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Fiche explicative de la leçon : Aire entre une courbe et une droite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction et une droite horizontale ou verticale.

Déterminer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction est une technique très utile qui a de nombreuses applications. Par exemple, calculer l’aire sous un graphique vecteur vitesse-temps d’un objet entre deux points dans le temps donne la distance totale parcourue pendant cet intervalle.

L’aire sous la représentation graphique d’une fonction affine est assez simple à calculer. Par exemple, on considère l’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=4𝑥+7 et l’axe des 𝑥 entre deux points, 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏.

On peut déterminer cette aire en utilisant la formule standard de l’aire d’un trapèze:airedutrapèze=𝑝+𝑞2,𝑝 et 𝑞 sont les longueurs des deux côtés parallèles et est la hauteur. En appliquant cette formule à la zone colorée sur le graphique, les deux côtés parallèles ont comme longueur 𝑓(𝑎) et 𝑓(𝑏) et la hauteur est =𝑏𝑎. Par conséquent, on a airedutrapèze=𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2(𝑏𝑎).

Avec 𝑓(𝑥)=4𝑥+7, on a alors airedutrapèze=4𝑎+7+4𝑏+72(𝑏𝑎)=(2𝑎+2𝑏+7)(𝑏𝑎)=2𝑎𝑏2𝑎+2𝑏2𝑎𝑏+7𝑏7𝑎=2𝑏+7𝑏2𝑎+7𝑎.

Cette approche fonctionne bien lorsque l’on a une fonction affine 𝑓(𝑥) et que l’on peut utiliser la géométrie de base, mais elle ne fonctionnera pas pour des fonctions plus complexes. Par exemple, si le vecteur vitesse d’un objet ne varie pas à un rythme constant (c’est-à-dire que son accélération n’est pas constante), alors la courbe vecteur vitesse-temps n’est pas une droite et on ne peut pas trouver facilement l’aire de cette manière.

Pour la courbe représentative d’une fonction générale 𝑦=𝑓(𝑥), l’aire de la zone entre la courbe, l’axe des 𝑥 et entre les droites verticales 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par le théorème fondamental de l’analyse.

On définit une nouvelle fonction 𝐴(𝑥) qui est l’aire de la zone entre la courbe représentative de 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les droites verticales 𝑥=0 et 𝑥=𝑥, une valeur générale de 𝑥.

En augmentant légèrement la frontière droite de la zone d’une petite quantité d𝑥, l’incrément de la fonction de l’aire d𝐴 est donné par dd𝐴=𝑓(𝑥)𝑥.

En réarrangeant, on donne la variation de 𝐴 divisée par la variation de 𝑥:dd𝐴𝑥=𝑓(𝑥).

Il s’agit de la dérivée de 𝐴 par rapport à 𝑥. On obtient la fonction de l’aire d’origine 𝐴(𝑥), l’aire sous la courbe entre 0 et 𝑥, en inversant l’opération de dérivation sur les deux membres de l’équation. Sur le membre droit, cela donne la primitive𝐹 de 𝑓:𝐴(𝑥)=𝐹(𝑥),dd𝐹𝑥=𝑓(𝑥).

On considère maintenant le même scénario, mais en évaluant l’aire sous la courbe entre deux valeurs spécifiques de 𝑥, 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏.

L’aire 𝛽 sous la courbe et entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par 𝛽=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

Évaluer la primitive 𝐹 en deux points 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 et prendre leur différence est appelé l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 et elle est notée 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎)=𝑓(𝑥)𝑥.d

Par conséquent, l’aire 𝛽=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎) de la zone sous la courbe entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par 𝛽=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

Le membre droit est souvent noté 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎)=[𝐹(𝑥)], où les crochets avec 𝑎 en bas à droite et 𝑏 en haut à droite indiquent que 𝐹(𝑥) est évaluée en 𝑥=𝑎 et en 𝑥=𝑏, puis que leur différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎) est calculée. La constante arbitraire d’intégration +𝐶 est omise dans le calcul d’une intégrale, car elle est la même pour 𝐹(𝑎) et 𝐹(𝑏) et s’annule donc.

