Fiche explicative de la leçon: Relations entre les cordes et le centre d'un cercle | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Relations entre les cordes et le centre d'un cercle | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Relations entre les cordes et le centre d'un cercle Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier la relation entre des cordes de longueur égale ou différente et le centre d'un cercle, et à utiliser les propriétés des cordes dans des cercles superposables pour résoudre des problèmes.

On commence par rappeler que les médiatrices des cordes passent par le centre du cercle. Cette propriété est illustrée sur la figure ci-dessous.

Sur la figure ci-dessus, le segment bleu est perpendiculaire à la corde 𝐴𝐵 et la coupe en son milieu. On remarque que la droite qui contient ce segment passe par le centre 𝑂 et, par conséquent, le segment définit la distance perpendiculaire du centre à la corde.

Définition : Distance entre une corde et le centre

La distance entre une corde et le centre du cercle est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.

Notons le milieu de la corde 𝐴𝐵 sur la figure ci-dessus, qui est le point d’intersection entre la corde et la droite perpendiculaire en bleue. Traçons par ailleurs le rayon 𝑂𝐴.

Puisque 𝑂𝐶𝐴 est un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur 𝐴𝐶 à partir du rayon 𝐴𝑂 et de la distance 𝑂𝐶. Puisque 𝐶 est le milieu de la corde 𝐴𝐵, on a 𝐴𝐵=2𝐴𝐶. Ainsi, si on connait à la fois le rayon du cercle et la distance entre le centre et la corde, nous pouvons utiliser cette méthode pour calculer la longueur de la corde. Dans cette fiche explicative, au lieu d’écrire les calculs explicitement, nous allons nous concentrer sur les relations qualitatives entre les longueurs des cordes et leur distance à partir du centre du cercle.

On considère deux cordes distinctes d’un même cercle comme sur la figure ci-dessous.

Puisque 𝑂𝐴 et 𝑂𝐷 sont des rayons du même cercle, ils ont la même longueur. On veut établir la relation entre les longueurs des cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸, si on sait que la corde 𝐷𝐸 est plus éloignée du centre que 𝐴𝐵. En d’autres termes, on suppose que 𝑂𝐶<𝑂𝐹. Au lieu de comparer les longueurs des cordes, on peut aussi bien comparer les longueurs des demi-cordes 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹. D’après le théorème de Pythagore, on a 𝐴𝐶+𝑂𝐶=𝑂𝐴,𝐷𝐹+𝑂𝐹=𝑂𝐷.

On sait que 𝑂𝐴=𝑂𝐷, ainsi les membres de gauche de ces deux équations doivent être égaux entre eux:𝐴𝐶+𝑂𝐶=𝐷𝐹+𝑂𝐹.

On peut réarranger cette équation pour obtenir 𝐴𝐶𝐷𝐹=𝑂𝐹𝑂𝐶.

On a supposé que 𝑂𝐹>𝑂𝐶, ce qui entraine 𝑂𝐹𝑂𝐶>0, de sorte que le membre de gauche de cette équation doit être positif. Cela signifie que 𝐴𝐶𝐷𝐹>0,𝐴𝐶>𝐷𝐹.cequiimpliqueà

Puisque 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 sont des longueurs positives, on peut prendre la racine carrée des deux côtés de l’inéquation pour obtenir 𝐴𝐶>𝐷𝐹. Cela conduit au résultat suivant.

Théorème : Relation entre les longueurs des cordes et leur distance à partir le centre.

Soient deux cordes d’un même cercle dont les distances à partir du centre sont différentes. La corde la plus proche du centre du cercle a une longueur strictement supérieure à l’autre.

Ce théorème nous permet de comparer des longueurs de cordes directement à partir de leurs distances à partir du centre du cercle. Dans le premier exemple, nous allons appliquer ce théorème afin d’en déduire une inégalité impliquant des longueurs.

Exemple 1: Comparer des longueurs de cordes à partir de leurs distances du centre du cercle

Supposons que 𝐵𝐶=8cm et que 𝐵𝐴=7cm. Laquelle des affirmations suivantes est vraie?

  1. 𝐷𝑀=𝑋𝑌
  2. 𝐷𝑀>𝑋𝑌
  3. 𝐷𝑀<𝑋𝑌

Réponse

On rappelle que, pour deux cordes d’un même cercle, la corde la plus proche du centre du cercle a une longueur strictement supérieure à l’autre. On sait aussi que la distance d’une corde au centre du cercle est donnée par la longueur du segment passant par le centre et coupant la corde de façon perpendiculaire.

