Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l'aire latérale et l'aire totale d'un cône en utilisant les formules appropriées.
Nous allons commencer par réviser le vocabulaire associé aux cônes et à leurs aires. Il existent trois mesures principales qui décrivent un cône :
- le rayon, , de la base circulaire du cône, également appelé rayon de la base ;
- la hauteur, , c’est-à-dire la distance perpendiculaire entre le centre de la base et le sommet du cône ;
- la génératrice, , c’est-à-dire la distance entre le sommet et un point situé sur la circonférence de la base, le long du côté du cône.
Ces trois longueurs sont représentées sur la figure ci-dessous. Nous allons voir plus tard comment ces trois longueurs sont reliées les unes aux autres.
L’aire d’un cône est composée de deux parties distinctes : l’aire de la surface courbe, appelée aire latérale ou surface latérale, et l’aire de la base circulaire.
Formules : Aires d’un cône
La formule de l’aire latérale d’un cône, , est où est le rayon de la base du cône et est la génératrice.
La formule de l’aire totale d’un cône, , est
Nous devons faire attention à distinguer ces deux aires pour déterminer si l’aire de la base doit être utilisée dans un problème spécifique.
Nous allons maintenant montrer comment appliquer la formule pour calculer l’aire latérale d’un cône connaissant le diamètre de sa base et sa génératrice.
Exemple 1: Déterminer l’aire latérale d’un cône connaissant le diamètre de sa base et sa génératrice
Déterminez au dixième près l’aire latérale du cône de diamètre de 40 centimètres et de génératrice de 29 centimètres.
Réponse
Tout d’abord, on remarque que la question ne demande que l’aire latérale du cône, et non son aire totale. La formule requise est et on a donc besoin de connaître la génératrice et le rayon du cône. La génératrice de 29 cm est donnée dans la question, on peut calculer le rayon en divisant le diamètre par 2 :
Enfin, on substitue ces valeurs dans la formule de l’aire latérale et on calcule :
En arrondissant la réponse au dixième près comme demandé dans la question, l’aire latérale du cône est de 1 822,1 cm2.
Un point clé de l’exemple précédent était que le diamètre était donné, et non le rayon de la base du cône. Cela n’a pas posé de difficulté majeure car ce sont deux notions reliées par une formule simple, mais c’est un autre détail à prendre en compte lorsque l’on approche un problème.
Il était également important de déterminer si on devait calculer l’aire latérale ou l’aire totale du cône. Comme on calculait l’aire latérale, on n’a pas eu besoin d’inclure l’aire de la base circulaire. Considérons maintenant un exemple d’application de la formule pour calculer l’aire totale connaissant la génératrice et le rayon de la base d’un cône.
Exemple 2: Déterminer l’aire totale d’un cône connaissant sa génératrice et le rayon de sa base
Déterminez au centième près l’aire totale du cône illustré.
Réponse
D’après la figure, on remarque que le rayon de la base du cône est donné, il est de 19 cm, ainsi que sa génératrice qui est de 40 cm. Pour calculer l’aire totale, on substitue ces deux valeurs dans la formule correspondante et on simplifie :
Dans certains cas, il peut être demandé de donner une réponse exacte, auquel cas on doit laisser la réponse en fonction de . Dans ce problème cependant, il est demandé de donner une réponse au centième près, on continue donc le calcul :
L’aire totale du cône au centième près est de 3 521,73 cm2.
Nous avons maintenant vu des exemples sur la méthode pour calculer l’aire latérale et l’aire totale d’un cône connaissant le rayon de sa base (ou diamètre) et sa génératrice. Cependant, nous pouvons également être amenés à calculer l’aire d’un cône lorsque c’est sa hauteur qui est fournie. On n’a pas besoin d’utiliser une formule distincte, mais on prend cette fois en compte la relation entre le rayon de la base, la hauteur et la génératrice.
D’après la figure ci-dessus, on voit que le rayon de la base, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle. La relation entre ces trois longueurs peut donc être décrite en appliquant le théorème de Pythagore :
Ainsi, si on connaît deux de ces longueurs, on peut calculer la troisième en formulant et en résolvant une équation. Prenons un exemple de cela.
Exemple 3: Déterminer l’aire totale d’un cône connaissant sa génératrice et sa hauteur
Déterminez l’aire totale du cône droit, arrondie au centième près.
Réponse
D’après la figure, les deux longueurs données sont la génératrice et la hauteur du cône. La formule de l’aire totale d’un cône est et on doit donc déterminer le rayon de sa base, .
On peut formuler une équation reliant le rayon de la base, la hauteur et la génératrice en appliquant le théorème de Pythagore :
Remplacer par et et simplifier donne
On trouve en prenant la racine carrée et en choisissant uniquement la valeur positive car est une longueur :
Enfin, on substitue le rayon et la génératrice du cône dans la formule de l’aire totale. Il est préférable d’utiliser la valeur exacte de , et donc de , afin d’éviter toute erreur d’arrondi :
L’aire totale du cône au centième près est de 602,94 cm2.
