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Fiche explicative de la leçon : Proportions Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des proportions pour déterminer une valeur inconnue dans une relation proportionnelle et prouver des assertions algébriques.

On dit que deux nombres ou plus sont proportionnels si les rapports des couples de nombres sont égaux. Ce type de relation est fréquemment rencontré dans la nature et en sciences. Par exemple, les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes forment une proportion.

On peut alors utiliser la proportionnalité de couples de nombres pour déterminer des inconnues. Par exemple, si on sait que le rapport 714 est égal au rapport 21𝑥, on peut déterminer la valeur de 𝑥. On peut pour cela calculer le coefficient de proportionnalité du premier rapport comme suit:𝑘=147=2.

Ce coefficient de proportionnalité doit ensuite être le même pour le deuxième rapport, donc 2=𝑥21.

On multiplie alors cette équation par 21 pour obtenir 𝑥=42.

On peut représenter graphiquement cette relation à l’aide de deux droites numériques.

La première droite numérique représente la première quantité de chaque rapport et la seconde droite numérique représente la seconde quantité de chaque rapport. Comme les rapports sont égaux, on multiplie par la même constante 𝑘 pour passer de la première valeur à la seconde. On peut également ajouter à cette figure le taux unitaire, qui permet de déterminer la valeur correspondant à 1 unité;il est égal à 𝑘.

On peut calculer le coefficient de proportionnalité 𝑘 en notant que 7𝑘=14, donc 𝑘=147=2. Cela nous permet alors de trouver la valeur correspondant à 21 en le multipliant par 2. Il est également important de remarquer que l’on peut trouver des valeurs correspondantes dans l’autre sens en utilisant un facteur de 1𝑘=12. Ces couples de nombres sont dits proportionnels. On dit par exemple que les nombres 7, 14, 21 et 42 sont proportionnels. Nous pouvons décrire formellement cette relation comme suit.

Définition : Nombres proportionnels

Si le rapport 𝑎𝑏 est égal au rapport 𝑐𝑑, alors on dit que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels.

En particulier, comme 𝑎𝑏=𝑐𝑑, on a 𝑎𝑑=𝑏𝑐.

Les valeurs 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont appelées les termes de la proportion et on les désigne respectivement par première proportionnelle, deuxième proportionnelle, troisième proportionnelle et quatrième proportionnelle. Les termes externes (𝑎 et 𝑑) sont appelés les extrêmes et les termes internes (𝑏 et 𝑐) sont les moyens.

L’équation 𝑎𝑑=𝑏𝑐 peut donc également être envisagée comme « le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ».

Voyons maintenant un autre exemple où nous connaissons trois termes d’une proportion et devons calculer le quatrième.

Exemple 1: Déterminer un terme inconnu dans une proportion de manière algébrique

Sachant que 8 et 3 sont dans le même rapport que 96 et 𝑥, déterminez la valeur de 𝑥.

Réponse

On commence par rappeler que si les rapports de deux couples de nombres sont identiques, alors ils sont proportionnels. Par conséquent, les quotients de chaque couple de nombres sont égaux, ce qui nous donne 83=96𝑥.

On multiplie par 3𝑥 pour obtenir 8𝑥=96×3, puis on divise par 8 pour trouver 𝑥:𝑥=96×38=36.

Considérons maintenant un cas particulier où des couples de nombres sont proportionnels. Supposons que trois nombres sont proportionnels. Cela signifie par exemple que 𝑎 et 𝑏 sont dans le même rapport que 𝑏 et 𝑐. Nous pouvons appliquer le même raisonnement que dans les exemples ci-dessus pour trouver des équations impliquant ces valeurs. Par exemple, on sait que 𝑎𝑏=𝑘 et 𝑏𝑐=𝑘, donc on doit avoir 𝑎𝑏=𝑏𝑐.

On peut alors multiplier cette équation par 𝑏𝑐 pour obtenir 𝑎𝑐=𝑏.

De même, étant donné que 𝑎 et 𝑏 sont directement proportionnels, 𝑎=𝑘𝑏;et comme 𝑏 et 𝑐 sont directement proportionnels, on a 𝑏=𝑘𝑐. En substituant cette expression de 𝑏 dans l’équation de proportionnalité de 𝑎, on obtient 𝑎=𝑘(𝑘𝑐)𝑎=𝑘𝑐.