Dans cet exemple, nous avons deux cordes 𝑋𝑌 et 𝐷𝑀. Puisque 𝐵𝐴 coupe perpendiculairement la corde 𝑋𝑌, la longueur 𝐵𝐴 est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur 𝐵𝐶 est la distance entre la corde 𝐷𝑀 et le centre. On peut déduire de ces informations que 𝐵𝐶>𝐵𝐴, ce qui signifie que la corde 𝑋𝑌 est la corde la plus proche du centre. Par conséquent, la corde 𝑋𝑌 est strictement plus longue que l’autre corde.

Ainsi, la réponse C, qui indique que 𝐷𝑀<𝑋𝑌, est vraie.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’intervalle dans lequel une variable définissant des longueurs prend ses valeurs, en utilisant la relation entre les cordes et le centre du cercle.

Exemple 2: Déterminer l’intervalle dans lequel une variable soumise à certaines conditions prend ses valeurs

Si 𝑀𝐹>𝑀𝐸, déterminez l’intervalle dans lequel 𝑥 vérifie les données représentées.

Réponse

Nous rappelons que pour deux cordes dans le même cercle, la corde qui est plus proche du centre du cercle est strictement plus longue que l’autre. On sait aussi que la distance d’une corde au centre est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.

Dans cet exemple, nous avons deux cordes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. Puisque 𝑀𝐸 coupe la corde 𝐴𝐵 perpendiculairement, la longueur 𝑀𝐸 est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur 𝑀𝐹 est égale à la distance entre la corde 𝐶𝐷 et le centre. Puisqu’on sait que 𝑀𝐹>𝑀𝐸, la corde 𝐴𝐵 est la plus proche du centre. Cela implique que la corde 𝐴𝐵 est strictement plus longue que la corde 𝐶𝐷.

On peut noter d’après la figure donnée que 𝐴𝐵=(𝑥+4)cm et 𝐶𝐷=24cm. Ainsi, l’inégalité 𝐴𝐵>𝐶𝐷 peut être écrite comme suit:𝑥+4>24,𝑥>20.cequiimpliqueà

Cependant, cela fournit seulement la borne inférieure pour les valeurs de 𝑥. Pour déterminer la borne supérieure des valeurs de 𝑥, nous devrions demander quelle est la longueur maximale de la corde 𝐴𝐵. Comme la longueur d’une corde est plus grande lorsqu’elle est plus proche du centre, la corde la plus longue doit exister lorsque la distance entre la corde et le centre est nulle. Si la distance entre une corde et le centre est égale à zéro, la corde doit contenir le centre. Dans ce cas, la corde est un diamètre du cercle. Comme le rayon du cercle est égal à 33 cm, son diamètre est 2×33=66cm. Ainsi, la longueur de 𝐴𝐵 ne peut pas dépasser 66 cm. En outre, puisque sur la figure donnée dans l’énoncé, le segment 𝐴𝐵 ne contient pas le centre 𝑀, alors la longueur de la corde 𝐴𝐵 doit être strictement inférieure à 66 cm. Par conséquent, 𝑥+4<66,𝑥<62.cequiimpliqueà

On a donc la borne supérieure des valeurs de 𝑥. En combinant les bornes inférieure et supérieure, on a 20<𝑥<62.

En notation d’intervalle, cela peut être écrit comme ]20;62[.

Dans les exemples précédents, on a considéré la relation entre les longueurs de deux cordes d’un même cercle et leur distance au centre, dans le cas où les distances ne sont pas égales. On rappelle que deux cercles sont superposables si leurs rayons sont égaux. Puisque la preuve de cette relation utilise seulement le fait que les rayons d’un cercle sont de même longueur, on peut étendre cette relation au cas de cordes dans deux cercles superposables.

Que peut-on dire des longueurs de deux cordes d’un même cercle ou de deux cercles superposables dans le cas où leurs distances à partir de leurs centres de leurs cercles respectifs sont égales?On peut modifier la discussion précédente aisément pour l’adapter à ce cas particulier. Considérons la figure suivante.

On suppose que les cordes 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sont équidistantes du centre, c’est-à-dire 𝑂𝐶=𝑂𝐹. On sait aussi que les rayons sont de même longueur, donc 𝑂𝐴=𝑂𝐷. Ainsi, l’hypoténuse et un autre côté de chacun des deux triangles 𝑂𝐶𝐴 et 𝑂𝐹𝐷 sont de même longueur. Comme les longueurs des côtés restants peuvent être obtenues en utilisant le théorème de Pythagore, les longueurs des troisièmes côtés, 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 doivent être égales entre elles. Ces longueurs étant les moitiés des cordes, alors les cordes doivent avoir des longueurs égales. On peut résumer ce résultat comme suit.

