Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les mesures des angles résultant de l'intersection de deux cordes, de deux sécantes, de deux tangentes, ou d'une tangente et d'une sécante dans un cercle.
On commence par rappeler les définitions des différents types de droites qui se rencontrent ou se coupent dans un cercle.
- Une corde d’un cercle est un segment dont les deux extrémités se situent sur la circonférence du cercle.
- Une sécante est une droite qui coupe un cercle en exactement deux points. Une sécante peut être considérée comme une corde qui a été prolongée indéfiniment dans les deux sens.
- Une tangente est une droite qui touche un cercle en un seul point.
Ces trois types de droites sont illustrés sur la figure ci-dessous.
L’objet de cette fiche explicative est de déterminer les mesures des angles formés lorsque deux de ces droites se coupent, que ce soit à l’intérieur ou à l’extérieur d’un cercle. Les mesures de ces angles sont liées aux mesures des arcs interceptés par les droites qui forment leurs côtés. On rappelle que la mesure d’un arc est définie comme la mesure de son angle au centre, comme illustré sur la figure ci-dessous.
Nous allons d’abord considérer des sommets à l’intérieur d’un cercle. On commence par définir les mesures des angles formés par des cordes sécantes.
Théorème : Angles entre deux cordes sécantes
La mesure de l’angle formé par deux cordes sécantes à l’intérieur d’un cercle est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par cet angle et par son angle opposé par le sommet.
Considérons les angles formés par l’intersection des cordes et sur la figure ci-dessous.
L’arc intercepté par l’angle est . L’arc intercepté par son angle opposé par le sommet est . Ainsi, d’après le théorème des angles entre deux cordes sécantes,
Pour l’angle , les arcs interceptés par cet angle et son angle opposé par le sommet sont et . Par conséquent,
Le même résultat peut également être appliqué pour déterminer la mesure de l’angle formé par l’intersection de deux sécantes à l’intérieur d’un cercle, ou d’une sécante et d’une corde. Cela est possible car une sécante est une corde prolongée indéfiniment dans les deux sens.
Dans le premier exemple, nous allons montrer comment appliquer ce résultat pour déterminer la mesure de l’angle entre deux cordes sécantes connaissant les mesures des deux arcs interceptés.
Exemple 1: Déterminer la mesure d’un angle entre deux cordes sécantes connaissant les mesures des arcs interceptés
Déterminez .
Réponse
D’après la figure, on voit que les segments et sont tous deux des cordes du cercle, en effet leurs deux extrémités se situent sur la circonférence du cercle. La valeur que l’on doit calculer, , est la mesure de l’un des angles formés par l’intersection de ces deux cordes. On rappelle donc le théorème des angles entre deux cordes sécantes : la mesure de l’angle formé par deux cordes sécantes à l’intérieur d’un cercle est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par l’angle et son angle opposé par le sommet.
Les arcs interceptés par l’angle et son angle opposé par le sommet sont et . Par conséquent,
En remplaçant et dans l’égalité, cela donne
Nous allons maintenant étudier des angles formés par des intersections à l’extérieur d’un cercle. Dans ce cas, les deux droites se rencontrant peuvent être deux tangentes, deux sécantes ou une de chaque.
Théorème : Angles entre des sécantes et des tangentes qui se coupent
La mesure de l’angle formé par deux sécantes, deux tangentes ou une sécante et une tangente qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés par ces droites.
Sur la figure ci-dessous, on illustre ce résultat pour l’angle formé par l’intersection des deux sécantes et .
L’arc mineur intercepté par les deux sécantes est et l’arc majeur est . Par conséquent, d’après le théorème des angles entre des sécantes qui se coupent,
De la même manière, on illustre le résultat de l’intersection de deux tangentes, et : 
Notez que lorsque deux tangentes se coupent en un point à l’extérieur d’un cercle, les arcs majeur et mineur interceptés forment ensemble la totalité de la circonférence du cercle. Par conséquent, la somme des mesures des deux arcs interceptés est égale à . Il est important de retenir cela car on peut connaître la mesure d’un seul des arcs interceptés et en déduire celle de l’autre grâce à cette égalité.
Nous allons maintenant étudier un exemple dans lequel nous devons trouver la mesure de l’angle entre deux sécantes qui se coupent à l’extérieur d’un cercle connaissant les mesures des deux arcs interceptés.
Exemple 2: Déterminer la mesure de l’angle entre deux sécantes connaissant les mesures des deux arcs interceptés
Déterminez la valeur de .
Réponse
Les segments et sont deux segments qui interceptent le cercle, car ils coupent chacun le cercle en exactement deux points. Les deux segments sécants se coupent en un point extérieur au cercle et la valeur que l’on doit calculer est la mesure de l’angle formé par ces segments. Ainsi, on rappelle le théorème des angles entre des sécantes qui se coupent : la mesure de l’angle formé par deux sécantes qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés par ces droites.
