Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser le principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse constante sous l’action d’une force constante.
Le principe d’inertie stipule que si aucune force résultante n’agit sur un corps, il ne changera pas de vecteur vitesse. Le principe fondamental de la dynamique stipule qu’une force résultante agissant sur une particule accélère la particule.
Définissons le principe fondamental de la dynamique.
Définition : Principe fondamental de la dynamique
Lorsqu’une force résultante agit sur un corps, celui-ci accélère dans la direction et le sens de la force. La norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule où est l’intensité de la force résultante sur le corps, est la masse du corps et est l’accélération du corps.
Le poids d’un corps est un exemple de force agissant sur le corps.
Définition: Poids d’un corps
Le poids d’un corps est une force d’intensité donnée par où est la masse du corps et est l’accélération de la pesanteur. Si la masse a pour unité le kilogrammes et l’accélération a pour unité le mètres par seconde carrée, le poids a pour unité le newtons. Sur Terre, la valeur de est habituellement supposée de 9,8 m/s2.
Étudions un exemple de force agissant pour accélérer une particule.
Exemple 1: Déterminer une force constante en utilisant le principe fondamental de la dynamique
Une force constante agit sur un corps de masse 9 kg tel que sa vitesse a varié de 58 km/h à 66 km/h en seconde. Calculez l’intensité de la force.
Réponse
L’accélération de la particule est nécessaire pour ce calcul. L’accélération est généralement exprimée en mètres par seconde carrée (m/s2), il est donc nécessaire de convertir les vitesses fournies en mètres par seconde ( m/s).
La vitesse de 58 km/h en mètres par seconde est et la vitesse de 66 km/h en mètres par seconde est L’augmentation de la vitesse est donc égale à L’augmentation de vitesse se produit pendant un intervalle de temps de seconde, donc l’accélération est égale à La force qui produit cette accélération agit sur une masse de 9 kg, et donc l’intensité de la force est
Une force résultante agissant dans le sens opposé au sens du déplacement d’un objet agit pour diminuer le vecteur vitesse de l’objet. Étudions un tel exemple.
Exemple 2: Déterminer l’intensité de la force agissant sur un objet en mouvement dans le sens opposé de son mouvement pour réduire son vecteur vitesse
Un corps de masse 41 kg se déplaçait le long d’une route horizontale à 14 m/s. Une force a commencé à agir sur le corps, s’opposant à son mouvement. En conséquence, sur les 26 m suivants, sa vitesse a diminué uniformément jusqu’à 12 m/s. Déterminez l’intensité de la force qui a provoqué cette variation du mouvement du corps.
Réponse
L’accélération du corps est nécessaire pour ce calcul. Comme la distance parcourue par le corps est indiquée, on peut calculer l’accélération en utilisant l’équation du mouvement rectiligne uniformément varié où est la vitesse du corps à la fin de l’intervalle, est la vitesse du corps au début de l’intervalle, et est le déplacement du corps le long de la ligne d’action de la force qui agit sur lui pendant l’intervalle.
La valeur de est négative car la force agit dans le sens opposé à .
Pour déterminer l’accélération, la formule doit être réarrangée pour isoler :
En substituant les valeurs connues, on obtient
La force agissant sur le corps a une intensité de
Considérons le principe fondamental de la dynamique lorsqu’il est appliqué à un système où l’accélération est donnée sous forme de vecteur.
Définition : Principe fondamental de la dynamique pour des vecteurs
Pour un corps de masse et d’accélération , la force appliquée sur le corps est donnée par où et sont toutes les deux des quantités vectorielles.
Nous pouvons maintenant étudier un exemple d’utilisation de cette formule.
Exemple 3: Déterminer l’intensité d’une force agissant sur un corps à partir du vecteur accélération et de la masse du corps
Un corps de masse 478 g a une accélération de , où et sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Quelle est l’intensité de la force agissant sur le corps ?
Réponse
On étudie d’abord les unités utilisées dans la question. Ces unités sont les grammes (g) et les mètres par seconde carrée (m/s2). Afin de trouver une solution en N, on doit convertir la masse en kilogrammes (kg). On peut alors dire que la masse du corps est 0,478 kg. On peut maintenant voir que l’accélération est donnée sous forme de vecteur, la formule que l’on peut utiliser pour trouver la force agissant sur le corps est donc
En substituant les valeurs de et , on obtient
Il s’agit de la forme vectorielle de la force agissant sur le corps. La question demande de déterminer l’intensité de la force, on doit donc déterminer la norme de ce vecteur. On peut le faire en prenant la racine carrée de la somme des carrés des composantes comme suit :
Donc, l’intensité de la force agissant sur le corps est 2,39 N.
Étudions un exemple de corps sur lequel des forces agissent dans des sens opposés.
Exemple 4: Déterminer la force de portance d’une montgolfière accélérant verticalement vers le bas
Une montgolfière de masse 1,5 tonne accélère verticalement vers le bas à 106,2 cm/s2. Sachant que l’accélération de la pesanteur est 9,8 m/s2, déterminez la force de portance générée par l’air chaud de la montgolfière.
