Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment appliquer les lois du mouvement d’accélération uniforme d’une particule en ligne droite.
Commençons par rappeler comment le déplacement d’une particule en mouvement uniforme varie avec le temps. Nous connaissons peut-être déjà la formule
Cela peut aussi être exprimé en termes de variables. Supposons que nous commençons à mesurer la position d’une particule à un instant donné et nous finissons de la mesurer au moment . Ainsi, le vecteur vitesse, , est égal à la durée pendant lequel elle se déplace, , divisée par le vecteur de déplacement, . Cela peut être exprimé par
De plus, le déplacement peut être écrit en fonction des vecteurs de position (c’est-à-dire des vecteurs partant de l’origine et pointant la position d’une particule). En supposant que le vecteur position initiale de la particule est et que le vecteur position finale est , nous avons
C’est-à-dire qu’en ajoutant le vecteur de déplacement au vecteur de position initiale, nous obtenons le vecteur de position final. Cela peut être réarrangé en fonction du déplacement :
En combinant cette équation avec l’équation pour la vitesse, nous obtenons les formules suivantes.
Formule : Vecteur vitesse d’une particule en mouvement uniforme
Le vecteur vitesse, , d’une particule en mouvement uniforme est donné par où est le déplacement, est la durée du mouvement et et sont les vecteurs de position initial et final respectivement.
Alternativement, il se peut qu’une particule n’effectue pas de mouvement uniforme mais ait une accélération uniforme (c’est-à-dire une accélération constante). Il s’agit d’une situation très classique dans un contexte réel, car la gravité provoque une accélération uniforme vers le bas pour tous les objets. Rappelons que l’accélération est définie comme la variation de la vitesse dans le temps, donnée par
Comme précédemment, cela peut être exprimé en termes de variables.
Formule : Accélération uniforme d’une particule
L’accélération, , d’une particule, si elle est uniforme, est donnée par où est le vecteur vitesse initial (qui peut aussi être appelée ), est le vecteur vitesse final, est la variation de la vitesse et est la durée du mouvement.
Cette formule peut également être réarrangée pour être exprimée en fonction du vecteur vitesse final, . À partir de nous pouvons multiplier les deux côtés par obtenir ou, réarrangé en fonction de ,
Cette équation peut être simplifiée de plusieurs manières supplémentaires. En règle générale, nous prendrons le temps de départ en 0, ce qui signifie que est juste . Nous pouvons alors écrire ceci sans indice comme . Cela nous donne
Une autre simplification que nous pouvons faire est que, puisque l’accélération est uniforme, l’ensemble du mouvement se fait dans le même sens (ou dans le sens opposé). Ainsi, nous pouvons écrire cette équation sans utiliser de vecteurs, en utilisant un signe négatif si le mouvement se fait dans le sens opposé. En fait, il s’agit d’une hypothèse que nous pouvons faire tout au long de cette fiche explicative. Si nous formulons cette hypothèse, alors nous obtenons la première des trois formules cinématiques que nous examinerons dans cette fiche explicative.
Formule : Première équation cinématique
Pour une particule se déplaçant avec une accélération constante, sa vitesse après une certaine durée est donnée par où est sa vitesse initiale et est son accélération.
Il est à noter que si l’accélération est égale à 0, alors , ce qui nous montre que la vitesse initiale sera égale à la vitesse finale, comme prévu. Aussi, dans le cas où la vitesse initiale , alors , ce qui signifie que la vitesse est directement proportionnelle à l’accélération et à la durée.
Dans tous les cas, l’équation ci-dessus peut être utilisée pour résoudre tout problème dans lequel trois des quatre variables sont connues et que nous sommes tenus de trouver la quatrième.
Voyons maintenant un exemple où nous déterminons la vitesse d’une particule en accélération constante.
Exemple 1: Déterminer la vitesse finale d’une particule en accélération uniforme
Si une particule commence à se déplacer en ligne droite avec une vitesse initiale de 25,1 cm/s et une accélération uniforme de 2,4 cm/s2, déterminez sa vitesse après 9 secondes.
Réponse
La vitesse de la particule lors son accélération peut être déterminée par la formule
Nous pouvons substituer par les valeurs données pour , , et dans la formule.
Nous constatons alors que
Le déplacement d’une particule est le produit de sa vitesse et du temps pendant lequel elle se déplace. La vitesse d’une particule dépend de son accélération et du temps pendant lequel elle accélère, ainsi, le déplacement d’une particule qui est initialement au repos peut être exprimé en fonction de son accélération et du temps pendant lequel elle accélère.
