Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients.
On peut déjà résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant les méthodes de substitution ou d’élimination, il est donc légitime de se demander quel est l’intérêt d’apprendre une méthode différente pour résoudre le même système. Utiliser une matrice inverse pour résoudre un système de deux équations linéaires est en réalité plus compliqué que les deux méthodes précédentes, ce qui justifie davantage cette question. Nous allons étudier cette méthode pour comprendre la relation entre un système d’équations linéaires et les matrices. Étant donné que le système de deux équations linéaires est le modèle le plus simple qui relie un système d’équations à des matrices, il est logique de commencer par cela.
La méthode que nous allons apprendre dans cette fiche explicative peut être utilisée pour un système contenant un plus grand nombre d’équations linéaires et d’inconnues mais nous n’allons pas en voir d’exemples ici. Bien qu’il ne soit pas trop difficile de résoudre un système de deux équations linéaires sans utiliser de matrice, il est plus difficile de le faire lorsque le système contient trois équations ou plus. Comprendre la relation entre un système d’équations linéaires et les matrices permet de reformuler le système d’équations en une équation matricielle concise, qui peut être résolue en utilisant une méthode analogue à celle que nous allons présenter ici.
Avant d’expliquer comment résoudre des systèmes d’équations à l’aide de matrices, nous devons comprendre comment résoudre une équation matricielle. Rappelons donc la définition de l’inverse d’une matrice.
Définition : Inverse d’une matrice
Pour une matrice carrée , sa matrice inverse est une matrice carrée de même dimension vérifiant où est la matrice unité de même dimension. Si une telle matrice existe, on dit que la matrice est inversible.
Considérons une équation matricielle , où et sont des matrices et connues et est une matrice inconnue. Supposons de plus que est une matrice inversible. Nous savons que pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. On voit alors que le produit matriciel est bien défini.
Puisque la matrice est inversible, alors elle possède une matrice inverse : . En multipliant à gauche par les deux membres de l’équation , on obtient
Sur le membre gauche de l’équation, on sait que , où est la matrice unité. Par conséquent,
En substituant cette expression au membre gauche de l’équation (1), on peut écrire
Les deux matrices et sont connues ; il s’agit donc de la solution à l’équation matricielle .
Comment : Résoudre des équations matricielles
Soit une matrice inversible et une matrice telle que le produit est défini. La matrice vérifiant l’équation est
Cette méthode nous donne un moyen de résoudre toute équation matricielle de la forme si la matrice est inversible. Cette méthode ne peut cependant pas être utilisée lorsque n’est pas inversible. Cela pourrait arriver si n’est pas une matrice carrée ou si est carrée et . Dans de tels cas, l’équation matricielle a une infinité de solutions ou aucune solution. On peut par exemple considérer le cas simple où , avec étant la matrice nulle.
On sait que n’est pas inversible car . L’équation matricielle n’a pas de solution si est une matrice non nulle, car la multiplication d’une matrice nulle par une matrice quelconque donne toujours une matrice nulle. En revanche, si est la matrice nulle de dimension compatible avec ce produit matriciel, toute matrice vérifie l’équation . Cela signifie que cette équation matricielle a une infinité de solutions.
Dans le premier exemple, nous allons résoudre une équation matricielle en utilisant la matrice inverse.
Exemple 1: Résoudre une équation matricielle à l’aide de la matrice inverse
Sachant que quelle est la valeur de ?
Réponse
Dans cet exemple, nous étudions une équation matricielle. La matrice est inconnue. Si nous trouvons cette matrice, nous pourrons déterminer la valeur de .
L’exemple ne nous donne pas la matrice mais l’inverse de cette matrice, . On rappelle que l’inverse d’une matrice carrée , s’il existe, est une matrice vérifiant où est la matrice unité. On peut multiplier les deux membres de l’équation par à gauche pour obtenir
On sait que , qui est la matrice unité, on peut donc négliger le facteur et remplacer par la matrice donnée sur le membre droit pour écrire
En calculant ce produit matriciel, on obtient
Cela nous donne la matrice inconnue. On sait que deux matrices sont égales si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Par conséquent,
La question demande en particulier la valeur de , qui est
Dans l’exemple précédent, nous avons résolu une équation matricielle lorsque la matrice inverse était connue. Si nous ne connaissons pas la matrice , nous pouvons la déterminer en utilisant la formule suivante, à condition que .
