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Fiche explicative de la leçon : Équation d’un cercle Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et d’un point sur le cercle ou du rayon, et inversement.

Rappelons tout d’abord la définition mathématique d’un cercle.

Définition : Cercle

Un cercle est le lieu des points équidistants d’un point donné, appelé le centre du cercle. Cette distance fixe entre tout point du cercle et son centre est le rayon du cercle.

En d’autres termes, un cercle est l’ensemble des points qui sont à une distance fixe de son centre.

Remarquez que bien qu’un cercle puisse facilement être représenté dans le plan 𝑥𝑦, il ne peut pas être décrit par une fonction de la forme 𝑦=𝑓(𝑥) car tout élément de l’ensemble de définition est (généralement) associé à deux éléments de l’ensemble image. Il est donc possible de trouver deux points du cercle qui ont la même abscisse 𝑥.

Il existe cependant une relation entre les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de tous les points du cercle:il s’agit de l’équation du cercle. Pour comprendre comment cette équation est construite, considérons tout d’abord un cercle qui est simplement centré à l’origine du repère.

Ce cercle est le lieu des points équidistants de l’origine. La distance entre tout point 𝑀(𝑥;𝑦) sur le cercle et l’origine est donc égale au rayon du cercle, 𝑟. On peut alors identifier la relation entre les coordonnées 𝑥 et 𝑦 de tous les points du cercle en formant un triangle rectangle comme le montre la figure ci-dessous, où l’hypoténuse est un rayon du cercle.

En appliquant le théorème de Pythagore à ce triangle, on trouve |𝑥|+|𝑦|=𝑟.

Cette expression s’applique à tout point du cercle. On peut ensuite retirer les valeurs absolues car |𝑎|=𝑎 pour toute valeur de 𝑎. Cela conduit à la définition suivante.

Définition : Équation d’un cercle centré à l’origine

Le cercle de centre (0;0) et de rayon 𝑟 est décrit par l’équation 𝑥+𝑦=𝑟.

Comme on pourrait s’y attendre, cette équation peut être étendue à des cercles de tout centre. Plus précisément, si on considère un cercle de rayon 𝑟 et de centre 𝐶(;𝑘), il s’agit de tous les points qui sont à une distance 𝑟 de 𝐶(;𝑘). Pour un point quelconque 𝑀(𝑥;𝑦) sur le cercle, on peut former un triangle rectangle entre le centre et ce point de la même manière que précédemment, où l’hypoténuse est le rayon du cercle et les longueurs horizontale et verticale sont respectivement égale à |𝑥| et |𝑦𝑘|.

En utilisant le théorème de Pythagore sur ce triangle, on trouve |𝑥|+|𝑦𝑘|=𝑟.

En utilisant à nouveau |𝑎|=𝑎 pour tout 𝑎, on peut réécrire cette expression sans les valeurs absolues, ce qui nous amène à la définition suivante de l’équation d’un cercle.

Définition : Équation cartésienne d’un cercle

Un cercle de centre (;𝑘) et de rayon 𝑟 est décrit par l’équation (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟.

Une équation de cette forme est appelée équation cartésienne d’un cercle.

Voyons comment nous pouvons appliquer cela pour trouver l’équation d’un cercle.

Exemple 1: Déterminer l’équation cartésienne d’un cercle à partir de son centre et de son rayon

Déterminez l’équation du cercle de centre (8;4) et de rayon 9.

Réponse

On rappelle que l’équation cartésienne d’un cercle est (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟,(;𝑘) est le centre du cercle et 𝑟 est le rayon.

Dans cet exemple, l’énoncé indique que le centre est (8;4), donc =8 et 𝑘=4. On sait également que le rayon est 9, donc 𝑟=9, ce qui donne 𝑟=81. Substituer ces valeurs dans la formule nous donne l’équation du cercle:(𝑥8)+(𝑦4)=81.

Tout comme on peut trouver l’équation d’un cercle à partir de son rayon et de son centre, on peut également déterminer le centre et le rayon du cercle à partir de son équation. Voyons comment le faire avec l’exemple ci-dessous.

