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Fiche explicative de la leçon : Représentation graphique d’une fonction affine Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter graphiquement des fonctions affines.

Si on peut représenter graphiquement une relation ou une fonction par une droite, alors on dit que la relation ou la fonction est affine ou linéaire. Par exemple, la relation entre degrés Celsius et degrés Fahrenheit est linéaire. Pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule CF=59(32) et comme illustré ci-dessous, sa représentation graphique est une droite. Si un employé est payé à l’heure (h), par exemple 20 au total $ par heure, alors son salaire (S) est une fonction affine du nombre d’heures qu’il travaille:Sh=20. En économie, l’offre (O) et la demande (D) de certains produits peuvent avoir une relation linéaire:OD=𝑎𝑏.

Dans chacun de ces exemples, nous pouvons voir que la représentation graphique de la fonction est une droite. En outre, chacune de ces droites a une équation ou une fonction affine unique qui spécifie la relation entre les deux variables.

On rappelle qu’en général, une fonction est une formule qui décrit la variable dépendante, ou l’image, souvent notée 𝑦, en fonction de la variable indépendante ou l’antécédent, souvent notée 𝑥. Chaque antécédent 𝑥 produit une image unique, 𝑦=𝑓(𝑥). Les antécédents et images forment des couples (𝑥;𝑓(𝑥)) ou (𝑥;𝑦) et chaque couple correspond aux coordonnées d’un point sur la représentation graphique de la fonction dans le plan.

On définit une fonction affine comme suit.

Définition : Fonctions affines

La fonction 𝑓, 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, 𝑎, 𝑏 et 𝑎0, est une fonction affine.

Dans le cas particulier où 𝑎=0, on appelle 𝑓(𝑥)=𝑏 une fonction constante.

Pour une fonction affine, on représente graphiquement les couples (𝑥;𝑓(𝑥)) ou (𝑥;𝑦) par un point sur une droite. Étudions un exemple.

Exemple 1: Représenter graphiquement une fonction affine en créant un tableau de valeurs

Soit la fonction𝑓(𝑥)=8𝑥11.

  1. Complétez le tableau.
    𝑥101
    𝑦=𝑓(𝑥)
  2. Identifiez les trois points qui se trouvent sur la droite 𝑦=8𝑥11.

Réponse

Partie 1

Pour compléter le tableau, nous devons calculer les valeurs de la fonction 𝑦=𝑓(𝑥) associées à chacune des trois valeurs de 𝑥:𝑥=1,𝑥=0 et 𝑥=1. On substitue chacune des trois valeurs dans la fonction à tour de rôle, comme suit:𝑓(1)=8×(1)11=811=19,𝑓(0)=8×011=11,𝑓(1)=8×111=3.

Nous pouvons à présent compléter le tableau avec ces trois valeurs.

𝑥101
𝑦=𝑓(𝑥)19113

Partie 2

Nous devons également identifier les trois points du graphique qui se trouvent sur la droite 𝑦=8𝑥11. En créant un tableau de valeurs pour une fonction, on calcule des couples qui sont des points situés sur la représentation graphique de cette fonction. D’après le tableau, nous voyons que les trois couples de la fonction 𝑓(𝑥) sont (1;19), (0;11) et (1;3). Si nous les traçons sur le graphique, nous verrons avec quels points ils sont confondus. Lorsqu’on trace le premier point (1;19), on voit qu’il est confondu avec le point I.

Le prochain point, (0;11), est confondu avec le point H sur le graphique.

Enfin, en traçant le troisième point (1;3), on voit qu’il est confondu avec le point G.

Par conséquent, les trois points qui se trouvent sur la droite 𝑦=8𝑥11 sont les points I, H et G, comme indiqué sur le graphique ci-dessous.

Le prochain exemple donne un tableau avec des valeurs connues et des valeurs inconnues. Nous devrons utiliser les valeurs connues pour identifier la représentation graphique de la fonction affine, puis en déduire les valeurs inconnues.

Exemple 2: Identifier la représentation graphique d’une fonction affine à partir des valeurs d’un tableau et déterminer des inconnues à l’aide de la représentation graphique

Le tableau ci-dessous représente une fonction affine.

𝑥0123
𝑦 1 3 𝑎𝑏
  1. Laquelle des représentations graphiques ci-dessous correspond à cette droite?
  2. Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.
  3. Écrivez l’équation de la droite sous la forme 𝑓(𝑥)=𝑚𝑥+𝑐.

Réponse

Partie 1

Dans le tableau, nous avons les valeurs de 𝑥 et 𝑦 pour deux couples (𝑥;𝑦) de la fonction affine. Il s’agit de (0;1) et (1;3) qui correspondent à deux points sur la droite. En comparant avec les graphiques donnés, on voit que seules les droites des graphiques B et C passent par le point (0;1). En fait, seule la droite du graphique B passe par les deux points donnés.

Par conséquent, la représentation graphique B correspond à la fonction affine.

Partie 2

Nous pouvons à présent utiliser la représentation graphique B pour déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏. Sachant que les valeurs de 𝑥 associées à 𝑦=𝑎 et 𝑦=𝑏 sont respectivement 𝑥=2 et 𝑥=3, nous pouvons lire les valeurs de 𝑎 et 𝑏 directement sur la droite, comme illustré ci-dessous.

