Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier la relation entre des cordes de longueur égale ou différente et le centre d'un cercle, et à utiliser les propriétés des cordes dans des cercles superposables pour résoudre des problèmes.
On commence par rappeler que les médiatrices des cordes passent par le centre du cercle. Cette propriété est illustrée sur la figure ci-dessous.
Sur la figure ci-dessus, le segment bleu est perpendiculaire à la corde et la coupe en son milieu. On remarque que la droite qui contient ce segment passe par le centre et, par conséquent, le segment définit la distance perpendiculaire du centre à la corde.
Définition : Distance entre une corde et le centre
La distance entre une corde et le centre du cercle est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.
Notons le milieu de la corde sur la figure ci-dessus, qui est le point d’intersection entre la corde et la droite perpendiculaire en bleue. Traçons par ailleurs le rayon .
Puisque est un triangle rectangle, on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur à partir du rayon et de la distance . Puisque est le milieu de la corde , on a . Ainsi, si on connait à la fois le rayon du cercle et la distance entre le centre et la corde, nous pouvons utiliser cette méthode pour calculer la longueur de la corde. Dans cette fiche explicative, au lieu d’écrire les calculs explicitement, nous allons nous concentrer sur les relations qualitatives entre les longueurs des cordes et leur distance à partir du centre du cercle.
On considère deux cordes distinctes d’un même cercle comme sur la figure ci-dessous.
Puisque et sont des rayons du même cercle, ils ont la même longueur. On veut établir la relation entre les longueurs des cordes et , si on sait que la corde est plus éloignée du centre que . En d’autres termes, on suppose que . Au lieu de comparer les longueurs des cordes, on peut aussi bien comparer les longueurs des demi-cordes et . D’après le théorème de Pythagore, on a
On sait que , ainsi les membres de gauche de ces deux équations doivent être égaux entre eux :
On peut réarranger cette équation pour obtenir
On a supposé que , ce qui entraine , de sorte que le membre de gauche de cette équation doit être positif. Cela signifie que
Puisque et sont des longueurs positives, on peut prendre la racine carrée des deux côtés de l’inéquation pour obtenir . Cela conduit au résultat suivant.
Théorème : Relation entre les longueurs des cordes et leur distance à partir le centre.
Soient deux cordes d’un même cercle dont les distances à partir du centre sont différentes. La corde la plus proche du centre du cercle a une longueur strictement supérieure à l’autre.
Ce théorème nous permet de comparer des longueurs de cordes directement à partir de leurs distances à partir du centre du cercle. Dans le premier exemple, nous allons appliquer ce théorème afin d’en déduire une inégalité impliquant des longueurs.
Exemple 1: Comparer des longueurs de cordes à partir de leurs distances du centre du cercle
Supposons que et que . Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
Réponse
On rappelle que, pour deux cordes d’un même cercle, la corde la plus proche du centre du cercle a une longueur strictement supérieure à l’autre. On sait aussi que la distance d’une corde au centre du cercle est donnée par la longueur du segment passant par le centre et coupant la corde de façon perpendiculaire.
Dans cet exemple, nous avons deux cordes et . Puisque coupe perpendiculairement la corde , la longueur est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur est la distance entre la corde et le centre. On peut déduire de ces informations que , ce qui signifie que la corde est la corde la plus proche du centre. Par conséquent, la corde est strictement plus longue que l’autre corde.
Ainsi, la réponse C, qui indique que , est vraie.
Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’intervalle dans lequel une variable définissant des longueurs prend ses valeurs, en utilisant la relation entre les cordes et le centre du cercle.
Exemple 2: Déterminer l’intervalle dans lequel une variable soumise à certaines conditions prend ses valeurs
Si , déterminez l’intervalle dans lequel vérifie les données représentées.
Réponse
Nous rappelons que pour deux cordes dans le même cercle, la corde qui est plus proche du centre du cercle est strictement plus longue que l’autre. On sait aussi que la distance d’une corde au centre est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.
Dans cet exemple, nous avons deux cordes, et . Puisque coupe la corde perpendiculairement, la longueur est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur est égale à la distance entre la corde et le centre. Puisqu’on sait que , la corde est la plus proche du centre. Cela implique que la corde est strictement plus longue que la corde .