Exemple 2: Déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation cartésienne

Identifiez le centre et le rayon du cercle (𝑥2)+(𝑦8)100=0.

Réponse

On rappelle qu’un cercle de centre (;𝑘) et de rayon 𝑟 a pour équation cartésienne (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟.

L’équation du cercle qui nous est donnée est presque sous cette forme hormis le terme constant qui est sur le membre gauche de l’équation. Ajouter 100 aux deux membres permet d’obtenir sa forme cartésienne:(𝑥2)+(𝑦8)=100.

En la comparant à l’équation générale d’un cercle, on constate que =2,𝑘=8,𝑟=100.

Cela signifie que le centre est (2;8) et que le rayon est 𝑟=100=10.

Bien que les équations de cercles que nous ayons vues jusqu’à présent soient sous la forme cartésienne la plus utilisée, il existe une autre forme de l’équation d’un cercle. On rappelle que l’équation cartésienne est de la forme (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟.

En développant les parenthèses, on obtient 𝑥2𝑥++𝑦2𝑘𝑦+𝑘=𝑟.

En réarrangeant légèrement pour que les termes avec les exposants de 𝑥 et 𝑦 les plus élevés soient à gauche, on obtient 𝑥+𝑦2𝑥2𝑘𝑦++𝑘𝑟=0.

Remarquez que 2, 2𝑘 et +𝑘𝑟 sont toutes des constantes, on peut donc les noter 𝑎, 𝑏 et 𝑐 respectivement. Cela donne l’équation suivante.

Définition : Équation développée d’un cercle

L’équation développée d’un cercle est de la forme 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes.

On remarque que le centre et le rayon n’apparaissent pas directement dans cette expression;si nous connaissons donc le centre et le rayon d’un cercle et que nous souhaitons déterminer son équation développée, nous devons d’abord écrire l’équation sous forme cartésienne puis développer les parenthèses. Voyons un exemple de cela.

Exemple 3: Déterminer l’équation développée d’un cercle à partir de son centre et de son diamètre

Déterminez l’équation développée du cercle de centre (8;2) et de diamètre 10.

Réponse

On rappelle que l’équation développée d’un cercle est de la forme 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes à déterminer. Pour écrire l’équation d’un cercle sous cette forme, on peut commencer par l’écrire sous sa forme cartésienne puis développer les parenthèses. L’équation cartésienne est (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟,(;𝑘) est le centre du cercle et 𝑟 est le rayon.

Dans ce cas, le cercle est de centre (8;2) et de diamètre 10. Comme le diamètre est le double du rayon, le rayon est 5. Ainsi, =8, 𝑘=2 et 𝑟=5. En substituant ces valeurs, on obtient l’équation cartésienne suivante:(𝑥8)+(𝑦+2)=5=25.

Nous voulons maintenant obtenir l’équation développée de ce cercle, ce que nous pouvons faire en développant les parenthèses. Cela nous donne 𝑥16𝑥+64+𝑦+4𝑦+4=25.

On la réarrange enfin pour obtenir la forme requise:𝑥+𝑦16𝑥+4𝑦+(64+425)=0𝑥+𝑦16𝑥+4𝑦+43=0.

Tout comme on peut trouver le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation cartésienne, on peut imaginer qu’il est possible de déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation développée. C’est bien le cas mais cela implique d’inverser le développement, nous devons donc factoriser l’équation en complétant le carré. Détaillons cette méthode ci-dessous.

Comment déterminer les coordonnées du centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation développée

Soit l’équation développée d’un cercle 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 pour lequel nous souhaitons trouver le centre et le rayon. On peut les déterminer en complétant le carré.

  • On commence par réarranger l’équation comme suit 𝑥+𝑎𝑥+𝑦+𝑏𝑦=𝑐.
  • On rappelle que l’on peut compléter le carré en effectuant la substitution 𝑥+𝑎𝑥=𝑥+𝑎2𝑎4. En complétant le carré des deux ensembles de parenthèses de l’équation, on obtient 𝑥+𝑎2𝑎4+𝑦+𝑏2𝑏4=𝑐.
  • On peut ensuite la réarranger pour que les termes constants soient tous sur le membre droit:𝑥+𝑎2+𝑦+𝑏2=𝑎4+𝑏4𝑐.
  • Comme il s’agit maintenant de l’équation cartésienne du cercle, on en déduit que le centre est situé en 𝑎2;𝑏2 et que le rayon est 𝑎4+𝑏4𝑐.