Sur la droite, lorsque 𝑥=2, 𝑦=5 et lorsque 𝑥=3, 𝑦=7. Par conséquent, 𝑎=5 et 𝑏=7.

Partie 3

Nous devons écrire l’équation de la droite sous la forme 𝑓(𝑥)=𝑚𝑥+𝑐. Puisque que la droite du graphique B passe par le point (0;1), nous savons que lorsque 𝑥=0, 𝑦=1. En substituant ces valeurs dans la fonction 𝑓(𝑥), on obtient 1=𝑓(0)=𝑚×0+𝑐=𝑐.

Par conséquent, 𝑐=1. Maintenant, si on utilise cette valeur de 𝑐 dans la fonction 𝑓(𝑥)=𝑚𝑥+𝑐 avec un autre point sur la droite, (1;3), on peut trouver la valeur de 𝑚 comme suit. En substituant 𝑐=1, 𝑥=1 et 𝑦=3, on obtient 3=𝑓(1)=𝑚×1+1=𝑚+1.

En isolant 𝑚, on obtient 𝑚=2. Ainsi, avec 𝑐=1 et 𝑚=2, l’équation de la droite est 𝑓(𝑥)=2𝑥+1.

Étudions un autre exemple dans lequel nous devons identifier la représentation graphique d’une droite à partir d’un tableau de valeurs.

Exemple 3: Représenter graphiquement une fonction affine en traçant des points

On considère la fonction affine 𝑓(𝑥)=52𝑥.

  1. On peut tracer une droite pour représenter cette fonction. Complétez le tableau pour trouver les coordonnées de points sur la droite.
    𝑥21012
    𝑓(𝑥)
  2. Laquelle des représentations graphiques ci-dessous correspond à la fonction?
  3. Lequel de ces points n’est pas sur la droite?
    1. (4;3)
    2. (3;11)
    3. (4;13)
    4. (3;1)
    5. (6;6)

Réponse

Partie 1

Nous commençons par l’équation 𝑦=52𝑥 pour déterminer les valeurs de 𝑦 qui correspondent aux valeurs de 𝑥 du tableau. Elles sont 𝑥=2,𝑥=1,𝑥=0,𝑥=1 et 𝑥=2. Si on substitue chacune d’elles à tour de rôle dans l’équation, on obtient 𝑥=2𝑦=52×(2)𝑦=9,𝑥=1𝑦=52×(1)𝑦=7,𝑥=0𝑦=52×0𝑦=5,𝑥=1𝑦=52×1𝑦=3,𝑥=2𝑦=52×2𝑦=1.

Nous pouvons alors compléter le tableau:

𝑥21012
𝑦=𝑓(𝑥)97531

Partie 2

À partir du tableau, nous pouvons créer des couples (𝑥;𝑦) qui correspondent à des points sur la droite. On a (2;9), (1;7), (0;5), (1;3) et (2;1). Ces cinq points doivent tous être situés sur la droite 𝑦=52𝑥 et nous voyons que ce n’est le cas que sur la représentation graphique B.

Par conséquent, la représentation graphique B correspond à l’équation 𝑦=52𝑥.

Partie 3

Nous devons ensuite déterminer lequel des points (4;3), (3;11), (4;13), (3;1) et (6;6) n’est pas sur la droite. Sachant que la représentation graphique B correspond à l’équation de la droite, nous pourrions essayer de tracer les points donnés sur le graphique B pour voir lesquels sont sur la droite et lesquels ne le sont pas. Cependant, une méthode plus précise consiste à remplacer les valeurs 𝑥 et 𝑦 de chaque point dans l’équation 𝑦=52𝑥. Si le membre gauche est égal au membre droit après évaluation, alors le point se trouve sur la droite. Sinon, le point ne se situe pas sur la droite. Faisons cela pour les cinq points:(𝑥,𝑦)𝑦=52𝑥(4,3)3=52×(4)=3(3,11)11=52×(3)=11(4,13)13=52×(4)=13(3,1)1=52×(3)=1(6,6)6=52×(6)=7::::::?????×

Le seul point qui ne satisfait pas l’équation 𝑦=52𝑥 est le point (6;6). Par conséquent, le point (6;6) n’est pas sur la droite.

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la représentation graphique d’une droite pour créer un tableau de valeurs et l’utiliser pour déterminer quelle est l’équation de la droite.

Exemple 4: Créer un tableau de valeurs pour déterminer quelle fonction correspond à la représentation graphique

En réalisant un tableau de valeurs, déterminez laquelle des fonctions suivantes correspond à la représentation graphique ci-dessous.

  1. 𝑓(𝑥)=4𝑥
  2. 𝑓(𝑥)=4𝑥+1
  3. 𝑓(𝑥)=4𝑥1
  4. 𝑓(𝑥)=4𝑥+1
  5. 𝑓(𝑥)=4𝑥

Réponse

Sur la représentation graphique, nous constatons que trois points sont pratiques à utiliser car leurs coordonnées sont des entiers.

