Lesson Explainer: Unités et équations

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à définir les unités SI et les unités qui en dérivent, à écrire et manipuler des équations algébriques.

Les unités de mesure n’étaient pas standardisées avant la Révolution française. L’unité de longueur d’un pied était différente en Angleterre et en France. Le pied français, ou l’unité de pied, pouvait même changer en se déplaçant d’une ville française à l’autre. Ce manque de cohérence était problématique et cela a incité les scientifiques à concevoir un ensemble de nouvelles unités qui seraient les mêmes à travers le monde. Ils ont proposé le mètre (m) pour mesurer la longueur et ont utilisé le mètre pour définir le gramme (g) permettant de mesurer la masse et le litre (L) pour mesurer le volume. Cela définit la base du système métrique.

Le système métrique a été ensuite révisé environ plus tard pour créer le Système International d’Unités, communément abrégé par SI. Le SI est un ensemble de sept unités de base standardisées qui sont déterminées à partir de constantes fondamentales mesurées avec précision, telles que la vitesse de la lumière dans le vide.

Définition : Le Système international d’unités (SI)

C’est un ensemble de sept unités de base standardisées dérivées des sept constantes fondamentales. Les unités SI sont les suivantes : mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), ampère (A), kelvin (K), mole (mol), et candela (cd).

Le tableau ci-dessous indique les sept grandeurs de base et les unités de base du SI.

Grandeur de base	Unité de base
Temps ()	Seconde (s)
Longueur ()	Mètre (m)
Masse ()	Kilogramme (kg)
Courant électrique ()	Ampère (A)
Température thermodynamique ()	Kelvin (K)
Quantité de matière ()	Mole (mol)
Intensité lumineuse ()	Candela (cd)

Remarquez que le volume n’est pas inclus comme grandeur de base dans le SI. En effet, le volume peut être dérivé de la longueur.

Les grandeurs, comme le volume, qui peuvent être dérivées en multipliant et en divisant les grandeurs de base sont appelées grandeurs dérivées et l’unité de la grandeur dérivée est l’unité SI dérivée. Le tableau suivant indique certaines grandeurs et unités dérivées utilisées par les chimistes pour quantifier différentes propriétés physiques.

Grandeur dérivée	Unité dérivée
Volume ()	m³
Masse volumique ()	kg⋅m⁻³ ou
Concentration ()	mol⋅m⁻³ ou
Énergie	kg⋅m²⋅s⁻² ou ou joule (J)
Pression ()	kg⋅m⁻¹⋅s⁻² ou ou pascal (Pa)
Capacité thermique molaire	kg⋅m²⋅s⁻²⋅mol⁻¹⋅K⁻¹ ou ou

Dans de nombreux cas, l’ordre de grandeur de l’unité de base n’est pas le plus approprié pour la dimension mesurée. Par exemple, alors que nous pouvons mesurer la hauteur de la tour Eiffel en mètres (324 m), il est impossible de mesurer le rayon d’un atome d’hydrogène (0,00000000012 m) ou la distance entre la Terre et Pluton (3‎ ‎207‎ ‎400‎ ‎000‎ ‎000 m) avec la même unité.

Des préfixes peuvent être ajoutés aux unités SI de base pour créer de nouvelles unités plus grandes ou plus petites que l’unité de base initiale. Par exemple, le préfixe kilo- signifie mille. En plaçant le préfixe kilo- devant l’unité de base mètre, on forme l’unité kilomètre (km), qui est 1 000 fois plus grande que le mètre. Le préfixe centi- signifie un centième. En plaçant le préfixe centi- devant l’unité de base mètre, on forme l’unité centimètre (cm), qui est 100 fois plus petite que le mètre.

Il y a une série séquentielle de préfixes qui peuvent être utilisés pour croître ou décroître l’ordre de grandeur des unités de base par des facteurs dix. Les préfixes SI courants et leur relation avec les unités de base sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

Préfixe	Symbole	Facteur de multiplication
Téra-	T	1‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000
Giga-	G	1‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000
Méga	M	1‎ ‎000‎ ‎000
Kilo-	k	1‎ ‎000
Hecto-	h	100
Déca-	da	10
Unité de base		1
Déci-	d	0,1
Centi-	c	0,01
Milli-	m	0,001
Micro-		0,000 001
Nano-	n	0 000 000 001
Pico-	p	0 000 000 000 001

Les préfixes SI sont mémorisées en ordre, à savoir téra-, giga-. méga-, kilo-, hecto-, déca-, déci-, centi-, milli-, micro-, nano- et pico-.