Appliquons cette procédure pour trouver le centre et le rayon d’un cercle dont l’équation est donnée sous forme développée.

Exemple 4: Déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation développée

En complétant le carré, déterminez le centre et le rayon du cercle 𝑥+6𝑥+𝑦4𝑦+8=0.

Réponse

Comme demandé, nous devons ici déterminer le centre et le rayon d’un cercle à partir de son équation développée en complétant le carré. Nous allons pour cela utiliser les substitutions suivantes:𝑥+6𝑥=(𝑥+3)9,𝑦4𝑦=(𝑦2)4.

En les remplaçant dans l’équation, on obtient (𝑥+3)9+(𝑦2)4+8=0.

En regroupant toutes les constantes sur le membre droit, on a (𝑥+3)+(𝑦2)=5.

Il s’agit maintenant de l’équation cartésienne du cercle. En d'autres termes, (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟,(;𝑘) sont les coordonnées du centre et 𝑟 est le rayon du cercle Par conséquent, le centre est situé en (3;2) et le rayon est 𝑟=5.

Nous avons pour le moment dû déterminer l’équation d’un cercle à partir de son centre et de son rayon, ou inversement. Les informations dont nous avons besoin ne sont cependant pas toujours fournies de manière explicite et nous devons dans ce cas les calculer d’abord. Étudions un exemple de cela.

Exemple 5: Déterminez l’équation cartésienne d’un cercle à partir de son centre et d’un point sur sa circonférence

Un cercle a pour centre (2;2) et passe par le point (6;3). Déterminez l’équation du cercle.

Réponse

On rappelle que l’équation cartésienne d’un cercle est (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟,(;𝑘) est le centre du cercle et 𝑟 est le rayon.

Dans cet exemple, nous connaissons le centre mais pas le rayon. Si on substitue uniquement =2 et 𝑘=2 dans la formule et que l’on laisse 𝑟 comme une inconnue, on obtient (𝑥2)+(𝑦2)=𝑟.

Bien que nous ne connaissions pas le rayon, nous savons que tout point du cercle doit vérifier cette équation. Si on remplace donc les coordonnées du point (6;3) dans l’équation ci-dessus, nous devrions obtenir la valeur de 𝑟. Cela nous donne (62)+(32)=4+1=16+1=17.

Par conséquent, 𝑟=17 et l’équation complète est (𝑥2)+(𝑦2)=17.

Une autre façon de répondre à la question ci-dessus est de déterminer le rayon en calculant la distance entre le centre et le point donné. Si (6;3) est un point sur le cercle, cela signifie en effet que sa distance au centre (2;2) doit être égale au rayon. On rappelle que la distance entre deux points (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) est définie par 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

En remplaçant les coordonnées des points (6;3) et (2;2) dans cette équation, on obtient (62)+(32)=4+1=16+1=17.

Cela nous indique que le rayon est égal à 17, donc 𝑟=17. Cela est équivalent à la méthode ci-dessus car l’équation cartésienne d’un cercle est essentiellement une formule de la distance entre le centre et un point variable. Par conséquent, que l’on calcule la distance directement ou que l’on substitue les coordonnées d’un point dans l’équation, on effectue en réalité le même calcul.

Pour le dernier exemple, nous allons montrer comment trouver l’équation d’un cercle quand nous ne connaissons ni son rayon ni son centre, mais que nous pouvons déduire ces informations.

Exemple 6: Déterminer l’équation d’un cercle à partir de deux points sur la circonférence et d’une droite passant par le centre

Déterminez l’équation développée du cercle qui passe par les deux points 𝐴(7;1) et 𝐵(0;6) sachant que le centre du cercle se situe sur la droite 6𝑥𝑦=43.

Réponse

On rappelle que l’équation développée d’un cercle est de la forme 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes à déterminer. Pour arriver à cette forme, nous devons trouver le centre du cercle et son rayon, mais nous ne les connaissons pas.

