Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction et une droite horizontale ou verticale.
Déterminer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction est une technique très utile qui a de nombreuses applications. Par exemple, calculer l’aire sous un graphique vecteur vitesse-temps d’un objet entre deux points dans le temps donne la distance totale parcourue pendant cet intervalle.
L’aire sous la représentation graphique d’une fonction affine est assez simple à calculer. Par exemple, on considère l’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de la fonction et l’axe des entre deux points, et .
On peut déterminer cette aire en utilisant la formule standard de l’aire d’un trapèze : où et sont les longueurs des deux côtés parallèles et est la hauteur. En appliquant cette formule à la zone colorée sur le graphique, les deux côtés parallèles ont comme longueur et et la hauteur est . Par conséquent, on a
Avec , on a alors
Cette approche fonctionne bien lorsque l’on a une fonction affine et que l’on peut utiliser la géométrie de base, mais elle ne fonctionnera pas pour des fonctions plus complexes. Par exemple, si le vecteur vitesse d’un objet ne varie pas à un rythme constant (c’est-à-dire que son accélération n’est pas constante), alors la courbe vecteur vitesse-temps n’est pas une droite et on ne peut pas trouver facilement l’aire de cette manière.
Pour la courbe représentative d’une fonction générale , l’aire de la zone entre la courbe, l’axe des et entre les droites verticales et est donnée par le théorème fondamental de l’analyse.
On définit une nouvelle fonction qui est l’aire de la zone entre la courbe représentative de , l’axe des et les droites verticales et , une valeur générale de .
En augmentant légèrement la frontière droite de la zone d’une petite quantité , l’incrément de la fonction de l’aire est donné par
En réarrangeant, on donne la variation de divisée par la variation de :
Il s’agit de la dérivée de par rapport à . On obtient la fonction de l’aire d’origine , l’aire sous la courbe entre 0 et , en inversant l’opération de dérivation sur les deux membres de l’équation. Sur le membre droit, cela donne la primitive de : où .
On considère maintenant le même scénario, mais en évaluant l’aire sous la courbe entre deux valeurs spécifiques de , et .
L’aire sous la courbe et entre et est donnée par
Évaluer la primitive en deux points et et prendre leur différence est appelé l’intégrale entre et et elle est notée
Par conséquent, l’aire de la zone sous la courbe entre et est donnée par
Le membre droit est souvent noté où les crochets avec en bas à droite et en haut à droite indiquent que est évaluée en et en , puis que leur différence est calculée. La constante arbitraire d’intégration est omise dans le calcul d’une intégrale, car elle est la même pour et et s’annule donc.
Théorème : Théorème fondamental de l’analyse
L’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de la fonction , l’axe des et les deux droites verticales et est donnée par où est la primitive de . Le membre droit est souvent noté où les crochets avec en bas à droite et en haut à droite indiquent que est évaluée en et en , puis que leur différence est calculée.
On considère à nouveau l’exemple de la fonction précédente, , et on va cette fois utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone sous la courbe entre deux points et , comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
En utilisant la formule de l’aire de la zone sous la courbe représentative d’une fonction entre et ,
Dans ce cas, on a , ce qui donne
Intégrer par rapport à donne
En évaluant en et et en prenant la différence,
Ce résultat correspond exactement au résultat trouvé précédemment grâce à l’aire du trapèze. Cependant, l’immense avantage d’utiliser l’intégration pour trouver l’aire sous une courbe est qu’elle s’étend à des fonctions beaucoup plus complexes pour lesquelles il serait autrement impossible de calculer l’aire.
Étudions un exemple d’utilisation de l’intégration pour déterminer l’aire sous une courbe plus complexe.
Exemple 1: Déterminer l’aire sous la courbe d’une fonction du second degré
Soit . Déterminez l’aire de la zone délimitée par la courbe , l’axe des et les deux droites et .
Réponse
Il peut être utile de tracer la zone dont on doit calculer l’aire. Dans ce cas, il s’agit de la zone délimitée par les droites et et la courbe .
On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction , l’axe des et les deux droites et est donnée par l’intégrale où est la primitive de telle que . En substituant la fonction donnée et les bornes et :
Intégrer par rapport à donne et l’évaluer entre les bornes et donne
Pour certaines fonctions, il existe des zones pour lesquelles la courbe représentative est située sous l’axe des . D’après la nature de la façon dont on évalue l’aire entre une courbe et l’axe des , comme l’incrément est toujours positif, l’incrément de l’aire sera bien sûr négatif si la fonction est négative en ce point.