Nous avons maintenant vu des exemples sur la méthode pour calculer les aires latérale et totale d’un cône à partir de deux de ses trois mesures principales. Nous pouvons résumer ces processus dans les étapes suivantes.
Comment : Calculer l’aire d’un cône
- Déterminer si l’aire latérale ou l’aire totale est demandée.
- Identifier le rayon de la base et la génératrice du cône.
- Si une de ces longueurs n’est pas donnée mais que la hauteur l’est, calculer la longueur manquante en appliquant le théorème de Pythagore.
- Substituer les longueurs du rayon et de la génératrice dans la formule correspondante, puis calculer.
Comme avec tous les domaines des mathématiques, les compétences que nous avons étudiées ici peuvent également s’appliquer à des problèmes d’un contexte réel. Chaque fois qu’un objet de la vie courante peut être modélisé de manière raisonnable par un cône, nous pouvons appliquer les formules que nous avons introduites pour calculer son aire latérale ou totale, comme nous le verrons dans les deux exemples suivants.
Exemple 4: Déterminer l’aire latérale d’un cône dans un contexte réel
Une montagne conique a un rayon de 1,5 km et une hauteur de 0,5 km. Déterminez l’aire latérale de la montagne au dixième près.
Réponse
La question indique que cette montagne est conique, le problème est donc essentiellement géométrique. Pour appliquer la formule de l’aire latérale, on doit connaître le rayon de la base et la génératrice de la montagne. La génératrice n’est pas donnée, mais comme on connaît le rayon de la base et la hauteur, on peut appliquer le théorème de Pythagore :
Remplacer par et et simplifier donne
Pour déterminer , on prend la racine carrée en choisissant uniquement la valeur positive car est une longueur :
On substitue maintenant les valeurs du rayon et de la hauteur du cône dans la formule de l’aire latérale :
L’aire latérale de la montagne au dixième près est de 7,5 km2.
On doit toujours veiller à utiliser les unités correctes dans la réponse. Lorsque l’on calcule des aires, les unités de la réponse doivent être des unités carrées. Dans l’exemple précédent, les longueurs données étaient mesurées en kilomètres et les unités de la réponse étaient donc des kilomètres carrés. On doit également s’assurer de vérifier s’il est demandé que la réponse soit donnée dans des unités différentes de celles données à l’origine ; par exemple, si les unités de longueur étaient des mètres et que l’aire était demandée en kilomètres carrés.
Exemple 5: Déterminer l’aire latérale d’un cône dans un contexte réel
Un abat-jour conique mesure 31 cm de haut et a une base de circonférence de 145,2 cm. Déterminez l’aire courbe de l’extérieur de l’abat-jour. Donnez votre réponse au centimètre carré près.
Réponse
L’aire courbe de l’abat-jour est son aire latérale, qui est calculée à l’aide de la formule
On a donc besoin de connaître le rayon de la base du cône et sa génératrice, aucun des deux n’étant donné dans la question. On étudie à la place les autres informations données et on détermine comment on peut les utiliser pour calculer les longueurs dont on a besoin.
La base circulaire du cône a une circonférence de 145,2 cm. On sait que la formule de la circonférence d’un cercle est et on peut ainsi calculer le rayon en formulant et en résolvant une équation :
On connaît maintenant le rayon de la base et la hauteur du cône. Pour calculer la génératrice, on applique le théorème de Pythagore :
On détermine en prenant la racine carrée :
Enfin, on substitue les valeurs que l’on a calculées pour le rayon et la génératrice dans la formule de l’aire latérale :
L’aire courbe de l’extérieur de l’abat-jour au centimètre carré près est de 2 807 cm2.
Dans d’autres problèmes, on peut nous donner l’aire d’un cône et une autre information, et nous demander de déterminer l’une des autres longueurs principales. Il s’agit essentiellement de « faire le travail à l’envers », comme nous le verrons dans notre dernier exemple.
Exemple 6: Déterminer la hauteur d’un cône connaissant son aire et le rayon de sa base
L’aire d’un cône est égale à pouces carrés, et le rayon de sa base mesure 13 pouces. Déterminez la génératrice du cône.
Réponse
Dans ce problème, on connaît le rayon et l’aire d’un cône et il est demandé de déterminer sa génératrice. On rappelle la formule de l’aire (totale) d’un cône :
En substituant par l’aire et le rayon connus, on peut formuler une équation :
On peut maintenant résoudre cette équation pour déterminer la valeur de . Un facteur de peut d’abord être annulé sur chaque terme pour donner
On soustrait 169 aux deux membres et on divise par 13 :
La génératrice du cône est de 15 pouces.
Terminons par récapituler quelques points clés.
Points clés
- Les trois longueurs principales qui décrivent un cône sont le rayon de sa base , sa hauteur et sa génératrice .
- Ces trois longueurs sont reliées entre-elles par le théorème de Pythagore :
- L’aire courbe d’un cône de révolution est appelée son aire latérale et est calculée à l’aide de la formule
- Pour déterminer l’aire totale d’un cône de révolution, il faut aussi inclure l’aire de sa base circulaire :
