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Fiche explicative de la leçon : Puissance Mathématiques

Dans cet exposé, nous allons apprendre à calculer la puissance d'une force constante en utilisant la relation 𝑃=𝐹×𝑣.

Commençons par rappeler la définition du travail.

Définition : Travail d'une force

Lorsqu'une force constante 𝐹 agit sur un corps parallèlement à son déplacement et le déplace sur une distance 𝑑, alors le travail 𝑊 effectué par cette force est 𝑊=𝐹×𝑑. Le travail d'une force est mesuré en joules (J), qui est équivalent à N.m et le travail est calculé sur une durée au cours de laquelle le corps parcourt une certaine distance.

Ainsi, par exemple, imaginez qu'une personne pousse une boîte avec une masse de 30 kg sur un plancher horizontal. La personne exerce une force de 50 N sur la boîte car elle la pousse, et la boîte se déplace d'une distance de 6 m. Le travail effectué par la personne est alors 50×6=300NmNm. Comme le travail est une énergie, on peut aussi l'exprimer en utilisant joules— L’unité standard d'énergie avec le symbole J. 1=1NmJ, donc la valeur du travail effectué est égale à 300 J.

Déterminez maintenant combien de temps il faut à la personne pour pousser la boîte à travers L’étage. Imaginez qu'il faut à la personne 12 s pour déplacer la boîte de 6 m. La personne dépense 300 J d'énergie en 12 s, ce qui équivaut à dépenser 25 J chaque seconde. On peut dire que la personne dépense de l'énergie à un rythme de 25 J par seconde. Il s'agit d’une expression de puissance. La puissance est la quantité d'énergie dépensée par seconde comme une force agit. Définissons formellement la puissance

Définition : Puissance

Pour une force constante, 𝐹, qui agit sur un objet lorsque l'objet se déplace d'une distance 𝑑 dans la direction de la force pendant une durée 𝑡, la puissance est donnée par 𝑃=𝐹×𝑑𝑡.

Notez que dans la fraction à droite de l'équation ci-dessus, il y a un facteur de 𝑑𝑡—la distance parcourue par l'objet pendant le temps où il se déplace. Il s'agit de la vitesse moyenne de l'objet, 𝑣. Nous pouvons remplacer 𝑑𝑡 par 𝑣 pour obtenir 𝑃=𝐹×𝑣.

La puissance moyenne, car une force agit sur un objet lorsqu'il se déplace sur une certaine distance, est égal à la force exercée sur l'objet multipliée par la vitesse moyenne de l'objet.

L'unité standard de puissance est le watt, avec le symbole W, 1 W =1 J/s =1 N⋅m/s, mais il existe d'autres unités qui peuvent être utilisées pour la puissance, comme le cheval-vapeur, avec le symbole ch. Il existe plusieurs définitions différentes de cheval-vapeur, mais dans toutes les questions suivantes 1=735WW.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1: Calculer la puissance d'un moteur

Sachant que la vitesse maximale d'une voiture est 270 km/h et que son moteur génère une force de 96 kgp, déterminez la puissance de son moteur.

Réponse

Cette question nous donne des valeurs en unités non standard, donc commençons par la conversion des valeurs en unités standard.

Il y a 1‎ ‎000 mètres dans un kilomètre, donc 270/=270000/kmhmh. Il y a 3‎ ‎600 secondes dans 1 heure, nous divisons donc cette valeur par 3‎ ‎600 pour obtenir la vitesse maximale de la voiture en mètres par seconde:270000/=75/mhms.

1 kilogramme-poids est égal à 9,8 newtons, donc 96=96×9,8=940,8kgpNN.

Nous pouvons maintenant utiliser la formule 𝑃=𝐹𝑣 pour calculer la puissance du moteur lorsque la voiture se déplace à sa vitesse maximale:𝑃=940,8×75/,=70560.NmsW

Parce que nous avons utilisé les unités SI pour la force et la vitesse, la valeur résultante pour la puissance que nous obtenons est dans l'unité SI pour la puissance, le watt (qui a le symbole W).

La question nous oblige cependant à donner notre réponse en chevaux-vapeur. Rappelons que 1=735chW;nous obtenons notre réponse en divisant 70‎ ‎560 par 735:𝑃=70560=70560735=96.WchW

Exemple 2: Calculer la vitesse maximale

Un tracteur possède un moteur de 187 ch et il tire contre une force de 374 kgp. Calculez sa vitesse maximale.

Réponse

Cette question nous donne des valeurs en unités non standard, donc commençons par les convertir. 1=735chW donc 187=187×735=137445WWW. Donc 374=374×9,8=3665,2kgpNN.

Le moteur du tracteur fournit une puissance de 137‎ ‎445 W. La vitesse maximale du tracteur est une constante, donc lorsque le tracteur se déplace à cette vitesse, nous savons que les forces du système seront équilibrées. La question suggère que la force fournie par le tracteur est égale en intensité à la force de friction contre laquelle il tire, ce qui laisse supposer que le tracteur se déplace à une vitesse constante 𝑣. Nous pouvons utiliser la formule 𝑃=𝐹𝑣 pour calculer 𝑣. Nous devons d'abord réorganiser la formule en divisant les deux côtés par 𝐹:𝑃𝐹=𝑣.

Nous pouvons alors substituer les valeurs que nous avons pour 𝑃 et 𝐹 pour nous donner 𝑣:𝑣=1374453665,2=37,5/.WNms

Du fait que nous avons utilisé des unités standard, la valeur que nous obtenons pour 𝑣 est en mètres par seconde. La question, cependant, nous oblige à donner la réponse en kilomètres par heure. 1/=3,6/mskmh, donc 𝑣=37,5×3,6/=135/.kmhkmh

Exemple 3: Calculer la vitesse et la puissance maximales

Une voiture de masse 5 tonnes se déplace sur une route droite horizontale. La résistance à son mouvement est directement proportionnelle à sa vitesse. Lorsque la voiture roule à 78 km/h, elle est égale à 40 kgp par tonne de la masse de la voiture. Étant donné que la force maximale du moteur est 300 kgp, déterminer la vitesse maximale de la voiture 𝑣 et la puissance 𝑃 à laquelle son moteur fonctionne à cette vitesse.

Réponse

Dans cette question, nous devons d'abord déterminer à quelle vitesse la voiture se déplace avant de déterminer la puissance fournie par le moteur lorsque la voiture se déplace à cette vitesse.

La force maximale que le moteur peut fournir est 300 kgp. Cela signifie qu'une fois que la résistance sur la voiture atteint cette intensité, la la voiture ne peut pas aller plus vite parce que le moteur ne peut pas produire une force résultante sur la voiture, de sorte que la voiture ne peut pas accélérer au-delà de cette vitesse.

Lorsque la voiture roule à une vitesse de 78 km/h, elle subit une force de résistance d'une intensité de 40 kgp par tonne de sa masse. Comme sa masse est 5 tonnes, cette force de résistance totale est égale à 200 kgp.

Puisque la force de résistance est directement proportionnelle à la vitesse, il y a toujours un rapport constant entre la vitesse de la voiture et la force de résistance. Cela signifie que si la vitesse augmente d'un certain facteur, la La force de résistance augmente du même facteur. Si la force de résistance augmente de 200 kgp à 300 kgp, il augmente d'un facteur de 300200=1,5. Cela doit correspondre à une augmentation de la vitesse par le même facteur:78/×1,5=117/kmhkmh. Il s'agit de la vitesse maximale de la voiture.

Parce que nous connaissons déjà la force produite par le moteur à cette vitesse, nous pouvons utiliser 𝑃=𝐹𝑣 pour calculer la puissance fournie par le moteur.

Premièrement, convertissons 𝐹 en unités standard:𝐹=300kgp, et il y a 9,8 N dans chaque kgp, donc 𝐹=300×9,8=2940NN.

Deuxièmement, convertissons 𝑣 en mètres par seconde. La vitesse maximale est 𝑣=117/kmh, et là, on a 1‎ ‎000 mètres dans un kilomètre, donc 117/=117000/kmhmh. Il y a 3‎ ‎600 secondes dans une heure, donc cette vitesse est la même que celle du déplacement 117000÷3600mètres par seconde, ou 32,5 m/s.

Maintenant, utilisons la formule pour calculer 𝑃:𝑃=𝐹𝑣=2940×32,5/=95550.NmsW

Ensuite, nous convertissons cette valeur de la puissance en chevaux-vapeur:𝑃=95550×1735=130.WchWW

Ainsi, la vitesse maximale de la voiture est de 117 km/h, et la puissance fournie par le moteur est 130 ch.

Parfois, une force de résistance telle que la friction n'est pas la seule force qui agit contre la force appliquée. Pour les objets situés sur une pente, le poids propre de l’objet peut agir partiellement contre une force appliquée.

Rappelons que, pour un objet situé sur une pente, le poids de l'objet peut être décomposé en composantes parallèles et perpendiculaires à la pente. La figure ci-dessous montre un objet avec un poids 𝑊 au repos sur une pente formant un angle 𝜃 avec le sol.

La composante du poids qui agit parallèlement à la pente est égale à 𝑊𝜃)sin, et la composante du poids qui agit perpendiculairement à la La pente est égale à 𝑊𝜃)cos.

Exemple 4: Déterminer l'augmentation de la puissance du mouvement sur un plan incliné avec des forces de résistance

Un véhicule de masse 3 tonnes se déplaçait à 51 km/h le long d'un tronçon de route horizontal. Lorsqu'il atteint le bas d'une colline inclinée par rapport à l’horizontale selon un angle dont le sinus est de 0,5, il a continué à se déplacer à la même vitesse sur la route. Étant donné que la résistance des deux sections de route est constante, déterminez l’augmentation de la puissance du véhicule à l’unité de puissance près. Prenez l'accélération due à la gravité 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Cette question est plus facile si l'on commence par tracer une figure du scénario. On ne nous dit pas l'angle de la pente, mais on nous dit son sinus, ce qui signifie que 𝜃=0,5=30arcsin. Maintenant, dessinons la figure.

Le véhicule se déplace à la même vitesse lorsqu'il monte la colline que lorsqu'il il est sur le sol horizontal. La friction entre le véhicule et le sol est aussi le même. Cela signifie que la seule puissance supplémentaire fournie par le moteur qui grimpe la colline est la puissance nécessaire pour produire une force qui contrebalance le poids de la composante du véhicule qui agit sur la pente.

Nous pouvons l'exprimer algébriquement. Disons que lorsque le véhicule est en marche au niveau du sol, la puissance fournie par le moteur est 𝑃. Cela permet d'obtenir une force 𝐹, et le véhicule se déplace à la vitesse 𝑣. 𝑃, 𝐹, et 𝑣 sont alors les les mêmes quantités pour l’ascension de la voiture. Nous savons que 𝑣=𝑣, nous les appellerons donc tous les deux 𝑣.

Lorsque le véhicule se trouve sur la colline, 𝑃=𝐹𝑣.

Dans ce cas, le véhicule se déplace à une vitesse constante, donc 𝐹 doit juste être égale à la force de friction sur le véhicule, que nous appellerons 𝐹R.

Lorsque le véhicule est sur la colline, 𝑃=𝐹𝑣.

Dans ce cas, 𝐹 doit être égal à 𝐹R plus la composante descendante du poids du véhicule. Dessinons un diagramme du véhicule illustrant les composantes parallèles et perpendiculaires de son poids.

La composante descendante du poids est égale à 𝑚𝑔𝜃sin. Donc 𝐹=𝐹+𝑚𝑔𝜃,𝑃=(𝐹+𝑚𝑔𝜃)𝑣,𝑃=𝐹𝑣+𝑚𝑔𝑣𝜃.RRRsinsinsin

La question nous demande de trouver l’augmentation de la puissance, qui est égale à 𝑃𝑃=𝐹𝑣+𝑚𝑔𝑣𝜃𝐹𝑣.RRsin

Deux termes à éliminer sur la droite pour donner 𝑃𝑃=𝑚𝑔𝑣𝜃.sin

Nous savons que sin𝜃=0,5 et 𝑔=9,8/ms. La masse, 𝑚, est égale à 3 tonnes, qui est égal à 3‎ ‎000 kg. La vitesse, 𝑣, est égale à 51 km/h, qui est égale à 513,6/ms. Nous pouvons substituer ces valeurs dans la formule ci-dessus:𝑃𝑃=3000×9,8/×513,6/×0,5=208250.kgmsmsW

Nous pouvons alors convertir cela en chevaux-vapeur. 𝑃𝑃=208250×1735=283𝑃𝑃=208250×1735=283WchWWaunombreentierleplusproche.WchWW au nombre entier le plus proche.

Points clés

  • La puissance est la vitesse à laquelle une force travaille.
  • La puissance, 𝑃, fournie par une force constante 𝐹 qui déplace un objet à une vitesse 𝑣 parallèle à la force est donnée par 𝑃=𝐹𝑣.

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