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Fiche explicative de la leçon : Fonctions paires et fonctions impaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, en utilisant pour cela son graphe ou sa définition.

La parité d’une fonction indique si la fonction est paire ou impaire.

Définition : Fonctions paires et fonctions impaires

Une fonction 𝑓(𝑥) est

  • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
  • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),

pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

Notez que la seule fonction définie sur l’ensemble des nombres réels qui est à la fois paire et impaire est 𝑓(𝑥)=0;ainsi, si l’on a déterminé qu’une fonction est paire, il est inutile de vérifier si elle est impaire et inversement.

Les graphes de fonctions paires et de fonctions impaires présentent également des caractéristiques permettant de les identifier facilement. On considère les graphes des fonctions 𝑓(𝑥)=𝑥+4 et 𝑔(𝑥)=𝑥.

On peut déterminer la parité de 𝑓(𝑥) en évaluant 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=(𝑥)+4=𝑥+4=𝑓(𝑥).

Par conséquent, 𝑓(𝑥) est une fonction paire. On remarquera que le graphe de 𝑓(𝑥)=𝑥+4 présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦, ou, autrement dit, par rapport à la droite d’équation 𝑥=0. Ceci est dû au fait que les images de 𝑥 et 𝑥 par la fonction sont égales. Par exemple, les points (2;8) et (2;8) appartiennent tous deux à la courbe de 𝑦=𝑓(𝑥).

En fait, la propriété 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) implique une symétrie axiale du graphe par rapport à l’axe des 𝑦, pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition de la fonction. Ces fonctions sont appelées paires car une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑥 vérifie cette propriété quand 𝑛 est un entier pair.

On considère maintenant la fonction 𝑔(𝑥)=𝑥. Pour déterminer la parité de cette fonction, on évalue 𝑔(𝑥):𝑔(𝑥)=(𝑥)=𝑥=𝑔(𝑥).

Par conséquent, 𝑔(𝑥) est une fonction impaire. Cette fois-ci, le graphe de 𝑔(𝑥) présente une symétrie centrale par rapport à l’origine, ce qui signifie que la courbe restera inchangée si on lui applique une rotation de 180 et de centre (0;0). Ceci estf dû au fait que si un point de coordonnées (𝑥;𝑦) appartient à la courbe, étant donné que 𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥), alors le point de coordonnées (𝑥;𝑦) appartient aussi à la courbe. Par exemple, le point de coordonnées (2;8) appartient à la courbe de 𝑦=𝑔(𝑥), donc le point de coordonnées (2;8) appartient lui aussi à la courbe.

La propriété 𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥) implique une symétrie centrale du graphe par rapport à l’origine, pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition de la fonction. Ces fonctions sont appelées impaires car une fonction de la forme 𝑔(𝑥)=𝑥 vérifie cette propriété quand 𝑛 est un entier impair.

Si une fonction impaire est définie en zéro, alors son graphe passe nécessairement par l’origine. On peut le démontrer en remplaçant par 𝑥=0 dans la définition des fonctions impaires, 𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥). On observe alors que 𝑔(0)=𝑔(0), ce qui traduit qu’une fonction impaire passe par l’origine, afin de respecter sa symétrie de centre l’origine du repère.

Étant donné que pour une fonction impaire 𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥), on en déduit que prendre la valeur absolue de cette fonction donne une fonction paire;pour toute fonction impaire 𝑔(𝑥), si (𝑥)=|𝑔(𝑥)|, alors est paire.

Définition : Graphes de fonctions paires et de fonctions impaires

Le graphe de toute fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦.

Le graphe de toute fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine.

Pour déterminer la parité d’une fonction, on peut utiliser la définition de la parité ou le graphique de la fonction. Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser la définition de la parité pour déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

Exemple 1: Déterminer la parité d’une fonction linéaire

La fonction 𝑓(𝑥)=4𝑥3 est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre?

Réponse

On rappelle qu’une fonction 𝑓(𝑥) est

  • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
  • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),

pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

Puisque 𝑓(𝑥) est une fonction linéaire, son ensemble de définition est . L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc les propriétés de symétrie des fonctions paires et impaires peuvent s’appliquer. Pour tester la parité de 𝑓(𝑥), on évalue 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=4(𝑥)3=4𝑥3.

