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Fiche explicative de la leçon : Le couple sur une boucle de fil rectangulaire conducteur de courant dans un champ magnétique Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le couple sur une boucle de fil rectangulaire transportant du courant dans un champ magnétique uniforme.

Commençons par étudier le cas d’une boucle de fil rectangulaire dans un plan horizontal, traversée par un courant 𝐼. Un champ magnétique, d’intensité 𝐵 , se trouve également dans le plan horizontal. Le schéma suivant illustre cette boucle de fil.

Étudions cette boucle rectangulaire plus en détail. Le diagramme suivant illustre chaque côté de la boucle numéroté.

Comme on peut le voir, la boucle rectangulaire comporte deux fils acheminant le courant depuis le milieu de la base du rectangle. L’écart entre ces deux fils est de 𝑑 , qui peut être considéré comme très petit:𝑑0.

On supposera également que la longueur des deux fils acheminant le courant est petite. Cela signifie que nous pouvons uniquement considérer la section rectangulaire (de 2 à 5) du fil.

Rappelons que la force, 𝐹 exercée sur un fil de longueur 𝑙 traversé par un courant 𝐼 perpendiculaire à un champ magnétique 𝐵 , est égale à 𝐹=𝐵𝐼𝑙.

Si on observe chaque section de fil, nous pouvons voir qu’il n’y a qu’une seule force agissant sur les sections 3 et 5. En établissant que la direction verticale orientée vers le haut est la direction positive, la force agissant sur chacun de ces fils est égale à 𝐹=𝐵𝐼𝑑,𝐹=𝐵𝐼𝑑.

Ainsi, les deux sections de fil sont soumises à des forces d’intensité égale, mais dans des directions opposées. La direction de la force peut être déterminée en utilisant la règle de la main gauche de Fleming.

La règle de la main gauche de Fleming est une convention utilisée pour déterminer la direction de la force agissant sur un fil à partir de la direction du champ magnétique dans lequel le fil se trouve et la direction du courant à travers le fil. Le diagramme suivant illustre la règle de la main gauche de Fleming et les axes déduits à partir du champ magnétique, de la force et du courant.

Dans la règle de la main gauche de Fleming, le pouce est orienté selon la direction de la force, l’index est orienté selon la direction du champ magnétique, et le majeur est orienté selon la direction du courant à travers le fil.

Nous pouvons utiliser la règle de la main gauche de Fleming pour déterminer la direction de la force agissant sur les sections 3 et 5 de la boucle de fil. Ceci est illustré sur le schéma ci-dessous.

Comme on peut le voir, la force agissant sur la section 3 du fil est orientée vers le bas, et la force agissant sur la section 5 du fil est orientée vers le haut. Le schéma suivant montre les forces agissant sur la boucle rectangulaire du fil;𝐹 est orientée vers le bas, et 𝐹 est orientée vers le haut.

Considérons à présent un axe passant par le centre du rectangle, représenté par la ligne pointillée sur le schéma suivant.

Le couple autour de cet axe peut être calculé en multipliant chaque force par la distance perpendiculaire à l’axe:𝜏=𝐹𝑑2+𝐹𝑑2.

En remplaçant les valeurs de 𝐹 et 𝐹 dans l’expression, on obtient 𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑2+𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑.

Nous pouvons constater que cette expression contient 𝑑 multipliée par 𝑑, qui est l’aire du rectangle, 𝐴. Le couple peut donc être écrit comme suit 𝜏=𝐵𝐼𝐴.

Nous pouvons aussi calculer le moment magnétique dipolaire de la boucle du fil. Le moment magnétique dipolaire est défini comme le couple agissant sur le fil divisé par l’intensité du champ magnétique:𝑚=𝜏𝐵.

Définition : moment magnétique dipolaire

Le moment magnétique dipolaire d’une boucle de fil transportant un courant dans un champ magnétique est défini comme le couple agissant sur la boucle du fil divisé par l’intensité du champ magnétique:𝑚=𝜏𝐵.

Pour le fil rectangulaire, nous pouvons substituer l’expression au couple calculé précédemment:𝑚=𝐵𝐼𝐴𝐵𝑚=𝐼𝐴.