Ce type de proportionnalité est appelé proportionnalité en chaîne et peut s’appliquer à tout nombre de termes, bien qu’on la rencontre majoritairement pour trois termes.

Par exemple, les nombres 1, 4 et 16 sont en proportion en chaîne parce que chaque couple de nombres successifs est dans le même rapport. On peut calculer ces quotients:41=164.

Nous pouvons utiliser cela pour définir formellement la proportion en chaîne et présenter quelques éléments de vocabulaires utiles pour décrire les proportions en chaîne.

Définition : Proportion en chaîne

Une liste de termes est dite en proportion en chaîne si le rapport entre les termes successifs est constant. Il n’y a pas de limite au nombre de termes qui peuvent être proportionnels en chaîne. Cependant, les problèmes indiquent généralement trois ou quatre termes proportionnels en chaîne.

Si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont proportionnels en chaîne, alors 𝑎𝑏=𝑏𝑐, ce qui donne 𝑎𝑐=𝑏.

Le terme du milieu 𝑏 est appelé la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, 𝑎 est la première proportionnelle, 𝑏 est la deuxième proportionnelle et 𝑐 est la troisième proportionnelle. Les termes 𝑎 et 𝑐 sont également appelés les extrêmes et 𝑏 est également appelé le moyen.

Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels en chaîne, alors 𝑎𝑏=𝑏𝑐=𝑐𝑑.

Les termes 𝑎 et 𝑑 sont appelés les extrêmes et 𝑏 et 𝑐 sont les moyens. On peut également désigner les termes par première, deuxième, troisième et quatrième proportionnelle.

Étudions quelques exemples de problèmes impliquant des proportions en chaîne.

Exemple 2: Utiliser les propriétés de la proportion en chaîne pour trouver une expression équivalente

Sachant que 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝑎+𝑏𝑏+𝑐?

  1. 𝑎𝑐
  2. 𝑐𝑎
  3. 2𝑎𝑐
  4. 2𝑐𝑎

Réponse

On commence par rappeler que dire que 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐 signifie que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont proportionnels en chaîne. Le rapport entre les termes successifs doit donc être constant. Par conséquent, 𝑎𝑏=𝑏𝑐.

En multipliant l’équation par 𝑏𝑐, on obtient 𝑎𝑐=𝑏.

On peut substituer 𝑏=𝑎𝑐 dans l’expression donnée pour obtenir 𝑎+𝑏𝑏+𝑐=𝑎+(𝑎𝑐)(𝑎𝑐)+𝑐.

Le numérateur peut être factorisé par 𝑎 et le dénominateur par 𝑐. Ce qui donne 𝑎+(𝑎𝑐)(𝑎𝑐)+𝑐=𝑎(𝑎+𝑐)𝑐(𝑎+𝑐).

En annulant le facteur commun de 𝑎+𝑐 au numérateur et au dénominateur, on obtient 𝑎(𝑎+𝑐)𝑐(𝑎+𝑐)=𝑎(𝑎+𝑐)𝑐(𝑎+𝑐)=𝑎𝑐.

Il s’agit de la réponse A.

Exemple 3: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une expression équivalente

Sachant que 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝑏49𝑐𝑎49𝑏?

  1. 𝑏𝑐
  2. 𝑏𝑐
  3. 𝑐𝑏
  4. 𝑐𝑏

Réponse

On commence par rappeler que dire que 𝑏 est la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐 signifie que 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont proportionnels en chaîne, donc le rapport entre les termes successifs doit être constant. Par conséquent, 𝑎𝑏=𝑘𝑏𝑐=𝑘,et pour une constante 𝑘.

En réarrangeant chaque équation, on obtient 𝑎=𝑘𝑏 et 𝑏=𝑘𝑐. On peut alors substituer ces expressions dans l’expression donnée:𝑏49𝑐𝑎49𝑏=(𝑘𝑐)49𝑐(𝑘𝑏)49𝑏.

