Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser les propriétés des proportions pour déterminer une valeur inconnue dans une relation proportionnelle et prouver des assertions algébriques.
On dit que deux nombres ou plus sont proportionnels si les rapports des couples de nombres sont égaux. Ce type de relation est fréquemment rencontré dans la nature et en sciences. Par exemple, les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes forment une proportion.
On peut alors utiliser la proportionnalité de couples de nombres pour déterminer des inconnues. Par exemple, si on sait que le rapport est égal au rapport , on peut déterminer la valeur de . On peut pour cela calculer le coefficient de proportionnalité du premier rapport comme suit :
Ce coefficient de proportionnalité doit ensuite être le même pour le deuxième rapport, donc
On multiplie alors cette équation par 21 pour obtenir
On peut représenter graphiquement cette relation à l’aide de deux droites numériques.
La première droite numérique représente la première quantité de chaque rapport et la seconde droite numérique représente la seconde quantité de chaque rapport. Comme les rapports sont égaux, on multiplie par la même constante pour passer de la première valeur à la seconde. On peut également ajouter à cette figure le taux unitaire, qui permet de déterminer la valeur correspondant à 1 unité ; il est égal à .
On peut calculer le coefficient de proportionnalité en notant que , donc . Cela nous permet alors de trouver la valeur correspondant à 21 en le multipliant par 2. Il est également important de remarquer que l’on peut trouver des valeurs correspondantes dans l’autre sens en utilisant un facteur de . Ces couples de nombres sont dits proportionnels. On dit par exemple que les nombres 7, 14, 21 et 42 sont proportionnels. Nous pouvons décrire formellement cette relation comme suit.
Définition : Nombres proportionnels
Si le rapport est égal au rapport , alors on dit que , , et sont proportionnels.
En particulier, comme , on a .
Les valeurs , , et sont appelées les termes de la proportion et on les désigne respectivement par première proportionnelle, deuxième proportionnelle, troisième proportionnelle et quatrième proportionnelle. Les termes externes ( et ) sont appelés les extrêmes et les termes internes ( et ) sont les moyens.
L’équation peut donc également être envisagée comme « le produit des extrêmes est égal au produit des moyens ».
Voyons maintenant un autre exemple où nous connaissons trois termes d’une proportion et devons calculer le quatrième.
Exemple 1: Déterminer un terme inconnu dans une proportion de manière algébrique
Sachant que 8 et 3 sont dans le même rapport que 96 et , déterminez la valeur de .
Réponse
On commence par rappeler que si les rapports de deux couples de nombres sont identiques, alors ils sont proportionnels. Par conséquent, les quotients de chaque couple de nombres sont égaux, ce qui nous donne
On multiplie par pour obtenir puis on divise par 8 pour trouver :
Considérons maintenant un cas particulier où des couples de nombres sont proportionnels. Supposons que trois nombres sont proportionnels. Cela signifie par exemple que et sont dans le même rapport que et . Nous pouvons appliquer le même raisonnement que dans les exemples ci-dessus pour trouver des équations impliquant ces valeurs. Par exemple, on sait que et , donc on doit avoir
On peut alors multiplier cette équation par pour obtenir
De même, étant donné que et sont directement proportionnels, ; et comme et sont directement proportionnels, on a . En substituant cette expression de dans l’équation de proportionnalité de , on obtient
Ce type de proportionnalité est appelé proportionnalité en chaîne et peut s’appliquer à tout nombre de termes, bien qu’on la rencontre majoritairement pour trois termes.
Par exemple, les nombres 1, 4 et 16 sont en proportion en chaîne parce que chaque couple de nombres successifs est dans le même rapport. On peut calculer ces quotients :
Nous pouvons utiliser cela pour définir formellement la proportion en chaîne et présenter quelques éléments de vocabulaires utiles pour décrire les proportions en chaîne.
Définition : Proportion en chaîne
Une liste de termes est dite en proportion en chaîne si le rapport entre les termes successifs est constant. Il n’y a pas de limite au nombre de termes qui peuvent être proportionnels en chaîne. Cependant, les problèmes indiquent généralement trois ou quatre termes proportionnels en chaîne.
Si , et sont proportionnels en chaîne, alors ce qui donne
Le terme du milieu est appelé la moyenne proportionnelle entre et , est la première proportionnelle, est la deuxième proportionnelle et est la troisième proportionnelle. Les termes et sont également appelés les extrêmes et est également appelé le moyen.
Si , , et sont proportionnels en chaîne, alors
Les termes et sont appelés les extrêmes et et sont les moyens. On peut également désigner les termes par première, deuxième, troisième et quatrième proportionnelle.
Étudions quelques exemples de problèmes impliquant des proportions en chaîne.
Exemple 2: Utiliser les propriétés de la proportion en chaîne pour trouver une expression équivalente
Sachant que est la moyenne proportionnelle entre et , laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
On commence par rappeler que dire que est la moyenne proportionnelle entre et signifie que , et sont proportionnels en chaîne. Le rapport entre les termes successifs doit donc être constant. Par conséquent,
En multipliant l’équation par , on obtient
On peut substituer dans l’expression donnée pour obtenir
Le numérateur peut être factorisé par et le dénominateur par . Ce qui donne
En annulant le facteur commun de au numérateur et au dénominateur, on obtient
Il s’agit de la réponse A.