Pour des raisons historiques, l’unité SI kilogramme contient déjà un préfixe. Lors de la désignation d’unités qui sont des multiples ou des sous-multiples du kilogramme, un préfixe est attaché au mot gramme. Ainsi, une unité qui vaut d’un kilogramme est un milligramme (mg), pas un microkilogramme (µkg).

Il y a aussi quelques unités non-SI qui sont largement utilisées conjointement avec le SI. Des exemples de quelques-unes de ces unités sont donnés dans le tableau ci-dessous.

Grandeur	Unité	Valeur en unités SI
Temps ()	Minute (min)
	Heure (h)
	Jour (j)
Volume ()	Litre (L)
Énergie	Electron-volt (eV)

À l’exception des grandeurs temporelles, ces unités approuvées peuvent également recevoir des préfixes SI. Ainsi, une unité d’un millième de litre est un millilitre (mL).

En chimie, le volume sera le plus souvent rapporté en millilitres ou en litres plutôt que dans l’unité SI mètre cube (m³). Il est donc utile de connaître les relations suivantes :

Vous allez souvent trouver nécessaire de faire des conversions entre les différentes unités. La relation entre deux unités est appelée facteur de conversion.

Définition : Le facteur de conversion

C’est une relation entre deux grandeurs égales exprimées dans des unités différentes. Les facteurs de conversion sont d’habitude exprimés sous forme d’équations ou de rapports.

Par exemple, 1 décimètre est 0,1 mètre. Cette relation peut être exprimée par une équation ou une fraction :

Le processus consistant à utiliser un ou plusieurs facteurs de conversion pour passer d’une unité à l’autre est appelé analyse dimensionnelle.

Définition : L’analyse dimensionnelle

C’est une méthode de résolution de problèmes utilisée pour convertir une unité dans une autre, par laquelle la valeur de départ est multipliée par un ou plusieurs facteurs de conversion.

Dans ce processus, la valeur et l’unité de départ sont multipliées par un ou plusieurs facteurs de conversion écrits sous forme de fractions. Toute unité apparaissant à la fois dans le numérateur et le dénominateur va s’annuler.

Convertissons 53,5 décimètres en mètres. Nous pouvons établir l’équation suivante dans laquelle nous multiplions la valeur et l’unité de départ par le facteur de conversion qui relie les décimètres aux mètres :

Nous avons choisi d’écrire le facteur de conversion avec les décimètres au dénominateur pour que les unités s’annulent :

Cela nous laisse avec des mètres :

Exemple 1: Conversion d’une masse en grammes en kilogrammes

On a trouvé qu’un petit échantillon d’osmium avait une masse de 22,6 g. Quelle est cette valeur en kilogrammes ?

Réponse

Le préfixe kilo- signifie mille. Cela indique qu’un kilogramme est mille fois plus grand qu’un gramme. Une autre façon de dire cela est que 1 kilogramme est égal à 1‎ ‎000 grammes. Cette relation est appelée facteur de conversion et peut être utilisée pour convertir les deux unités.

L’analyse dimensionnelle est le processus de conversion des unités en utilisant un facteur de conversion. Nous pouvons commencer ce processus en écrivant la valeur de départ :

Nous multiplions ensuite la valeur de départ par le facteur de conversion écrit sous forme de fraction. Nous devons décider laquelle des représentations suivantes du facteur de conversion doit être utilisée :

Lors d’un calcul, les unités identiques s’annulent lorsqu’elles apparaissent au numérateur et au dénominateur. La valeur de départ est en grammes. Pour que cette unité s’annule, les grammes doivent apparaître au dénominateur du facteur de conversion. Ainsi, nous multiplierons la valeur de départ par la première fraction :

L’unité gramme s’annule :

Nous obtenons ainsi une réponse en kilogrammes :

Un échantillon d’osmium de masse 22,6 g aura une masse de 0,0226 kg.

