Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les probabilités du complémentaire, de l'intersection et de l'union des évènements.
Commençons cette fiche explicative en introduisant quelques définitions clés de probabilités, ainsi que leur représentation sur un diagramme de Venn.
Définition : Complémentaire d’un évènement
Le complémentaire d’un évènement dans un univers , noté ou , est l’ensemble de toutes les issues de qui ne sont pas des éléments de l’ensemble . En d’autres termes, est l’évènement correspondant au cas où ne se produit pas.
La règle de probabilité pour les complémentaires indique que
Le complémentaire de l’évènement , , peut être représenté sur un diagramme de Venn comme indiqué ci-dessous.
Définition : Intersection des évènements
L’intersection des évènements et , notée , est l’ensemble de toutes les issues qui sont des éléments des deux ensembles et . En d’autres termes, est l’évènement correspondant à la réalisation de et à la fois.
L’intersection des évènements et , , peut être représentée sur un diagramme de Venn comme indiqué ci-dessous.
Définition : Union des évènements
L’union des évènements et , notée , est l’ensemble de toutes les issues qui sont des éléments de l’un ou de l’autre ensemble et , ou des deux. En d’autres termes, est l’évènement correspondant à la réalisation de ou ou bien les deux événements et se produisent à la fois.
L’union des évènements et , , peut être représentée sur un diagramme de Venn comme indiqué ci-dessous.
Les définitions de l’intersection et de l’union d’évènements nous conduisent à une règle importante de probabilité.
Formule : Règle additive de probabilité
Cela peut être démontré en utilisant les diagrammes de Venn suivants.
Les informations ci-dessus mènent à six autres formules que nous pouvons utiliser pour résoudre des problèmes concernant les probabilités et leurs diagrammes de Venn respectifs.
Tout d’abord, nous avons le complémentaire de l’union des évènements et :
Deuxièmement, nous avons le complémentaire de l’intersection des évènements et :
Ensuite, considérons la probabilité qu’un seul évènement se produise.
Premièrement, il y a la probabilité que l’évènement se produise et l’évènement ne se produise pas. Ceci est l’intersection de l’évènement avec le complémentaire de l’évènement : 
Et on a le corollaire de cette formule : 
Nos deux dernières formules concernent le complémentaire de la formule de différence : 
Nous allons maintenant voir quelques exemples où nous pouvons utiliser les règles de probabilité pour calculer les probabilités de complémentaires, d’intersections et d’unions d’évènements.
Exemple 1: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Soit et deux évènements de probabilités et . Sachant que , trouvez .
Réponse
On commence par rappeler que, d'après la règle additive de probabilité,
Donc,
On peut aussi démontrer ceci sur un diagramme de Venn. Pour compléter toutes les sections du diagramme, rappelons que
Donc,
De même,
Donc,
On a alors et par conséquent,
Exemple 2: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité qu’aucun des deux évènements ne se produise pas
Supposons que et sont deux évènements de probabilité et . Sachant que , quelle est la probabilité qu’aucun des deux évènements ne se produise pas ?
Réponse
On commence par rappeler que, d'après la règle additive de probabilité,
Donc,
En d’autres termes, la probabilité que ou ou les deux et se produisent est 0,7.
La probabilité qu’aucun des deux évènements et ne se produise pas est le complémentaire de l’union des évènements et , comme indiqué sur le diagramme de Venn ci-dessous.
Donc, et par conséquent,
Exemple 3: Utiliser la règle de l’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Supposons que et sont deux évènements avec des probabilités et .
Sachant que , déterminez .
Réponse
On commence par rappeler que la somme des probabilités qu’un évènement se produise et que son complémentaire se produise est égale à 1 :
Puisque alors
Ensuite, rappelons que, d'après la règle additive de probabilité,
Donc,
Par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la règle additive de probabilité pour répondre à une question contextuelle.
Exemple 4: Déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Un groupe de 68 élèves a répondu à un sondage sur leurs préférences concernant la télé. Les résultats montrent que 43 des élèves regardent la chaîne , 26 regardent la chaîne , et 12 regardent les deux chaînes. Si un élève est sélectionné au hasard dans le groupe, quelle est la probabilité qu’il regarde au moins l’une des deux chaînes ?
Réponse
Premièrement, on nous dit que 43 parmi les 68 élèves interrogés regardent la chaîne ; par conséquent, la probabilité de sélectionner un élève au hasard qui regarde la chaîne est
Deuxièmement, 26 parmi les 68 élèves interrogés regardent la chaîne ; par conséquent, la probabilité de sélectionner un élève au hasard qui regarde la chaîne est
Enfin, 12 parmi les 68 élèves interrogés regardent les deux chaînes et ; par conséquent, la probabilité de sélectionner au hasard un élève qui regarde les deux chaînes est
Ensuite, rappelons que, d'après la règle additive de probabilité,
Donc,
On peut aussi démontrer ceci sur un diagramme de Venn. Pour compléter toutes les sections du diagramme, rappelons que
Donc,
De même,
Donc,
On a alors et par conséquent,
Dans notre prochain exemple, nous allons utiliser la règle additive de probabilité pour calculer une variable inconnue, .
Exemple 5: Déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Soit et deux évènements dans un univers d’une expérience aléatoire et . La probabilité qu'au plus un des deux évènements ou se produise est 0,56. La probabilité qu’au moins un parmi ou se produise est 0,68. Déterminez la probabilité que se produise OU ne se produise pas.
Réponse
On peut commencer par supposer que , de sorte que .
Comme la probabilité qu’au moins un évènement parmi ou se produise est 0,68, alors .
Pour qu’au plus un évènement parmi ou se produise, soit peut se produire ou peut se produire ou ni l’un ni l’autre. Cela signifie que les deux évènements et ne peuvent pas se produire en même temps, donc la probabilité qu'au plus, ou se produise est donnée par le complémentaire de l’intersection de ceux-ci, . Par conséquent, .
On sait que
Donc,
La règle additive de probabilité indique que
Donc,
Par conséquent, et .
On a besoin de trouver la probabilité que se produise OU ne se produise pas, ce qui peut être écrit comme . Ceci est égal à .
Puisque alors
Et comme alors
La probabilité que se produise OU ne se produise pas est 0,81.
Nous allons terminer cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.
Points clés
- Le complémentaire d’un évènement dans un univers , noté ou , est l’ensemble de toutes les issues de qui ne sont pas des éléments de l’ensemble .
- L’intersection des évènements et , notée , est l’ensemble de toutes les issues qui sont des éléments des deux ensembles et .
- L’union des évènements et , notée , est l’ensemble de toutes les issues qui sont des éléments de l’un ou de l’autre ensemble et ou des deux.
- D'après la règle additive de probabilité,
- D’autres règles de probabilité incluent
- On peut utiliser ces règles avec les diagrammes de Venn pour calculer les probabilités de complémentaires, d’intersections et d’unions et pour résoudre des problèmes en contexte.
