Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver les composantes et d’un vecteur en fonction de son intensité et de l’angle entre le vecteur et l’un des axes.
Une grandeur scalaire est une grandeur qui a une intensité seulement ; elle correspond simplement à une taille ou une quantité. Un exemple de grandeur scalaire en science physique est la masse.
Une grandeur vectorielle est une grandeur qui a à la fois une intensité et une direction. Un exemple de grandeur vectorielle en science physique est le vecteur vitesse. Le vecteur vitesse représente la vitesse à laquelle un objet se déplace et dans quelle direction.
On peut représenter graphiquement des vecteurs en utilisant des flèches. La longueur de la flèche représente l’intensité du vecteur, et la direction de la flèche représente la direction du vecteur.
La figure ci-dessous illustre un vecteur représenté par une flèche.
L’intensité du vecteur est de 6,4 cm, et la direction du vecteur est de depuis la partie positive de l’axe des dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
L’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre la partie positive de l’axe des et le vecteur est appelé l’argument du vecteur.
Il existe cependant une autre manière de représenter un vecteur. On peut représenter un vecteur en fonction de ses composantes. La composante, ou composante horizontale, d’un vecteur est la longueur du vecteur selon l’axe des . La composante, ou composante verticale, d’un vecteur est la longueur du vecteur selon l’axe des .
La figure ci-dessous illustre le même vecteur que celui vu précédemment, mais tracé sur une grille. La longueur et la largeur de chaque carré de la grille est de 1 cm.
On peut voir que la longueur du vecteur selon l’axe des est égale à 4 carrés de la grille, ou 4 cm, et la longueur du vecteur selon l’axe des est égale à 5 carrés de la grille, ou 5 cm. Ce sont les composantes et du vecteur.
On pourrait noter ces composantes comme un simple couple de valeurs, c’est-à-dire, , mais il est plus pratique d’utiliser une notation faisant appel aux vecteurs unitaires.
Un vecteur unitaire est un vecteur qui a une intensité de 1. Par convention, on utilise le symbole pour représenter un vecteur unitaire le long de l’axe des et le symbole pour représenter un vecteur unitaire le long de l’axe des . Ces deux vecteurs unitaires sont représentés sur la figure ci-dessous.
On peut obtenir le vecteur bleu sur la figure ci-dessus en additionnant les multiples des deux vecteurs unitaires, et , comme indiqué ci-dessous.
Le vecteur bleu est égal à l’addition de 4 et 5 . On peut écrire cela algébriquement comme
En réalité, tout vecteur peut être représenté de cette manière. Pour un vecteur , si on note la valeur de la composante du vecteur et la valeur de la composante , alors
De cette façon, on peut calculer les composantes d’un vecteur et écrire le vecteur sous forme de composantes en utilisant la notation avec les vecteurs unitaires lorsque l’on a une grille. En revanche, si on nous donne l’intensité et l’argument d’un vecteur, on peut déterminer ses composantes en utilisant la trigonométrie.
Tout vecteur forme un triangle rectangle avec l’axe des , comme illustré ci-dessous.
Si est l’angle entre le vecteur et l’axe des , alors le côté adjacent du triangle est la longueur horizontale du vecteur, le côté opposé du triangle est la longueur verticale du vecteur, et l’ hypoténuse est l’intensité du vecteur.
Rappelons que
On peut réorganiser cette expression pour isoler le côté adjacent du triangle dans l’équation :
Étant donné que le côté adjacent du triangle est égal à la composante horizontale du vecteur, , et que l’hypoténuse est égale à ‘intensité du vecteur, que l’on notera , cela revient à écrire
De même, on rappelle que
On peut réorganiser cette expression pour isoler le côté opposé du triangle dans l’équation :
Étant donné que le côté opposé du triangle est égal à la composante verticale du vecteur, , et l’hypoténuse est égale à la magnitude du vecteur, , cela revient à écrire
On peut utiliser ces deux relations pour déterminer les composantes horizontale et verticale d’un vecteur en fonction de son intensité et de son argument.
Exemple 1: Déterminer les composantes d’un vecteur sur une grille
Écrire sous forme composante.
Réponse
En observant la grille, on voit que le vecteur a une longueur horizontale de 6 carrés et une longueur verticale de 3 carrés.
Rappelons que l’on peut exprimer n’importe quel vecteur comme une somme de multiples de vecteurs unitaires selon les directions et : où est la composante horizontale du vecteur, est la composante verticale du vecteur, est un vecteur unitaire le long de la partie positive de l’axe des , et est un vecteur unitaire le long de la partie positive de l’axe des .
En regardant à nouveau la figure, on voit que le vecteur est orienté selon la direction des positifs, de sorte que sa composante horizontale est égale à 6, mais selon les négatifs, ce qui signifie que, bien que sa longueur verticale soit de 3, sa composante verticale est de . Par conséquent,
Exemple 2: Déterminer la composante 𝑥 d’un vecteur en fonction de son intensité et de son argument
La figure ci-dessous illustre un vecteur ayant une intensité de 22. L’angle entre le vecteur et l’axe des est de . Détermine la composante horizontale du vecteur. Donnez votre réponse à l’entier près.
Réponse
Rappelons que l’on peut utiliser la formule où est l’intensité du vecteur et est l’argument du vecteur, pour déterminer la composante horizontale du vecteur, .
En remplaçant avec les valeurs données dans la question, on obtient
Arrondi à l’entier le plus proche, cela nous donne 18.
Exemple 3: Déterminer les composantes d’un vecteur en fonction de son intensité et de son argument
La figure ci-dessous illustre un vecteur, , ayant une intensité de 91. L’angle entre le vecteur et l’axe des est de . Exprimez ce vecteur sous forme composante. Arrondissez votre réponse à l’entier près.
Réponse
Rappelons que l’on peut utiliser les formules où est l’intensité du vecteur et est l’argument du vecteur, pour déterminer la composante horizontale du vecteur, , et la composante verticale du vecteur, .
Dans cette question, on nous donne l’angle entre le vecteur et la partie négative de l’axe des , or l’argument d’un vecteur est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre avec la partie positive de l’axe des . Pour trouver l’argument du vecteur, il suffit de prendre , qui donne .
En utilisant cette valeur, ainsi que la valeur de l’intensité du vecteur donnée dans la question, avec la première formule, on obtient
Arrondi à l’entier le plus proche, cela nous donne .
En faisant de même avec la deuxième formule, on obtient
Arrondi à l’entier le plus proche, cela nous donne 40. On nous demande de donner notre réponse sous forme de composantes, soit la forme , donc notre réponse finale est
Points Clés
- Tout vecteur peut être représenté par une somme de multiples de vecteurs unitaires le long de l’axe des et de l’axe des . Si est la composante horizontale du vecteur, est la composante verticale du vecteur, est un vecteur unitaire le long de l’axe des , et est un vecteur unitaire le long de l’axe des , alors
- Si un vecteur est représenté sur une grille, il est possible de déterminer les composantes du vecteur en comptant les carrés de la grille.
- Si on nous donne l’intensité et l’argument d’un vecteur, on peut déterminer ses composantes en utilisant la trigonométrie. Si est l’intensité du vecteur et est son argument, où l’argument d’un vecteur est l’angle dans le sens inverse des aiguilles d’une montre entre la partie positive de l’axe des et le vecteur, alors