Formule : Inverse d’une matrice 2 × 2
Soit telle que . Alors, où . Si , la matrice n’est pas inversible.
Considérons un exemple où nous devons résoudre une équation matricielle en déterminant d’abord l’inverse d’une matrice .
Exemple 2: Résoudre une équation matricielle à l’aide de la matrice inverse
Sachant que calculez les valeurs de et .
Réponse
Dans cet exemple, nous étudions une équation matricielle. La matrice est inconnue. Si nous déterminons cette matrice, nous pourrons trouver les valeurs de et .
On rappelle que pour des matrices et , la matrice inconnue vérifiant l’équation est si la matrice inverse existe et si le produit matriciel est défini. Dans cet exemple, la matrice correspond à la matrice , . On peut donc reformuler l’équation par
si la matrice inverse existe et si le produit matriciel est défini. Nous allons donc commencer par déterminer la matrice inverse de cette matrice, si elle existe.
On sait que l’inverse d’une matrice carrée n’existe que si son déterminant est non nul. Commençons donc par calculer le déterminant de cette matrice. On rappelle que
En appliquant cette formule à la matrice , on a
Comme le déterminant est non nul, on peut trouver l’inverse de la matrice. On rappelle la formule de l’inverse d’une matrice :
En utilisant le déterminant de la matrice obtenu ci-dessus, on a donc
Puis on substitue cette expression dans l’équation (2) :
On rappelle que pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. En calculant ce produit matriciel, on obtient
On calcule enfin la multiplication par le nombre réel :
Cela nous donne la matrice inconnue. On rappelle que deux matrices sont égales si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Par conséquent,
Jusqu’à présent, nous avons étudié quelques exemples où nous devions résoudre des équations matricielles en utilisant la matrice inverse. Penchons-nous à présent sur les systèmes de deux équations linéaires.
Comment : Représenter un système de deux équations sous la forme d’une équation matricielle
Soit le système d’équations pour des constantes connues , , , , et . On peut écrire ce système de deux équations comme une équation matricielle
Si on calcule le produit matriciel sur le membre gauche de l’équation matricielle, on obtient
L’égalité des coefficients correspondants des matrices des deux membres de cette équation conduit au système de deux équations linéaires initial. Par conséquent, cette équation matricielle est équivalente au système de deux équations linéaires. Comme on peut écrire le système d’équations comme une équation matricielle, on peut résoudre ce système en utilisant l’inverse de la matrice.
On voit que les coefficients de et dans le système d’équations deviennent la matrice de l’équation matricielle. C’est ce qu’on appelle la matrice des coefficients, car ses coefficients proviennent des coefficients des équations du système. Lors de l’écriture de la matrice des coefficients, nous devons faire attention à l’ordre des coefficients. Puisque la matrice des variables a comme premier élément, les coefficients de vont dans la première colonne. Par conséquent, on utilise la même matrice des coefficients même si la première équation du système est . Plutôt que suivre l’ordre des coefficients écrits dans les équations, nous devons considérer devant quelle variable se trouve chaque coefficient.
Remarquez également que la matrice colonne du membre droit de l’équation matricielle contient les termes constants du membre droit des équations du système. L’ordre de ces constants doit être cohérent avec la matrice des coefficients. Comme les coefficients de la première équation, , sont écrits sur la première ligne de la matrice des coefficients, la constante de cette équation doit également apparaître dans la première ligne de la matrice des constantes.
De la même manière que pour la résolution d’équations matricielles, cela signifie que le système d’équations n’a pas de solution ou une infinité de solutions lorsque la matrice des coefficients n’est pas inversible.
Dans le prochain exemple, nous allons exprimer un système de deux équations sous la forme d’une équation matricielle, puis résoudre l’équation matricielle en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients.
Exemple 3: Résoudre un système de deux équations en utilisant des matrices
Soit le système d’équations
- Exprimez le système d’équations sous la forme d’une équation matricielle.
- Déterminez l’inverse de la matrice des coefficients.
- Multipliez les deux membres de l’équation matricielle par cette matrice inverse à gauche pour résoudre l’équation.