On distribue ensuite les exposants en utilisant la propriété (𝑝𝑞)=𝑝𝑞:(𝑘𝑐)49𝑐(𝑘𝑏)49𝑏=𝑘𝑐49𝑐𝑘𝑏49𝑏.

Le numérateur peut être factorisé par 𝑐 et le dénominateur par 𝑐. Ce qui donne 𝑘𝑐49𝑐𝑘𝑏49𝑏=𝑐𝑏×𝑘49𝑘49.

On peut ensuite annuler le facteur commun 𝑘49 pour obtenir 𝑐𝑏×𝑘49𝑘49=𝑐𝑏.

Enfin, on réarrange les exposants:𝑐𝑏=𝑐𝑏.

Il s’agit de la réponse C.

Nous pouvons également utiliser les propriétés de quatre nombres proportionnels pour simplifier des expressions de manière similaire, comme nous allons le voir avec le prochain exemple.

Exemple 4: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une expression équivalente

Sachant que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels, laquelle des expressions suivantes est égale à 6𝑎9𝑏6𝑐9𝑑?

  1. 𝑐𝑎
  2. 𝑎𝑐
  3. 𝑎𝑑
  4. 𝑑𝑏

Réponse

On commence par rappeler que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels signifie que 𝑎𝑏 est égal à 𝑐𝑑. En particulier, leurs coefficients de proportionnalité sont égaux, donc 𝑎=𝑘𝑏𝑐=𝑘𝑑,et pour une constante 𝑘.

On les substitue alors dans l’expression donnée pour obtenir 6𝑎9𝑏6𝑐9𝑑=6(𝑘𝑏)9𝑏6(𝑘𝑑)9𝑑.

On distribue ensuite les exposants pour obtenir 6(𝑘𝑏)9𝑏6(𝑘𝑑)9𝑑=6𝑘𝑏9𝑏6𝑘𝑑9𝑑.

Le numérateur peut être factorisé par 𝑏 et le dénominateur par 𝑑. Ce qui donne 6𝑘𝑏9𝑏6𝑘𝑑9𝑑=𝑏(6𝑘9)𝑑(6𝑘9).

On peut maintenant annuler le facteur commun 6𝑘9 pour obtenir 𝑏(6𝑘9)𝑑(6𝑘9)=𝑏6𝑘9𝑑6𝑘9=𝑏𝑑.

Enfin, on prend la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément et on obtient 𝑏𝑑=𝑏𝑑=𝑏𝑑.

Nous remarquons alors que cela ne correspond à aucune des options données et que nous devons donc reformuler cette expression. On peut pour cela calculer le quotient des équations de proportionnalité ci-dessus. On obtient 𝑎𝑐=𝑘𝑏𝑘𝑑.

Annuler le facteur commun 𝑘 donne 𝑎𝑐=𝑏𝑑.

Par conséquent, la réponse est 𝑎𝑐, qui est l’option B.

De nombreuses propriétés des proportions et des proportions en chaîne peuvent être utilisées pour simplifier des expressions. Par exemple, si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels, alors 𝑎=𝑘𝑏𝑐=𝑘𝑑.et

Additionner ces équations donne 𝑎+𝑐=𝑘𝑏+𝑘𝑑.

Factoriser par 𝑘 sur le membre droit de l’équation nous donne 𝑎+𝑐=𝑘(𝑏+𝑑).

Diviser ensuite par (𝑏+𝑑) donne 𝑎+𝑐𝑏+𝑑=𝑘.

Cependant 𝑘 est le coefficient de proportionnalité, donc 𝑘=𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑎+𝑐𝑏+𝑑.

Cette propriété est intéressante car elle nous permet de créer des fractions équivalentes. Par exemple, on sait que 12=36, ce qui revient à dire que 1, 2, 3 et 6 sont proportionnels. Cette propriété nous indique alors que 12=36=1+32+6.

On peut obtenir un résultat similaire avec la soustraction:si on soustrait les équations de proportionnalité, on obtient 𝑎𝑐=𝑘𝑏𝑑𝑘.

On factorise ensuite par 𝑘 et on réarrange pour obtenir 𝑘=𝑎𝑐𝑏𝑑.