Théorème : Cordes équidistantes dans des cercles superposables

Soient deux cordes dans un même cercle ou dans deux cercles superposables. Si ces deux cordes sont équidistantes du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs, alors elles sont de même longueur.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser cette relation pour calculer une longueur manquante d’une corde sur une figure.

Exemple 3: Déterminer une longueur manquante en utilisant les cordes équidistantes du centre d’un cercle

Sachant que 𝑀𝐶=𝑀𝐹=3cm, 𝐴𝐶=4cm, 𝑀𝐶𝐴𝐵 et 𝑀𝐹𝐷𝐸, calculez la longueur de 𝐷𝐸.

Réponse

On rappelle que deux cordes du même cercle qui sont équidistante du centre ont la même longueur. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.

Dans cet exemple, nous avons deux cordes, 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸. Puisque 𝑀𝐶 coupe la corde 𝐴𝐵 perpendiculairement, la longueur 𝑀𝐶 est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur 𝑀𝐹 est la distance entre la corde 𝐷𝐸 et le centre. D’après les données de l’énoncé, on note que 𝑀𝐶=𝑀𝐹, de sorte que les deux cordes sont équidistantes du centre du cercle. Ainsi, les deux cordes doivent être de même longueur, 𝐷𝐸=𝐴𝐵.

D’après la figure ci-dessus, on sait que 𝐴𝐶=4. On rappelle que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque 𝑀𝐶 est perpendiculaire à la corde 𝐴𝐵 et passe par le centre 𝑀 du cercle, alors il doit représenter la médiatrice de 𝐴𝐵. En particulier, cela implique que 𝐶 est le milieu de 𝐴𝐵, ce qui nous donne 𝐴𝐶=𝐵𝐶. Puisque 𝐴𝐶=4cm, on sait aussi que 𝐵𝐶=4cm. Par conséquent, 𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=4+4=8.cm

Ainsi, 𝐴𝐵 est de longueur 8 cm. Comme on sait par ailleurs que 𝐷𝐸=𝐴𝐵, on peut conclure que 𝐷𝐸 est de longueur 8 cm.

Jusqu’à présent, on a discuté des implications sur les longueurs des cordes en fonction de leur distance à partir du centre du cercle. Étudions à présent la relation réciproque. Plus précisément, si on sait que deux cordes dans deux cercles superposables sont de même longueur, que peut-on dire des distances entre ces cordes et les centres de leurs cercles respectifs?Considérons la figure suivante.

On note les milieux des deux cordes, qui sont les points où les droites bleues coupent les cordes perpendiculairement. Traçons également sur la figure les rayons 𝑂𝐴 et 𝑃𝐷. Ces cercles étant superposables, leurs rayons sont égaux, ce qui implique que 𝑂𝐴=𝑃𝐷 comme illustré sur la figure ci-dessous.

On sait que les points 𝐸 et 𝐹 sont les milieux des cordes, donc 𝐴𝐸=12𝐴𝐵𝐷𝐹=12𝐶𝐷.et

Comme on suppose que les cordes sont de même longueur, on a donc 𝐴𝐸=𝐷𝐹 comme indiqué sur la figure ci-dessus. Ainsi, l’hypoténuse et un autre côté de chacun des deux triangles 𝑂𝐸𝐴 et 𝑃𝐹𝐷 sont de même longueur. Comme les longueurs des côtés restants peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore, celles-ci doivent être égales. Ainsi on a 𝑂𝐸=𝑃𝐹.

En d’autres termes, les distances entre les cordes et les centres de leurs cercles respectifs sont égales. On peut résumer ce résultat comme suit.

Théorème : Cordes de longueurs égales dans des cercles superposables

Deux cordes de même longueur dans un même cercle, ou dans deux cercles superposables, sont équidistantes du centre du cercle, ou des centres de leurs cercles respectifs.

Considérons un exemple dans lequel on doit utiliser ce théorème en conjonction avec d’autres propriétés des cordes d’un cercle pour trouver une longueur manquante.

Exemple 4: Déterminer une longueur manquante en utilisant des cordes de mêmes longueurs

Sachant que 𝐴𝐵=𝐶𝐷, 𝑀𝐶=10cm et 𝐷𝐹=8cm, calculez la longueur de 𝑀𝐸.

Réponse

On rappelle que si deux cordes ont la même longueur dans un même cercle, alors elles sont équidistantes du centre du cercle. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.

