Fiche explicative de la leçon: Conservation d’énergie dans les circuits Physique • Troisième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à appliquer les lois de Kirchhoff aux circuits pour déterminer les valeurs des courants et les différences de potentiel dans ces circuits.

Définissons d’abord ce que l’on entend par l’énergie dans un circuit. On a l’habitude de rencontrer l’énergie sous d’autres formes, telles que l’énergie mécanique, mais qu’entend-on lorsque l’on parle de l’énergie dans un circuit électrique ? 

Soient deux points dans un circuit, le point et le point , ayant une différence de potentiel entre leurs bornes générée par un champ électrique de sorte que le point ait un potentiel plus élevé que le point . À présent, supposons qu’une charge positive, , soit placée au point . La différence de potentiel va engendrer le déplacement de la charge à partir du point jusqu’au point , comme illustré sur le schéma suivant.

La charge se déplace car la différence de potentiel exerce une force agissant sur la charge tout au long de son déplacement. Le travail effectué sur la charge, , est égal à la charge multipliée par la différence de potentiel entre les deux points : 

Lorsque la charge passe du potentiel le plus élevé au plus bas, l’énergie est transférée en passant d’une énergie potentielle électrique à d’autres catégories d’énergie.

Dans un circuit électrique, on peut étudier la quantité de charge, , qui est passée par un certain point pendant un certain temps, . Rappelons que le courant mesuré en un point dans un circuit électrique, , est égal à la quantité de charge qui passe par ce point du circuit divisée par le temps : 

Cette expression peut être réorganisée en une autre expression exprimant la charge qui est passée par ce point dans le circuit : 

Nous pouvons ainsi la remplacer dans notre équation de l’énergie électrique, puis diviser les deux côtés de l’équation par  : 

Ceci correspond à la quantité d’énergie par unité de temps que le circuit électrique consomme - également connue sous le nom de puissance,

Dans un circuit électrique, l’énergie se conserve ; le circuit ne peut pas créer ou perdre de l’énergie spontanément. Cependant, l’énergie électrique peut être transformée en d’autres catégories d’énergie entre des points où le potentiel du circuit change (par exemple, à travers une résistance).

Intéressons-nous à un point dans un circuit où le circuit se divise en deux. Le point en lequel un circuit se divise ou se rejoint est appelé un « nœud » ou une « jonction ».

Le diagramme ci-dessous illustre ce point dans un circuit, avec un courant en entrée du nœud et et en sortie du nœud : 

La quantité d’énergie qui arrive sur le nœud par unité de temps, c’est-à-dire la puissance en entrée, est égale à la somme des courants arrivant sur le nœud multipliée par la tension aux bornes du nœud,  : 

La quantité d’énergie sortant du nœud par unité de temps, c’est-à-dire la puissance en sortie, est égale à la somme des courants sortant du nœud multipliée par la tension aux bornes du nœud : 

L’énergie à travers le nœud se conserve ; la puissance en entrée du nœud est égale à la puissance en sortie du nœud : 

En termes de courant et de potentiel cela peut s’exprimer de la façon suivante

Nous pouvons diviser les deux côtés de cette équation par pour exprimer les courants en entrée et en sortie du nœud : 

À présent, imaginons un nœud avec de nombreux courants entrants et sortants : 

Ici encore, nous pouvons calculer la puissance en entrée du nœud : 

De même, nous pouvons calculer la puissance en sortie du noeud : 

L’énergie se conserve, donc

En remplaçant les expressions de et , puis en divisant les deux côtés par nous obtenons une expression reliant les courants en entrée et en sortie d’un nœud : 

Cette relation est la première des deux lois de Kirchhoff. La première loi de Kirchhoff dit que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud.

Ceci peut être utilisé dans les circuits électriques pour calculer les courants dans les diverses branches d’un circuit. Par exemple, sur le diagramme ci-dessous, les courants de deux des branches sont connus et peuvent être utilisés pour calculer le courant dans la troisième branche.

Sans connaître la valeur d’aucune des résistances, ni même la différence de potentiel aux bornes de la pile, nous pouvons utiliser la première loi de Kirchhoff pour établir la relation entre les trois courants : 

En réorganisant cette expression pour isoler et en remplaçant les valeurs de et nous obtenons

Étudions maintenant un exemple où il faut utiliser la première loi de Kirchhoff.

Exemple 1: Utiliser la première loi de Kirchhoff pour calculer le courant dans un circuit

On nous donne les valeurs des courants circulant à travers deux fils du circuit illustré ci-dessous. Les courants et sont inconnus.

