Fiche explicative de la leçon : Probabilité conditionnelle : tableaux à double entrée Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment aborder la notion de la probabilité conditionnelle en utilisant des tableaux d’effectifs à double entrées.

Lorsque l’on collecte des données non quantitatives, on compte combien de fois une caractéristique particulière se réalise. On peut ensuite présenter les résultats dans un tableau.

Une école collecte par exemple des données sur le nombre d’élèves qui se rendent à l’école en voiture, à pied ou à vélo, comme indiqué dans le tableau ci-dessous.

Moyen de transportVoitureMarcheVélo
Nombre d’élèves450650200

La population est ici l’ensemble des élèves et la variable est le moyen de transport, qui est une variable catégorielle (non numérique). Dans cet ensemble de données, la variable a 3 modalités:voiture, marche et vélo. On compte donc le nombre d’élèves qui empruntent chaque moyen de transport.

Il est alors possible de plonger davantage dans les données en les séparant en fonction du nombre de garçons ou de filles empruntant chaque moyen de transport. Les données varient ainsi non seulement en fonction du moyen de transport, mais également en fonction du sexe de l’élève, comme indiqué ci-dessous.

Moyen de transportVoitureMarcheVélo
Garçons200330120
Filles25032080

Nos données sont maintenant représentées dans un tableau à double entrée (parfois appelé tableau de contingence). Le double de tableau à double entrée fait référence aux deux variables (dans ce cas, le moyen de transport et le sexe de l’élève). En observant le tableau, on peut par exemple voir que 200 garçons viennent en voiture mais que seulement 120 garçons viennent à vélo.

On peut utiliser un tableau à double entrée pour calculer la probabilité qu’un événement se réalise ainsi que la probabilité conditionnelle qu’un événement se réalise sachant qu’un autre événement s’est réalisé. Avant de présenter cette méthode, nous allons commencer par rappeler la formule des probabilités conditionnelles.

Définition : Probabilités conditionnelles

La probabilité qu’un événement 𝐵 se réalise sachant que l’événement 𝐴 s’est déjà réalisé est 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),𝑃(𝐵𝐴) est la probabilité que 𝐵 se réalise sachant que 𝐴 s’est réalisé, 𝑃(𝐴𝐵) est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se réalisent (se produisent) simultanément et 𝑃(𝐴) est la probabilité que 𝐴 se réalise.

En utilisant l’exemple ci-dessus, nous allons voir comment utiliser un tableau à double entrée pour calculer des probabilités conditionnelles.

Si on souhaite calculer la probabilité qu’un élève vienne en voiture, sachant qu’il s’agit d’une fille, on remplace l’événement 𝐵 par l’événement « venir en voiture » et l’événement 𝐴 par l’événement « l’élève est une fille » et on obtient 𝑃()=𝑃()𝑃().voiturellevoiturellelle

Pour calculer la probabilité que l’élève soit une fille, nous devons déterminer le nombre total de filles et le diviser par le nombre total d’élèves. On peut le faire en additionnant les effectifs de la ligne des filles et en additionnant les effectifs de toutes les lignes, ou de toutes les colonnes, pour obtenir le nombre total d’élèves. Il est généralement utile de commencer par calculer les totaux des lignes, des colonnes et le total général d’un tableau à double entrée pour pouvoir ensuite calculer les probabilités.

Moyen de transportVoitureMarcheVéloTotal
Garçons200 330120650
Filles25032080650
Total450650200 1 300

On a maintenant besoin du nombre total de filles et du nombre total d’élèves, comme indiqué dans le tableau ci-dessous.

Le nombre total de filles est 650 et le nombre total d’élèves est 1 300. Pour calculer la probabilité qu’un élève soit une fille, c’est-à-dire la probabilité de sélectionner une fille, on utilise:𝑃()==6501300.llenombretotaldellesnombretotaldélèves

Calculons à présent la probabilité que l’élève sélectionné vienne en voiture et soit une fille. On peut utiliser le tableau à double entrée pour déterminer le nombre d’élèves qui viennent en voiture et qui sont des filles, puis le diviser par le nombre total d’élèves.