Théorème : Théorème fondamental de l’analyse

L’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓. Le membre droit est souvent noté 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎)=[𝐹(𝑥)], où les crochets avec 𝑎 en bas à droite et 𝑏 en haut à droite indiquent que 𝐹(𝑥) est évaluée en 𝑥=𝑎 et en 𝑥=𝑏, puis que leur différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎) est calculée.

On considère à nouveau l’exemple de la fonction précédente, 𝑓(𝑥)=4𝑥+7, et on va cette fois utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone sous la courbe entre deux points 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

En utilisant la formule de l’aire de la zone sous la courbe représentative d’une fonction 𝑓(𝑥) entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏, aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎)=[𝐹(𝑥)].

Dans ce cas, on a 𝑓(𝑥)=4𝑥+7, ce qui donne aired=4𝑥+7𝑥.

Intégrer par rapport à 𝑥 donne aire=2𝑥+7𝑥.

En évaluant en 𝑥=𝑏 et 𝑥=𝑎 et en prenant la différence, aire=2𝑏+7𝑏2𝑎+7𝑎.

Ce résultat correspond exactement au résultat trouvé précédemment grâce à l’aire du trapèze. Cependant, l’immense avantage d’utiliser l’intégration pour trouver l’aire sous une courbe est qu’elle s’étend à des fonctions beaucoup plus complexes pour lesquelles il serait autrement impossible de calculer l’aire.

Étudions un exemple d’utilisation de l’intégration pour déterminer l’aire sous une courbe plus complexe.

Exemple 1: Déterminer l’aire sous la courbe d’une fonction du second degré

Soit 𝑓(𝑥)=2𝑥+3. Déterminez l’aire de la zone délimitée par la courbe 𝑦=𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥=1 et 𝑥=5.

Réponse

Il peut être utile de tracer la zone dont on doit calculer l’aire. Dans ce cas, il s’agit de la zone délimitée par les droites 𝑥=1 et 𝑥=5 et la courbe 𝑦=2𝑥+3.

On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par l’intégrale aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓 telle que dd𝐹𝑥=𝑓(𝑥). En substituant la fonction donnée 𝑓(𝑥)=2𝑥+3 et les bornes 𝑥=1 et 𝑥=5:aired=2𝑥+3𝑥.

Intégrer par rapport à 𝑥 donne aire=23𝑥+3𝑥, et l’évaluer entre les bornes 𝑥=1 et 𝑥=5 donne aireunitéscarrées=235+3523(1)+3(1)=2503+15233=102.

Pour certaines fonctions, il existe des zones pour lesquelles la courbe représentative est située sous l’axe des 𝑥. D’après la nature de la façon dont on évalue l’aire entre une courbe et l’axe des 𝑥, comme l’incrément d𝑥 est toujours positif, l’incrément de l’aire dd𝐴=𝑓(𝑥)𝑥 sera bien sûr négatif si la fonction 𝑓(𝑥) est négative en ce point.

Par conséquent, toute intégrale d’une zone délimitée par une courbe sous l’axe des 𝑥 sera négative. Sachant que l’aire est une quantité positive, elle est souvent obtenue en prenant la valeur absolue de l’intégrale de chaque zone.

Étudions un exemple illustrant l’utilisation de l’intégration pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe sous l’axe des 𝑥.

Exemple 2: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire entre deux droites et une courbe sous l’axe des abscisses

La courbe ci-dessous représente 𝑦=1𝑥. Quelle est l’aire de la zone colorée?Donnez une réponse exacte.

Réponse

On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par l’intégrale aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓 telle que dd𝐹𝑥=𝑓(𝑥). En substituant la fonction 𝑓(𝑥)=1𝑥 et les bornes 𝑥=1 et 𝑥=13:aired=1𝑥𝑥.