1. Trouvez .
2. Trouvez .

Réponse

Partie 1

La première loi de Kirchhoff dit que la somme des courants entrant dans un nœud dans un circuit est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Pour trouver , regardons d’abord le nœud en haut du circuit. Le courant total en entrée de ce nœud, , est égal à et le courant total en sortie du noeud, , est égal à

En égalisant les deux expressions, nous obtenons

Partie 2

Pour trouver , regardons à présent le nœud en bas du circuit. Le courant total en entrée de ce noeud, , est et le courant en sortie de ce noeud, , est

En égalisant les deux expressions, nous obtenons

Notez que aurait pu être trouvé en regardant la branche à droite du circuit et en remarquant que car ces courants sont donnés en deux points configurés en série.

Nous pouvons aussi considérer le potentiel électrique d’un circuit en termes d’énergie.

Regardons le circuit suivant, composé d’une pile et de deux résistances. La différence de potentiel aux bornes de la pile vaut et celles à travers la première et la deuxième résistance valent et respectivement. Prenons une vue agrandie d’une charge positive, , circulant dans le circuit. Dans ce cas, on suit une charge positive se déplaçant dans la même direction que le courant.

Nous pouvons calculer le travail effectué sur la charge positive lorsqu’elle se déplace à travers les points 1 à 6 du circuit. Le travail effectué est égal à l’intensité de la charge multipliée par la différence de potentiel entre les points qu’elle parcourt. Ceci est égal à la variation de l’énergie potentielle électrique de la charge et peut être visualisé sur le graphique suivant représentant l’énergie potentielle électrique, en fonction de la distance parcourue dans le circuit, .

Notez que le travail effectué sur la charge nous indique seulement la variation de l’énergie du potentiel électrique ; la charge possède déjà à l’origine un certain niveau d’énergie électrique potentielle noté .

Comme on le voit, l’énergie du potentiel électrique de la charge au moment où elle revient au point 1 du circuit doit être la même que l’énergie du potentiel électrique de la charge lorsqu’elle était au point 1 avant d’effectuer un tour. Ceci est dû au fait que l’énergie dans le circuit se conserve ; dans chaque boucle du circuit, la particule ne peut ni gagner ni perdre d’énergie potentielle électrique.

Cela signifie que le travail total effectué sur la charge au cours d’une boucle du circuit doit être égal à zero : 

La valeur de la charge étant constante, on peut donc diviser cette équation par  : 

Comme pour l’énergie potentielle électrique, nous pouvons aussi tracer le graphique du potentiel électrique de la charge, en fonction de la distance parcourue à travers le circuit, .

Notez que la charge a déjà un certain potentiel électrique d’origine,  ; on ne peut donc mesurer que la différence de potentiel entre deux points du circuit.

Ce qui signifie que, puisque l’énergie se conserve au cours d’une boucle dans un circuit, la somme des différences de potentiel aux bornes de chaque composant de la boucle doit être égale à zero : 

Ceci est la deuxième loi de Kirchhoff ; la somme des différences de potentiel aux bornes de tous les composants d’une boucle dans un circuit est égale à zéro.

Utilisons maintenant la deuxième loi de Kirchhoff pour calculer les différences de potentiel inconnues dans un circuit.

Exemple 2: Utiliser la deuxième loi de Kirchhoff pour calculer la tension dans un circuit

La chute de potentiel aux bornes de la résistance dans le circuit illustré ci-dessous est de 15 V. La tension aux bornes de l’une des piles alimentant le circuit est de 5,5 V. Calculez la tension aux bornes de l’autre pile alimentant le circuit.

Réponse

La deuxième loi de Kirchhoff dit que la somme de la différence de potentiel aux bornes de chaque composant d’une boucle dans un circuit est égale à zéro.

Dans ce circuit, nous savons que le gain de potentiel aux bornes de la première pile est de 5,5 V, que le gain de potentiel à travers la deuxième pile est , et que la chute de potentiel aux bornes de la résistance est de 15 V.

En écrivant la deuxième loi de Kirchhoff pour cette boucle, nous avons

Nous pouvons appliquer la deuxième loi de Kirchhoff aux circuits qui se divisent en plusieurs branches. Par exemple, le circuit suivant a trois boucles, offrant à une charge trois chemins possibles, comme illustré sur le schéma suivant.