Le nombre de filles qui viennent en voiture est 250 et le nombre total d’élèves est 1 300, ce qui signifie que la probabilité de sélectionner une fille qui vient en voiture est 𝑃()==2501300.voiturellenombredellesvenantenvoiturenombretotaldélèves

En remplaçant donc 𝑃()=6501300lle et 𝑃()=2501300voiturelle dans la formule des probabilités conditionnelles, on obtient 𝑃()=𝑃()𝑃()==2501300×1300650=250650=513.voiturellevoiturellelle

Par conséquent, la probabilité qu’un élève vienne en voiture sachant qu’il s’agit d’une fille est de 513.

Notez qu’en calculant la probabilité que l’élève vienne en voiture sachant qu’il s’agit d’une fille, le nombre total d’élèves, 1 300, se simplifie. On peut en effet utiliser le tableau pour calculer la probabilité que l’élève vienne en voiture sachant qu’il s’agit d’une fille en déterminant simplement le nombre de filles qui viennent en voiture et en le divisant par le nombre total de filles:comme on calcule la probabilité sachant que l’élève est une fille, on ne considère que le nombre total de filles. Nous allons utiliser cette méthode dans la suite de cette fiche explicative.

En utilisant le tableau, on a:

Par conséquent, le nombre de filles qui viennent en voiture est 250 et le nombre total de filles est 650, ce qui signifie que la probabilité qu’un élève vienne en voiture sachant qu’il s’agit d’une fille est 𝑃()==250650=513.voiturellenombredellesvenantenvoiturenombretotaldelles

Nous allons explorer cette approche plus en détail dans le prochain exemple.

Exemple 1: Calculer une probabilité conditionnelle à partir d’un tableau d’effectifs à double entrée

Le tableau à double entrée ci-dessous indique les âges et les activités d’un groupe d’enfants participant à un camp de vacances.

NatationEscaladeRappel
14 ans et moins15248
Plus de 14 ans1832 24

Un enfant est sélectionné au hasard. Sachant qu’un enfant a choisi de faire du rappel, calculez la probabilité qu’il ait plus de 14 ans.

Réponse

Pour calculer la probabilité qu’un enfant ait plus de 14 ans sachant qu’il a choisi de faire du rappel, commençons par calculer les totaux des lignes et des colonnes du tableau.

NatationEscaladeRappelTotal
14 ans et moins1524847
Plus de 14 ans18322474
Total335632121

Comme nous recherchons ensuite la probabilité qu’un enfant ait plus de 14 ans sachant qu’il a choisi de faire du rappel, nous devons déterminer le nombre d’enfants de plus de 14 ans qui ont choisi de faire du rappel et le diviser par le nombre total d’enfants qui ont choisi de faire du rappel. On peut trouver ces effectifs dans le tableau:

Le nombre d’enfants de plus de 14 ans qui ont choisi de faire du rappel est 24 et le nombre total d’enfants qui ont choisi de faire du rappel est 32. En divisant ces effectifs, on trouve que la probabilité qu’un enfant ait plus de 14 ans sachant qu’il a choisi de faire du rappel est:𝑃(14)==2432=34.plusderappelnombredenfantsdeplusde14ansayantchoisilerappelnombretotaldenfantsayantchoisilerappel

Par conséquent, la probabilité qu’un enfant sélectionné au hasard ait plus de 14 ans sachant qu’il a choisi de faire du rappel est de 34, ou 75%.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer la probabilité d’un événement et la probabilité d’un événement conditionnel.

Exemple 2: Calculer une probabilité conditionnelle à partir d’un tableau à double entrée

Le tableau ci-dessous représente les données d’un sondage auprès de joueurs de jeux vidéo à qui on a demandé si leur support de jeu préféré était le smartphone, la console ou l’ordinateur. Les joueurs sont divisés par sexe.

  1. Calculez la probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère jouer sur une console. Donnez votre réponse au millième près.
  2. Sachant qu’un joueur préfère jouer sur une console, calculez la probabilité qu’il soit un homme. Donnez votre réponse au millième près.

Réponse

Commençons par calculer les totaux des lignes et des colonnes du tableau.

Partie 1

Pour calculer la probabilité qu’un joueur choisi au hasard préfère jouer sur une console, on détermine le nombre de joueurs qui préfèrent la console et on le divise par le nombre total de joueurs.

Soit C le nombre de joueurs qui préfèrent la console;on a alors 𝑃()==60243=0,247Cnombredejoueurspréférantlaconsolenombretotaldejoueursaumillièmeprès

En pourcentage, cela représente 0,247×100=24,7%25%. Par conséquent, environ 25% des joueurs préfèrent jouer sur une console.