Dans cet exemple, nous avons deux cordes, 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷. Puisque 𝑀𝐸 coupe la corde 𝐴𝐵 perpendiculairement, la longueur de 𝑀𝐸 est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur de 𝑀𝐹 est égale à la distance entre la corde 𝐶𝐷 et le centre. Puisque 𝐴𝐵=𝐶𝐷, les cordes sont de même longueur. Cela implique que les cordes sont équidistantes du centre:𝑀𝐸=𝑀𝐹.

Comme on cherche la longueur de 𝑀𝐸, il suffit donc de calculer la longueur de 𝑀𝐹 à la place. On remarque que 𝑀𝐹 est un côté du triangle rectangle 𝑀𝐶𝐹, dont l’hypoténuse est donnée par 𝑀𝐶=10cm. Si on peut trouver la longueur du côté 𝐶𝐹, alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on peut calculer la longueur du troisième côté, 𝑀𝐹.

Pour trouver la longueur de 𝐶𝐹, on rappelle d’abord que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque 𝑀𝐹 coupe la corde 𝐶𝐷 perpendiculairement et passe par le centre 𝑀, il s’agit de la médiatrice de la corde. Par conséquent, 𝐶𝐹=𝐷𝐹. Puisque 𝐷𝐹=8cm, on obtient 𝐶𝐹=8cm.

En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle 𝑀𝐶𝐹, on a 𝑀𝐹+𝐶𝐹=𝑀𝐶.

En remplaçant 𝑀𝐶=10cm et 𝐶𝐹=8cm dans cette équation, 𝑀𝐹+8=10,𝑀𝐹=10064=36.cequiimpliqueà

Puisque 𝑀𝐹 est une longueur, c’est une quantité positive, et on peut donc prendre la racine carrée pour obtenir 𝑀𝐹=36=6.cm

On rappelle que puisque 𝑀𝐸=𝑀𝐹, on peut conclure que 𝑀𝐸 est de longueur 6 cm.

Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la relation entre les longueurs des cordes et leurs distances à partir du centre afin de déterminer une mesure d’angle.

Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle d’un triangle à l’intérieur d’un cercle où deux de ses sommets se coupent avec des cordes et son troisième est le centre du cercle.

Déterminez 𝑚𝑀𝑋𝑌.

Réponse

On rappelle que si deux cordes d’un même cercle sont de même longueur, alors elles sont équidistantes du centre du cercle. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.

Ici, les deux cordes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 sont de même longueur. On rappelle que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque 𝑋 et 𝑌 sont les milieux des deux cordes et que 𝑀 est le centre du cercle, les segments 𝑀𝑋 et 𝑀𝑌 sont les médiatrices respectives des deux cordes. En particulier, ces segments coupent leurs cordes respectives perpendiculairement. Ainsi, 𝑀𝑋 et 𝑀𝑌 sont les distances respectives entre les cordes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐶 et le centre du cercle.

Ces deux cordes étant de même longueur, elles sont équidistantes du centre du cercle. Ainsi, 𝑀𝑋=𝑀𝑌.

Cela nous dit aussi que deux des côtés du triangle 𝑀𝑋𝑌 sont de même longueur. En d’autres termes, 𝑀𝑋𝑌 est un triangle isocèle. Par conséquent, 𝑚𝑀𝑋𝑌=𝑚𝑀𝑌𝑋.

On rappelle que la somme des angles d’un triangle est égale à 180. On a donc 𝑚𝑋𝑀𝑌+𝑚𝑀𝑋𝑌+𝑚𝑀𝑌𝑋=180.

On sait que 𝑚𝑋𝑀𝑌=102 et 𝑚𝑀𝑋𝑌=𝑚𝑀𝑌𝑋. En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient 102+2𝑚𝑀𝑋𝑌=180,2𝑚𝑀𝑋𝑌=180102=78.cequiimpliqueà

Par conséquent, 𝑚𝑀𝑋𝑌=782=39.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La distance entre une corde et le centre du cercle est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.
  • Soient deux cordes d’un même cercle, ou de deux cercles superposables, dont les distances à partir du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs, sont différentes. La corde la plus proche du centre est de longueur plus grande que l’autre.
  • Soient deux cordes dans le même cercle ou dans des cercles superposables. Si ces cordes sont équidistantes du centre du cercle, ou si leurs distances à partir des centres de leurs cercles respectifs sont égales, alors ces cordes sont de même longueur.
  • Si deux cordes d’un même cercle, ou de cercles superposables, sont de même longueur, alors elles ont la même distance à partir du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité