Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, en utilisant pour cela son graphe ou sa définition.
La parité d’une fonction indique si la fonction est paire ou impaire.
Définition : Fonctions paires et fonctions impaires
Une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
pour tout de son ensemble de définition.
Notez que la seule fonction définie sur l’ensemble des nombres réels qui est à la fois paire et impaire est ; ainsi, si l’on a déterminé qu’une fonction est paire, il est inutile de vérifier si elle est impaire et inversement.
Les graphes de fonctions paires et de fonctions impaires présentent également des caractéristiques permettant de les identifier facilement. On considère les graphes des fonctions et .
On peut déterminer la parité de en évaluant :
Par conséquent, est une fonction paire. On remarquera que le graphe de présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des , ou, autrement dit, par rapport à la droite d’équation . Ceci est dû au fait que les images de et par la fonction sont égales. Par exemple, les points et appartiennent tous deux à la courbe de .
En fait, la propriété implique une symétrie axiale du graphe par rapport à l’axe des , pour tout de l’ensemble de définition de la fonction. Ces fonctions sont appelées paires car une fonction de la forme vérifie cette propriété quand est un entier pair.
On considère maintenant la fonction . Pour déterminer la parité de cette fonction, on évalue :
Par conséquent, est une fonction impaire. Cette fois-ci, le graphe de présente une symétrie centrale par rapport à l’origine, ce qui signifie que la courbe restera inchangée si on lui applique une rotation de et de centre . Ceci estf dû au fait que si un point de coordonnées appartient à la courbe, étant donné que , alors le point de coordonnées appartient aussi à la courbe. Par exemple, le point de coordonnées appartient à la courbe de , donc le point de coordonnées appartient lui aussi à la courbe.
La propriété implique une symétrie centrale du graphe par rapport à l’origine, pour tout de l’ensemble de définition de la fonction. Ces fonctions sont appelées impaires car une fonction de la forme vérifie cette propriété quand est un entier impair.
Si une fonction impaire est définie en zéro, alors son graphe passe nécessairement par l’origine. On peut le démontrer en remplaçant par dans la définition des fonctions impaires, . On observe alors que , ce qui traduit qu’une fonction impaire passe par l’origine, afin de respecter sa symétrie de centre l’origine du repère.
Étant donné que pour une fonction impaire , on en déduit que prendre la valeur absolue de cette fonction donne une fonction paire ; pour toute fonction impaire , si , alors est paire.
Définition : Graphes de fonctions paires et de fonctions impaires
Le graphe de toute fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des .
Le graphe de toute fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine.
Pour déterminer la parité d’une fonction, on peut utiliser la définition de la parité ou le graphique de la fonction. Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser la définition de la parité pour déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
Exemple 1: Déterminer la parité d’une fonction linéaire
La fonction est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre ?
Réponse
On rappelle qu’une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
pour tout de son ensemble de définition.
Puisque est une fonction linéaire, son ensemble de définition est . L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc les propriétés de symétrie des fonctions paires et impaires peuvent s’appliquer. Pour tester la parité de , on évalue :
On remarque que , par ailleurs, n’est pas non plus vérifié.
Par conséquent, la fonction n’est ni paire ni impaire.
Dans les deux prochains exemples, nous verrons comment utiliser les propriétés de symétrie des graphes de fonctions paires et impaires pour déterminer une parité.
Exemple 2: Déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre à partir de son graphe
Déterminez si la fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
Réponse
On rappelle que le graphe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des tandis que le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. Il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les appartenant à l’ensemble de définition de la fonction, s'il faut, par conséquent, nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de pour lesquelles la fonction est définie ; on peut déterminer l’ensemble de définition d’une fonction à partir de son graphe en examinant la répartition de gauche à droite des valeurs de pour lesquelles il existe une image par la fonction.
