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Fiche explicative de la leçon : Grandeurs et unités en mécanique Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier les grandeurs de base et dérivées utilisées en mécanique telles que la longueur, le temps et le vecteur vitesse, et à identifier leurs unités et leurs facteurs de conversion.

Définition : Unité de mesure

Une unité est une mesure définie d’une grandeur. Toute autre mesure de la même grandeur peut être exprimée comme un multiple de l’unité.

Par exemple, le kilogramme est une unité de masse. Toute autre masse peut être définie comme un certain nombre de kilogrammes.

Des unités de mesure spécifiques sont arbitraires et définies selon les besoins. Par exemple, les radians et les degrés ont été arbitrairement définis pour leur utilité dans certaines situations. Les radians sont généralement plus utiles dans les problèmes trigonométriques car les fonctions de base sinus et cosinus sont évaluées naturellement en radians. Les grandeurs en degrés, minutes et secondes doivent d’abord être converties en radians avant de les entrer dans des fonctions trigonométriques, mais elles représentent les angles de manière beaucoup plus intuitive pour la majorité des personnes.

Néanmoins, ces deux unités décrivent la même grandeur, également appelée dimension. Chaque système d’unités possède une unité pour chaque grandeur physique, et le système d’unités le plus utilisé est le Système international d’unités (SI) qui définit 7 grandeurs de base à partir desquelles toutes les autres grandeurs physiques peuvent être déduites.

Définition : Système international d’unités (SI)

Le Système international d’unités (SI) se compose de 7 unités de base pour les grandeurs de base suivantes:

GrandeurSymbole de la dimensionUnité
MasseMkilogramme ( kg)
TempsTseconde ( s)
LongueurLmètre ( m)
Intensité électriqueIampère ( A )
Quantité de matièreNmole ( mol )
Intensité lumineuseJcandela ( cd )
Température thermodynamiqueΘkelvin ( K )

Toute grandeur physique ne faisant pas partie des 7 grandeurs de base peut être exprimée comme un produit de puissances des 7 grandeurs de base. Étudions un exemple simple de déduction de l’unité SI d’une grandeur ne faisant pas partie des 7 grandeurs SI de base.

Exemple 1: Déduire les unités du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est égal à la distance parcourue sur une période de temps. Lequel des choix suivants n’est pas une unité du vecteur vitesse?

  1. cm/s
  2. m/s
  3. m/s2
  4. m/min
  5. km/h

Réponse

Pour un objet qui se déplace d’une distance (ou d’un déplacement en quantité vectorielle) dans un temps donné, le vecteur vitesse est donné par l’équation 𝑣=𝑑𝑡,𝑑 est le déplacement et 𝑡 est le temps écoulé. Le membre droit est de dimension longueur/temps LT, donc le membre gauche, le vecteur vitesse, doit également avoir la dimension longueur/temps.

On étudie les réponses:

(A) cm/s est une unité de longueur, cm, divisée par une unité de temps, s, il s’agit donc d’une unité de vitesse;

(B) m/s est une unité de longueur, m, divisée par une unité de temps, s, il s’agit donc d’une unité de vitesse;

(C) m/s2 est une unité de longueur, m, divisée par une unité de temps au carré, s2, donc ce n’est pas une unité de vitesse;

Pour finir, (D) m/min est une unité de longueur, m, divisée par une unité de temps, min, il s’agit donc également d’une unité de vitesse;

(E) km/h est une unité de longueur, km, divisée par une unité de temps, h, il s’agit donc également d’une unité de vitesse.

Donc, la réponse est (C):le m/s2 n’est pas une unité de vitesse.

Certaines grandeurs, telles que l’angle, le pourcentage ou la pente, sont appelées « sans dimension » ou « adimensionnelles » car elles sont le produit de grandeurs de base toutes élevées à une puissance nulle.

Par exemple, le gradient d’une pente est sans dimension car il s’agit d’une longueur divisée par une autre, il a donc une dimension LL=1.