Intégrer par rapport à 𝑥 donne aireln=[|𝑥|]; on rappelle que le logarithme népérien ln(𝑥) n’est pas défini pour des valeurs négatives de 𝑥, on prend donc la valeur absolue.

En l’évaluant entre les bornes 𝑥=1 et 𝑥=13:=|||13||||1|=30=(3)1,099().lnlnlnlnaumillièmeprès

Notez que le résultat est négatif. Cela est dû au fait que la zone entre la courbe et l’axe des 𝑥 est située sous l’axe des 𝑥. En prenant la valeur absolue, on trouve que la valeur réelle de l’aire de la région colorée est ln(3)1,099 unités carrées (au millième près).

Déduire la valeur réelle de l’aire de la zone délimitée par une courbe n’est pas toujours aussi simple que de prendre la valeur absolue de l’intégrale. Étudions un exemple où nous devons être plus prudents avec cette méthode.

Exemple 3: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de zones situées au-dessus et en dessous de l’axe des abscisses

La figure montre la représentation graphique de la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥8𝑥. Évaluez l’aire de la région colorée.

Réponse

On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par l’intégrale aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓 telle que dd𝐹𝑥=𝑓(𝑥).

Dans cet exemple, la fonction 𝑓(𝑥)=2𝑥8𝑥 est une fonction impaire. C’est-à-dire qu’elle est symétrique par rapport à l’origine, alors que les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des 𝑦, donc ici, on a 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥). Cela signifie donc que l’aire de la zone entre 𝑥=0 et toute valeur 𝑥=𝑎 sera exactement la même que l‘aire de la zone entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=0. Lorsque l’on utilise l’intégration pour déterminer une aire, l’intégrale d’un côté de l’axe des 𝑦 a cependant le signe opposé à l’intégrale de l’autre côté de l’axe.

Cela signifie que lors de l’intégration entre deux valeurs opposées comme c’est le cas ici entre 2 et +2, on se rend compte que l’intégrale d’un côté de l’axe des 𝑦 annule l’intégrale de l’autre côté, donnant un total de zéro:aired=2𝑥8𝑥𝑥.

Intégrer par rapport à 𝑥 donne aire=12𝑥4𝑥.

On évalue maintenant une fonction paire (c.à.d. 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)) en deux valeurs opposées avant de prendre leur différence, le résultat sera donc nul:aire=1224212(2)4(2)=816(816)=0.

Il est cependant visible que l’aire totale de la zone colorée n’est pas nulle. Pour corriger ce problème, on doit évaluer l’aire de chaque partie de la zone colorée séparément.

Dans cet exemple, on a deux parties distinctes délimitées par la courbe représentative de 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et l’axe des 𝑦.

On doit donc évaluer l’intégrale entre 𝑥=2 et 𝑥=0 et l’intégrale entre 𝑥=0 et 𝑥=2 séparément, prendre la valeur absolue de chaque intégrale pour obtenir l’aire, puis les additionner pour obtenir l’aire totale de la zone colorée.

Pour la première partie, on a aire1=12𝑥4𝑥=012(2)4(2)=0(816)=8.

Et pour la deuxième partie:aire2=12𝑥4𝑥=122420=8160=8.

On s’attendait à ce que cette valeur soit négative car la zone entre 𝑥=0 et 𝑥=2 est sous l’axe des 𝑥. En prenant la valeur absolue pour obtenir l’aire:aire2=|8|=8.

Par conséquent, l’aire totale de la zone colorée est la somme de ces deux aires:aireaireaireunitéscarrées=1+2=8+8=16.

Le théorème fondamental de l’analyse n’est bien sûr pas limité aux fonctions de la variable indépendante (généralement 𝑥). Il peut également être utilisé pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une fonction de 𝑦.

Théorème : Aire de la zone délimitée par la courbe représentative d’une fonction de 𝑦

L’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de 𝑓(𝑦), l’axe des 𝑦 et les deux droites horizontales 𝑦=𝑎 et 𝑦=𝑏 est donnée par aired=𝑓(𝑦)𝑦=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓. Le membre droit est souvent noté 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎)=[𝐹(𝑦)], où les crochets avec 𝑎 en bas à droite et 𝑏 en haut à droite indiquent que 𝐹(𝑦) est évaluée en 𝑦=𝑎 et en 𝑦=𝑏, puis que la différence, 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎) est calculée.