L’ensemble de définition de notre fonction correspond à toutes les valeurs de dans l’intervalle à l’exception de . En notation ensembliste, on peut l’écrire
Cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc on peut maintenant vérifier si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
On observe sur le graphe une symétrie axiale par rapport à l’axe des , ou, autrement dit, par rapport à la droite d’équation . Cela signifie que pour tout de l’ensemble de définition, .
Par conséquent, la fonction est paire.
Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment déterminer la parité d’une fonction définie sur un intervalle borné, en utilisant son graphe. Nous verrons dans l’exemple 3 comment procéder dans le cas d’une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas borné.
Exemple 3: Déterminer la parité d’une fonction rationnelle à partir de son graphe
La fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre ?
Réponse
On rappelle que la courbe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine, tandis que la courbe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des . Il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les appartenant à l’ensemble de définition de la fonction ; il faut par conséquent nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
Le graphe de la fonction présente une asymptote verticale en . Il s’agit de la seule valeur de pour laquelle la fonction n’est pas définie ; par conséquent, son ensemble de définition est
L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, on peut donc maintenant vérifier si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
On constate que le graphe ne présente pas de symétrie par rapport à l’axe des , donc la fonction n’est pas paire.
Par contre, le graphe reste inchangé s’il subit une rotation de par rapport à l’origine.
Par conséquent, la fonction est impaire.
Dans les deux derniers exemples, nous avons commencé par vérifier si l’ensemble de définition de la fonction était symétrique par rapport à 0. En effet, puisqu’il faut une symétrie par rapport à l’axe des ou par rapport à l’origine pour qu’une fonction soit paire ou impaire, une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0 ne peut ni être paire ni être impaire.
Dans le prochain exemple, nous verrons que lorsque l’on cherche à déterminer la parité d’une fonction, commencer par vérifier la symétrie de l’ensemble de définition peut nous faire gagner du temps.
Exemple 4: Déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre à partir de son graphe
La fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre ?
Réponse
Le graphe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des tandis que le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les appartenant à l’ensemble de définition de la fonction ; il faut par conséquent nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.
L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de pour lesquelles il existe une image par la fonction.
Notre fonction est définie sur l’intervalle . Cet ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0.
Étant donné que l’ensemble de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à 0, elle ne peut ni être paire ni être impaire.
Dans le prochain exemple, nous verrons comment déterminer la parité d’une fonction trigonométrique à partir de son équation, en utilisant les définitions suivantes.
Définition : Parité des fonctions trigonométriques
Les fonctions et sont paires.
Les fonctions , , et sont impaires.
Exemple 5: Identifier la parité d’une fonction
La fonction est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre ?
Réponse
Une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
pour tout de son ensemble de définition.
On commence par trouver l’ensemble de définition de la fonction. On doit s’assurer qu’il est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.
La fonction est le produit de deux fonctions, par conséquent, son ensemble de définition est l’intersection des ensembles de définition de ces deux fonctions.
Puisque est un polynôme, son ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels.
L’ensemble de définition de la fonction tangente est l’ensemble des nombres réels à l’exception de ceux pour lesquelles . Donc l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des nombres réels à l’exception de ceux vérifiant . Les valeurs de pour lesquelles est vérifié sont et ainsi de suite. Ces valeurs sont symétriques par rapport à l’axe des , donc l’ensemble de définition de est symétrique par rapport à 0.
Par conséquent, l’intersection des deux ensemble de définition est lui aussi symétrique par rapport à 0. On peut donc maintenant tester la parité en évaluant :
On réécrit comme
Pour évaluer , on peut utiliser le graphe de la fonction , qui correspond au graphe de étiré horizontalement selon un facteur de .
Le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine.
Par conséquent, et on peut réécrire comme
Donc, pour tout de l’ensemble de définition de , on a
Par conséquent, la fonction est impaire.
Dans l’exemple 5, nous avons multiplié une fonction impaire, , par une fonction paire, , et nous avons obtenu une fonction impaire. En fait, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est toujours impair. Ce résultat peut être généralisé, ainsi que d’autres propriétés sur les combinaisons de fonctions.
