Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à résoudre des systèmes d’équations linéaires en éliminant une inconnue.
Lorsque l’on nous demande de résoudre un système d’équations, cela signifie que nous recherchons un ensemble de valeurs pour les inconnues qui satisfont chaque équation. Par exemple, considérons le système d’équations
Nous voulons trouver une valeur pour et une valeur pour telles que les deux équations soient satisfaites. En d’autres termes, nous cherchons deux valeurs dont la somme est 1 et dont la différence est 3. Nous pourrions le faire par tâtonnements ; cependant, cela ne fonctionnera pas pour les systèmes plus complexes.
Nous utiliserons plutôt le fait que nous pouvons résoudre n’importe quelle équation linéaire à une inconnue. Cela signifie que si nous pouvons trouver une équation linéaire pour l’une ou l’autre inconnue, nous pourrons résoudre pour cette valeur. Pour ce faire, nous pouvons noter que les deux équations sont nécessairement vraies, de sorte que pour chaque équation, les deux côtés sont égaux. Cela signifie que nous pouvons additionner les équations :
Nous additionnons le côté gauche des deux équations pour obtenir , et nous additionnons le côté droit des deux équations pour obtenir 4. Par conséquent, que nous pouvons résoudre en divisant par 2, ce qui nous donne
Enfin, nous substituons dans la première équation pour obtenir puis nous soustrayons 2 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Par conséquent, et est une solution à ce système d’équations. Nous pouvons vérifier que cette solution est correcte en substituant ces deux valeurs dans le système d’équations pour vérifier que chaque équation est satisfaite ; bien qu’il soit plus efficace de substituer uniquement dans l’équation que nous n’avons pas utilisée pour trouver les valeurs. Nous avons
Ceci est en accord avec le système d’équations, donc cela confirme que la solution est correcte.
Pour trouver cette solution, nous avons additionné les équations ; cependant, cela n’a fonctionné que parce que les termes et s’annulent pour nous donner une équation linéaire pour . C’est pourquoi le processus est appelé élimination, car nous éliminons l’une des inconnues. Ce n’est pas la seule façon que nous avions d’éliminer une inconnue de ces équations ; nous pouvions aussi soustraire la seconde équation de la première, pour obtenir
Nous pouvons alors résoudre pour et obtenir , puis substituer dans la première équation pour voir que , donc .
Dans les deux cas, nous avons pu éliminer une inconnue en utilisant le fait que les valeurs absolues des coefficients de l’une des inconnues dans les deux équations étaient égales. En d’autres termes, puisque le coefficient de était 1 dans les deux équations, nous avons pu éliminer en soustrayant les équations. De même, puisque les coefficients de étaient 1 et dans chaque équation, de même valeur absolue mais de signe opposé, nous avons pu additionner les équations pour éliminer .
Ce ne sera pas toujours le cas, alors voyons comment appliquer cette méthode pour résoudre le système d’équations linéaires suivant :
Nous voyons que les valeurs absolues des coefficients des deux inconnues ne sont pas égales, alors nous ne pouvons pas simplement additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue. Au lieu de cela, nous devons réécrire l’une des équations pour que cela soit vrai. Nous allons multiplier la seconde équation par 2 pour obtenir . Maintenant, nous avons le système d’équations linéaires suivant :
Nous pouvons soustraire la seconde équation de la première pour éliminer l’inconnue ; cela donne
En divisant par 7, cela donne
Nous pouvons substituer cette valeur dans la première équation pour voir que
Nous pouvons alors résoudre cette équation pour en ajoutant des deux côtés de l’équation :
Enfin, nous divisons par 2 pour obtenir
Il est à noter que nous pouvions également multiplier la première équation par 3, puis additionner les équations pour éliminer l’inconnue .
Avant de passer aux exemples, il y a un autre type de système de deux équations linéaires que nous pouvons rencontrer. Dans ces systèmes, les coefficients des inconnues ne sont pas des multiples directs les uns des autres, donc nous devons multiplier les deux équations pour éliminer une inconnue. Voyons un exemple de cela dans le système d’équations suivant :
Notons que les coefficients de chaque inconnue ne sont pas des multiples directs les uns des autres, par conséquent nous multiplions la première équation par 3 et la seconde équation par 2 pour que les coefficients de aient la même valeur absolue. Cela donne
Ainsi, nous avons réécrit le système en
Nous pouvons alors soustraire la seconde équation de la première pour éliminer l’inconnue :
Nous pouvons alors trouver la valeur de en divisant par 17 pour obtenir
Enfin, nous substituons dans la première équation pour trouver :
Résumons maintenant comment utiliser la méthode de l’élimination pour résoudre des systèmes de deux équations linéaires.