Partie 2

Nous devons déterminer la probabilité qu’un joueur soit un homme sachant qu’il préfère jouer sur une console. Comme nous ne nous intéressons maintenant qu’aux joueurs qui préfèrent la console, nous ne prenons pas en compte ceux qui préfèrent jouer sur smartphone ou sur ordinateur. Il suffit donc de regarder la ligne Console du tableau (en bleu).

La probabilité conditionnelle 𝑃()HommeConsole qu’un joueur choisi au hasard soit un homme sachant qu’il préfère la console est alors 𝑃()==3760=0,617HommeConsolenombredhommespréférantlaconsolenombretotaldejoueurspréférantlaconsoleaumillièmeprès

Comme 0,617×10062%, on peut dire qu’il y a environ 62% de chance qu’un joueur sélectionné un hasard soit un homme sachant qu’il préfère jouer sur une console.

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser un tableau à double entrée pour calculer une probabilité conditionnelle où la condition concerne deux modalités.

Exemple 3: Calculer une probabilité conditionnelle à l’aide d’un tableau à double entrée

Deux boîtes contiennent des ampoules défectueuses, partiellement défectueuses (grillant après quelques heures d’utilisation) et acceptables.

Les nombres d’ampoules sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

Boîte 1Boîte 2
Défectueuses123
Partiellement défectueuses322
Acceptables2540

Une ampoule est choisie au hasard et utilisée. Si elle ne grille pas immédiatement, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la boîte 2?Arrondissez votre réponse au millième.

Réponse

Lorsque l’on travaille sur des tableaux à double entrée, il est utile de commencer par calculer les totaux des lignes et des colonnes.

Boîte 1Boîte 2Total
Défectueuses12315
Partiellement défectueuses32225
Acceptables254065
Total4065105

Nous devons calculer la probabilité qu’une ampoule provienne de la boîte 2 sachant qu’elle n’a pas grillé immédiatement. Nous devons être prudents avec les modalités ici car défectueuse signifie qu’elle grille immédiatement, partiellement défectueuse signifie qu’elle grille après quelques heures, donc pas immédiatement, et acceptable signifie qu’elle ne grille pas. Une ampoule qui ne grille pas immédiatement est donc acceptable ou partiellement défectueuse. Nous essayons ainsi de calculer la probabilité qu’une ampoule provienne de la boîte 2 sachant qu’elle est acceptable ou partiellement défectueuse.

Pour déterminer la probabilité qu’une ampoule soit choisie dans la boîte 2 sachant qu’elle est acceptable ou partiellement défectueuse, nous devons d’abord déterminer combien d’ampoules de la boîte 2 sont acceptables ou partiellement défectueuses. On peut pour cela utiliser le tableau pour déterminer le nombre d’ampoules acceptables de la boîte 2 et le nombre d’ampoules partiellement défectueuses de la boîte 2, puis les additionner.

Le nombre d’ampoules de la boîte 2 qui sont acceptables ou partiellement défectueuses est 22+40=62.

Pour calculer ensuite la probabilité qu’une ampoule provienne de la boîte 2 sachant qu’elle est acceptable ou partiellement défectueuse, nous devons déterminer le nombre total d’ampoules qui sont acceptables ou partiellement défectueuses. On utilise à nouveau le tableau pour déterminer le nombre total d’ampoules qui sont acceptables et le nombre total d’ampoules qui sont partiellement défectueuses, puis on les additionne.

Le nombre total d’ampoules acceptables ou partiellement défectueuses est donc 25+65=90.

On calcule maintenant la probabilité qu’une ampoule provienne de la boîte 2 sachant qu’elle est acceptable ou partiellement défectueuse en divisant le nombre d’ampoules de la boîte 2 qui sont acceptables ou partiellement défectueuses par le nombre total d’ampoules acceptables ou partiellement défectueuses. On obtient 𝑃()==6290=0,689.boîte2acceptableorpartiellementdéfectueusenombredampoulesdelaboîte2acceptablesoupartiellementdéfectueusesNombretotaldampoulesacceptablesoupartiellementdéfectueusesaumillièmeprès

Dans l’exemple suivant, nous devrons d’abord représenter les informations fournies dans un tableau puis calculer une probabilité conditionnelle.

Exemple 4: Tableaux à double entrée, probabilité conditionnelle et relation entre les effectifs de variables qualitatives

Dans un groupe de 96 personnes, 34 femmes sur 71 ont un smartphone et 18 hommes n’ont pas de smartphone. Calculez la probabilité qu’une personne sélectionnée au hasard dans ce groupe possédant un smartphone soit une femme.