Voyons à présent un exemple qui consiste à calculer le couple et le moment magnétique dipolaire d’un fil rectangulaire.

Exemple 1: Calcul du couple et du moment magnétique dipolaire d’une boucle de fil rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique

Le schéma illustre une boucle de fil rectangulaire transportant un courant entre les pôles d’un aimant. Les côtés de la boucle parallèles à la droite 𝑑 sont parallèles au champ magnétique, et les côtés de la boucle parallèles à la ligne 𝑑 sont perpendiculaires au champ magnétique. Le courant dans la boucle est de 350 mA , et l’intensité du champ magnétique est de 0,12 T. La longueur 𝑑=0,025m et la longueur 𝑑=0,015m.

  1. Déterminez le couple agissant sur la boucle au micronewton-mètre près.
  2. Déterminez le moment magnétique dipolaire de la boucle au micronewton-mètre par tesla près.

Réponse

Partie 1

Le couple agissant sur la boucle de fil, 𝜏 , peut être trouvé en utilisant la formule 𝜏=𝐵𝐼𝐴,𝐵 est l’intensité du champ magnétique, 𝐼 est le courant dans la boucle de fil, et 𝐴 est l’aire de la boucle de fil.

Tout d’abord, nous devons convertir le courant dans le fil en unités du système international, les ampères:𝐼=350𝐼=0,35.mAA

La boucle de fil est rectangulaire, de sorte que l’aire de cette boucle est simplement 𝐴=𝑑𝑑,𝑑=0,025m et 𝑑=0,015m , comme indiqué dans la question. Cela donne une aire de 𝐴=3,75×10.m

En remplaçant les valeurs de 𝐼 et 𝐴 dans l’équation du couple, ainsi que l’intensité du champ magnétique 𝐵=0,12T , nous obtenons 𝜏=0,12×0,35×3,75×10𝜏=1,575×10.TAmNm

En micronewtons-mètres, ceci est égal à 𝜏=15,75.μNm

Au micronewton-mètre près, le couple agissant sur la boucle de fil est égal à 16 μN⋅m.

Partie 2

Le moment magnétique dipolaire, 𝑚 , d’une boucle de fil transportant un courant dans un champ magnétique est égal au couple agissant sur la boucle de fil, 𝜏 , divisé par l’intensité du champ magnétique, 𝐵:𝑚=𝜏𝐵.

En remplaçant avec la valeur calculée précédemment pour 𝜏=1,575×10Nm et la valeur donnée pour 𝐵=0,12T nous avons 𝑚=1,575×100,12𝑚=1,313×10/.NmTNmT

En micronewtons-mètres par tesla , cela donne 𝑚=131,3/.μNmT

Le moment magnétique dipolaire de la boucle au micronewton-mètre par tesla près est égal à 131 μN⋅m/T.

Maintenant, voyons ce qui se passe s’il y a plusieurs boucles, ou enroulements, de fil rectangulaire. Le schéma suivant illustre la même boucle rectangulaire qu’avant, mais il y a maintenant plusieurs enroulements de fil.

Chaque segment de fil subit une force de même intensité. Pour 𝑁 fils, le couple exercé sur l’axe est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.

Voyons maintenant un exemple où la boucle de fil rectangulaire a plusieurs tours.

Exemple 2: Calcul du couple agissant sur une boucle de fil rectangulaire comportant plusieurs enroulements et transportant un courant dans un champ magnétique

Le schéma ci-dessous illustre une bobine conductrice rectangulaire comportant 3 tours située dans un champ magnétique. Un courant de 8,5 A circule dans la bobine. Les côtés de la boucle parallèles à la ligne 𝑑 sont parallèles au champ magnétique, et les côtés de la boucle parallèles à la ligne 𝑑 sont perpendiculaires au champ magnétique. La longueur 𝑑=0,035m et la longueur 𝑑=0,025m. Le couple exercé sur la boucle est de 15 mN⋅m. Calculez l’intensité du champ magnétique au millitesla près.

Réponse

La formule permettant de calculer le couple sur une boucle de fil rectangulaire comportant plusieurs tours et transportant un courant dans un champ magnétique est la suivante 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.