Définition : Combiner des fonctions paires et impaires
Soient et , deux fonctions paires et et , deux fonctions impaires.
- la somme et la différence sont paires, tandis que la somme et la différence sont impaires ;
- la somme et la différence ne sont ni paires ni impaires ;
- les produits et quotients et sont pairs ;
- le produit et le quotient sont impairs.
Nous allons maintenant voir comment appliquer ces propriétés pour déterminer la parité d’une fonction définie par morceaux.
Exemple 6: Déterminer la parité d’une fonction définie par morceaux
Déterminez si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, sachant que
Réponse
Une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
pour tout de son ensemble de définition.
On doit s’assurer que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.
L’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union des sous-domaines des différentes sous-fonctions. Ici, on a la sous-fonction , définie sur l’intervalle , et une autre sous-fonction , définie sur l’intervalle . Les deux sous-fonctions sont linéaires, par conséquent, elles sont définies pour toutes les valeurs de leurs intervalles correspondants. L’union de ces deux ensembles de définition correspond à l’ensemble des nombres réels. Par conséquent, l’ensemble de définition de peut être écrit .
Ceci est symétrique près de 0, nous pouvons donc maintenant tester la parité de la fonction en évaluant . Ceci est égal à la autre partie de la fonction par morceaux, la sous-fonction utilisée pour les valeurs négatives de .
Pour
Si , est positif :
On retrouve la définition de l’autre partie de notre fonction définie par morceaux, c’est-à-dire la fonction utilisée pour les valeurs négatives de .
On obtient à nouveau la définition de l’autre partie de notre fonction définie par morceaux, la fonction utilisée pour les valeurs positives de .
On peut confirmer ces résultats et vérifier ce qui se passe en en traçant le graphe de la fonction.
Le graphe présente une symétrie par rapport à l’axe des .
Puisque pour tout de l’ensemble de définition de , la fonction est paire.
Nous allons maintenant voir comment l’ensemble de définition d’une fonction peut affecter sa parité.
Exemple 7: Identifier la parité d’une fonction
Déterminez si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, sachant que .
Réponse
Une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
pour tout de son ensemble de définition.
On doit s’assurer que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.
On sait que . Ceci peut se lire : « La fonction associe un réel à tout nombre de l’intervalle de bornes et 7, ouvert à gauche et fermé à droite ». L’ensemble de définition est l’intervalle , tandis que l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des nombres réels.
À première vue, on peut penser que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0 ; cependant, on sait que peut être égal à 7 mais pas à . Par conséquent, l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0.
Puisque l’ensemble de définition de n’est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n’est ni paire ni impaire.
Dans notre dernier exemple, nous verrons comment obtenir des informations sur les paramètres d’une fonction à partir de sa parité.
Exemple 8: Trouver une inconnue dans une fonction rationnelle d’après sa parité
Déterminez la valeur de sachant que est une fonction paire telle que , où .
Réponse
On sait que si et sont des fonctions paires, alors leur quotient est également pair. Par ailleurs, on sait qu’une fonction est dite paire si pour tout de son ensemble de définition.
La fonction du numérateur ne dépendant pas de et il s’agit d’une fonction paire. Il en découle que la fonction au dénominateur doit également être paire. On a alors,
Pour que la fonction soit paire, l’égalité doit être vérifiée pour tout de l’ensemble de définition de :
En soustrayant et en additionnant 3 des deux côtés, l’équation devient
Puisque , on peut diviser des deux côtés par :
Cette équation n’est vérifiée que si .
Ainsi, si est une fonction paire, alors .
Récapitulons les points les plus importants abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une fonction est
- une fonction paire si ,
- une fonction impaire si ,
- Le graphe de toute fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des . De même, une fonction dont le graphe présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des est une fonction paire.
- Le graphe de toute fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. De même, une fonction dont le graphe présente une symétrie centrale par rapport à l’origine est une fonction impaire.
- Une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0 n’est ni paire ni impaire.
