par l’équation algébrique simple . L’objectif global est alors de déterminer la matrice des variables , ce qui donnera les valeurs de tous les et résoudra donc le système d’équations linéaires. Dans l’hypothèse où est une matrice carrée (ce qui signifie que ), il est possible qu’une matrice inverse existe telle que , où est la matrice identité . Si cette matrice existe, alors on peut trouver en multipliant à gauche les deux membres de par l’inverse , donnant ainsi . En reconnaissant que et que , on voit que cette étape supplémentaire de calculs donne la solution requise . Par conséquent, trouver nécessite de déterminer l’inverse de la matrice des coefficients, puis de la multiplier par la matrice des constantes.
La digression ci-dessus, montre comment il peut être utile de construire des descriptions équivalentes aux systèmes d’équations linéaires. La méthode ci-dessus n’est cependant utile que lorsque le système d’équations linéaires a le même nombre d’équations que de variables, ce qui signifie que la matrice des coefficients est une matrice carrée et que son inverse pour le produit est définie (ce qui n’est pas équivalent à dire que cet inverse existe toujours et ce n’est d’ailleurs pas nécessairement le cas). L’expression d’un système d’équations linéaires en fonction de la matrice augmentée est souvent le point de départ le plus utile car elle contient toutes les informations sur les coefficients et les termes constants et fournit un environnement naturel pour les opérations sur les lignes à effectuer dans le cadre de l’élimination de Gauss–Jordan.
Notez que si on a un système d’équations linéaires a équations de variables, alors la matrice des coefficients est à lignes et colonnes, elle est donc de « dimension » . La matrice augmentée inclut une colonne supplémentaire pour les termes du membre droit de chaque équation. Par conséquent, la matrice augmentée a lignes et colonnes, et on dit donc qu’elle est de dimension .
La définition ci-dessus est une définition très générale que nous allons bientôt illustrer avec plusieurs exemples. Il faut rappeler que pour que cette technique soit applicable, les variables doivent être écrites dans le même ordre dans chaque équation linéaire avant que les coefficients ne soient extraits et placés dans la matrice augmentée. Dans les premiers exemples que nous allons donner, les équations ont déjà été arrangées de cette manière. Cependant, dans les exemples suivants, cette étape ne sera pas effectuée et nous devrons donc nous assurer minutieusement que c’est le cas avant de créer la matrice des coefficients ou la matrice augmentée.
Exemple 1: Déterminer la matrice augmentée d’un système de deux équations linéaires à deux variables
Déterminez la matrice augmentée du système d’équations suivant :
Réponse
Nous commençons par écrire le système d'équations linéaires mais avec les termes surlignés en rose et les termes surlignés en bleu :
Comme on peut le voir, il y a deux équations à deux variables et ces équations ont déjà été ordonnées de sorte que les termes en apparaissent en premier, suivis des termes en , puis du signe égal de chaque équation. Cela signifie que la matrice augmentée a deux lignes et trois colonnes et a donc la forme suivante :
Pour insérer les coefficients de cette matrice, on examine d’abord les coefficients des termes en du système (2). Pour la première équation, le coefficient du terme en est 1, et dans la deuxième équation, le coefficient du terme en est 3. Par conséquent, on remplit la colonne de gauche de la matrice avec ces coefficients, ce qui donne
On remplit la colonne du milieu par les coefficients des termes en des première et deuxième équations de (2). Ces coefficients ont tous deux une valeur de 5, ce qui signifie que la matrice augmentée doit avoir la forme
Les deux derniers coefficients sont déterminés par les valeurs des membres droits des deux équations de (2). Ils sont respectivement 3 et 1, donc la matrice augmentée complète est
Dans cet exemple, le système d’équations linéaires était écrit sous une forme pratique avec le premier terme de chaque équation étant le terme en , suivi du terme en puis du signe égal immédiatement après. L’écriture de la matrice augmentée correspondante était donc un exercice assez simple qui ne nécessitait pas le nombre d’étapes détaillées ci-dessus (sauf à des fins de démonstration). Si la matrice augmentée est donnée et que l’on doit d’écrire un système d’équations linéaires correspondant, il s’agit généralement d’une tâche triviale, car la matrice augmentée est déjà sous le format dont on a besoin.
