Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans le repère cartésien, et à utiliser ce concept pour déterminer des équations de droites.
On commence par rappeler ce qu’on entend par l’intersection de deux droites.
Définition : Point d’intersection de deux droites
Le point d’intersection de deux droites distinctes, non parallèles, est l’unique point où elles se rencontrent ou se coupent. Il s’agit du couple de valeurs de et où les droites se coupent sur le graphique et qui vérifie les équations des deux droites.
Les droites distinctes, parallèles, sont des droites dans un plan qui sont toujours séparées l'une de l'autre par la même distance. Elles n’auront aucun point d'intersection.
Sur la figure ci-dessous, et se coupent en le point .
Comment : Déterminer le point d'intersection de deux droits dans le repère cartésien
On peut déterminer le point d'intersection de deux droites dans le repère cartésien à l’aide de deux méthodes, une méthode graphique ou une méthode algébrique. Par exemple, si on considère les deux droites d’équations et , alors on peut les représenter graphiquement comme suit :
Le point d’intersection spécifique peut être déterminé graphiquement en observant le graphique pour désigner le point , où les droites se rencontrent ou se coupent. Pourtant, pour des équations plus complexes, une solution algébrique serait préférable. Pour une solution algébrique, on sait qu’un point qui appartient à deux droites doit vérifier les équations des deux droites. Cela revient à résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues.
Dans le premier exemple, on verra comment une solution graphique peut être utilisée pour trouver le point d'intersection d’une droite horizontale et d’une droite verticale.
Exemple 1: Déterminer le point d'intersection d’une droite horizontale et d’une droite verticale
En quel point les droites d'équations et se coupent-elles ?
Réponse
Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où les droites se coupent. Une méthode de répondre à cette question consiste à tracer les deux droites. On commence par tracer la représentation graphique de la droite d’équation . Toute équation qui a juste une variable , sans aucune variable , représente une droite verticale.
Ensuite, on considère la représentation graphique de la droite d’équation . Il est utile de réarranger l'équation pour isoler . Alors, en multipliant les deux membres de l’équation, , par 6, on obtient
Une équation à une variable uniquement représente une droite horizontale. Comme , la droite verticale coupe en l’axe des .
Afin de déterminer le point d’intersection des deux droites d’équations et , on cherche le point où elles se rencontrent ou se coupent. En observant le graphique, on déduit que les coordonnées du point d'intersection sont
Dans l’exemple suivant, on va voir comment déterminer le point d’intersection de deux droites à l’aide de la méthode algébrique
Exemple 2: Déterminer le point d'intersection de deux droites
Déterminez le point d'intersection de deux droites d’équations et .
Réponse
On rappelle que le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où elles se coupent. Pour déterminer ce point d’intersection, ou le point où les droites se coupent, on peut considérer une approche algébrique ou graphique.
Un point d’intersection appartient aux deux droites, il doit donc vérifier les équations des deux droites. Ainsi, on peut trouver les coordonnées du point d’intersection en résolvant ce système d’équations, en déterminant les valeurs de et , où est le point d’intersection.
On écrit les équations :
Pour résoudre ce système d’équations par substitution, on réarrange la seconde équation, , en ajoutant aux deux membres de l’équation pour obtenir
En remplaçant dans l’équation (1) et en la réarrangeant, on a
On obtient alors la solution et . Par conséquent, le point d’intersection peut être donné par
En tant qu’approche alternative, ou pour vérifier la méthode algébrique, on considère les représentations graphiques des deux droites.
On a montré que la droite d'équation peut être réarrangée sous la forme . Ainsi, la droite sera une droite horizontale qui coupe en 1 l’axe des .
On peut tracer la représentation graphique de l’équation en déterminant deux points de la droite. Par exemple, on peut déterminer le point d’intersection avec l’axe des en substituant , et le point d’intersection avec l’axe des en substituant .
En remplaçant dans , et en simplifiant, on obtient
Substituer , et simplifier nous donne
On a montré maintenant que la droite passe par les points et . Il semble un peu difficile de tracer un point à coordonnées non entières, comme ; donc, il est préférable de trouver un autre couple de coordonnées appartenant à la droite d'équation .
En remplaçant dans , et en simplifiant, on obtient
Cela nous donne un troisième point , appartenant à la droite d'équation . On peut placer ces trois points et tracer cette droite avec la représentation graphique de la droite d’équation comme indiqué.
En observant le graphique, on peut confirmer la solution obtenue par la méthode algébrique ci-dessus, car les coordonnées du point d’intersection sont
Dans l’exemple précédent, on a vu deux approches différentes, une approche algébrique et une approche graphique. Les deux méthodes présentent des avantages, et la méthode graphique est souvent utilisée pour vérifier le résultat d’une méthode algébrique. Cependant, il convient de noter qu’une méthode graphique peut être moins précise, en particulier lorsque la solution est non entière. D’autre part, une solution algébrique fournit toujours un résultat précis.