Par conséquent, toute intégrale d’une zone délimitée par une courbe sous l’axe des sera négative. Sachant que l’aire est une quantité positive, elle est souvent obtenue en prenant la valeur absolue de l’intégrale de chaque zone.
Étudions un exemple illustrant l’utilisation de l’intégration pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe sous l’axe des .
Exemple 2: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire entre deux droites et une courbe sous l’axe des abscisses
La courbe ci-dessous représente . Quelle est l’aire de la zone colorée ? Donnez une réponse exacte.
Réponse
On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de , l’axe des et les deux droites et est donnée par l’intégrale où est la primitive de telle que . En substituant la fonction et les bornes et :
Intégrer par rapport à donne on rappelle que le logarithme népérien n’est pas défini pour des valeurs négatives de , on prend donc la valeur absolue.
En l’évaluant entre les bornes et :
Notez que le résultat est négatif. Cela est dû au fait que la zone entre la courbe et l’axe des est située sous l’axe des . En prenant la valeur absolue, on trouve que la valeur réelle de l’aire de la région colorée est unités carrées (au millième près).
Déduire la valeur réelle de l’aire de la zone délimitée par une courbe n’est pas toujours aussi simple que de prendre la valeur absolue de l’intégrale. Étudions un exemple où nous devons être plus prudents avec cette méthode.
Exemple 3: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de zones situées au-dessus et en dessous de l’axe des abscisses
La figure montre la représentation graphique de la fonction . Évaluez l’aire de la région colorée.
Réponse
On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de , l’axe des et les deux droites et est donnée par l’intégrale où est la primitive de telle que .
Dans cet exemple, la fonction est une fonction impaire. C’est-à-dire qu’elle est symétrique par rapport à l’origine, alors que les fonctions paires sont symétriques par rapport à l'axe des , donc ici, on a . Cela signifie donc que l’aire de la zone entre et toute valeur sera exactement la même que l‘aire de la zone entre et . Lorsque l’on utilise l’intégration pour déterminer une aire, l’intégrale d’un côté de l’axe des a cependant le signe opposé à l’intégrale de l’autre côté de l’axe.
Cela signifie que lors de l’intégration entre deux valeurs opposées comme c’est le cas ici entre et , on se rend compte que l’intégrale d’un côté de l’axe des annule l’intégrale de l’autre côté, donnant un total de zéro :
Intégrer par rapport à donne
On évalue maintenant une fonction paire (c.à.d. ) en deux valeurs opposées avant de prendre leur différence, le résultat sera donc nul :
Il est cependant visible que l’aire totale de la zone colorée n’est pas nulle. Pour corriger ce problème, on doit évaluer l’aire de chaque partie de la zone colorée séparément.
Dans cet exemple, on a deux parties distinctes délimitées par la courbe représentative de , l’axe des et l’axe des .
On doit donc évaluer l’intégrale entre et et l’intégrale entre et séparément, prendre la valeur absolue de chaque intégrale pour obtenir l’aire, puis les additionner pour obtenir l’aire totale de la zone colorée.
Pour la première partie, on a
Et pour la deuxième partie :
On s’attendait à ce que cette valeur soit négative car la zone entre et est sous l’axe des . En prenant la valeur absolue pour obtenir l’aire :
Par conséquent, l’aire totale de la zone colorée est la somme de ces deux aires :
Le théorème fondamental de l’analyse n’est bien sûr pas limité aux fonctions de la variable indépendante (généralement ). Il peut également être utilisé pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une fonction de .
Théorème : Aire de la zone délimitée par la courbe représentative d’une fonction de 𝑦
L’aire de la zone délimitée par la courbe représentative de , l’axe des et les deux droites horizontales et est donnée par où est la primitive de . Le membre droit est souvent noté où les crochets avec en bas à droite et en haut à droite indiquent que est évaluée en et en , puis que la différence, est calculée.
Dans le prochain exemple, la zone dont nous recherchons l’aire est délimitée par une fonction de et deux droites horizontales.
Exemple 4: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire entre une fonction implicite et deux droites horizontales
Déterminez l’aire de la zone délimitée par la représentation graphique de , l’axe des et les droites et .
Réponse
Il peut être utile de tracer la zone dont on doit calculer l’aire. Dans ce cas, il s’agit de la zone délimitée par les droites , et la courbe .