On peut noter d’après la figure donnée que et . Ainsi, l’inégalité peut être écrite comme suit :
Cependant, cela fournit seulement la borne inférieure pour les valeurs de . Pour déterminer la borne supérieure des valeurs de , nous devrions demander quelle est la longueur maximale de la corde . Comme la longueur d’une corde est plus grande lorsqu’elle est plus proche du centre, la corde la plus longue doit exister lorsque la distance entre la corde et le centre est nulle. Si la distance entre une corde et le centre est égale à zéro, la corde doit contenir le centre. Dans ce cas, la corde est un diamètre du cercle. Comme le rayon du cercle est égal à 33 cm, son diamètre est . Ainsi, la longueur de ne peut pas dépasser 66 cm. En outre, puisque sur la figure donnée dans l’énoncé, le segment ne contient pas le centre , alors la longueur de la corde doit être strictement inférieure à 66 cm. Par conséquent,
On a donc la borne supérieure des valeurs de . En combinant les bornes inférieure et supérieure, on a
En notation d’intervalle, cela peut être écrit comme .
Dans les exemples précédents, on a considéré la relation entre les longueurs de deux cordes d’un même cercle et leur distance au centre, dans le cas où les distances ne sont pas égales. On rappelle que deux cercles sont superposables si leurs rayons sont égaux. Puisque la preuve de cette relation utilise seulement le fait que les rayons d’un cercle sont de même longueur, on peut étendre cette relation au cas de cordes dans deux cercles superposables.
Que peut-on dire des longueurs de deux cordes d’un même cercle ou de deux cercles superposables dans le cas où leurs distances à partir de leurs centres de leurs cercles respectifs sont égales ? On peut modifier la discussion précédente aisément pour l’adapter à ce cas particulier. Considérons la figure suivante.
On suppose que les cordes et sont équidistantes du centre, c’est-à-dire . On sait aussi que les rayons sont de même longueur, donc . Ainsi, l’hypoténuse et un autre côté de chacun des deux triangles et sont de même longueur. Comme les longueurs des côtés restants peuvent être obtenues en utilisant le théorème de Pythagore, les longueurs des troisièmes côtés, et doivent être égales entre elles. Ces longueurs étant les moitiés des cordes, alors les cordes doivent avoir des longueurs égales. On peut résumer ce résultat comme suit.
Théorème : Cordes équidistantes dans des cercles superposables
Soient deux cordes dans un même cercle ou dans deux cercles superposables. Si ces deux cordes sont équidistantes du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs, alors elles sont de même longueur.
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser cette relation pour calculer une longueur manquante d’une corde sur une figure.
Exemple 3: Déterminer une longueur manquante en utilisant les cordes équidistantes du centre d’un cercle
Sachant que , , et , calculez la longueur de .
Réponse
On rappelle que deux cordes du même cercle qui sont équidistante du centre ont la même longueur. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.
Dans cet exemple, nous avons deux cordes, et . Puisque coupe la corde perpendiculairement, la longueur est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur est la distance entre la corde et le centre. D’après les données de l’énoncé, on note que , de sorte que les deux cordes sont équidistantes du centre du cercle. Ainsi, les deux cordes doivent être de même longueur, .
D’après la figure ci-dessus, on sait que . On rappelle que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque est perpendiculaire à la corde et passe par le centre du cercle, alors il doit représenter la médiatrice de . En particulier, cela implique que est le milieu de , ce qui nous donne . Puisque , on sait aussi que . Par conséquent,
Ainsi, est de longueur 8 cm. Comme on sait par ailleurs que , on peut conclure que est de longueur 8 cm.
Jusqu’à présent, on a discuté des implications sur les longueurs des cordes en fonction de leur distance à partir du centre du cercle. Étudions à présent la relation réciproque. Plus précisément, si on sait que deux cordes dans deux cercles superposables sont de même longueur, que peut-on dire des distances entre ces cordes et les centres de leurs cercles respectifs ? Considérons la figure suivante.
On note les milieux des deux cordes, qui sont les points où les droites bleues coupent les cordes perpendiculairement. Traçons également sur la figure les rayons et . Ces cercles étant superposables, leurs rayons sont égaux, ce qui implique que comme illustré sur la figure ci-dessous.