Exemple 3: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une expression équivalente
Sachant que est la moyenne proportionnelle entre et , laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
On commence par rappeler que dire que est la moyenne proportionnelle entre et signifie que , et sont proportionnels en chaîne, donc le rapport entre les termes successifs doit être constant. Par conséquent, pour une constante .
En réarrangeant chaque équation, on obtient et . On peut alors substituer ces expressions dans l’expression donnée :
On distribue ensuite les exposants en utilisant la propriété :
Le numérateur peut être factorisé par et le dénominateur par . Ce qui donne
On peut ensuite annuler le facteur commun pour obtenir
Enfin, on réarrange les exposants :
Il s’agit de la réponse C.
Nous pouvons également utiliser les propriétés de quatre nombres proportionnels pour simplifier des expressions de manière similaire, comme nous allons le voir avec le prochain exemple.
Exemple 4: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une expression équivalente
Sachant que , , et sont proportionnels, laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
On commence par rappeler que , , et sont proportionnels signifie que est égal à . En particulier, leurs coefficients de proportionnalité sont égaux, donc pour une constante .
On les substitue alors dans l’expression donnée pour obtenir
On distribue ensuite les exposants pour obtenir
Le numérateur peut être factorisé par et le dénominateur par . Ce qui donne
On peut maintenant annuler le facteur commun pour obtenir
Enfin, on prend la racine carrée du numérateur et du dénominateur séparément et on obtient
Nous remarquons alors que cela ne correspond à aucune des options données et que nous devons donc reformuler cette expression. On peut pour cela calculer le quotient des équations de proportionnalité ci-dessus. On obtient
Annuler le facteur commun donne
Par conséquent, la réponse est , qui est l’option B.
De nombreuses propriétés des proportions et des proportions en chaîne peuvent être utilisées pour simplifier des expressions. Par exemple, si , , et sont proportionnels, alors
Additionner ces équations donne
Factoriser par sur le membre droit de l’équation nous donne
Diviser ensuite par donne
Cependant est le coefficient de proportionnalité, donc
Cette propriété est intéressante car elle nous permet de créer des fractions équivalentes. Par exemple, on sait que , ce qui revient à dire que 1, 2, 3 et 6 sont proportionnels. Cette propriété nous indique alors que
On peut obtenir un résultat similaire avec la soustraction : si on soustrait les équations de proportionnalité, on obtient
On factorise ensuite par et on réarrange pour obtenir
Appliquer cette propriété à l’exemple ci-dessus donne
Remarquez que les valeurs dans une proportion peuvent être négatives, nous avons donc seulement besoin de connaître la propriété d’addition. Nous l’énonçons ci-dessous.
Propriété : Proportionnalité de la somme
Si , , et sont proportionnels, alors
On peut simplement additionner les numérateurs et les dénominateurs de fractions équivalentes séparément sans affecter la valeur de la fraction.
Voyons un exemple d’utilisation de cette propriété pour déterminer la valeur d’une inconnue.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des proportions pour trouver une inconnue
Sachant que , calculez la valeur de .
Réponse
Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que si , , et sont proportionnels, alors
La question nous donne trois fractions équivalentes , et nous demande de déterminer une inconnue dans la quatrième.
Si nous appliquons directement la propriété ci-dessus, nous obtenons ce qui ne nous permet pas de déterminer . Essayons plutôt de trouver des fractions équivalentes à , et telles que leurs numérateurs correspondent à chaque terme de .
On multiplie la première fraction par pour obtenir
On multiplie la deuxième fraction par pour obtenir
On multiplie la troisième fraction par pour obtenir
On a maintenant
En appliquant la propriété ci-dessus, on a
On peut simplifier le dénominateur du membre gauche pour obtenir
Comme les numérateurs des deux membres de l’équation sont égaux, leurs dénominateurs doivent aussi être égaux. Donc,
On divise cette équation par 3 pour trouver que
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- La grandeur est dite directement proportionnelle à la grandeur lorsque leur rapport est constant. C’est-à-dire, , où est une constante. Cette équation peut être réécrite sous la forme . La constante est appelée le coefficient de proportionnalité.
- Si le rapport est égal au rapport , alors on dit que , , et sont proportionnels. Cela revient à dire que .
- Si , , et sont proportionnels, alors
- les valeurs , , et sont appelées les termes de la proportion et on les désigne respectivement par première proportionnelle, deuxième proportionnelle, troisième proportionnelle et quatrième proportionnelle. Les termes externes ( et ) sont appelés les extrêmes et les termes internes ( et ) sont les moyens ;
- ;
- .
- Une liste de termes est dite en proportion en chaîne si le rapport entre les termes successifs est constant. Pour trois termes, cela équivaut à dire que .
- Si , et sont proportionnels en chaîne, alors
- le terme du milieu est appelé la moyenne proportionnelle entre et , est la première proportionnelle, est la deuxième proportionnelle et est la troisième proportionnelle. Les valeurs et sont également appelées les extrêmes et le moyen ;
- .