Réponse
Partie 1
On rappelle que le système de deux équations peut être écrit comme l’équation matricielle
Il est important de noter que la matrice des coefficients correspond aux coefficients des équations du système dans l’ordre donné par la matrice des variables . Cela signifie que la première colonne de la matrice des coefficients contient les coefficients de la variable , tandis que la seconde colonne contient les coefficients de la variable . En particulier, il faut d’abord remarquer que et sont écrites dans l’ordre contraire. On peut donc reformuler ce système de deux équations par
Ce qui donne
Partie 2
Dans cette partie, nous devons calculer l’inverse de la matrice des coefficients. Dans la partie précédente, nous avons déterminé la matrice des coefficients . On rappelle que l’inverse d’une matrice carrée n’existe que si son déterminant est non nul. Commençons donc par calculer le déterminant de cette matrice. On rappelle que
En appliquant cette formule à la matrice des coefficients, on a
Comme le déterminant est non nul, on peut calculer l’inverse de la matrice. On rappelle la formule de l’inverse d’une matrice :
En utilisant le déterminant ci-dessus, on trouve donc
Partie 3
Dans cette partie, nous devons multiplier les deux membres par l’inverse à gauche et résoudre l’équation matricielle. On commence par l’équation matricielle
En multipliant les deux membres de l’équation par l’inverse de la matrice des coefficients, on a
Sur le membre gauche de cette équation, la matrice inverse de la matrice des coefficients est multipliée par la matrice des coefficients. On rappelle que pour toute matrice inversible , où est la matrice unité. Cela signifie que
Comme est la matrice unité et qu’elle est multipliée par la matrice des variables, on peut la négliger. Cela donne
On peut maintenant substituer la matrice inverse de la partie précédente :
En calculant ce produit matriciel, on obtient
Enfin, on calcule la multiplication par le nombre réel,
Par conséquent, la solution à l’équation matricielle est
Dans l’exemple précédent, nous avons résolu l’équation matricielle correspondant à un système de deux équations. Bien que nous n’ayons pas vérifié explicitement notre réponse, il peut être montré que les valeurs que nous avons trouvées pour et vérifient bien le système d’équations initial. Dans le prochain problème, nous allons résoudre un système de deux équations en utilisant des matrices.
Exemple 4: Résoudre un système de deux équations à l’aide de matrices
Utilisez des matrices pour résoudre le système
Réponse
Dans cet exemple, nous devons résoudre un système de deux équations linéaires en utilisant des matrices. Nous savons que nous pouvons exprimer un système de deux équations linéaires sous la forme d’une équation matricielle équivalente. Rappelons la méthode pour le faire. Pour le système d’équations on peut écrire une équation matricielle équivalente
Il est important de noter ici que la matrice des coefficients correspond aux coefficients des équations du système dans l’ordre donné par la matrice des variables . Cela signifie que la première colonne de la matrice des coefficients contient les coefficients de la variable , tandis que la deuxième colonne contient les coefficients de la variable .
On note que la variable dans la première équation a seulement un signe négatif. Cela indique que le coefficient de dans cette équation est . De plus, la variable dans la seconde équation n’affiche aucun coefficient explicitement, ce qui signifie que son coefficient est égal à 1. On peut ainsi reformuler le système d’équations avec ces informations :
Cela donne alors l’équation matricielle
On peut résoudre cette équation matricielle en multipliant à gauche par la matrice inverse de la matrice des coefficients , si elle existe. On rappelle que l’inverse d’une matrice carrée n’existe que si son déterminant est non nul. Commençons par calculer le déterminant de cette matrice. On rappelle que
En appliquant cette formule à la matrice des coefficients, on a
Comme le déterminant est non nul, on peut trouver l’inverse de la matrice. On rappelle la formule de l’inverse d’une matrice :
En utilisant le déterminant ci-dessus, on trouve
On rappelle que pour toute matrice inversible , où est la matrice unité. Cela signifie que nous allons pouvoir éliminer la matrice des coefficients du membre gauche de l’équation (3) en multipliant les deux membres par l’inverse de la matrice des coefficients à gauche. En multipliant les deux membres de l’équation par l’inverse de la matrice des coefficients, on a
On rappelle que pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. On voit ainsi que le produit matriciel du membre droit de l’équation ci-dessus est bien défini. En calculant ce produit matriciel, on obtient
Enfin, on calcule la multiplication par le nombre réel,
Cela nous donne la solution à l’équation matricielle
On rappelle que deux matrices sont égales si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Par conséquent, la solution au système d’équations initial est
Dans le dernier exemple, nous allons résoudre un problème de la vie courante impliquant un système de deux équations à l’aide de matrices.