Dans l’exemple suivant, on va voir comment trouver l’intersection de deux droites, dont l’une est donnée sous forme vectorielle.
Exemple 3: Déterminer l'équation vectorielle d’une droite passant par le point d’intersection de deux autres droites
Déterminez l’équation vectorielle de la droite parallèle à l’axe des et passant par le point d’intersection des droites d'équations et .
Réponse
Rappelons que le point d’intersection de deux droites est le point où elles se rencontrent ou se coupent. Pour déterminer l’équation vectorielle d’une droite, on aura besoin d’un point qui appartient à la droite et de sa direction. Comme la droite est parallèle à l’axe des , il s’agit d’une droite verticale de vecteur directeur . Par conséquent, on doit trouver un point appartenant à la droite. Ce point sera le point d’intersection.
L'équation vectorielle de la droite peut être écrite sous forme cartésienne. Pour des points quelconques et dans un repère cartésien ayant pour vecteur directeur , pour tout nombre réel , on a
Ainsi, en posant , on peut écrire la représentation paramétrique de comme
On peut alors éliminer en réarrangeant chaque équation ci-dessus pour isoler . Cela nous donne
Ainsi, on peut établir une égalité pour le membre gauche de chaque équation, de sorte que
En réarrangeant, on obtient
Ensuite, la droite d'équation peut être réarrangée comme , et on peut déterminer le point d’intersection des deux droites sous forme cartésienne en résolvant le système d’équations suivants :
La seconde équation peut être réarrangée pour déterminer , comme suit :
On remplace ensuite cette valeur dans l’équation (3) pour avoir
Maintenant, on peut remplacer cette valeur de dans pour obtenir
Ainsi, les coordonnées du point d’intersection sont .
On a maintenant la direction du vecteur, , définie par le vecteur unitaire , et le vecteur position du point d’intersection donné par .
En écrivant cette équation sous la forme , où est un nombre réel quelconque, on obtient
Dans l’exemple suivant, on va utiliser un angle donné pour déterminer la direction d’une droite passant par l’intersection de deux autres droites.
Exemple 4: Déterminer l’équation d’une droite passant par l’intersection de deux autres droites
Déterminez l’équation de la droite passant par le point d’intersection des deux droites d’équations et en formant un angle de avec l’axe des positifs.
Réponse
On rappelle que le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où elles se coupent. On a des informations sur l’angle que la droite recherchée forme avec l’axe des positifs ; cependant, on aura également besoin de trouver un point appartenant à la droite pour trouver l’équation de cette droite. Comme le point d’intersection des autres droites appartient à cette droite, alors c’est un point idéal à choisir.
On commence par trouver l’intersection des droites d’équations et . Au point d’intersection, les valeurs de et dans chaque équation seront égales. On peut identifier ces valeurs en utilisant une méthode de substitution.
En réarrangeant l’équation pour déterminer , on obtient
On peut alors remplacer dans l’équation , et en la réarrangeant, on obtient
Pour déterminer la valeur de , on remplace dans notre équation réarrangée, . Cela nous donne
Le point d’intersection, , peut être donné par
On veut déterminer l’équation de la droite qui passe par le point en formant un angle de avec l’axe des positifs. On peut tracer une droite qui forme un angle de avec l’axe des positifs. Comme l’angle est positif, la mesure est prise dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Pour calculer la pente de la droite, il faut déterminer la mesure de l’angle positif que la droite forme avec l’axe des positifs. On peut utiliser les angles appartenant à une droite et les angles correspondants formés par des droites parallèles et des sécantes.
On sait que la somme des angles appartenant à une droite est égale à . Par conséquent, la droite va former un angle de avec l’axe des positifs, mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre.
Par conséquent, la droite formera un angle de avec l’axe des positifs, mesuré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Si la droite forme un angle avec l’axe des positifs, alors sa pente est .
La pente, , est
On peut utiliser l’équation d’une droite sous la forme obtenue à l’aide d’un point et d’une pente pour écrire l’équation de cette droite. Sous cette forme, l’équation d’une droite qui passe par , et qui a pour pente , est donnée par
Ainsi, la droite qui passe par le point , et dont la pente est 1, a pour équation
Ajouter aux deux membres de l'équation donne
Ensuite, on multiplie les termes par 29 pour avoir
Écrivons cette équation sous la forme , alors on soustrait et 91 aux deux membres de l’équation pour obtenir
On peut maintenant voir comment écrire l’équation cartésienne de la droite qui passe par le point d’intersection de deux droites données.