L’analyse dimensionnelle peut faciliter la conversion d’unités complexes. La masse volumique du cuivre est 8‎ ‎940 kg/m³. Nous voulons connaître la masse volumique du cuivre en grammes par millilitre. Pour effectuer cette conversion, nous devons d’abord connaître les facteurs de conversion appropriés :

On peut écrire la masse volumique de départ comme la fraction

On peut alors séparer les mètres cubes en trois termes séparés, de mètre :

Ensuite, nous multiplions par le nombre et le type de facteurs de conversion appropriés de sorte que toutes les unités indésirables s’annulent :

Nous obtenons ainsi la valeur numérique de 8,94 et les unités étant des grammes par millilitre. Remarquez qu’il est nécessaire d’utiliser le facteur de conversion trois fois pour annuler les mètres cubes dans la valeur de départ.

Exemple 2: Réaliser une analyse dimensionnelle sur une unité au cube

Si 1 dm est égal à 10 cm, auquel des nombres suivants est égal 1 dm³ ?

10 cm³
1‎ ‎000 cm³
1‎ ‎000 cm
100 cm³
1 cm³

Réponse

L’analyse dimensionnelle est le processus de conversion des unités en utilisant un facteur de conversion. Dans ce problème, le facteur de conversion est

Nous pouvons commencer le processus d’analyse dimensionnelle en écrivant la valeur de départ :

On peut alors multiplier la valeur de départ par le facteur de conversion écrit sous forme de fraction. Nous devons décider laquelle des représentations suivantes du facteur de conversion doit être utilisée :

Lors d’un calcul, les unités identiques s’annulent lorsqu’elles apparaissent au numérateur et au dénominateur. La valeur de départ est en décimètres cubes. Pour que cette unité s’annule, les décimètres doivent apparaître au dénominateur du facteur de conversion. Ainsi, nous multiplierons la valeur de départ par la deuxième fraction :

Cependant, comme l’unité de départ est décimètres cubes, seulement un seul terme de décimètres pourra s’annuler. Cela peut être facilement vu en développant l’unité décimètres cubes :

Afin d’annuler complètement l’unité décimètre, nous devons multiplier par le facteur de conversion deux fois de plus :

A la suite du calcul, nous obtenons des centimètres fois centimètres fois centimètres :

Cette unité multipliée par elle-même peut être réécrite comme une seule unité à une puissance. La puissance indique le nombre de fois que l’unité est multipliée par elle-même. L’unité centimètres apparaît trois fois. Elle peut alors être réécrite comme cm³.

1 dm³ est égal à 1‎ ‎000 cm³ ; par conséquent, la réponse est B.

Considérons l’équation pour la masse volumique, où est la masse volumique, est la masse, et est le volume. Remarquez que la masse volumique est isolée du côté gauche de l’équation. Les termes isolés sont les variables à résoudre ou l’inconnue de l’équation. Les inconnues peuvent être isolées de chaque côté de l’équation, mais doivent toujours figurer au numérateur.

Définition : L’inconnue

C’est un terme isolé dans une formule mathématique. L’inconnue d’une formule est la variable pour laquelle on cherche la solution.

L’inconnue d’une équation peut être changée en réarrangeant la formule. Pour réarranger une formule, il faut comprendre deux règles de manipulation des équations :

Tout ce qui est fait d’un côté de l’équation (addition, soustraction, multiplication, division, etc.) doit également être fait de l’autre côté. Par exemple, si nous divisons le côté gauche d’une équation par dix, nous devons également diviser le côté droit de l’équation par dix :
Pour annuler ou déplacer une grandeur ou une variable, nous effectuons l’opération inverse des deux côtés de l’équation. Par exemple, la variable est ajoutée à la variable dans l’équation suivante : Pour isoler une variable , nous effectuons l’opération inverse en soustrayant la variable des deux côtés de l’équation :