On sait que les points et sont les milieux des cordes, donc
Comme on suppose que les cordes sont de même longueur, on a donc comme indiqué sur la figure ci-dessus. Ainsi, l’hypoténuse et un autre côté de chacun des deux triangles et sont de même longueur. Comme les longueurs des côtés restants peuvent être obtenues à partir du théorème de Pythagore, celles-ci doivent être égales. Ainsi on a
En d’autres termes, les distances entre les cordes et les centres de leurs cercles respectifs sont égales. On peut résumer ce résultat comme suit.
Théorème : Cordes de longueurs égales dans des cercles superposables
Deux cordes de même longueur dans un même cercle, ou dans deux cercles superposables, sont équidistantes du centre du cercle, ou des centres de leurs cercles respectifs.
Considérons un exemple dans lequel on doit utiliser ce théorème en conjonction avec d’autres propriétés des cordes d’un cercle pour trouver une longueur manquante.
Exemple 4: Déterminer une longueur manquante en utilisant des cordes de mêmes longueurs
Sachant que , et , calculez la longueur de .
Réponse
On rappelle que si deux cordes ont la même longueur dans un même cercle, alors elles sont équidistantes du centre du cercle. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.
Dans cet exemple, nous avons deux cordes, et . Puisque coupe la corde perpendiculairement, la longueur de est égale à la distance entre cette corde et le centre. De même, la longueur de est égale à la distance entre la corde et le centre. Puisque , les cordes sont de même longueur. Cela implique que les cordes sont équidistantes du centre :
Comme on cherche la longueur de , il suffit donc de calculer la longueur de à la place. On remarque que est un côté du triangle rectangle , dont l’hypoténuse est donnée par . Si on peut trouver la longueur du côté , alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on peut calculer la longueur du troisième côté, .
Pour trouver la longueur de , on rappelle d’abord que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque coupe la corde perpendiculairement et passe par le centre , il s’agit de la médiatrice de la corde. Par conséquent, . Puisque , on obtient .
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle , on a
En remplaçant et dans cette équation,
Puisque est une longueur, c’est une quantité positive, et on peut donc prendre la racine carrée pour obtenir
On rappelle que puisque , on peut conclure que est de longueur 6 cm.
Dans le dernier exemple, nous allons utiliser la relation entre les longueurs des cordes et leurs distances à partir du centre afin de déterminer une mesure d’angle.
Exemple 5: Déterminer la mesure d’un angle d’un triangle à l’intérieur d’un cercle où deux de ses sommets se coupent avec des cordes et son troisième est le centre du cercle.
Déterminez .
Réponse
On rappelle que si deux cordes d’un même cercle sont de même longueur, alors elles sont équidistantes du centre du cercle. On sait aussi que la distance entre une corde et le centre du cercle est mesurée par la longueur du segment issue du centre qui coupe perpendiculairement la corde.
Ici, les deux cordes et sont de même longueur. On rappelle que la médiatrice d’une corde passe par le centre du cercle. Puisque et sont les milieux des deux cordes et que est le centre du cercle, les segments et sont les médiatrices respectives des deux cordes. En particulier, ces segments coupent leurs cordes respectives perpendiculairement. Ainsi, et sont les distances respectives entre les cordes et et le centre du cercle.
Ces deux cordes étant de même longueur, elles sont équidistantes du centre du cercle. Ainsi,
Cela nous dit aussi que deux des côtés du triangle sont de même longueur. En d’autres termes, est un triangle isocèle. Par conséquent,
On rappelle que la somme des angles d’un triangle est égale à . On a donc
On sait que et . En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, on obtient
Par conséquent, .
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- La distance entre une corde et le centre du cercle est donnée par la longueur du segment issue du centre et qui coupe perpendiculairement la corde.
- Soient deux cordes d’un même cercle, ou de deux cercles superposables, dont les distances à partir du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs, sont différentes. La corde la plus proche du centre est de longueur plus grande que l’autre.
- Soient deux cordes dans le même cercle ou dans des cercles superposables. Si ces cordes sont équidistantes du centre du cercle, ou si leurs distances à partir des centres de leurs cercles respectifs sont égales, alors ces cordes sont de même longueur.
- Si deux cordes d’un même cercle, ou de cercles superposables, sont de même longueur, alors elles ont la même distance à partir du centre, ou des centres de leurs cercles respectifs.