Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le principe de Pascal pour analyser l’intensité et le sens de la pression d’un fluide sur un objet.
Le principe de Pascal énonce qu’en un point d’un fluide, la pression du fluide est égale selon toutes les directions.
Pour comprendre ce que cela signifie, il est nécessaire de comprendre ce que l’on entend par pression en un point.
On rappelle qu’il existe une relation entre la pression exercée sur une surface et la force agissant perpendiculairement à la surface.
Relation: la pression sur une surface et la force agissant sur la surface
La pression sur une surface est donnée par où est la composante de la force agissant perpendiculairement à la surface.
On sait calculer la pression sur une surface, mais on ne sait pas comment calculer la pression en un point, car la surface d’un point est nulle.
Considérons la pression sur la surface d’un objet qui se trouve dans un fluide.
Le schéma suivant montre un ensemble d’objets dans un fluide.
Nous voyons que les sommets de ces objets sont tous à la même profondeur sous la surface du fluide.
Le poids du fluide directement au-dessus de l’objet est la force sur la surface supérieure de chaque objet.
Le volume du fluide directement au-dessus d’un objet est proportionnel à l’aire de la surface supérieure de l’objet, comme le montre le schéma suivant.
On peut utiliser la formule où est le poids du fluide directement au-dessus d’un objet et est l’aire de la surface supérieure de l’objet.
Nous voyons que les aires des surfaces supérieures des objets plus petits subissent proportionnellement moins de poids du fluide. La pression doit donc être égale sur les surfaces supérieures de tous ces objets.
Cela signifie que nous pouvons prendre une surface d’un objet dans un fluide et considérer un objet identique en tout autre aspect mais avec une surface plus petite. La pression sur la surface ne changerait pas lorsque celle-ci diminue. Cela s’appliquerait même en un seul point.
On voit alors que la pression en ce point serait la même que celle sur une surface.
On peut maintenant considérer un objet suspendu dans un fluide comme le montre le schéma suivant.
Le dessus et la base de l’objet ont une aire . Le poids de l’objet est . Lorsque l’objet est suspendu, il n’accélère pas. La force résultante sur l’objet est nulle.
Le poids du fluide directement au-dessus de l’objet est . Cette force agit verticalement vers le bas. Une force , doit agir verticalement vers le haut pour qu’il n’y ait pas de force résultante sur l’objet, comme l’exige la deuxième loi du mouvement de Newton.
La force est due à la pression de l’eau sous l’objet.
La pression sur la surface supérieure de l’objet est . La pression sur la base de l’objet est .
On voit alors que
En utilisant la formule on voit que et
On peut alors voir que
Cela signifie que et par conséquent,
La pression du fluide sur la base de l’objet poussant vers le haut est supérieure à la pression sur la surface supérieure de l’objet.
Considérons maintenant deux objets qui sont suspendus dans un fluide comme le montre le schéma suivant.
Les objets ont des hauteurs différentes et .
Les surfaces supérieurs de chaque objet sont à la même profondeur. La pression sur les surfaces supérieures de chaque objet sont alors toutes deux égales à .
La pression sur la base de chaque objet doit être supérieure à . Nous pouvons voir, cependant, que la pression sur la base de l’objet de hauteur dépasse la valeur de bien plus que la pression de l’objet de hauteur . Cela signifie que plus la hauteur d’un objet suspendu est faible, plus la différence entre la pression exercée sur sa surface supérieure et sur sa base est faible.
Si nous imaginons un objet de hauteur nulle, la pression sur la surface supérieure et sur la base de l’objet sont égales.
Nous avons vu plus tôt que la pression en un point à une certaine profondeur sous la surface d’un fluide est la même que la pression sur une surface à cette profondeur. Cela signifie que nous pouvons maintenant considérer un point d’aire nulle et voir que la pression exercée sur ce point par le haut et par le bas est égale.
Si les pressions en ce point depuis le haut et le bas sont égales, la force agissant vers le bas et la force agissant vers le haut sur le point ont des intensités égales, comme indiqué sur le schéma suivant.
En rappelant que ces forces agissent sur un point et qu’un point a une hauteur nulle, nous voyons que agit sur tout ce qui se trouve directement en-dessous du point et agit sur tout ce qui se trouve directement au-dessus du point.
Le schéma suivant illustre les forces agissant verticalement à partir du point.
Nous voyons donc deux faits importants concernant la pression suivant la verticale.
Premièrement, nous voyons que la pression exercée par un fluide sur un point est la même vers le haut et vers le bas.
Deuxièmement, nous voyons que la pression exercée par un fluide à partir d’un point est la même vers le haut et vers le bas. En un point, la même pression est exercée vers le haut et vers le bas sur tout ce qui est en contact avec le point.