Dans le prochain exemple, la zone dont nous recherchons l’aire est délimitée par une fonction de 𝑦 et deux droites horizontales.

Exemple 4: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire entre une fonction implicite et deux droites horizontales

Déterminez l’aire de la zone délimitée par la représentation graphique de 𝑥=9𝑦, l’axe des 𝑦 et les droites 𝑦=3 et 𝑦=3.

Réponse

Il peut être utile de tracer la zone dont on doit calculer l’aire. Dans ce cas, il s’agit de la zone délimitée par les droites 𝑦=3, 𝑦=3 et la courbe 𝑥=9𝑦.

La fonction 𝑥 est une fonction du second degré de 𝑦 avec un coefficient dominant négatif, sa courbe représentative est donc une parabole concave symétrique par rapport à l’axe des 𝑥. Pour trouver l’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑥, on substitue 𝑦=0 dans l’équation de la fonction et on détermine 𝑥, ce qui donne 𝑥=9.

Par conséquent, la courbe coupe l’axe des 𝑥 en 𝑥=9. Pour trouver ensuite l’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦, on substitue 𝑥=0 dans l’équation de la fonction et on détermine 𝑦, ce qui donne 0=9𝑦𝑦=±3.

Par conséquent, la courbe coupe l’axe des 𝑦 en 𝑦=3 et 𝑦=3. On a maintenant suffisamment d’informations pour tracer la courbe.

On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de 𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par l’intégrale aired=𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎),𝐹 est la primitive de 𝑓 telle que dd𝐹𝑥=𝑓(𝑥).

Dans ce cas cependant, on ne peut pas réarranger simplement la fonction de la courbe pour isoler 𝑦 et intégrer par rapport à 𝑥 car l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥 est égale à l’aire en dessous de l’axe et le résultat de l’intégration sera nul.

Si on essaie de procéder de cette manière, on commence par 𝑦=9𝑥,=9𝑥𝑥.aired

Le problème dans ce cas particulier est que 𝑦=9𝑥 n’est pas une fonction injective, car la racine carrée peut être positive ou négative;si une fonction n’est pas injective, alors elle ne transforme pas une valeur unique en une autre valeur unique;par conséquent, il est impossible de savoir quelle aire on évalue.

Dans ce cas, 𝑦=9𝑥 associe une valeur unique à 𝑥 pour à la fois la racine carrée positive +9𝑥et la racine carrée négative 9𝑥.

En prenant la racine carrée positive, on obtient l’aire de la zone délimitée par la courbe au-dessus de l’axe des 𝑥.

Comme on a changé la fonction en une fonction injective, on peut maintenant évaluer cette aire de la manière habituelle avec une intégrale:aired=+9𝑥𝑥=23(9𝑥)=18.

De même, prendre la racine carrée négative donne l’aire de la zone délimitée par la courbe en dessous de l’axe des 𝑥.

On peut alors à nouveau évaluer cette aire avec une intégrale:aired=9𝑥𝑥=23(9𝑥)=18.

Additionner ces intégrales donne un résultat nul, mais on sait que l’aire réelle est égale à la somme des valeurs absolues de ces intégrales:=|18|+|18|=36.aireunitéscarrées

Une alternative plus simple consiste plutôt à intégrer par rapport à 𝑦. Il s’agit essentiellement d’échanger le rôle des variables. Considérez prendre une bande horizontale de l'aire délimitée par 𝑥=9𝑦 et 𝑦-axis, avec une largeur 𝑥 et hauteur d𝑦.

La fonction peut être intégrée par rapport à 𝑦 car il n’y a pas de différence particulière entre 𝑦 et 𝑥, la variable aléatoire est en général 𝑥 uniquement par convention. En outre, il s’agit maintenant d’une fonction positive sur cet intervalle, on peut donc l’intégrer sans avoir à séparer l’intégrale en zones distinctes. Par conséquent, on a 𝑥=𝑓(𝑦)=9𝑦.