Revenant à l’équation de masse volumique, choisissons la masse, la variable , comme inconnue. La masse est divisée par le volume. Pour isoler la masse, nous devons effectuer l’opération inverse en multipliant les deux côtés de l’équation par le volume :

Le volume s’annule du côté droit :

Cela nous laisse avec la masse isolée comme inconnue :

Si on veut choisir le volume comme inconnue de l’équation nous devons d’abord amener le volume au numérateur car les inconnues ne peuvent pas être au dénominateur. Nous pouvons accomplir cela en effectuant l’opération inverse comme nous l’avons fait lors du choix de la masse comme inconnue :

Nous devons toujours isoler le volume. Il est pour l’instant multiplié par la masse volumique. En effectuant l’opération inverse, nous obtenons la formule réarrangée :

Exemple 3: Réarranger une équation algébrique pour changer l’inconnue de l’équation

Pour une solution aqueuse à , on peut appliquer l’équation suivante :

Quelle est la forme correcte de l’équation lorsqu’elle est réarrangée pour avoir le pH comme inconnue ?
Le pH d’une solution est de 11. Quelle est la valeur du pOH ?

Réponse

Partie 1

L’inconnue d’une formule est la variable dont on doit trouver la valeur. Elle doit se trouver au numérateur et être isolée de chaque côté de l’équation. Nous devons isoler le pH comme inconnue de la formule

Cela nous obligera à réarranger la formule. Pour ce faire, nous devons nous souvenir des deux points suivants :

Quelle que soit l’opération effectuée d’un côté de l’équation, elle doit aussi être effectuée de l’autre.
Pour déplacer ou annuler une variable, l’opération inverse est effectuée des deux côtés de l’équation.

Le pH est ajouté au pOH. Pour isoler le pH, nous devons effectuer l’opération inverse en soustrayant pOH des deux côtés de l’équation :

La forme correcte de l’équation réarrangée pour avoir le pH comme inconnue est .

Partie 2

On nous donne la valeur du pH et on nous demande de résoudre pour le pOH. Le pOH est la variable en cours de détermination et elle doit être définie comme inconnue de l’équation. On peut définir le pOH comme inconnue en soustrayant le pH des deux côtés de l’équation :

Maintenant que l’équation a été réarrangée pour être résolue pour le pOH, nous pouvons substituer le pH :

Ensuite, nous pouvons déterminer le pOH :

Une solution avec un pH de 11 aura un pOH de 3.

On peut utiliser une équation pour déterminer l’unité de l’inconnue. Considérons à nouveau l’équation pour la masse volumique,

Nous pouvons substituer des unités dans une équation à la place des variables correspondantes. Par exemple, si la masse est donnée en grammes et le volume est donné en millilitres, on peut écrire

Nous savons que des unités identiques s’annulent lorsqu’elles sont au numérateur ou au dénominateur. Les grammes et les millilitres ne sont pas des unités identiques. Cela nous indique que l’unité de masse volumique () sera grammes par millilitre.

Prenons l’équation de masse volumique réarrangée pour que la masse soit l’inconnue :

Si la masse volumique a été donnée en kilogramme par mètre cube et le volume a été donné en mètres cubes, on peut écrire

Nous pouvons voir que les mètres cubes qui se trouvent au numérateur et au dénominateur s’annulent :

On obtient ainsi l’unité kilogrammes pour la masse.

Prenons l’équation pour la masse volumique réarrangée pour que le volume soit l’inconnue :

Si la masse a été donnée en grammes et la masse volumique a été donnée en grammes par litre, on peut écrire

On obtient alors une fraction composée :

On peut simplifier une fraction composée en multipliant le numérateur et le dénominateur par l’inverse de la fraction au dénominateur :

Le dénominateur de la fraction composée s’annule :

Maintenant, nous pouvons voir que les grammes peuvent s’annuler :

Maintenant, l’unité de volume sera en litres :

Exemple 4: Déterminer l’unité de la vitesse de réaction à partir des unités de masse et de temps

La vitesse de réaction peut être calculée en utilisant l’équation suivante :

Si la masse est exprimée en grammes (g) et la durée est exprimée en secondes (s), quelle est l’unité de la vitesse de réaction ?