Appliquer cette propriété à l’exemple ci-dessus donne 1326=12.

Remarquez que les valeurs dans une proportion peuvent être négatives, nous avons donc seulement besoin de connaître la propriété d’addition. Nous l’énonçons ci-dessous.

Propriété : Proportionnalité de la somme

Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels, alors 𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑎+𝑐𝑏+𝑑.

On peut simplement additionner les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes séparément sans affecter la valeur de la fraction.

Voyons un exemple d’utilisation de cette propriété pour déterminer la valeur d’une inconnue.

Exemple 5: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une inconnue

Sachant que 𝑎7=𝑏4=𝑐14=6𝑎7𝑏+2𝑐3𝑥, calculez la valeur de 𝑥.

Réponse

Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que si 𝑤, 𝑥, 𝑦 et 𝑧 sont proportionnels, alors 𝑤𝑥=𝑦𝑧=𝑤+𝑦𝑥+𝑧.

La question nous donne trois fractions équivalentes 𝑎7=𝑏4=𝑐14, et nous demande de déterminer une inconnue dans la quatrième.

Si nous appliquons directement la propriété ci-dessus, nous obtenons 𝑎+𝑏+𝑐7+4+14=6𝑎7𝑏+2𝑐3𝑥, ce qui ne nous permet pas de déterminer 𝑥. Essayons plutôt de trouver des fractions équivalentes à 𝑎7, 𝑏4 et 𝑐14 telles que leurs numérateurs correspondent à chaque terme de 6𝑎7𝑏+2𝑐.

On multiplie la première fraction par 66 pour obtenir 𝑎7=6𝑎42.

On multiplie la deuxième fraction par 77 pour obtenir 𝑏4=7𝑏28.

On multiplie la troisième fraction par 22 pour obtenir 𝑐14=2𝑐28.

On a maintenant 6𝑎42=7𝑏28=2𝑐28.

En appliquant la propriété ci-dessus, on a 6𝑎7𝑏+2𝑐4228+28=6𝑎7𝑏+2𝑐3𝑥.

On peut simplifier le dénominateur du membre gauche pour obtenir 6𝑎7𝑏+2𝑐42=6𝑎7𝑏+2𝑐3𝑥.

Comme les numérateurs des deux membres de l’équation sont égaux, leurs dénominateurs doivent aussi être égaux. Donc, 42=3𝑥.

On divise cette équation par 3 pour trouver que 𝑥=14.

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La grandeur 𝑦 est dite directement proportionnelle à la grandeur 𝑥 lorsque leur rapport est constant. C’est-à-dire, 𝑦𝑥=𝑘, 𝑘 est une constante. Cette équation peut être réécrite sous la forme 𝑦=𝑘𝑥. La constante 𝑘 est appelée le coefficient de proportionnalité.
  • Si le rapport 𝑎𝑏 est égal au rapport 𝑐𝑑, alors on dit que 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels. Cela revient à dire que 𝑎𝑏=𝑐𝑑.
  • Si 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont proportionnels, alors
    • les valeurs 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont appelées les termes de la proportion et on les désigne respectivement par première proportionnelle, deuxième proportionnelle, troisième proportionnelle et quatrième proportionnelle. Les termes externes (𝑎 et 𝑑) sont appelés les extrêmes et les termes internes (𝑏 et 𝑐) sont les moyens;
    • 𝑎𝑑=𝑐𝑏;
    • 𝑎𝑏=𝑐𝑑=𝑎+𝑐𝑏+𝑑.
  • Une liste de termes est dite en proportion en chaîne si le rapport entre les termes successifs est constant. Pour trois termes, cela équivaut à dire que 𝑎𝑏=𝑏𝑐.
  • Si 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont proportionnels en chaîne, alors
    • le terme du milieu 𝑏 est appelé la moyenne proportionnelle entre 𝑎 et 𝑐, 𝑎 est la première proportionnelle, 𝑏 est la deuxième proportionnelle et 𝑐 est la troisième proportionnelle. Les valeurs 𝑎 et 𝑐 sont également appelées les extrêmes et 𝑏 le moyen;
    • 𝑎𝑐=𝑏.

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