Intégrer par rapport à 𝑦 donne aireunitéscarrées=9𝑦13𝑦=931339(3)13(3)=279(27+9)=36.

Les intégrales peuvent aussi être utilisées pour déterminer l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) et la courbe représentative d’une autre fonction 𝑦=𝑔(𝑥) car l’opérateur intégral, tout comme l’opérateur différentiel, est un opérateur linéaire, ce qui signifie qu’il est fermé pour l’addition:𝑓(𝑥)𝑥+𝑔(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)𝑥.ddd

Cela s’étend également à la soustraction, car l’intégration est également fermée pour la multiplication par un scalaire:𝛼𝑓(𝑥)𝑥=𝛼𝑓(𝑥)𝑥,dd𝛼 est un scalaire. En prenant le cas spécifique de 𝛼=1 , 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥,dd et en le combinant avec la première propriété, on peut exprimer la différence entre deux intégrales comme une seule intégrale:𝑓(𝑥)𝑥𝑔(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑔(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑥.ddddd

Pour le cas plus simple où la deuxième fonction est une droite horizontale constante 𝑦=𝑔(𝑥)=𝑐, on a alors 𝑓(𝑥)𝑥𝑐𝑥=𝑓(𝑥)𝑐𝑥.ddd

Par conséquent, on peut trouver l’aire de la zone délimitée par une courbe 𝑦=𝑓(𝑥) et une droite horizontale 𝑦=𝑐 entre deux points 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 en utilisant la formule aired=𝑓(𝑥)𝑐𝑥.

Étudions un exemple d’utilisation de cela pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite.

Exemple 5: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite horizontale

Déterminez l’aire de la zone colorée.

Réponse

L’aire de cette zone colorée pourrait être déterminée en évaluant l’intégrale de la fonction 𝑦=3𝑥+4𝑥2 entre les bornes 𝑥=1 et 𝑥=2 puis en soustrayant l’aire du rectangle sous celle-ci que l’on peut trouver facilement avec la formule standard de l’aire d’un rectangle.

Cependant, on rappelle que l’on peut également trouver l’aire de la zone délimitée par une courbe 𝑦=𝑓(𝑥) et une droite horizontale 𝑦=𝑐 entre deux points 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 en utilisant la formule aired=𝑓(𝑥)𝑐𝑥.

Dans ce cas, on a la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=3𝑥+4𝑥2 et la droite horizontale 𝑦=5. En les substituant dans la formule ci-dessus, on obtient airedd=3𝑥+4𝑥25𝑥=3𝑥+4𝑥7𝑥.

En intégrant par rapport à 𝑥, aireunitéscarrées=𝑥+2𝑥7𝑥=2+22721+2171=8+814(1+27)=6.

Terminons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’aire de la zone délimitée par une courbe 𝑦=𝑓(𝑥), l’axe des 𝑥 et les deux droites verticales 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par 𝐴=𝑓(𝑥)𝑥.d
  • L’aire de la zone délimitée par une courbe 𝑥=𝑓(𝑦), l’axe des 𝑦 et les deux droites horizontales 𝑦=𝑎 et 𝑦=𝑏 est donnée par 𝐴=𝑓(𝑦)𝑦.d
  • Une zone au-dessus de l’axe des 𝑥/l’axe des 𝑦 donne une intégrale positive et une zone sous l’axe des 𝑥/l’axe des 𝑦 donne une intégrale négative. Comme l’aire est une quantité strictement positive, on prend la valeur absolue de l’intégrale de chaque zone individuelle pour déterminer l’aire totale de la zone.
  • L’aire de la zone délimitée par une courbe 𝑦=𝑓(𝑥), une droite horizontale 𝑦=𝑐, et deux droites verticales 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 est donnée par 𝐴=𝑓(𝑥)𝑐𝑥.d

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