Ce qui a été démontré pour les forces verticales en un point ainsi que pour la pression vers le haut et vers le bas en un point s’applique également aux forces horizontales et donc à la pression vers la gauche et vers la droite en un point.
On peut considérer un volume d’un fluide dans un récipient qui a une ouverture sur l’un de ses face verticales, à partir de laquelle s’écoule un flux du fluide. Ceci est illustré par la figure suivante.
On voit qu’il y a des forces et agissant sur le point dans un fluide qui est à la même hauteur que l’ouverture dans la face verticale du récipient.
La force est le poids du fluide au-dessus de la hauteur de l’ouverture. Le poids agit verticalement vers le bas.
La force agit horizontalement. Cette force produit la composante horizontale du mouvement du fluide qui fuit à travers l’ouverture.
Maintenant, considérons deux de ces ouvertures dans un récipient mais à des hauteurs différentes. Ceci est illustré par le schéma suivant.
Nous voyons que le flux provenant de chaque ouverture parcourt la même distance horizontale, mais que le flux de l’ouverture inférieure parcourt une distance verticale plus petite.
Cela signifie que le fluide provenant de l’ouverture inférieure a un plus grand vecteur vitesse horizontal que le fluide provenant de l’ouverture supérieure.
S’il n’y avait pas d’ouverture, le fluide n’aurait pas de vecteur vitesse horizontal. En un point du fluide, les forces dans chaque direction seraient égales, comme indiqué sur le schéma suivant.
Dans le cas où il y a une ouverture dans le récipient, l’accélération horizontale du fluide à travers l’ouverture que l’on observe montre que le fluide doit exercer une force horizontale nette au niveau de cette ouverture. Le côté du point qui n’est pas au sein du fluide n’exerce pas de force vers la droite pour équilibrer la force vers la gauche exercée par le fluide.
On voit que plus l’ouverture est basse, plus le poids agissant sur le point situé dans le fluide à côté de l’ouverture est grand et plus la force horizontale exercée par le fluide au niveau de cette ouverture est grande.
Selon le principe de Pascal, le poids et la force horizontale en ce point ont des intensités égales, car la force dans toutes les directions en un point dans un fluide est égale.
Principe: Le principe de Pascal
Le principe de Pascal énonce qu’en un point d’un fluide, la pression est égale dans toutes les directions.
Cela a deux implications pour les forces agissant en ce point :
- La force exercée sur le point par le fluide est la même dans toutes les directions.
- La force exercée sur tout ce qui est en contact avec le point est la même dans toutes les directions.
Regardons maintenant un exemple impliquant le principe de Pascal.
Exemple 1: Détermination des variations de la pression exercée par un fluide sur son récipient
Un récipient cubique contient de l’eau. Le couvercle du conteneur peut être poussé vers le bas, en exerçant une pression sur l’eau dans le conteneur. Laquelle des affirmations suivantes décrit le mieux comment la pression exercée par l’eau est modifiée lorsque le couvercle est poussé vers le bas ?
- La pression exercée sur la base du cube, ses faces verticales et son couvercle est augmentée.
- La pression exercée sur la base du cube est augmentée.
- La pression exercée sur la base du cube et son couvercle est augmentée.
- La pression exercée sur la base du cube et ses faces verticales est augmentée.
- La pression exercée sur les faces verticales du cube est augmentée.
Réponse
La question indique qu’un récipient cubique contient de l’eau. Le couvercle du récipient est poussé vers le bas, en appliquant une pression sur la surface supérieure de l’eau.
Le principe de Pascal énonce qu’en un point d’un fluide, la pression est égale dans toutes les directions.
On peut considérer une force appliquée au centre de la surface supérieure de l’eau comme indiqué sur le schéma suivant.
Nous pouvons clairement voir que la surface supérieure de l’eau au point où la force agit transmettra la force verticalement vers le bas, comme indiqué sur le schéma suivant.
Selon le principe de Pascal, la force exercée sur la surface supérieure de l’eau entraînera également une force dans toutes les directions dans l’eau à partir du point où agit la force. Le schéma suivant montre certaines des directions dans lesquels la force est transmise horizontalement.
Des forces agiraient cependant selon toutes les directions à partir du point à la fois verticalement et horizontalement. Le schéma suivant illustre certaines des directions dans lesquelles la force est transmise verticalement et horizontalement.
On peut en déduire qu’il doit y avoir une force agissant sur chaque face du conteneur. Cela nous indique qu’il y aura une augmentation de la pression de chaque côté du récipient. Cela comprend le couvercle, car la surface supérieure de l’eau exercera une force vers le haut sur le couvercle.
Le choix correct est donc que la pression exercée sur la base du cube, ses faces verticales et son couvercle augmente.
Selon le principe de Pascal, une force peut être transmise à travers un fluide et changer de direction au fur et à mesure de sa transmission.