Exemple 2: Déterminer le système d’équations linéaires représenté par une matrice augmentée 2 × 3
Déterminez le système d’équations représenté par la matrice augmentée suivante :
Réponse
On commence par supposer que les variables de ce système sont et , avec correspondant à la première colonne de la matrice augmentée et correspondant à la deuxième colonne de la matrice augmentée. Dans ce cas, le système d’équations linéaires doit prendre la forme où on remplit les coefficients à l’aide de la matrice augmentée. La première colonne de la matrice augmentée contient les coefficients 7 et , et ce sont les coefficients des termes en du système d’équations linéaires ci-dessus. Par conséquent, cela donne
La colonne du milieu de la matrice augmentée contient les valeurs 2 et 4, qui deviennent les coefficients respectifs des termes en des première et deuxième équations. Cela donne le système d’équations
Enfin, on utilise la colonne la plus à droite de la matrice augmentée pour remplir les coefficients inconnus restants du système linéaire. Pour la première et la deuxième ligne, ils sont respectivement et 6, et donc le système d’équations linéaires complet est
Comme l’exemple ci-dessus ne précise pas que l’on doit utiliser les variables et , on aurait tout aussi bien pu utiliser d’autres variables. Par exemple, au lieu de et , on aurait pu utiliser et , ce qui aurait donné
Dans les deux exemples ci-dessus, nous avons seulement étudié des matrices augmentées où tous les coefficients sont non nuls. Cela n’est évidemment pas toujours le cas et il est tout à fait possible de trouver des matrices augmentées dans lesquelles au moins un coefficient a une valeur nulle. Cela ne doit pas causer d’inquiétude, et le traitement de ces problèmes est essentiellement identique à ceux où tous les coefficients sont non nuls. Nous allons montrer cela dans l’exemple suivant en donnant quelques étapes supplémentaires pour illustrer comment répondre correctement à de telles questions.
Exemple 3: Déterminer la matrice augmentée d’un système de trois équations linéaires à trois variables
Déterminez la matrice augmentée du système d’équations suivant :
Réponse
Le système ci-dessus a trois équations linéaires à trois variables. Nous commencerons par colorer chacune de ces variables de manière unique, comme suit :
Comme nous pouvons le voir, les termes en apparaissent tous comme les premiers termes de chaque équation (avec la deuxième équation comportant un terme en avec un coefficient de 0, que nous n'avons pas inclus). Les seconds termes de chaque équation sont les termes en et les troisièmes termes sont les termes en .
Le système ci-dessus a trois équations à trois variables, la matrice augmentée est donc de dimension , prenant ainsi la forme
On commence par remplir les coefficients de cette matrice colonne par colonne, en commençant par la colonne la plus à gauche. Le premier terme de chaque équation de (3) est le terme en . Pour la première équation, le coefficient est 1, pour la deuxième équation, le coefficient est 0, et pour la troisième équation, le coefficient est . On peut donc compléter la première colonne de la matrice augmentée comme suit :
On examine maintenant les termes en de chaque équation de (3). Pour la première, la deuxième et la troisième équations, les coefficients de ces termes sont tous égaux à 1. Par conséquent, on peut compléter la deuxième colonne de la matrice augmentée, ce qui donne
Pour compléter maintenant la troisième colonne de cette matrice, on examine les termes en de (3). Les coefficients de tous ces termes sont égaux à , ce qui permet de compléter rapidement la troisième colonne de la matrice augmentée comme suit :
Pour la dernière colonne, on examine les termes aux membres droits des équations du système (3). Ils sont respectivement 5, 2 et 2. Par conséquent, on remplit les coefficients inconnus restants de la matrice augmentée avec ces valeurs, ce qui donne le résultat final
Les questions précédentes ont été posées avec les variables déjà écrites dans le même ordre pour toutes les équations du système linéaire. Il n’y a pas de raison particulière pour que cela soit le cas, et il est possible voir probable que l’on doive à un moment donné travailler sur un système d’équations linéaires qui n’est pas écrit d’une manière très pratique. Si tel est le cas, une seule étape supplémentaire est alors nécessaire dans la méthode de recherche de la matrice augmentée. Cette étape est simple et il est utile de colorer chaque variable de manière cohérente comme pour les questions précédentes.