Pour une particule à vitesse constante, son déplacement peut être exprimé par
Si nous supposons que vaut zéro, nous pouvons noter comme et cela devient
Pour une particule en accélération uniforme qui est initialement au repos et qui a une vitesse finale , la moyenne des vitesses initiale et finale est donnée par
Le déplacement de la particule pendant un intervalle de temps est ensuite donnée par
Pour une particule initialement au repos, il est vrai que
En substituant cette expression de dans l’expression de , nous obtenons
Pour une particule en accélération uniforme qui a initialement une vitesse et une vitesse finale , la moyenne des vitesses initiale et finale est donnée par
Le déplacement de la particule dans un intervalle de temps est donné par
Cette expression peut également être représentée à l’aide d’un graphique, comme dans la figure suivante.
Le graphique montre que l’aire sous la ligne bleue correspond à la somme de l’aire d’un rectangle, , donnée par et de l’aire d’un triangle rectangle, , donnée par
Nous pouvons noter la vitesse à l’instant par . La figure suivante montre que l’aire du triangle rectangle hachuré en bleu dont la longueur d’un côté est est égale à l’aire du triangle rectangle hachuré en blanc dont la longueur d’un côté est .
L’aire en dessous la ligne bleue est donc égale à celle du rectangle illustré sur la figure suivante.
Cette aire est égale au déplacement de la particule à l’instant , donnée par
Pour une particule avec une vitesse initiale , nous avons
En substituant cette expression pour dans l’expression de , nous obtenons
Ceci est notre deuxième équation cinématique et elle est utile pour tout problème dans lequel nous avons besoin de déterminer le déplacement d’une particule en accélération uniforme.
Formule : Deuxième équation cinématique
Pour une particule se déplaçant en accélération constante, son déplacement après un temps est donné par où est sa vitesse initiale et est son accélération.
Nous notons que, tout comme notre formule précédente, nous pouvons la considérer dans certains cas spéciaux utiles. Si la particule commence son mouvement au repos, ce qui signifie que la vitesse initiale , alors nous avons juste . En outre, s’il n’y a pas d’accélération, ce qui signifie que , alors nous avons , qui décrit une particule en mouvement uniforme comme nous l’avons vu au début de la fiche explicative.
Etudions maintenant un exemple dans lequel nous cherchons le déplacement d’un corps en accélération.
Exemple 2: Déterminer la distance parcourue par une particule en accélération uniforme
Une petite balle a commencé à se déplacer horizontalement à une vitesse de 16,3 m/s. Elle se déplace en ligne droite avec une décélération uniforme de 3 m/s2. Déterminez la distance que la balle couvre dans les premières 2 secondes.
Réponse
La balle se déplace en ligne droite, accélérant uniformément. Le déplacement d’un corps se déplaçant en ligne droite en accélération uniforme est donné par la formule où est la vitesse initiale du corps et est l’accélération du corps.
D’après l’énoncé, la balle décélère uniformément. Un corps en décélération accélère dans le sens opposé du vecteur vitesse défini lorsqu’il commençait à accélérer. Le signe de l’accélération a donc un signe opposé à celui du vecteur vitesse initial.
En substituant les valeurs données dans la question, nous avons
Voyons un autre exemple.
Exemple 3: Calculer les vitesses initiale et finale d’une particule en accélération uniforme
Une particule, se déplaçant en ligne droite, accélère à un rythme de 22 cm/s2 dans le même sens que son vecteur vitesse initial. Si la norme de son déplacement 10 secondes après avoir commencé à se déplacer était de 29 m, calculez la norme de son vecteur vitesse initial et de son vecteur vitesse à la fin de cette période.
Réponse
Le déplacement d’un corps en accélération uniforme est donné par la formule où est la vitesse initiale du corps et est l’accélération du corps. Dans cette question, est noté par .
On nous donne le déplacement du corps, son accélération et le temps pendant lequel il accélère. En substituant ces valeurs dans la formule, nous avons
Le déplacement est donné en mètres, l’accélération doit donc être convertie de 22 cm/s2 à 0,22 m/s2.
Cette expression peut être réarrangée pour isoler :
La norme du vecteur vitesse final, , du corps est donnée par
En substituant les valeurs connues, nous trouvons que
Si le temps pendant lequel un corps se déplace n’est pas connu mais que le déplacement et la vitesse initiale du corps sont connus, alors la vitesse finale peut être déterminée. De manière équivalente, si le déplacement et la vitesse finale du corps sont connus, alors la vitesse initiale peut être déterminée.