Une force verticale vers le bas peut agir sur une surface horizontale d’un fluide à une extrémité d’un tuyau. La force applique une pression dans tout le fluide. En raison de la pression appliquée, une force verticale vers le haut agit sur la surface du fluide à l’autre extrémité du tuyau.
Le schéma suivant illustre ce processus pour deux tuyaux similaires.
Il est important de noter que les extrémités de chaque tuyau sont à la même hauteur.
Pour chaque tuyau, les aires des extrémités du tuyau sont égales.
Pour le tuyau courbe, l’aire du tuyau est constante sur toute la longueur du tuyau. Pour le tuyau droit, l’aire de la section transversale du tuyau est plus grande là où le tuyau tourne. Pour les deux tuyaux, seules les aires des extrémités des tuyaux doivent être prises en compte.
Pour chaque tuyau, l’intensité des forces aux extrémités du tuyau peut être reliée par la formule
Pour chaque tuyau, les aires des extrémités du tuyau sont égales, par conséquent, on doit avoir
Pour chaque tuyau, les pressions aux extrémités des tuyaux sont égales, car elles sont à la même hauteur.
Pour chaque tuyau, nous voyons que l’intensité de la force appliquée au fluide à l’extrémité gauche du tuyau est égale à l’intensité de la force exercée par le fluide à l’extrémité droite du tuyau. Par conséquent,
Un tuyau n’a pas forcément des extrémités d’aires égales.
Si les aires des extrémités d’un tuyau ne sont pas égales, alors les forces agissant aux extrémités des tuyaux ne seront pas égales.
On peut appliquer les équations et à un tuyau à l’intérieur duquel la pression est la même aux deux extrémités du tuyau. De là, nous pouvons voir une relation entre les aires des extrémités d’un tuyau et les forces agissant sur ces aires.
Relation: les forces exercées sur les extrémités d’un tuyau et les aires de section transversale des extrémités du tuyau
Pour un tuyau dont la pression est égale à chacune des extrémités, les intensités des forces agissant aux extrémités sont liées aux aires de section transversale des extrémités par l’équation où et sont les intensités des forces agissant sur les extrémités du tuyau et et sont les aires des sections transversales des extrémités du tuyau.
Regardons maintenant un exemple impliquant une force transmise par la pression d’un fluide.
Exemple 2: Détermination de la force exercée sur une surface d’un fluide en raison d’une force agissant sur une autre surface du fluide
Une pompe hydraulique possède un bras mince avec une surface de 0,15 m2 et un bras épais avec une surface de 1,2 m2, comme indiqué sur le schéma. Au sommet des bras se trouvent des pistons qui peuvent être poussés. Une force est appliquée au piston au bras mince et la pression du fluide hydraulique applique une force au piston au bras épais. Déterminez l’intensité de .
Réponse
En répondant à cette question, nous rappelons que la pression sur la base des pistons due à la pression du fluide enfermé est égale.
Cela signifie que pour la base de chaque piston, il est vrai que où est l’intensité de la force agissant sur la base du piston et est l’aire de la section transversale du piston.
Chaque piston a une force différente agissant sur lui sur une aire de section transversale différente. On peut relier les forces et les aires de section transversale des petits et grands pistons avec l’équation
On cherche l’intensité de , donc on doit isoler comme suit :
On sait que . On substitue cette valeur pour obtenir
On voit à partir de l’exemple qu’en appliquant une force de 85 N à un piston, une force de 680 N est exercée sur l’autre piston.
Selon le principe de Pascal, une force peut être appliquée à une petite aire pour exercer une plus grande force sur une plus grande aire. Une machine qui utilise le principe de Pascal pour multiplier une force de cette manière est appelée une presse hydraulique.
Le rapport de la force exercée sur le piston d’une presse hydraulique avec la plus petite surface sur la force exercée par le piston avec la plus grande surface s’appelle l’avantage mécanique du levier hydraulique, . L’avantage mécanique d’une presse hydraulique est égal au rapport des aires des pistons. Pour la presse hydraulique de l’exemple, .
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Le principe de Pascal énonce qu’en un point d’un fluide, la pression est égale dans toutes les directions.
- Deux points dans un fluide à la même hauteur qui ne subissent pas d’autres forces que le poids du fluide au-dessus des points sont à des pressions égales.
- Pour une presse hydraulique qui a une pression égale à ses extrémités, les intensités des forces agissant aux extrémités sont liées aux aires des sections transversales des extrémités par l’équation où et sont les intensités des forces agissant sur les extrémités de la presse hydraulique et et et sont les aires des sections transversales des extrémités de la presse hydraulique.
- Le rapport des aires des extrémités d’une presse hydraulique est l’avantage mécanique de la presse hydraulique.