Réponse

La question fournit des informations sur 96 personnes qui peuvent être classées en deux variables:hommes ou femmes, et propriétaire ou non d’un smartphone. On peut indiquer les informations connues dans un tableau puis calculer toutes les informations inconnues.

Comme il y a 96 personnes, on indique ce nombre dans le total général en bas à droite du tableau. On sait que 34 femmes sur 71 possèdent un smartphone, donc il y a 71 femmes au total, que l’on peut indiquer au bas de la colonne des femmes. On sait de plus que 34 d’entre elles possèdent des smartphones, ce qui correspond à la case dans la ligne des propriétaires de smartphones et dans la colonne des femmes. On sait enfin que 18 hommes n’ont pas de smartphone, donc on l’indique dans la case dans la ligne des non propriétaires de smartphones et dans la colonne des hommes.

HommesFemmesTotal
Propriétaires de smartphones34
Non propriétaires de smartphones18
Total7196

On peut déduire les valeurs des cases vides en ajoutant ou en soustrayant certaines valeurs connues. On peut d’abord calculer combien de femmes ne possèdent pas de smartphone en soustrayant 34 à 71, ce qui nous donne 37.

On calcule ensuite le nombre total de personnes qui ne possèdent pas de smartphone en additionnant le nombre d’hommes, 18 et le nombre de femmes, 37, qui ne possèdent pas de smartphone. Cela nous donne 55.

On peut également calculer le nombre total d’hommes en soustrayant le nombre total de femmes, 71, au nombre total de personnes, 96, ce qui nous donne 25.

On calcule alors le nombre d’hommes qui possèdent un smartphone en soustrayant le nombre d’hommes qui ne possèdent pas de smartphone, 18, au nombre total d’hommes, 25, ce qui donne 7.

On peut enfin calculer le nombre total de propriétaires de smartphones en ajoutant le nombre d’hommes qui possèdent un smartphone, 7 et le nombre de femmes qui possèdent un smartphone, 34, ce qui nous donne 41.

On peut vérifier ces résultats en additionnant le nombre total de personnes qui possèdent un smartphone, 41, et le nombre total de celles qui n’en possèdent pas, 55. On obtient bien l’effectif global de 96 personnes.

Maintenant que toutes les cases du tableau à double entrée sont remplies, nous pouvons calculer la probabilité qu’un propriétaire de smartphone sélectionné au hasard soit une femme. Cela correspond en fait à la probabilité qu’une personne sélectionnée au hasard soit une femme sachant qu’elle possède un smartphone.

Pour calculer cette probabilité, nous devons diviser le nombre de femmes qui possèdent un smartphone par le nombre total de propriétaires de smartphone. On peut trouver ces informations dans le tableau.

Le nombre de femmes qui possèdent un smartphone est 34 et le nombre total de personnes qui possèdent un smartphone est 41. En calculant la probabilité qu’une femme soit sélectionnée au hasard sachant qu’elle possède un smartphone, on obtient 𝑃()==3441.femmesmartphonenombredefemmespossédantunsmartphonenombredepersonnespossédantunsmartphone

Par conséquent, la probabilité qu’un propriétaire de smartphone sélectionné au hasard soit une femme est 3441.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier un autre cas où nous devrons d’abord compléter un tableau et déterminer des effectifs inconnus afin de pouvoir calculer une probabilité conditionnelle.

Exemple 5: Calculer une probabilité conditionnelle en complétant un tableau à double entrée

Une entreprise fabrique un produit dans deux usines différentes, 𝑈 et 𝑈. L’entreprise a trois clients, 𝐶, 𝐶 et 𝐶, et leur fournit chacun 80 unités par mois. L’usine 𝑈 produit 10 unités par mois et l’entreprise distribue cette quantité entre les trois clients 𝐶, 𝐶 et 𝐶 selon les pourcentages respectifs 20%, 30% et 50%. Si on sélectionne une unité au hasard dans un magasin du client 𝐶, calculez la probabilité qu’elle ait été produite par l’usine 𝑈.

Réponse

Il y a deux variables différentes dans cette question:les deux usines 𝑈 et 𝑈 et les trois clients 𝐶, 𝐶 et 𝐶;on peut donc utiliser le tableau à double entrée suivant pour représenter les informations fournies.