Réponse

Nous pouvons déterminer l’unité de la vitesse de réaction en substituant les unités de masse et de durée dans l’équation :

Les unités identiques s’annulent lorsqu’elles apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur. Les grammes et les secondes ne peuvent pas s’annuler.. Par conséquent, l’unité de la vitesse de réaction sera grammes par seconde, g/s.

Les unités d’une même grandeur doivent être les mêmes avant la résolution pour que les unités s’annulent correctement. Prenons la loi de Boyle, où représente la pression, représente le volume, l’indice un indique la valeur initiale, et l’indice deux indique la valeur finale.

Si la pression initiale est de 101‎ ‎325 pascals (Pa), le volume initial est de 0,024 L, et le volume final est de 35 mL, quelle est la pression finale ? Puisque nous résolvons pour , nous pouvons réarranger l’équation pour définir comme inconnue :

Avant de substituer les valeurs dans l’équation, remarquons que le volume initial est donné en litres, tandis que le volume final est donné en millilitres. Ces unités doivent être les mêmes avant de pouvoir résoudre le problème. On peut passer de litre en millilitre avec le facteur de conversion de . Nous convertirons les 35 millilitres en litres :

Une fois que les unités de la même grandeur sont identiques, on peut introduire les valeurs avec leurs unités dans l’équation réarrangée :

Remarquez que l’unité litre apparaît au numérateur et au dénominateur et s’annule :

Exemple 5: Déduire l’équation pour la masse volumique et la résolution à partir de la masse et du volume

Complétez avec la valeur correcte : un liquide a un volume de 200 mL et une masse de 4‎ ‎000 g. La masse volumique de ce liquide est de .

Réponse

Nous devons déterminer la masse volumique d’un liquide, mais la formule de la masse volumique ne nous a pas été donnée. Cependant, on nous dit que l’unité de masse volumique est kilogrammes par litre, . Cette unité indique qu’une valeur en kilogrammes a été divisée par une valeur en litres.

Le problème ne fournit pas de valeur en kilogrammes ou en litres, mais nous pouvons convertir les valeurs données en unités appropriées. Le kilogramme est une unité de masse. Le préfixe kilo- signifie 1 000 et indique que l’unité kilogramme est 1‎ ‎000 fois plus grande qu’un gramme. On peut donc écrire la relation suivante, également appelée facteur de conversion :

On peut ensuite effectuer une analyse dimensionnelle pour convertir la masse en grammes en kilogrammes en multipliant la valeur de départ par le facteur de conversion écrit sous forme de fraction :

Le facteur de conversion est écrit de façon à ce que l’unité grammes soit au dénominateur. On le fait pour que les unités identiques qui apparaissent au numérateur et au dénominateur, s’annulent :

On obtient ainsi des kilogrammes :

Les litres et les millilitres sont tous les deux des unités de volume. Le préfixe milli- signifie millième et indique que l’unité millilitre est 1‎ ‎000 fois plus petite qu’un litre. On peut donc écrire la relation suivante :

On peut ensuite effectuer une analyse dimensionnelle pour convertir le volume en millilitres en litres :

Maintenant que la masse et le volume sont en kilogrammes et en litres, respectivement, on peut diviser la masse par le volume pour déterminer la masse volumique :

La masse volumique de ce liquide est de 20 kg/L. On devrait compléter le blanc par 20.

Points clés

Le SI est une série de sept unités de base standardisées : s, m, kg, A, K, mol, cd.
Des préfixes peuvent être ajoutés à l’unité de base pour créer de nouvelles unités qui sont des multiples ou des sous-multiples de l’unité de base.
Les préfixes SI sont mémorisées en ordre, à savoir téra-, giga-. méga-, kilo-, hecto-, déca-, déci-, centi-, milli-, micro-, nano- et pico-.
L’analyse dimensionnelle peut être utilisée pour effectuer des conversions entre les différentes unités.
Les formules peuvent être réarrangées pour changer l’inconnue.
Les unités peuvent être substituées dans une formule pour déterminer l’unité de l’inconnue.
Les unités identiques qui apparaissent au numérateur et au dénominateur s’annulent.