Comment résoudre un système de deux équations linéaires de deux inconnues par élimination
Les étapes pour résoudre un système de deux équations linéaires par élimination sont les suivantes :
- Identifiez si le système contient une paire de coefficients d’une inconnue qui ont la même valeur absolue.
- Si le système n’a pas de paire de coefficients de même valeur absolue, multipliez l’une ou les deux équations par une constante pour obtenir une paire de coefficients de même valeur absolue.
- Une fois que le système a une paire de coefficients de même valeur absolue, soustrayez les équations si les coefficients sont égaux, ou additionnez les équations si les coefficients sont de signes opposés pour éliminer l’inconnue.
- Résolvez l’équation linéaire résultante pour trouver l’une des inconnues.
- Substituez cette valeur dans l’une des équations d’origine pour trouver l’autre inconnue.
Voyons maintenant quelques exemples d’application de la méthode de l’élimination pour résoudre des systèmes d’équations.
Exemple 1: Résoudre un système d’équations linéaires avec des coefficients de 𝑦 de même valeur absolue, mais de signes opposés
En utilisant une élimination, résolvez le système d’équations
Réponse
Pour résoudre un système d’équations par élimination, nous cherchons à additionner ou soustraire un multiple de ces équations pour éliminer une inconnue. Dans le cas présent, nous voyons que nous pouvons additionner les termes en de chaque équation pour éliminer l’inconnue , donc nous additionnons les équations :
Nous pouvons alors diviser l’équation résultante par 9 pour trouver . Nous obtenons
Maintenant, nous substituons dans l’équation d’origine pour trouver la valeur de en obtenant
Ensuite, nous soustrayons 12 des deux côtés de l’équation pour trouver que
Enfin, nous divisons par 2 pour voir que
Ainsi, la solution du système d’équations est , .
Exemple 2: Résoudre un système d’équations par élimination
Utilisez la méthode de l’élimination pour résoudre le système d’équations
Réponse
Pour résoudre un système d’équations par élimination, nous cherchons à additionner ou soustraire un multiple des équations pour éliminer une inconnue. Dans le cas présent, nous voyons que la différence des termes en de chaque équation est 0. Ainsi, nous pouvons soustraire les deux équations pour éliminer l’inconnue , ce qui donne
Nous pouvons alors multiplier l’équation résultante par pour trouver , et nous obtenons
Maintenant, nous substituons dans l’équation d’origine pour trouver la valeur de . Nous obtenons
Ensuite, nous soustrayons 6 des deux côtés de l’équation pour trouver que
Enfin, nous divisons par 2 pour voir que
Cela suffit pour répondre à notre question ; cependant, nous pouvons également vérifier notre réponse en substituant ces valeurs dans le système d’équations pour vérifier que les deux équations sont satisfaites.
Remplacer et dans le côté gauche de la première équation donne ce qui est égal au côté droit de la première équation.
Remplacer et dans le côté gauche de la seconde équation donne ce qui est égal au côté droit de la seconde équation. Comme les deux équations sont satisfaites, cela confirme que notre solution est correcte.
Ainsi, la solution au système d’équations est , .
Dans notre prochain exemple, nous devrons multiplier l’une des équations par une constante afin d’éliminer une inconnue.
Exemple 3: Résoudre un système d’équations par élimination, où l’une des équations doit être multipliée
En utilisant une élimination, résolvez le système d’équations
Réponse
Pour éliminer l’une des inconnues de cette équation, nous avons besoin que les valeurs absolues des coefficients d’une seule inconnue soient égales dans les deux équations. Nous pouvons le faire en notant que , ainsi nous pouvons multiplier la première équation par 3 pour éliminer l’inconnue . Cela donne
Ainsi le système d’équations est maintenant
Nous pouvons alors soustraire une équation de l’autre pour éliminer :
Nous divisons ensuite par 12 pour trouver et nous voyons que
Maintenant, nous substituons dans la première équation et la résolvons pour trouver en obtenant
Ensuite, nous soustrayons 15 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Enfin, nous divisons les deux côtés de l’équation par 4, ce qui nous donne
Ainsi, la solution du système d’équations est , .
Dans notre prochain exemple, afin d’éliminer une inconnue du système d’équations, nous devrons multiplier les deux équations par des constantes.
Exemple 4: Résoudre un système d’équations par élimination, où les deux équations doivent être multipliées
En utilisant une élimination, résolvez le système d’équations
Réponse
Pour éliminer l’une des inconnues de cette équation, nous avons besoin que les valeurs absolues des coefficients d’une seule inconnue soient égales dans les deux équations. Nous ne pouvons pas le faire en multipliant une seule équation par une constante car les coefficients de la même inconnue ne sont pas des multiples entiers les uns des autres.