Ces points ont les coordonnées (1;4), (0;0) et (1;4). Nous pouvons maintenant construire un tableau avec les valeurs 𝑥 et 𝑦 de ces points.

𝑥101
𝑦404

En utilisant ces trois points, nous pouvons déterminer quelle fonction est représentée.

Si on prend d’abord le point avec les coordonnées (0;0), on sait que sur la droite, lorsque 𝑥=0, 𝑦=0. Si on substitue 𝑥=0 et 𝑦=𝑓(0)=0 dans chacune des fonctions données, on a A:B:C:D:E:𝑓(𝑥)=4𝑥0=4×(0)=0𝑓(𝑥)=4𝑥+10=4×(0)+1=1𝑓(𝑥)=4𝑥10=4×(0)1=1𝑓(𝑥)=4𝑥+10=4×(0)+1=1𝑓(𝑥)=4𝑥0=4×(0)=0?????×××

Étant donné que 𝑓(0)=0 uniquement pour les options A et E, nous pouvons éliminer les options B, C et D. Maintenant, si on suit le même raisonnement avec les deux points restants, (1;4) et (1;4), dans les options A et E, on a (1,4)𝑓(𝑥)=4𝑥4=4×(1)=4𝑓(𝑥)=4𝑥4=4×(1)=4(1,4)𝑓(𝑥)=4𝑥4=4×1=4𝑓(𝑥)=4𝑥4=4×1=4A:E:A:E:????××

Nous constatons que pour les deux points, la fonction de l’option A vérifie l’équation contrairement à la fonction de l’option B. En fait, il n’était pas nécessaire de vérifier les deux points car un seul des deux nous aurait donné le résultat requis. Donc l’option A, 𝑓(𝑥)=4𝑥, est fonction représentée sur le graphique.

Avant de terminer cette fiche explicative, rappelons que dans le cas particulier où une fonction affine est une fonction constante, la représentation graphique de la fonction est une droite horizontale. À titre d’exemple, supposons que nous devions compléter le tableau de valeurs ci-dessous pour la fonction 𝑦=𝑓(𝑥)=3.

𝑥21012
𝑦

Étant donné que cette fonction est une fonction constante, nous savons qu’elle a la même valeur de 𝑦=𝑓(𝑥) pour toute valeur de 𝑥. Dans ce cas, cette valeur est 𝑦=3. Par conséquent, nous complétons le tableau et chaque valeur de 𝑦 est égale à 3.

𝑥21012
𝑦33333

La représentation graphique de cette fonction est illustrée ci-dessous.

Nous voyons qu’une image constante signifie que tous les points sur la représentation graphique de 𝑓(𝑥) ont la même ordonnée 𝑦, qui est dans ce cas 𝑦=3.

Si une fonction affine est une fonction constante, c’est-à-dire qu’elle est de la forme 𝑓(𝑥)=𝑏, la représentation graphique de cette fonction est toujours une droite horizontale passant par le point (0;𝑏). La représentation graphique ci-dessous correspond à une fonction constante pour une valeur positive de 𝑏.

Étudions un autre exemple.

Exemple 5: Identifier la représentation graphique d’une fonction constante

Identifiez quelle représentation graphique correspond à la fonction 𝑓(𝑥)=12.

Réponse

Rappelons qu’une fonction affine est une fonction de la forme 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels. Nous savons également que la représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Dans le cas particulier où 𝑎=0 donc quand 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑏, la fonction est appelée une fonction constante. La représentation graphique d’une fonction constante est une droite horizontale qui passe par le point (0;𝑏) sur l’axe des 𝑦.

La fonction qui nous est donnée, 𝑓(𝑥)=12, est de cette forme avec 𝑎=0 et 𝑏=12. Cela signifie que la représentation graphique de la fonction est une droite horizontale qui passe par le point 0;12.

Si nous étudions chacune des représentations graphiques, nous constatons que bien que la droite A soit une droite horizontale, elle passe par le point 0;12 et non 0;12. Par conséquent, la représentation graphique A ne correspond pas à notre fonction. Les représentations graphiques B et D sont des droites verticales, nous pouvons donc les éliminer. Enfin, la représentation graphique C n’est pas une droite horizontale. La seule représentation graphique qui est une droite horizontale et qui passe par le point 0;12 est la E.

Par conséquent, la représentation graphique E correspond à la fonction 𝑓(𝑥)=12.

Terminons en récapitulant quelques points clés abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Une fonction affine est une fonction de la forme 𝑓, 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, 𝑎, 𝑏 et 𝑎0. Dans le cas particulier où 𝑎=0, on appelle 𝑓(𝑥)=𝑏 une fonction constante.
  • Lorsque l’on représente graphiquement une fonction, les coordonnées de chaque point de la courbe sont égales à (antécédent;image), c’est-à-dire (𝑥;𝑓(𝑥)) ou (𝑥;𝑦).
  • La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. La représentation graphique d’une fonction constante est une droite horizontale.
  • Un tableau avec des valeurs d’antécédents et d’images d’une fonction affine peut être utile pour identifier ou tracer la représentation graphique de la fonction.

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