Exemple 4: Déterminer la matrice augmentée d’un système de trois équations linéaires à trois variables où un réarrangement est nécessaire
Déterminez la matrice augmentée du système d’équations suivant :
Réponse
En examinant le système d’équations linéaires ci-dessus, on peut voir qu’il n’est pas écrit dans le format le plus pratique. Afin de minimiser les risques de faire une erreur lors de la création de la matrice augmentée, on doit d’abord réécrire ce système d’équations linéaires en colorant les variables en rose, les variables en bleu et les variables en vert. Cela donne
Comme on peut le voir en observant les couleurs, ce système d’équation n’est pas aligné d’une manière pratique pour créer la matrice augmentée. Par conséquent, on choisit de réécrire ce système d’équations linéaires dans un format plus pratique. Cette étape ne modifie aucune propriété du système d’équations linéaires, qui sera identique à celui donné ci-dessus. Avec un alignement horizontal subi sur la base de la couleur, le système équivalent est
On peut maintenant compléter la matrice augmentée en utilisant cette expression plus adaptée. Le système a trois équations à trois inconnues et donc la matrice augmentée est de dimension
On commence par remplir la première colonne de cette matrice. Pour ce faire, on examine les coefficients des termes en de (4). Pour les première, deuxième et troisième équations, ces coefficients sont respectivement 8, 3 et 0. Donc la matrice augmentée prend la forme
En continuant, on se penche maintenant sur les termes en qui apparaissent dans (4). En lisant de haut en bas, ils sont 0, 6 et . On complète la deuxième colonne de la matrice augmentée avec ces coefficients, ce qui donne
Pour compléter la troisième colonne, on examine les termes en qui apparaissent dans le système d’équations linéaires (4). Pour la première, la deuxième et la troisième équations, ils sont respectivement , 0 et 7. La troisième colonne de la matrice augmentée peut maintenant être complétée, ce qui donne
On effectue la dernière étape en examinant les termes des membres droits de chaque équation de (4). Ils sont respectivement 7, 0 et , ce qui donne la matrice augmentée finale
Dans le dernier exemple de cette fiche explicative, nous devons écrire une matrice augmentée comme un système d’équations linéaires correspondant. Nous avons donné un exemple de ce type ci-dessus où le système d’équations linéaires avait deux équations à deux variables. Dans l’exemple suivant, nous allons élever la complexité en travaillant sur un système de trois équations linéaires à trois variables.
Exemple 5: Déterminer le système d’équations linéaires représenté par une matrice augmentée 3 × 4
D’après la matrice augmentée déterminez le système d’équations correspondant.
Réponse
On commence par supposer que les variables correspondant aux première, deuxième et troisième colonnes sont respectivement , et . Il s’agit d’un choix arbitraire de variables et cela signifie que l’on doit déterminer les coefficients inconnus dans le système suivant :
Les coefficients des termes en de ces trois équations peuvent être écrits immédiatement en examinant la colonne la plus à gauche de la matrice augmentée. Dans l’ordre, les coefficients de la première colonne sont 2, 0 et . Par conséquent, le système d’équations devient où on a supprimé le terme en de la deuxième équation car son coefficient est 0. On se penche maintenant sur la deuxième colonne de la matrice augmentée, dont les coefficients (dans l’ordre) sont 0, 4 et . Cela signifie que l’on connaît maintenant les coefficients des termes en du système d’équations, ce qui donne où on a omis le terme en de la première équation car son coefficient est 0. On écrit maintenant les coefficients des termes en de chaque équation. La troisième colonne de la matrice augmentée a les coefficients , et 0. En les entrant dans le système d’équations ci-dessus et en rassemblant tous les termes, on a donc
Le dernier ensemble de valeurs inconnues peut être obtenu à partir de la colonne la plus à droite de la matrice augmentée. Dans l’ordre, ces coefficients sont 5, 5 et 0. Cela donne le système d’équations linéaires complet comme suit :
Nous avons vu dans cette fiche explicative que basculer entre un système d’équations linéaires et sa matrice augmentée correspondante est généralement un processus simple. Le seul point auquel il faut faire attention au niveau de cette approche, est que le système d’équations linéaires doit être écrit tel que les variables apparaissent toujours dans le même ordre pour chaque équation du système. Si c’est le cas, passer alors du système d’équations linéaires à la matrice augmentée est essentiellement trivial. Une fois qu’un système d’équations linéaires est écrit dans la matrice augmentée correcte, on peut entreprendre de résoudre le système d’équations en manipulant la matrice augmentée en utilisant des opérations de lignes dans le cadre de l’élimination de Gauss–Jordan.
Points clés
- On considère un système d’équations linéaires général comme suit : Alors, la « matrice des coefficients » est et la « matrice augmentée » est
- Pour un système d’équations linéaires de équations à variables, la matrice des coefficients possède lignes et colonnes elle est donc de dimension .
- La matrice augmentée d’un tel système a lignes et colonnes, ce qui signifie qu’elle est de dimension .
- Lors de l’écriture d’un système d’équations linéaires sous la forme d’une matrice augmentée, il est essentiel que les variables apparaissent dans le même ordre pour chaque équation avant que la matrice augmentée ne soit remplie avec les coefficients de ce système.
- Colorer les variables peut aider à vérifier si le système d’équations linéaires est déjà écrit sous une forme pratique.
- Si une quantité qui n’est ni une variable ni un coefficient d’une variable apparaît, alors elle doit être indiquée sur le membre droit de l’équation avant la création de la matrice augmentée.
- Si une variable n’apparaît pas dans l’une des équations, alors le coefficient de cette variable est 0 et la matrice augmentée doit avoir une valeur de 0 au coefficient correspondant.