Donc au lieu de cela, nous allons multiplier les deux équations de sorte que les coefficients des termes en soient égaux. Nous multiplions la première équation par 3 et la seconde par 4. Cela nous donne
Nous pouvons maintenant soustraire une équation de l’autre pour éliminer l’inconnue ; cela donne
Maintenant, nous divisons l’équation résultante par pour résoudre pour . Nous obtenons
Nous pouvons alors substituer dans la première équation pour construire une équation linéaire en pour obtenir
Nous soustrayons 24 des deux côtés, ce qui nous donne
Enfin, nous divisons les deux côtés de l’équation par 4 pour obtenir
Cela suffit pour répondre à notre question ; cependant, nous pouvons également vérifier notre réponse en substituant ces valeurs dans le système d’équations pour vérifier que les deux équations sont satisfaites.
Remplacer et dans le côté gauche de la première équation donne ce qui est égal au côté droit de la première équation.
Remplacer et dans le côté gauche de la seconde équation donne ce qui est égal au côté droit de la seconde équation. Comme les deux équations sont satisfaites, cela confirme que notre solution est correcte.
Ainsi, la solution du système d’équations est , .
Dans notre dernier exemple, nous appliquerons la méthode de l’élimination pour résoudre un problème géométrique impliquant un système d’équations linéaires.
Exemple 5: Résoudre un système d’équations linéaires pour trouver les longueurs inconnues des côtés d’un triangle en utilisant le périmètre
est un triangle, tel que , , et le périmètre est 124 cm. Déterminez les longueurs de et en donnant les réponses approchées au plus proche centimètre.
Réponse
Nous rappelons d’abord que le périmètre d’un polygone est la somme de toutes les longueurs de ses côtés. Puisque est un triangle, son périmètre est la somme des longueurs de ses trois côtés. On nous dit que le périmètre de ce triangle est 124 cm, donc nous avons
On nous dit aussi que . En le substituant à l’équation du périmètre, nous obtenons
Nous pouvons soustraire 55 des deux côtés pour obtenir
On nous donne également que
Par conséquent, nous avons deux équations à deux inconnues ; nous pouvons essayer de résoudre ce problème en éliminant l’une des inconnues. En réordonnant la seconde équation, nous avons le système d’équations suivant :
Nous notons que l’addition des équations éliminera de l’équation, donc nous additionnons les équations pour obtenir
Maintenant, nous divisons l’équation résultante par 2 pour obtenir
Remplacer dans l’équation donne
Nous soustrayons 41 des deux côtés de l’équation pour trouver
Ainsi, si est un triangle, tel que , , et le périmètre est 124 cm, alors et .
Avant de terminer la fiche explicative, il convient de noter qu’il n’est pas toujours possible de résoudre des systèmes de deux équations linéaires par élimination. Par exemple, imaginons que l’on nous dise que la somme de deux nombres est trois et que la somme de deux nombres est deux. Bien sûr, nous savons que ce n’est pas possible, mais nous pouvons malgré cela construire un système d’équations représentant chaque somme. Nous obtenons
Si nous essayions de résoudre ce système par élimination, nous soustrairions les équations pour obtenir
Nous savons que zéro n’est pas égal à un ; en fait, nous pouvons aussi dire qu’aucune valeur de et rendra zéro égal à un. En d’autres termes, il n’y a pas de valeurs de et qui satisfont à cette équation.
Il convient également de noter qu’il peut y avoir un nombre infini de solutions. Par exemple, considérons le système suivant :
Nous pouvons essayer de résoudre ce problème en utilisant une élimination ; nous multiplions la seconde équation par 2 pour obtenir
Ceci est alors exactement la même que la première équation, donc quand nous éliminons une inconnue, nous obtenons
Nous notons alors que zéro est toujours égal à zéro, pour toute valeur de et . Ainsi, toute valeur de donnera une valeur correspondante de qui résout l’équation ; il y a un nombre infini de solutions au système. Nous n’entrerons pas dans le détail de ces cas car ils sortent du cadre de la fiche explicative, mais il est important de noter que ces cas existent.
Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Les étapes pour résoudre un système de deux équations linéaires par élimination sont les suivantes :
- Identifiez si le système contient une paire de coefficients d’une inconnue qui ont la même valeur absolue.
- Si le système n’a pas de paire de coefficients de même valeur absolue, multipliez l’une ou les deux équations par une constante pour obtenir une paire de coefficients de même valeur absolue.
- Une fois que le système a une paire de coefficients de même valeur absolue, soustrayez les équations si les coefficients sont égaux, ou additionnez les équations si les coefficients sont de signes opposés pour éliminer l’inconnue.
- Résolvez l’équation résultante pour trouver l’une des inconnues.
- Substituez cette valeur dans l’une des équations d’origine pour trouver l’autre inconnue.
- Résoudre un système de deux équations par élimination nous donne des solutions exactes.
- Nous pouvons vérifier nos solutions en les substituant dans le système d’équations pour vérifier que les équations sont satisfaites.