Les deux arcs interceptés sont et . Comme a la plus grande mesure, on obtient la différence positive en soustrayant la mesure de à celle de . Par conséquent,
En substituant les mesures des deux arcs indiquées sur la figure et en simplifiant, cela donne
La valeur de est 36,5.
Notez que dans ce problème, la valeur de était purement numérique : la réponse était 36,5, et non . On compare cela avec l’exemple 1, pour lequel la solution était . Cela dépend en effet si l’unité de mesure ( degrés) est incluse dans la définition de l’angle : dans l’exemple 1, l’angle était simplement défini par , alors qu’il était défini par dans le deuxième exemple.
Nous avons maintenant vu des exemples sur la façon de calculer la mesure de l’angle formé par deux cordes et la mesure de l’angle formé par deux sécantes connaissant les mesures des deux arcs interceptés. Il est également possible de faire le travail inverse en partant de la mesure de l’angle formé par deux cordes, sécantes ou tangentes pour déterminer la mesure de l’un ou des deux arcs interceptés, à condition que nous ayons suffisamment d’informations. Dans des problèmes plus complexes, cela peut aussi nous obliger à écrire et à résoudre une équation algébrique, comme nous allons le voir dans le prochain exemple.
Exemple 3: Déterminer la mesure d’un arc majeur à partir des mesures de l’arc mineur et de l’angle formé par deux tangentes à ces arcs
Sachant que est la mesure de l’arc majeur , déterminez la valeur de .
Réponse
En analysant la figure, on observe qu’il y a deux tangentes, et au cercle qui partent du même point extérieur à ce cercle. On doit calculer la mesure de l’arc majeur intercepté par ces deux tangentes. On rappelle le théorème des angles entre des tangentes qui se coupent : la mesure de l’angle formé par deux tangentes qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés.
Si on imagine un point quelconque sur l’arc majeur reliant et , on peut exprimer ce résultat pour ce problème comme suit :
Sur la figure, on nous donne la mesure de l’angle entre les deux tangentes et une expression algébrique de la mesure de l’arc majeur que l’on appelle pour le moment . Pour trouver une expression de la mesure de l’arc mineur, on rappelle que la mesure de la circonférence totale d’un cercle est égale à . Par conséquent, la mesure de l’arc mineur est égale à .
On peut maintenant écrire une équation d’inconnue en substituant ces valeurs et ces expressions dans la formule ci-dessus. L’unité de mesure est la même pour chaque expression et peut donc être oubliée. En substituant à la mesure de l’arc majeur, à la mesure de l’arc mineur, et 64 à la mesure de l’angle entre les deux tangentes, on a
Pour déterminer , on multiplie d’abord les deux membres de l’équation par 2, puis on développe l’expression entre parenthèses :
Enfin, on ajoute 360 à chaque membre de l’équation, puis on divise les deux membres par 2 :
Considérons maintenant un autre exemple dans lequel on nous demande d’écrire et de résoudre une équation algébrique en reliant la mesure de l’angle entre une sécante et une tangente aux mesures des deux arcs interceptés. Ces deux mesures d’arc sont données comme des expressions linéaires d’inconnue que nous devons déterminer.
Exemple 4: Déterminer la mesure de deux arcs interceptés par des sécantes connaissant l’angle formé entre elles
Sachant que et sur la figure ci-dessous, déterminez la valeur de .
Réponse
D’après la figure, on remarque que le segment est une tangente au cercle car il coupe le cercle en un seul point. Le segment est un segment sécant car il coupe le cercle en exactement deux points et une de ses extrémités est sur la circonférence du cercle. Ces deux segments se coupent en un point extérieur au cercle et on connaît la mesure de l’angle qu’ils forment. On rappelle le théorème des angles entre des sécantes et des tangentes qui se coupent : « la mesure de l’angle formé par une sécante et une tangente qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés ».
D’après la figure, on observe que l’arc majeur intercepté est et que l’arc mineur intercepté est . On peut donc former une équation en utilisant les mesures de ces deux arcs et la mesure de l’angle formé par la sécante et la tangente :
On nous donne des expressions pour les deux variables et en fonction d’une troisième variable dont on doit calculer la valeur. En substituant et dans l’équation ci-dessus, on obtient une équation en fonction de uniquement :
On résout maintenant cette équation pour trouver . Bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire, on commence par échanger les deux membres pour que l’inconnue apparaisse sur le membre de gauche. On réduit ensuite à l’intérieur des parenthèses pour obtenir ce qui suit :
On multiplie les deux membres de l’équation par 2, ce qui donne
Enfin, on soustrait 4 à chaque membre de l’équation, ce qui donne
Nous avons maintenant étudié quatre exemples dans lesquels nous avons montré l’application des deux théorèmes clés à des problèmes numériques et algébriques. Les résultats que nous avons introduits dans cette fiche explicative peuvent également être appliqués à des problèmes plus complexes impliquant d’autres formes géométriques inscrites dans des cercles. Étudions maintenant un exemple dans lequel un pentagone régulier est inscrit dans un cercle et pour lequel nous devons déterminer la mesure de l’angle formé par deux tangentes au cercle.