Nous pouvons réorganiser cette équation pour isoler l’intensité du champ magnétique, 𝐵:𝐵=𝜏𝐼𝐴𝑁.

Premièrement, l’aire de la boucle rectangulaire de fil métallique, 𝐴, peut être calculée en multipliant 𝑑 avec 𝑑:𝐴=𝑑×𝑑𝐴=0,035×0,025𝐴=0,000875.mmm

Le couple exercé sur la boucle peut être converti en unités du système international, les newtons-mètres:𝜏=15=0,015.mNmNm

Ces valeurs peuvent être substituées dans l’équation de l’intensité du champ magnétique, avec les valeurs données de 𝐼=8,5A et 𝑁=3:𝐵=0,0158,5×0,000875×3𝐵=0,672.NmAmT

Au millitesla près, nous obtenons 𝐵=672.mT

Maintenant, voyons ce qui se passe lorsque la boucle de fil tourne autour de l’axe. Nous allons mesurer l’angle, 𝜃 , entre la direction perpendiculaire à la boucle de fil (la direction normale au rectangle) et le champ magnétique.

Les forces agissant sur le fil sont maintenant légèrement différentes.

Les forces agissant sur les sections 3 et 5 ont toujours la même intensité et sont toujours verticales. Cependant, les sections 2 et 4 ne sont plus parallèles au champ magnétique. Cela signifie qu’il y aura une certaine force perpendiculaire à la direction du champ magnétique et à la direction du courant dans ces fils.

Cela signifie que la force exercée sur ces sections de fil est orientée le long de l’axe de rotation, dans des sens opposés, de sorte qu’il n’y a pas de couple autour de l’axe généré par ces forces.

Nous pouvons étiqueter ces forces sur le schéma du fil, comme indiqué.

Le couple sur le fil peut être calculé en multipliant chaque force par sa distance perpendiculaire à l’axe. Lorsque le fil est tourné d’un angle 𝜃 , la distance perpendiculaire, 𝑥 , de la section 3 à l’axe est 𝑥=𝑑2𝜃.sin

Il en est de même pour la distance perpendiculaire, 𝑥 , de la section 5 à l’axe:𝑥=𝑑2𝜃.sin

Nous pouvons utiliser ces valeurs pour calculer le couple sur l’axe:𝜏=𝐹𝑥+𝐹𝑥.

En substituant dans les expressions de 𝑥 et 𝑥 , ceci est égal à 𝜏=𝐹𝑑2𝜃+𝐹𝑑2𝜃.sinsin

En substitutuant par les expressions connues de 𝐹=𝐵𝐼𝑑 et 𝐹=𝐵𝐼𝑑 , ceci est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜃𝐵𝐼𝑑𝑑2𝜃𝜏=𝐵𝐼𝑑𝑑𝜃.sinsinsin

Encore une fois, nous pouvons écrire ceci en fonction de l’aire du rectangle, 𝐴:𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜃.sin

Pour 𝑁 tours de fil, le couple est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

Définition : Couple sur une boucle rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique

Le couple, 𝜏 , exercé sur une boucle de fil rectangulaire d’aire 𝐴 et comportant un nombre de boucles 𝑁 transportant un courant 𝐼 dans un champ magnétique de force 𝐵, à un angle 𝜃 depuis la normale au champ magnétique est 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

Étudions maintenant un exemple où la boucle de fil rectangulaire est inclinée par rapport au champ magnétique.

Exemple 3: Calcul du couple agissant sur une boucle de fil rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique avec un certain angle

Le schéma suivant illustre une boucle de fil rectangulaire conducteur de courant entre les pôles d’un aimant. Les sections de la boucle ab et dc sont perpendiculaires au champ magnétique. Les diagonales bc et ad sont alignées selon un angle 𝜃=33 à partir de la direction du champ magnétique. Le courant dans la boucle est de 1,75 A , et l’intensité du champ magnétique est de 0,15 T. La longueur acm=0,065 et la longueur abm=0,045. Déterminez le couple agissant sur la boucle au micronewton-mètre près.