La relation entre la vitesse initiale et la vitesse finale quand la durée est inconnue fait intervenir les formules de la cinématique et
La formule peut être réarrangé pour exprimer en fonction des vitesses et de l’accélération :
Cette expression pour peut être substituée dans
Cela nous donne
Cette expression peut être réarrangée comme suit :
Cela nous donne l’équation cinématique finale, elle est idéale dans les cas où on nous donne le déplacement mais pas la durée du mouvement.
Formule : Troisième équation cinématique
Pour une particule se déplaçant en accélération constante, sa vitesse suite à un déplacement est donnée par où est sa vitesse initiale et est son accélération.
Etudions maintenant un exemple de modélisation du mouvement d’une particule dans un intervalle de temps inconnu.
Exemple 4: Déterminer la vitesse finale d’une particule en accélération uniforme
Une particule se déplace en ligne droite avec une accélération constante de 2 cm/s2. Sachant que sa vitesse initiale était de 60 cm/s, déterminez la vitesse du corps au centimètre par seconde près quand il est à 15 m du point de départ.
Réponse
Puisque le temps pendant lequel la particule s’est déplacée est inconnu, la vitesse de la particule est déterminée en utilisant la formule où est la vitesse finale, est la vitesse initiale, est l’accélération et est le déplacement.
La vitesse et l’accélération sont respectivement données en centimètres par seconde et en centimètres par seconde carrée, le déplacement doit donc être converti de 15 mètres à 1 500 centimètres. En substituant les valeurs connues dans la formule, nous obtenons
Au centimètre par seconde près, centimètre par seconde, vaut 98 cm/s.
Etudions maintenant un exemple du mouvement d’une particule qui nécessite d’analyser son mouvement sur deux intervalles de temps distincts.
Exemple 5: Utiliser les équations de la cinématique pour résoudre un problème en plusieurs étapes
Un corps accélère uniformément en ligne droite de manière à couvrir 72 m dans les premières 3 secondes de son mouvement et 52 m dans les 4 secondessuivantes. Déterminez son accélération et sa vitesse initiale .
Réponse
La distance parcourue par la particule dans les premières 3 secondes de son mouvement est plus grande que dans les 4 secondes suivantes ; par conséquent, la particule décélère à partir d’une vitesse initiale inconnue.
La vitesse moyenne d’une particule en accélération constante dans un intervalle de temps est donnée par où est la vitesse initiale et est la vitesse finale. La vitesse moyenne est aussi donnée par où est le déplacement et est la longueur de l’intervalle de temps. Nous avons donc que
Cette expression peut être réarrangée pour donner
Dans les premières 3 secondes du déplacement de la particule, nous voyons que
Dans les 4 secondessuivantes du déplacement de la particule, nous voyons que
La vitesse initiale est égale à la vitesse finale ; par conséquent, nous voyons que et
Nous avons donc que
La vitesse finale, après 7 secondes d’accélération, est inférieure de 22 m/s par rapport à la vitesse initiale. L’accélération de la particule dans le sens de son vecteur vitesse initial est donc donnée par
La vitesse initiale, , peut maintenant être déterminée à l’aide de la formule
En substituant des valeurs connues, nous obtenons
Une autre manière de résoudre cette question consiste à utiliser des équations simultanées.
Nous pouvons utiliser la formule pour les premières 3 secondes du mouvement et obtenir
Nous pouvons utiliser la même formule pour les 4 secondes suivantes du mouvement pour obtenir
Ces deux équations contiennent deux inconnues. Pour éliminer l’une des inconnues, nous pouvons multiplier l’une des équations par un facteur pour rendre le coefficient de cette inconnue égal au coefficient de l’inconnu dans l’autre équation.
Nous multiplions par , nous obtenons
Nous pouvons maintenant soustraire l’équation à l’équation
Cela nous donne
Cela permet de trouver par substitution, de la même manière que dans la première méthode pour résoudre la question.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.
Points Clés
- La vitesse d’une particule (accélérant à une vitesse constante) peut être exprimée en fonction de l’accélération et du temps par la formule où est la vitesse finale, est la vitesse initiale, est l’accélération et est le temps pendant lequel la particule accélère.
- Le déplacement d’une particule peut être exprimé en fonction de l’accélération et du temps par la formule où est le déplacement de la particule, est l’accélération de la particule, est la vitesse initiale de la particule et est le temps pendant lequel la particule accélère.
- La vitesse d’une particule avant et après une accélération peut être exprimée en fonction de l’accélération et du déplacement par la formule où est la vitesse initiale de la particule, est la vitesse finale de la particule, est l’accélération de la particule et est le déplacement de la particule.
- Si l’accélération d’un corps est dans le sens opposé au sens de son vecteur vitesse initial, alors l’accélération et le vecteur vitesse initial ont des signes opposés.