Ici, on va dire que . Nous pouvons suivre une charge se déplaçant dans les deux sens le long de chaque boucle, et tracer les graphiques représentant le potentiel électrique par rapport au potentiel électrique d’origine, , en fonction de la distance parcourue dans la boucle, . Ces graphiques sont illustrés ci-dessous.

Comme précédemment, tout au long d’une boucle, le travail effectué sur la charge, et donc la différence de potentiel totale aux bornes de chaque composant de la boucle, doit être égal à zéro. Cela signifie que la deuxième loi de Kirchhoff peut être appliquée à n’importe quelle boucle d’un circuit.

Voyons maintenant un exemple de question appliquant la deuxième loi de Kirchhoff à un circuit comportant plusieurs boucles.

Exemple 3: Utiliser la deuxième loi de Kirchhoff pour calculer la tension dans un circuit comportant plusieurs boucles

Déterminez la chute de potentiel aux bornes de la résistance dans le circuit illustré ci-dessous. Les piles alimentant le circuit ont chacune une tension entre leurs bornes de 2,5 V.

Réponse

Ce circuit possède trois boucles qui peuvent être parcourues dans les deux sens, que l’on peut identifier sur le schéma électrique comme suit.

Pour déterminer la chute de potentiel aux bornes de la résistance, , on peut utiliser soit la boucle A, soit la boucle C.

Rappelons que, selon la deuxième loi de Kirchhoff, la somme des différences de potentiel aux bornes de chaque composant d’une boucle est égale à zero : 

Pour la boucle A, nous avons donc

Ce qui, une fois réorganisé, nous donne

Ainsi, la chute de potentiel aux bornes de la résistance est égale à 5 V.

Lorsque nous avons des piles configurées en parallèle, la deuxième loi de Kirchhoff permet de mettre en évidence un fait notable.

Considérons le circuit illustré sur le schéma suivant.

Si la valeur de n’est pas égale à la valeur de , alors la boucle semble ne pas obéir à la deuxième loi de Kirchhoff, ce qui strictement impossible car l’énergie se conserve toujours ! Dans ce cas, il y a en réalité une résistance interne dans chaque pile qui est non-négligeable et qui provoque la chute de potentiel nécessaire pour que l’énergie dans le circuit se conserve.

Ainsi, lorsque des piles en parallèle ne présentent pas une tension identique, il faut connaître leur résistance interne afin de pouvoir les analyser.

Voyons maintenant une question impliquant deux piles inégales configurées en parallèle.

Exemple 4: La deuxième loi de Kirchhoff appliquée aux piles en parallèle

La résistance dans le circuit illustré ci-dessous est alimentée par deux piles en parallèle branchées selon deux configurations différentes. Les piles ont des tensions aux bornes respectivement de 3,5 V et de 2,5 V. Dans la première configuration, les bornes positives de chaque pile sont connectées directement les unes aux autres et les bornes négatives sont connectées les unes aux autres. Dans la deuxième configuration, les bornes positives de chaque pile sont connectées directement à la borne négative de l’autre pile. Lequel des énoncés suivants décrit correctement la chute de potentiel aux bornes de la résistance dans les deux configurations ? 

1. La chute de potentiel sera la même dans les deux configurations.
2. La chute de potentiel dans les deux configurations dépendra des résistances internes des piles.
3. La chute de potentiel sera plus forte dans la deuxième configuration.
4. La chute de potentiel sera plus forte dans la première configuration.

Réponse

Tout d’abord, regardons le circuit du haut. En appliquant la deuxième loi de Kirchhoff à la boucle contenant la pile supérieure et la résistance, nous avons

En appliquant la deuxième loi de Kirchhoff à la boucle contenant la pile inférieure et la résistance, nous avons

Les deux expressions conduisent à des résultats différents ! L’énergie doit être conservée dans le circuit, il doit donc y avoir une résistance interne dans chaque pile que l’on va devoir connaître pour pouvoir analyser correctement le circuit.

On peut répéter le même raisonnement sur le circuit du bas. En appliquant la deuxième loi de Kirchhoff à la boucle contenant la pile supérieure et la résistance, nous avons

En répétant cela pour la boucle contenant la pile inférieure et la résistance, nous avons

Ici encore, les deux expressions conduisent à des résultats différents. Cela signifie que l’on doit connaître la résistance interne des piles pour pouvoir appliquer correctement les lois de Kirchhoff au circuit.

La seule façon de déterminer ce qui se produit lorsque l’on change la configuration des piles nécessite de connaître les résistances internes des piles. Par conséquent, la bonne réponse est la réponse B.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative à travers les points clés suivants.