Réponse

Cette question nous demande de calculer le couple agissant sur une boucle rectangulaire de fil transportant un courant dans un champ magnétique et ayant un certain angle.

Tout d’abord, nous pouvons calculer l’aire, 𝐴 , du rectangle en multipliant les longueurs des deux côtés, ab et ac:𝐴=×𝐴=0,045×0,065𝐴=0,0029.abacmmm

Ensuite, nous pouvons calculer l’angle, 𝜙 , formé par la normale au rectangle avec le champ magnétique. L’angle donné dans la question, 𝜃, est l’angle formé par le rectangle avec le champ magnétique, tel que 𝜙=90𝜃𝜙=9033𝜙=57.

Le couple agissant sur la boucle du fil peut alors être calculé avec la formule 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜙,sin𝐵=0,15T et 𝐼=1,75A , comme indiqué dans la question.

Ainsi, 𝜏=0,15×1,75×0,0029×57𝜏=0,000644.TAmsinNm

En micronewtons-mètres , nous avons 𝜏=644.μNm

Voyons maintenant un exemple qui étudie comment l’angle de la boucle du fil affecte le couple agissant sur la boucle.

Exemple 4: Effet de l’angle sur le couple agissant sur une boucle de fil rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique

Le schéma suivant illustre une boucle rectangulaire d’un fil conducteur de courant entre les pôles d’un aimant. Les côtés les plus longs de la boucle sont initialement parallèles au champ magnétique, et les côtés les plus petits de la boucle sont initialement perpendiculaires au champ magnétique. La boucle tourne alors d’un angle de 90 de sorte que tous ses côtés soient perpendiculaires au champ magnétique. Laquelle des courbes sur le graphique représente correctement la variation du couple agissant sur la boucle lorsque l’angle que forment ses côtés les plus longs avec la direction du champ magnétique varie de 0 à 90?

  1. Bleue
  2. Verte
  3. Rouge
  4. Orange
  5. Aucune de ces courbes

Réponse

Dans cette question, nous devons considérer le couple exercé sur une boucle de fil lorsque l’angle de la boucle change.

Rappelons que le couple, 𝜏 , agissant sur une boucle de fil rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜙,sin𝐵 est l’intensité du champ magnétique, 𝐼 est le courant que le fil transporte, 𝐴 est l’aire de la boucle rectangulaire, et 𝜙 est l’angle formé par le champ magnétique avec la normale au rectangle.

Dans cette question, cependant, l’angle est mesuré entre les côtés du rectangle et le champ magnétique. Cet angle est noté 𝜃 tel que:𝜙=90𝜃.

Ainsi, l’équation du couple peut être écrite comme 𝜏=𝐵𝐼𝐴(90𝜃).sin

Sachant que sincos(90𝜃)=𝜃 , cela peut être écrit comme 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝜃.cos

Ainsi, lorsque 𝜃=0 , le couple sera à son maximum, et lorsque 𝜃=90 , le couple sera nul. La courbe sur le graphique correspondant à cette situation est la courbe rouge.

La bonne réponse est la réponse C, « Rouge ».

Pour finir, étudions un exemple combinant tout ce que nous avons appris jusqu’ici.

Exemple 5: Calcul du couple agissant sur une boucle de fil rectangulaire transportant un courant dans un champ magnétique à partir du moment magnétique dipolaire

Le schéma suivant illustre une boucle de fil rectangulaire conducteur de courant entre les pôles d’un aimant qui produit un champ ayant une intensité de 250 mT. Les côtés les plus longs de la boucle sont initialement parallèles au champ magnétique, et les côtés les plus petits de la boucle sont initialement perpendiculaires au champ magnétique. La boucle a un moment dipolaire magnétique de 500 μN⋅m/T. La boucle est ensuite tournée par un couple externe d’un angle de 90 de sorte que tous ses côtés soient perpendiculaires au champ magnétique.