Exemple 5: Résoudre un système de deux équations à deux inconnues en utilisant des matrices
La longueur d’un rectangle est supérieure de 6 cm au double de sa largeur, et le double de sa longueur est supérieur de 39 cm à sa largeur. À partir de ces informations, utilisez des matrices pour calculer le périmètre du rectangle.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer le périmètre du rectangle dont la longueur et la largeur sont liées par les relations données. On rappelle que le périmètre d’un rectangle est égal au double de la somme de sa longueur et de sa largeur. Commençons par désigner la longueur et la largeur du rectangle par les inconnues et . On a alors
Nous allons à présent écrire les relations entre et sous forme d’équations. Tout d’abord, il est indiqué que la longueur du rectangle est supérieure de 6 cm au double de sa largeur. Cela peut être exprimé par
Ensuite, il est indiqué que le double de la longueur est supérieur de 39 cm à sa largeur. Cela peut être exprimé par
Réarrangeons ces équations de sorte que le membre gauche des équations contienne les variables et le membre droit contienne les constantes :
Nous allons à présent résoudre ce système d’équations en utilisant des matrices. On rappelle que le système d’équations est équivalent à l’équation matricielle
On peut donc reformuler le système d’équations par
On peut résoudre cette équation matricielle en multipliant à gauche par la matrice inverse de la matrice des coefficients si elle existe. On rappelle que la matrice inverse d’une matrice carrée n’existe que si son déterminant est non nul. Calculons donc le déterminant de cette matrice. On rappelle que
En appliquant cette formule à la matrice des coefficients, on a
Comme le déterminant est non nul, on peut trouver l’inverse de la matrice. On rappelle la formule de l’inverse d’une matrice :
En utilisant le déterminant ci-dessus, on a
On rappelle pour toute matrice inversible , où est la matrice unité. Cela signifie que l’on peut éliminer la matrice des coefficients du membre gauche de l’équation (4) en multipliant par l’inverse de la matrice des coefficients à gauche. En multipliant les deux membres de l’équation par l’inverse de la matrice des coefficients, on a
On rappelle que pour pouvoir multiplier deux matrices, le nombre de colonnes de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde matrice. On voit alors que le produit matriciel du membre droit de l’équation ci-dessus est bien défini. En calculant ce produit matriciel, on obtient
Enfin, on calcule la multiplication par le nombre réel,
On rappelle que deux matrices sont égales si tous leurs coefficients correspondants sont égaux. Par conséquent, la solution au système d’équations initial est
On en déduit le périmètre du rectangle :
Pour terminer, nous allons voir que les matrices et leurs inverses peuvent être utilisées dans le domaine de la cryptographie. Dans ce domaine, le but est de coder un message avant de le transmettre pour qu’il ne soit pas compris s’il est intercepté pendant la transmission. Le message peut ensuite être décodé une fois qu’il atteint la destination souhaitée.
À titre illustratif, nous pourrions vouloir transmettre le message « help » (« aide » en français). On commence par associer un nombre à chaque lettre en utilisant le tableau de l’alphabet suivant.
| a : 1 b : 2 c : 3 d : 4 e : 5 f : 6 g : 7 | h : 8 I : 9 j : 10 k : 11 l : 12 m : 13 n : 14 | o : 15 p : 16 q : 17 r : 18 s : 19 t : 20 u : 21 | v : 22 w : 23 x : 24 y : 25 z : 26 |
En décomposant ensuite le message par groupe de deux lettres, on représente chaque groupe par une matrice : Pour coder ce message, on choisit alors une matrice inversible pour la matrice de codage et on multiplie chacune des matrices ci-dessus par à gauche. Par exemple, en choisissant , le message codé est
On transmet donc le message .
On rappelle à présent que pour une matrice telle que , son inverse est défini par où . Dans ce cas, , donc Une fois le message reçu, on doit multiplier chacune de ces matrices par à gauche pour le décoder. Cela « éliminera » l’effet de et donnera les deux matrices d’origine : . On peut alors lire le message « help » à partir de ces quatre nombres en cherchant les lettres correspondantes dans le tableau de l’alphabet.
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Soit une matrice inversible et une matrice telle que le produit est défini. La matrice vérifiant l’équation est
- Si la matrice n’est pas inversible, l’équation matricielle a une infinité de solutions ou aucune solution.
- Soit le système d’équations pour des constantes connues , , , , , . On peut écrire ce système de deux équations sous la forme d’une seule équation matricielle Cette équation peut ensuite être résolue en utilisant l’inverse de la matrice des coefficients :