𝐶𝐶𝐶Total
𝑈
𝑈
Total

La question indique que l’entreprise fournit à chacun des trois clients 80 unités par mois. Cela signifie que les totaux des colonnes de 𝐶, 𝐶 et 𝐶 doivent tous être égaux à 80. Cela signifie également que le total général est la somme de ces valeurs, soit 240.

𝐶𝐶𝐶Total
𝑈
𝑈
Total808080240

On sait ensuite que 𝑈 produit 10 unités par mois, ce qui signifie que le total de la ligne 𝑈 est 10. Sachant que les 10 unités sont distribuées à 𝐶, 𝐶 et 𝐶 selon les pourcentages 20%, 30% et 50%, on sait que le nombre d’unité de 𝑈 pour 𝐶 est égal à 20% de 10, soit 2;le nombre d’unités de 𝑈 pour 𝐶 est égal à 30% de 10, soit 3;et le nombre d’unités de 𝑈 pour 𝐶 est égal à 50% de 10, soit 5. On peut donc compléter ces valeurs dans la ligne de 𝑈.

𝐶𝐶𝐶Total
𝑈23510
𝑈
Total808080240

On peut trouver les informations restantes dans le tableau en ajoutant ou en soustrayant les valeurs. On calcule les quantités de 𝑈 distribuées à chaque client en soustrayant les quantités de 𝑈 du total. On obtient 802=78 pour 𝐶, 803=77 pour 𝐶, et 805=75 pour 𝐶. On peut donc compléter ces informations dans la ligne de 𝑈.

𝐶𝐶𝐶Total
𝑈23510
𝑈787775
Total808080240

Pour calculer le total produit par 𝑈 on peut additionner les quantités reçues par 𝐶, 𝐶 et 𝐶, ce qui donne 78+77+75=230. On peut vérifier que cette valeur est correcte en soustrayant le total de 𝑈, 10, du total général 240.

𝐶𝐶𝐶Total
𝑈23510
𝑈787775230
Total808080240

Maintenant que nous avons trouvé toutes les informations dans le tableau croisé, nous pouvons calculer la probabilité que si une unité est sélectionnée parmi 𝐶, elle est produite par 𝑈, soit, en d'autres termes, la probabilité de sélectionner une unité produite par 𝑈 étant donné qu'elle est sélectionnée pour 𝐶. Pour calculer cela, nous devons calculer le nombre d'unités produites par 𝑈 pour 𝐶 et le diviser par le nombre total d'unités produites par 𝑈. Nous trouvons ces informations dans le tableau comme suit.

Il y a donc 75 unités produites par mois par 𝑈 pour 𝐶 et 80 unités produites pour 𝐶 au total. La probabilité de sélectionner une unité produite par 𝑈 sachant qu’elle a été distribuée à 𝐶 est donc 𝑃(𝑈𝐶)=𝑈𝐶𝐶=7580=0,9375.nombredunitéproduitesparpournombretotaldunitéproduitespour

Par conséquent, la probabilité qu’une unité sélectionnée dans un magasin de 𝐶 ait été produite par 𝑈 est de 0,9‎ ‎375.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à utiliser des tableaux d’effectifs à double entrée pour calculer des probabilités conditionnelles. Récapitulons les points clés.

Points clés

  • Le double de tableau à double entrée indique que deux variables sont étudiées.
  • Dans un tableau à double entrée, on représente les effectifs ou les fréquences des modalités de deux variables qualitatives.
  • Les valeurs (ou modalités) de la variable en ligne sont indiquées sur la première case de chaque ligne et les valeurs (ou modalités) de la variable en colonne sont indiquées sur la première case de chaque colonne.
  • On utilise des tableaux à double entrée pour étudier la relation entre deux variables catégorielles. Ils permettent notamment de calculer des probabilités conditionnelles.
  • Les probabilités conditionnelles peuvent être déterminées directement à partir de tableaux à double entrée.
  • La probabilité de l’événement 𝐵 sachant que l’événement 𝐴 s’est réalisé, 𝑃(𝐵𝐴), est égale à l’effectif de l’événement 𝐴 divisé par l’effectif de 𝐵𝐴:𝑃(𝐵𝐴)=𝐵𝐴𝐴.eectifdeeteectiftotalde
  • On peut également utiliser la formule de probabilité conditionnelle, 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴),𝑃(𝐴𝐵) est la probabilité que 𝐴 et 𝐵 se produisent simultanément.

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