  1. Quelle est la variation du couple exercé sur la boucle générée par sa rotation?Répondez à la question au micronewton-mètre près.
  2. Lorsque l’angle de rotation de la boucle augmente jusqu’à atteindre des valeurs supérieures à 90 mais inférieures à 180 , quelle est la relation entre la direction du couple appliqué à la boucle et la direction du couple magnétique agissant sur la boucle?
    1. La direction du couple appliqué à la boucle est opposée à la direction du couple magnétique agissant sur la boucle.
    2. La direction du couple appliqué à la boucle est la même que la direction du couple magnétique agissant sur la boucle.

Réponse

Partie 1

Cette partie de la question nous demande de calculer le couple appliqué à la boucle de fil avant et après une rotation de 90.

Rappelons que le couple, 𝜏 , agissant sur une boucle de fil est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃,sin où l’intensité du champ magnétique 𝐵=250mT , 𝐼 est le courant que le fil transporte, 𝐴 est l’aire de la boucle rectangulaire de fil métallique, 𝑁 est le nombre de tours de fil, et 𝜃 est l’angle que forme le champ magnétique avec la normale à la boucle.

Avant la rotation, la normale à la boucle est perpendiculaire au champ magnétique, 𝜃=90. Après la rotation de la boucle de 90 , la normale à la boucle sera parallèle au champ magnétique, de sorte que le couple en ce point est égal à zéro.

La variation de couple due à la rotation est donc juste égale au couple avant la rotation.

Dans ce cas, on nous donne le moment magnétique dipolaire de la boucle avant la rotation et l’intensité du champ magnétique. Rappelons que le moment magnétique dipolaire, 𝑚 , est lié au couple exercé sur la boucle de fil, 𝜏 , et l’intensité du champ magnétique, 𝐵 , par l’équation suivante:𝑚=𝜏𝐵.

Nous pouvons réorganiser ceci pour isoler le couple exercé sur la boucle du fil:𝜏=𝑚𝐵.

On nous donne les valeurs de 𝑚=500/μNmT et 𝐵=250mT. En les convertissant en unités du système international, nous obtenons 𝑚=500/𝑚=0,0005/,𝐵=250𝐵=0,25.μNmTNmTmTT

Nous pouvons maintenant calculer le couple exercé sur la boucle de fil:𝜏=𝑚𝐵𝜏=0,0005/×0,25𝜏=0,000125.NmTTNm

En micronewtons-mètres , nous avons 𝜏=125.μNm

Partie 2

Cette partie de la question nous demande d’étudier comment évolue le couple agissant sur la boucle du fil quand il tourne d’un angle supérieur à 90 à partir de son angle initial.

Nous pouvons tracer un diagramme représentant cette configuration.

Comme nous pouvons voir, il y a une force agissant vers le bas sur la section droite de la boucle, et il y a une force agissant vers le haut sur la section gauche de la boucle.

Cela signifie qu’il y aura un couple magnétique agissant dans le sens des aiguilles d’une montre sur la boucle lorsque la boucle a été tournée d’un angle compris entre 90 et 180.

Le couple appliqué à la boucle pour la faire pivoter de 90 à 180 est aussi orienté dans le sens des aiguilles d’une montre.

Cela signifie que la direction du couple appliqué sur la boucle est la même que la direction du couple magnétique sur la boucle. La bonne réponse est la réponse B.

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative à travers les points clés suivants.

Points clés

  • Le moment magnétique dipolaire, 𝑚, d’une boucle de fil conducteur de courant dans un champ magnétique est égale au couple agissant sur la boucle de fil, 𝜏, divisé par l’intensité du champ magnétique dans lequel se trouve le fil, 𝐵:𝑚=𝜏𝐵.
  • Le couple, 𝜏 agissant sur une boucle de fil rectangulaire d’aire 𝐴 transportant un courant, 𝐼, dans un champ magnétique d’intensité 𝐵 lorsque la boucle du fil est parallèle au champ magnétique est égale à 𝜏=𝐵𝐼𝐴.
  • Lorsque la boucle rectangulaire est composée de 𝑁 tours de fil, le couple agissant sur la boucle est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁.
  • Si la normale à la boucle rectangulaire est inclinée d’un angle 𝜃 par rapport au champ magnétique, le couple agissant sur la boucle est égal à 𝜏=𝐵𝐼𝐴𝑁𝜃.sin

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