Réponse
Pour simplifier la comparaison des forces verticales sur la montgolfière, l’accélération de la montgolfière peut être convertie de 106,2 cm/s2 à 1,062 m/s2.
Si aucune force dirigée verticalement vers le haut n’agissait sur la montgolfière, son accélération verticalement vers le bas serait de 9,8 m/s2. La force de portance verticale vers le haut sur la montgolfière est la force nécessaire pour réduire son accélération verticale vers le bas de
La masse de la montgolfière est 1,5 tonne. Pour obtenir une force de portance en newtons, cette masse doit être convertie en kilogrammes. Une tonne étant équivalente à 1 000 kg, la masse de la montgolfière est .
La force de portance sur la montgolfière est la force nécessaire pour accélérer une masse de 1 500 kg de 8,738 m/s2.
L’intensité de la force est donc
Étudions un autre exemple de corps sur lequel des forces agissent dans des sens opposés.
Exemple 5: Déterminer la vitesse d’un tank se déplaçant sur un sol résistant
Un tank de masse 41 tonnes a commencé à se déplacer le long d’une section d’un sol horizontal. L’intensité de la force de résistance à son mouvement était 9 newtons par tonne de sa masse, et l’intensité de la force générée par son moteur était 1 450 N. Déterminez la vitesse du tank 472 secondes après qu’il a commencé à se déplacer, en arrondissant le résultat au centième près.
Réponse
L’intensité de la force de résistance sur le tank est 9 newtons par tonne de sa masse. Le tank a une masse de 41 tonnes, donc l’intensité de la force de résistance agissant sur lui est L’intensité de la force agissant pour accélérer le tank est de 1 450 N donc l’intensité de la force résultante sur le tank est donnée par La masse du tank est 41 tonnes. Pour déterminer la norme de l’accélération du tank en mètres par seconde carrée, la masse du tank doit être exprimée en kilogrammes, on multiplie donc la masse en tonnes par 1 000.
La norme de l’accélération du tank est donnée par Le tank accélère à cette valeur pendant 472 s, donc l’augmentation de la vitesse du tank est donnée par Au centième près, elle est de
Le tank est au repos avant de commencer à se déplacer sur le sol résistant, donc la vitesse du tank après 472 secondes est 12,44 m/s.
Étudions maintenant un exemple où deux corps accélèrent en s’éloignant l’un de l’autre lorsque les forces agissant sur les corps varient.
Exemple 6: Déterminer la distance entre une montgolfière montant et un corps tombant à partir du vecteur vitesse de la montgolfière
Une montgolfière de masse 1 086 kg montait verticalement à 36 cm/s. Si un corps de masse 181 kg tombe de la montgolfière, calculez la distance entre la montgolfière et le corps 11 secondes après la chute du corps. Supposez que .
Réponse
Au départ, la montgolfière monte à une vitesse constante. L’accélération de la montgolfière est donc initialement nulle. La force verticalement vers le haut sur la montgolfière doit donc être égale au poids verticalement vers le bas de la montgolfière.
La force de portance sur la montgolfière a une intensité égale à celle du poids initial de la montgolfière, qui est donnée par
Lorsque la masse de 181 kg est éjectée de la montgolfière, le poids de la montgolfière diminue, mais la force de portance sur la montgolfière ne change pas. La force résultante verticale vers le haut sur la montgolfière a une intensité donnée par
L’accélération vers le haut de la montgolfière due à est donnée par Le déplacement vers le haut de la montgolfière pendant les 11 secondes en raison de cette accélération peut être trouvé en utilisant l’équation du mouvement rectiligne uniformément varié et il est donné par où est le vecteur vitesse initiale vers le haut de la montgolfière. La montgolfière monte initialement à 36 cm/s. Pour rendre le vecteur vitesse vers le haut de la montgolfière cohérent avec les unités de l’accélération , les 36 cm/s sont convertis en 0,36 m/s.
La valeur de est donc
Pendant que la montgolfière se déplace de 122,54 m vers le haut, la masse éjectée se déplace vers le bas lorsqu’elle tombe.
La masse éjectée est accélérée vers le bas à 9,8 m/s2 dans le sens opposé à et elle a initialement le même vecteur vitesse que la montgolfière, .
En utilisant la même équation du mouvement rectiligne uniformément varié utilisée pour déterminer , le déplacement vers le bas est donc
L’accélération et le déplacement vers le bas sont négatifs car le déplacement vers le haut est considéré comme positif.
La distance entre la montgolfière et la masse éjectée est donnée par
Points clés
- Lorsqu’une force résultante agit sur un corps, celui-ci accélère dans la direction et le sens de la force. La norme de l’accélération dépend de l’intensité de la force et de la masse du corps selon la formule où est la masse du corps et est la norme de l’accélération du corps.
- Pour un corps sur Terre, la force du poids agit verticalement vers le bas sur le corps avec une intensité donnée par où est la masse du corps et .