On remarque que 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥), par ailleurs, 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) n’est pas non plus vérifié.

Par conséquent, la fonction n’est ni paire ni impaire.

Dans les deux prochains exemples, nous verrons comment utiliser les propriétés de symétrie des graphes de fonctions paires et impaires pour déterminer une parité.

Exemple 2: Déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre à partir de son graphe

Déterminez si la fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

Réponse

On rappelle que le graphe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦 tandis que le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. Il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les 𝑥 appartenant à l’ensemble de définition de la fonction, s'il faut, par conséquent, nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est définie;on peut déterminer l’ensemble de définition d’une fonction à partir de son graphe en examinant la répartition de gauche à droite des valeurs de 𝑥 pour lesquelles il existe une image par la fonction.

L’ensemble de définition de notre fonction correspond à toutes les valeurs de 𝑥 dans l’intervalle [8;8] à l’exception de 𝑥=0. En notation ensembliste, on peut l’écrire [8;8]{0}.

Cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, donc on peut maintenant vérifier si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

On observe sur le graphe une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦, ou, autrement dit, par rapport à la droite d’équation 𝑥=0. Cela signifie que pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition, 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥).

Par conséquent, la fonction est paire.

Dans l’exemple précédent, nous avons montré comment déterminer la parité d’une fonction définie sur un intervalle borné, en utilisant son graphe. Nous verrons dans l’exemple 3 comment procéder dans le cas d’une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas borné.

Exemple 3: Déterminer la parité d’une fonction rationnelle à partir de son graphe

La fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre?

Réponse

On rappelle que la courbe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine, tandis que la courbe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦. Il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les 𝑥 appartenant à l’ensemble de définition de la fonction;il faut par conséquent nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

Le graphe de la fonction présente une asymptote verticale en 𝑥=0. Il s’agit de la seule valeur de 𝑥 pour laquelle la fonction n’est pas définie;par conséquent, son ensemble de définition est {0}.

L’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, on peut donc maintenant vérifier si la fonction est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

On constate que le graphe ne présente pas de symétrie par rapport à l’axe des 𝑦, donc la fonction n’est pas paire.

Par contre, le graphe reste inchangé s’il subit une rotation de 180 par rapport à l’origine.

Par conséquent, la fonction est impaire.

Dans les deux derniers exemples, nous avons commencé par vérifier si l’ensemble de définition de la fonction était symétrique par rapport à 0. En effet, puisqu’il faut une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦 ou par rapport à l’origine pour qu’une fonction soit paire ou impaire, une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0 ne peut ni être paire ni être impaire.

Dans le prochain exemple, nous verrons que lorsque l’on cherche à déterminer la parité d’une fonction, commencer par vérifier la symétrie de l’ensemble de définition peut nous faire gagner du temps.

Exemple 4: Déterminer si une fonction est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre à partir de son graphe

La fonction dont le graphe est présenté ci-dessous est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre?

Réponse

Le graphe d’une fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦 tandis que le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. il est important de garder en tête que ceci doit être vrai pour tous les 𝑥 appartenant à l’ensemble de définition de la fonction;il faut par conséquent nous assurer que l’ensemble de définition de la fonction est symétrique par rapport à 0.

L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles il existe une image par la fonction.

Notre fonction est définie sur l’intervalle 2𝑥6. Cet ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0.

Étant donné que l’ensemble de définition de la fonction n’est pas symétrique par rapport à 0, elle ne peut ni être paire ni être impaire.

Dans le prochain exemple, nous verrons comment déterminer la parité d’une fonction trigonométrique à partir de son équation, en utilisant les définitions suivantes.

Définition : Parité des fonctions trigonométriques

Les fonctions 𝑓(𝑥)=𝑥cos et 𝑓(𝑥)=𝑥sec sont paires.

Les fonctions 𝑓(𝑥)=𝑥sin, 𝑓(𝑥)=𝑥csc, 𝑓(𝑥)=𝑥tan et 𝑓(𝑥)=𝑥cot sont impaires.

Exemple 5: Identifier la parité d’une fonction

La fonction 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥tan est-elle paire, impaire ou ni l’un ni l’autre?