Analysons donc les informations qui nous ont été données et voyons comment nous pouvons les utiliser pour résoudre le problème. On ne connaît pas le centre du cercle mais on connaît deux points qui se situent sur le cercle et on sait que tous les points du cercle sont équidistants du centre. Supposons que le centre 𝐶 a pour coordonnées (𝑥;𝑦). Comme les distances entre le centre et chacun des points (7;1) et (0;6) sont égales, on a l’équation suivante:(𝑥+7)+(𝑦1)=𝑥+(𝑦6), où le membre gauche est la distance au carré entre (𝑥;𝑦) et (7;1) et le membre droit est la distance au carré entre (𝑥;𝑦) et (0;6). En développant les parenthèses, on obtient 𝑥+14𝑥+49+𝑦2𝑦+1=𝑥+𝑦12𝑦+36.

On remarque alors que les termes en 𝑥 et 𝑦 s’annulent. Ainsi, en regroupant tous les termes sur le membre gauche, on obtient 14𝑥+10𝑦+14=0, et en divisant par 2, on a 7𝑥+5𝑦+7=0.

Remarquez que cette équation nous indique que le point C appartient à la droite d’équation 7𝑥+5𝑦+7=0. Cela est logique car l’ensemble des points équidistants de deux points distincts forment la droite médiatrice du segment dont les extrémités sont ces deux points. Cette droite est illustrée ci-dessous.

On sait donc à présent que le centre du cercle doit être situé sur cette droite. Cette information seule ne suffirait pas à résoudre le problème mais on rappelle que le centre se situe sur une autre droite, 6𝑥𝑦=43. En supposant que les droites ne sont pas parallèles, elles doivent se couper en exactement un point, qui est le centre du cercle. Cela est illustré ci-dessous.

On peut trouver leur point d’intersection par substitution, c’est-à-dire en réarrangeant l’équation de la deuxième droite ( 6𝑥𝑦=43) en isolant 𝑦:6𝑥𝑦=43𝑦=6𝑥+43 et en substituant cette expression de 𝑦 dans l’équation de la droite 7𝑥+5𝑦+7=0;cela donne 7𝑥+5(6𝑥+43)+7=07𝑥+30𝑥+215+7=037𝑥=222𝑥=6.

Par conséquent, l’abscisse 𝑥 du centre est 6. On peut également trouver son ordonnée 𝑦 par substitution. En remplaçant la valeur de 𝑥 dans 𝑦=6𝑥+43, on obtient 𝑦=6(6)+43=7.

Par conséquent, le centre a pour coordonnées (6;7). Nous devons ensuite calculer le rayon. On peut le trouver en calculant la distance entre (6;7) et un des deux points, par exemple (0;6). Cela donne 𝑟=(6)+(76)=36+1=37.

Avec ces informations, on peut à présent formuler l’équation cartésienne du cercle, de la forme (𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟,(;𝑘) est le centre et 𝑟 est le rayon. En substituant =6, 𝑘=7 et 𝑟=37, on a (𝑥+6)+(𝑦7)=37.

Notre dernière tâche consiste à écrire cette équation sous forme développée. On développe pour cela les parenthèses et on réarrange les termes, ce qui donne 𝑥+12𝑥+36+𝑦14𝑦+49=37𝑥+𝑦+12𝑥14𝑦+48=0.

Bien que cela ne soit pas demandé, représenter cette équation nous donne la figure suivante.

Terminons par résumer les points clés que nous avons présentés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Un cercle de centre (;𝑘) et de rayon 𝑟 a pour équation cartésienne:(𝑥)+(𝑦𝑘)=𝑟.
  • L’équation développée d’un cercle est 𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0,𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes.
  • On obtient l’équation développée en développant les parenthèses de l’équation cartésienne.
  • Pour déterminer le centre et le rayon d’un cercle dont l’équation est donnée sous forme développée, on peut compléter le carré pour factoriser l’équation sous forme cartésienne.
  • Dans les problèmes où le centre ou le rayon ne sont pas connus, on peut les déterminer par déduction en utilisant les propriétés des cercles.

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