La fonction est une fonction du second degré de avec un coefficient dominant négatif, sa courbe représentative est donc une parabole concave symétrique par rapport à l’axe des . Pour trouver l’intersection de la courbe avec l’axe des , on substitue dans l’équation de la fonction et on détermine , ce qui donne
Par conséquent, la courbe coupe l’axe des en . Pour trouver ensuite l’intersection de la courbe avec l’axe des , on substitue dans l’équation de la fonction et on détermine , ce qui donne
Par conséquent, la courbe coupe l’axe des en et . On a maintenant suffisamment d’informations pour tracer la courbe.
On rappelle que l’aire de la zone entre la courbe représentative de , l’axe des et les deux droites et est donnée par l’intégrale où est la primitive de telle que .
Dans ce cas cependant, on ne peut pas réarranger simplement la fonction de la courbe pour isoler et intégrer par rapport à car l’aire au-dessus de l’axe des est égale à l’aire en dessous de l’axe et le résultat de l’intégration sera nul.
Si on essaie de procéder de cette manière, on commence par
Le problème dans ce cas particulier est que n’est pas une fonction injective, car la racine carrée peut être positive ou négative ; si une fonction n’est pas injective, alors elle ne transforme pas une valeur unique en une autre valeur unique ; par conséquent, il est impossible de savoir quelle aire on évalue.
Dans ce cas, associe une valeur unique à pour à la fois la racine carrée positive et la racine carrée négative .
En prenant la racine carrée positive, on obtient l’aire de la zone délimitée par la courbe au-dessus de l’axe des .
Comme on a changé la fonction en une fonction injective, on peut maintenant évaluer cette aire de la manière habituelle avec une intégrale :
De même, prendre la racine carrée négative donne l’aire de la zone délimitée par la courbe en dessous de l’axe des .
On peut alors à nouveau évaluer cette aire avec une intégrale :
Additionner ces intégrales donne un résultat nul, mais on sait que l’aire réelle est égale à la somme des valeurs absolues de ces intégrales :
Une alternative plus simple consiste plutôt à intégrer par rapport à . Il s’agit essentiellement d’échanger le rôle des variables. Considérez prendre une bande horizontale de l'aire délimitée par et , avec une largeur et hauteur .
La fonction peut être intégrée par rapport à car il n’y a pas de différence particulière entre et , la variable aléatoire est en général uniquement par convention. En outre, il s’agit maintenant d’une fonction positive sur cet intervalle, on peut donc l’intégrer sans avoir à séparer l’intégrale en zones distinctes. Par conséquent, on a
Intégrer par rapport à donne
Les intégrales peuvent aussi être utilisées pour déterminer l’aire de la zone entre la courbe représentative d’une fonction et la courbe représentative d’une autre fonction car l’opérateur intégral, tout comme l’opérateur différentiel, est un opérateur linéaire, ce qui signifie qu’il est fermé pour l’addition :
Cela s’étend également à la soustraction, car l’intégration est également fermée pour la multiplication par un scalaire : où est un scalaire. En prenant le cas spécifique de , et en le combinant avec la première propriété, on peut exprimer la différence entre deux intégrales comme une seule intégrale :
Pour le cas plus simple où la deuxième fonction est une droite horizontale constante , on a alors
Par conséquent, on peut trouver l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite horizontale entre deux points et en utilisant la formule
Étudions un exemple d’utilisation de cela pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite.
Exemple 5: Utiliser l’intégration pour déterminer l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite horizontale
Déterminez l’aire de la zone colorée.
Réponse
L’aire de cette zone colorée pourrait être déterminée en évaluant l’intégrale de la fonction entre les bornes et puis en soustrayant l’aire du rectangle sous celle-ci que l’on peut trouver facilement avec la formule standard de l’aire d’un rectangle.
Cependant, on rappelle que l’on peut également trouver l’aire de la zone délimitée par une courbe et une droite horizontale entre deux points et en utilisant la formule
Dans ce cas, on a la courbe représentative de la fonction et la droite horizontale . En les substituant dans la formule ci-dessus, on obtient
En intégrant par rapport à ,
Terminons en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- L’aire de la zone délimitée par une courbe , l’axe des et les deux droites verticales et est donnée par
- L’aire de la zone délimitée par une courbe , l’axe des et les deux droites horizontales et est donnée par
- Une zone au-dessus de l’axe des /l’axe des donne une intégrale positive et une zone sous l’axe des /l’axe des donne une intégrale négative. Comme l’aire est une quantité strictement positive, on prend la valeur absolue de l’intégrale de chaque zone individuelle pour déterminer l’aire totale de la zone.
- L’aire de la zone délimitée par une courbe , une droite horizontale , et deux droites verticales et est donnée par