Réponse

Une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) est

  • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
  • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),

pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

On commence par trouver l’ensemble de définition de la fonction. On doit s’assurer qu’il est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.

La fonction 𝑥6𝑥tan est le produit de deux fonctions, par conséquent, son ensemble de définition est l’intersection des ensembles de définition de ces deux fonctions.

Puisque 𝑥 est un polynôme, son ensemble de définition est l’ensemble des nombres réels.

L’ensemble de définition de la fonction tangente est l’ensemble des nombres réels à l’exception de ceux pour lesquelles cos(𝑥)=0. Donc l’ensemble de définition de la fonction tan6𝑥 est l’ensemble des nombres réels à l’exception de ceux vérifiant cos6𝑥=0. Les valeurs de 𝑥 pour lesquelles cos6𝑥=0 est vérifié sont 𝑥=𝜋12,3𝜋12,𝜋12,3𝜋12 et ainsi de suite. Ces valeurs sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦, donc l’ensemble de définition de tan6𝑥 est symétrique par rapport à 0.

Par conséquent, l’intersection des deux ensemble de définition est lui aussi symétrique par rapport à 0. On peut donc maintenant tester la parité en évaluant 𝑓(𝑥):𝑓(𝑥)=(𝑥)(6𝑥).tan

On réécrit (𝑥) comme (𝑥)=(1×𝑥)=(1)×𝑥=𝑥.

Pour évaluer tan(6𝑥), on peut utiliser le graphe de la fonction tan6𝑥, qui correspond au graphe de 𝑦=(𝑥)tan étiré horizontalement selon un facteur de 16.

Le graphe d’une fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine.

Par conséquent, tantan(6𝑥)=(6𝑥) et on peut réécrire 𝑓(𝑥) comme 𝑓(𝑥)=(𝑥)×(6𝑥)=𝑥×6𝑥=𝑥6𝑥=𝑓(𝑥).tantantan

Donc, pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition de 𝑓, on a 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥).

Par conséquent, la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥6𝑥tan est impaire.

Dans l’exemple 5, nous avons multiplié une fonction impaire, 𝑥, par une fonction paire, tan(6𝑥), et nous avons obtenu une fonction impaire. En fait, le produit d’une fonction paire et d’une fonction impaire est toujours impair. Ce résultat peut être généralisé, ainsi que d’autres propriétés sur les combinaisons de fonctions.

Définition : Combiner des fonctions paires et impaires

Soient 𝑓 et 𝑓, deux fonctions paires et 𝑔 et 𝑔, deux fonctions impaires.

  • la somme et la différence 𝑓±𝑓 sont paires, tandis que la somme et la différence 𝑔±𝑔 sont impaires;
  • la somme et la différence 𝑓±𝑔 ne sont ni paires ni impaires;
  • les produits et quotients 𝑓𝑓,𝑓𝑓,𝑔𝑔 et 𝑔𝑔 sont pairs;
  • le produit 𝑓𝑔 et le quotient 𝑓𝑔 sont impairs.

Nous allons maintenant voir comment appliquer ces propriétés pour déterminer la parité d’une fonction définie par morceaux.

Exemple 6: Déterminer la parité d’une fonction définie par morceaux

Déterminez si la fonction 𝑓 est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, sachant que 𝑓(𝑥)=9𝑥8𝑥<0,9𝑥8𝑥0.sisi

Réponse

Une fonction 𝑓(𝑥) est

  • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
  • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),

pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

On doit s’assurer que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.

L’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux est l’union des sous-domaines des différentes sous-fonctions. Ici, on a la sous-fonction 9𝑥8, définie sur l’intervalle ];0[, et une autre sous-fonction 9𝑥8, définie sur l’intervalle [0;+[. Les deux sous-fonctions sont linéaires, par conséquent, elles sont définies pour toutes les valeurs de leurs intervalles correspondants. L’union de ces deux ensembles de définition correspond à l’ensemble des nombres réels. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) peut être écrit .

Ceci est symétrique près de 0, nous pouvons donc maintenant tester la parité de la fonction en évaluant @𝑓𝑙𝑒𝑓𝑡(𝑥𝑟𝑖𝑔𝑡). Ceci est égal à la autre partie de la fonction par morceaux, la sous-fonction utilisée pour les valeurs négatives de 𝑥.