Il existe un nombre infini de droites passant par un point quelconque. Ainsi, on peut définir l’équation qui représente toutes les droites passant par un point d’intersection de deux droites comme suit :
Définition : Équation d’une droite passant par le point d’intersection de deux droites données
L’équation qui représente toutes les droites passant par un point d’intersection de deux droites d'équations et est où .
Si , on a l’équation de la seconde droite.
Si , on a l’équation de la première droite.
Lorsque et , on a l’équation d’une droite passant par le point d’intersection, à l’exclusion des droites originales. Par conséquent, on peut écrire l’équation ci-dessus sous la forme pour tout .
Dans l’exemple suivant, on va voir comment utiliser cette équation à l’aide d’une méthode algébrique pour déterminer l’équation d’une droite passant par un point donné et le point d’intersection de deux droites.
Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite qui passe par l’intersection de deux autres droites
Quelle est l’équation de la droite qui passe par et l’intersection des droites d'équations et ?
Réponse
On commence par rappeler que le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où elles se coupent.
On peut écrire l’équation cartésienne d’une droite qui passe par le point d’intersection de deux droites d'équations et comme pour tout .
En remplaçant les valeurs de , et comme étant les valeurs de la droite d’équation , et les valeurs de , et comme étant celles de la droite , on obtient
Comme la droite passe par le point de coordonnées , on peut remplacer et dans l’équation (5) ci-dessus. Cela nous donne
On peut maintenant remplacer dans l’équation (5). Cela nous donne
Par conséquent, l’équation de la droite passant par et l’intersection des droites d’équations et est
En tant qu’approche alternative, on peut déterminer l’équation d’une droite à l’aide de deux points distincts appartenant à la droite. Alors, on utilise le point d’intersection et le point pour déterminer l’équation de la droite.
On peut trouver l’intersection des droites d’équations et en résolvant simultanément les équations à l’aide de la méthode d’élimination. Utilisons la méthode d’élimination. On peut numéroter nos équations comme suit
Pour éliminer soit la variable ou la variable , leurs valeurs absolues doivent être égales dans les deux équations. On remarque qu’on peut multiplier l’équation (6) par 2 pour avoir la même valeur absolue de dans chaque équation. Ainsi, on a
On élimine ensuite en additionnant les deux équations (8) et (9) :
Ensuite, réarrangeons en soustrayant 13 aux deux membres de l’équation, puis en divisant par 11, on obtient
On a maintenant trouvé la coordonnée du point d’intersection, remplacer cette valeur à l’une des équations (6) ou (7) nous permettrait de trouver la coordonnée . En remplaçant dans l’équation (6), et en simplifiant, on obtient
Cela nous donne le point d’intersection
Maintenant, on veut déterminer l’équation de la droite qui passe par les points et .
On rappelle que l’équation d’une droite qui passe par un point , et qui a pour pente , est donnée sous la forme obtenue à l’aide d’un point et d’une pente par
Pour utiliser cette forme, il faut calculer la pente, , d’une droite reliant deux points et , qui est donné par
On peut désigner par , et par . En les substituant, on obtient
On a maintenant la pente de la droite qui est égal à , ainsi que deux points appartenant à la droite. En plus de la pente, on a juste besoin d’un de ces points pour pouvoir utiliser l’équation de la droite sous la forme obtenue à l’aide d’un point et d’une pente.
Alors, en substituant pour le point et la pente dans l’équation , on obtient
En distribuant à chacun des termes entre parenthèses dans le membre droit, et en ajoutant 3 aux deux membres de l’équation, on a
C’est une équation valide pour la droite. Toutefois, on peut aussi exprimer cela par la forme cartésienne de l’équation d’une droite, , où .
On multiplie tous les termes par 2 puis on soustrait aux deux membres de l’équation, ce qui donne
Cela confirme la réponse qu’on a trouvée à l’aide de la première méthode ; l’équation de la droite est
On peut maintenant récapituler les points clés.
Points clés
- Le point d’intersection de deux droites distinctes est le point où elles se rencontrent ou se coupent. C’est le couple de valeurs de et où les droites se coupent sur le graphique et qui vérifie les équations des deux droites.
- Les droites distinctes, parallèles, sont des droites dans un plan qui sont toujours séparées l'une de l'autre par la même distance. Elles n’auront aucun point d’intersection.
- On peut trouver l’intersection de deux droites graphiquement ou algébriquement. Les solutions algébriques donnent toujours un résultat précis.
- Pour déterminer le point d’intersection de deux droites non parallèles, algébriquement, on résout le système des deux équations. Les valeurs de et , qui représentent la solution, forment le point d’intersection .
- L’équation qui représente toutes les droites passant par un point d’intersection de deux droites d'équations et est où . Si et , alors pour tout ; l’équation d’une droite passant par le point d’intersection peut être écrite comme