Exemple 5: Déterminer l’angle entre deux tangentes en utilisant les propriétés des tangentes à un cercle et celles des polygones réguliers
Le pentagone régulier est inscrit dans le cercle , est une tangente au cercle en et est une tangente au cercle en . Déterminez .
Réponse
Après étude de la figure, on voit que l’angle est l’angle formé par l’intersection des deux tangentes et . On rappelle donc le théorème des angles entre des tangentes qui se coupent : « La mesure de l’angle formé par deux tangentes qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs ».
Il peut être utile d’ajouter de la couleur au schéma pour aider à identifier les arcs interceptés, comme indiqué ci-dessous.
On désigne l’arc majeur repassé en rose par et l’arc mineur repassé en orange par . La mesure de l’angle est donc donnée par
On ne connaît aucune mesure d’angle ou d’arc sur la figure. On rappelle cependant que le pentagone est régulier. Il peut donc être divisé en cinq triangles superposables en traçant les rayons de chaque sommet du pentagone au centre du cercle. On réalise un tel triangle en traçant les rayons et sur la figure ci-dessous.
La mesure de l’arc majeur est égale à la mesure de l’angle rentrant au centre du cercle. La mesure de l’arc mineur est égal à la mesure de l’angle aigu au même point. On rappelle que la somme des mesures des angles autour d’un point est égale à . Comme le pentagone est régulier et que les cinq triangles sont superposables, la mesure de l’angle aigu peut être trouvée en divisant par 5 :
La mesure de l’arc mineur est donc . On peut déterminer la mesure de l’arc majeur en soustrayant cette valeur à , ce qui donne .
En substituant les mesures des deux arcs dans la formule ci-dessus, on a
Dans des problèmes plus complexes avec plusieurs segments qui se coupent, il peut être nécessaire d’appliquer plus qu’un des théorèmes introduits dans cette fiche explicative. Nous pouvons également avoir besoin d’utiliser des résultats relatifs à d’autres types d’angles dans des cercles. Un angle inscrit est un angle formé par deux cordes d’un cercle dont le sommet appartient à la circonférence de ce cercle. Nous définissons ci-dessous la relation entre la mesure d’un angle inscrit et l’arc qu’il intercepte.
Définition : Mesure d’un angle inscrit
La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte.
Pour la figure ci-dessous, ce résultat peut s’écrire
Nous allons maintenant étudier un dernier exemple : un problème en plusieurs étapes dans lequel nous appliquons le théorème des angles entre deux cordes sécantes et le théorème des angles entre deux sécantes qui se coupent, en plus de ce que nous connaissons sur les angles inscrits.
Exemple 6: Déterminer la mesure d’un angle à partir des mesures de ses arcs majeur et mineur
Déterminez .
Réponse
Après examen de la figure, on constate que est la mesure de l’angle formé par l’intersection des deux cordes et à l’intérieur d’un cercle. Ainsi, d’après le théorème des angles entre deux cordes sécantes, la mesure de cet angle est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par ces cordes :
Ensuite, on remarque que l’angle dont on connait la mesure est l’angle formé par l’intersection des segments et sécants à l’extérieur du cercle. Ainsi, en rappelant que la mesure d’un tel angle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés, on a
On a maintenant un système de deux équations linéaires impliquant les mesures de et , mais on ne dispose pas d’informations suffisantes pour les résoudre pour le moment. L’autre information donnée sur la figure est la mesure de l’angle inscrit . En rappelant que la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte, on peut calculer la mesure de :
On peut maintenant substituer cette valeur dans la deuxième équation, ce qui permettra de trouver la mesure de . On pourra alors substituer les mesures des deux arcs dans la première équation pour déterminer .
En substituant dans la deuxième équation, on a
On détermine en multipliant d’abord chaque membre de l’équation par 2, puis en ajoutant à chaque membre :
Enfin, on trouve en calculant la moitié de la somme des mesures de et :
Par conséquent, .
Terminons par résumer certains points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- La mesure de l’angle formé par deux cordes sécantes à l’intérieur d’un cercle est égale à la moitié de la somme des mesures des arcs interceptés par l’angle et par son angle opposé par le sommet.
- La mesure de l’angle formé par deux sécantes, deux tangentes ou une sécante et une tangente qui se coupent en un point extérieur à un cercle est égale à la moitié de la différence positive des mesures des arcs interceptés.
- La mesure d’un angle inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte.
- Ces résultats peuvent être appliqués à des problèmes numériques et algébriques pour calculer les mesures d’angles résultants de l’intersection de deux cordes, deux sécantes, deux tangentes, ou une tangente et une sécante dans un cercle.