Pour $x < 0$, $-x$ sera positif:begin{align*}@fleft(-x right)&=9 times left(-x right)-8 &=-9x-8.end{align*}.

Si 𝑥<0, 𝑥 est positif:𝑓(𝑥)=9×(𝑥)8=9𝑥8.

On retrouve la définition de l’autre partie de notre fonction définie par morceaux, c’est-à-dire la fonction utilisée pour les valeurs négatives de 𝑥.

On obtient à nouveau la définition de l’autre partie de notre fonction définie par morceaux, la fonction utilisée pour les valeurs positives de 𝑥.

On peut confirmer ces résultats et vérifier ce qui se passe en 𝑥=0 en traçant le graphe de la fonction.

Le graphe présente une symétrie par rapport à l’axe des 𝑦.

Puisque 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition de 𝑓, la fonction est paire.

Nous allons maintenant voir comment l’ensemble de définition d’une fonction peut affecter sa parité.

Exemple 7: Identifier la parité d’une fonction

Déterminez si la fonction 𝑓(𝑥)=9𝑥 est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre, sachant que 𝑓]7;7].

Réponse

Une fonction 𝑓(𝑥) est

  • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
  • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),

pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

On doit s’assurer que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, sans quoi, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ou par rapport à l’origine serait impossible.

On sait que 𝑓]7;7]. Ceci peut se lire:« La fonction 𝑓 associe un réel à tout nombre de l’intervalle de bornes 7 et 7, ouvert à gauche et fermé à droite ». L’ensemble de définition est l’intervalle ]7;7], tandis que l’ensemble d’arrivée est l’ensemble des nombres réels.

À première vue, on peut penser que cet ensemble de définition est symétrique par rapport à 0;cependant, on sait que 𝑥 peut être égal à 7 mais pas à 7. Par conséquent, l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0.

Puisque l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) n’est pas symétrique par rapport à 0, la fonction n’est ni paire ni impaire.

Dans notre dernier exemple, nous verrons comment obtenir des informations sur les paramètres d’une fonction à partir de sa parité.

Exemple 8: Trouver une inconnue dans une fonction rationnelle d’après sa parité

Déterminez la valeur de 𝑎 sachant que 𝑓 est une fonction paire telle que 𝑓(𝑥)=68𝑥+𝑎𝑥3, 𝑥0.

Réponse

On sait que si 𝑓 et 𝑓 sont des fonctions paires, alors leur quotient 𝑓𝑓 est également pair. Par ailleurs, on sait qu’une fonction 𝑓(𝑥) est dite paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.

La fonction du numérateur ne dépendant pas de 𝑥 et il s’agit d’une fonction paire. Il en découle que la fonction au dénominateur doit également être paire. On a alors, 𝑓(𝑥)=8(𝑥)+𝑎(𝑥)3=8𝑥𝑎𝑥3.

Pour que la fonction soit paire, l’égalité 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥) doit être vérifiée pour tout 𝑥 de l’ensemble de définition de 𝑓:8𝑥𝑎𝑥3=8𝑥+𝑎𝑥3.

En soustrayant 8𝑥 et en additionnant 3 des deux côtés, l’équation devient 𝑎𝑥=𝑎𝑥.

Puisque 𝑥0, on peut diviser des deux côtés par 𝑥:𝑎=𝑎.

Cette équation n’est vérifiée que si 𝑎=0.

Ainsi, si 𝑓 est une fonction paire, alors 𝑎=0.

Récapitulons les points les plus importants abordés dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Une fonction 𝑓(𝑥) est
    • une fonction paire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
    • une fonction impaire si 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥),
    pour tout 𝑥 de son ensemble de définition.
  • Le graphe de toute fonction paire présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦. De même, une fonction dont le graphe présente une symétrie axiale par rapport à l’axe des 𝑦 est une fonction paire.
  • Le graphe de toute fonction impaire présente une symétrie centrale par rapport à l’origine. De même, une fonction dont le graphe présente une symétrie centrale par rapport à l’origine est une fonction impaire.
  • Une fonction dont l’ensemble de définition n’est pas symétrique par rapport à 0 n’est ni paire ni impaire.

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