Il est parfois nécessaire d’effectuer plus d’une étape pour déduire l’unité SI d’une grandeur ne faisant pas partie des 7 grandeurs de base. De telles grandeurs portent souvent un nom spécifique. Le SI se compose également de 22 autres grandeurs dérivées avec des noms spécifiques. Par exemple, l’unité SI dérivée de la force est le newton. Étudions un exemple de déduction de ces unités plus complexes à partir des 7 unités de base SI.

Exemple 2: Utiliser des formules pour déterminer des unités

La force appliquée sur un objet est calculée à l’aide de la formule 𝐹=𝑚𝑎, 𝑎 est l’accélération de l’objet (mesurée en mètres par seconde carrée, ou m/s2 ) et 𝑚 est sa masse (mesurée en kilogrammes, ou kg ). La force est alors mesurée en newtons. Lequel des choix suivants est l’expression du newtons en fonction des unités de base kilogrammes, mètres et secondes?

  1. (/)kgms
  2. kg⋅s2/m
  3. kg⋅m/s2
  4. kg⋅m2/s2
  5. kg⋅m/s

Réponse

On considère l’équation de la force:𝐹=𝑚𝑎.

Dans une équation reliant des grandeurs physiques, les dimensions des deux membres de l’équation doivent être identiques, donc la dimension de la force doit être égale à la dimension de la masse multipliée par la dimension de l’accélération.

La masse est une grandeur de base SI, dont l’unité de base SI est le kilogramme. L’accélération cependant, n’est pas une grandeur de base SI, mais elle peut également être donnée par une équation standard 𝑎=𝑣𝑡,𝑣 est le vecteur vitesse et 𝑡 est le temps écoulé. Encore une fois, les dimensions des deux membres de l’équation doivent être identiques. Sur le membre droit de cette équation, on a une grandeur de base SI, le temps, mais l’autre est encore une grandeur dérivée, le vecteur vitesse. Cependant, le vecteur vitesse peut être exprimé par une équation standard 𝑣=𝑑𝑡,𝑑 est le déplacement et 𝑡 est le temps. On a maintenant une équation où le membre droit est exprimé entièrement en unités de base SI, en longueur et en temps. En substituant cette équation, on peut réécrire l’équation de l’accélération:𝑎=𝑡=𝑑𝑡.

Et en substituant cette équation, on peut réécrire l’équation de la force:𝐹=𝑚𝑑𝑡.

On a maintenant entièrement exprimé la force en grandeurs de base SI. En substituant les dimensions de chacune de ces grandeurs, on a 𝐹==/,MLTMLT et en substituant les unités SI de ces grandeurs, on obtient l’unité SI de la force, le newton, en fonction des unités de base SI:𝐹=/,kgms qui est la réponse (C).

Nous pouvons suivre ce processus pour déterminer l’unité dérivée SI de toute grandeur physique. Étudions un autre exemple plus complexe.

Exemple 3: Utiliser des formules pour déterminer l’unité de l’énergie cinétique

L’énergie cinétique, qui est mesurée en joules, est donnée par la formule 𝑇=12𝑚𝑣. Laquelle des unités suivantes est égale au joule?

  1. kg/m/s2
  2. kg⋅m/s
  3. kg⋅m2/s2
  4. kg/m2/s2
  5. kg⋅m/s2

Réponse

On considère l’équation de l’énergie cinétique:𝑇=12𝑚𝑣.

Dans une équation reliant des grandeurs physiques, les dimensions des deux membres de l’équation doivent être identiques, donc la dimension de l’énergie doit être égale à la dimension de 12 multipliée par la dimension de la masse, multipliée par la dimension de la vitesse au carré.

La valeur 12 est sans dimension, et 𝑚 est déjà une grandeur de base SI, on doit donc seulement déterminer la dimension de 𝑣.

Le vecteur vitesse est la variation du déplacement ou, en fonction des grandeurs de base SI, la longueur divisée par le temps:𝑣=𝑙𝑡.

Donc, le vecteur vitesse au carré est donné par 𝑣=𝑙𝑡.

Donc, 𝑇=12𝑚𝑣 en fonction de grandeurs de base SI est 𝑇=12𝑚𝑙𝑡.

En utilisant les unités SI de la masse, le kilogramme, de la longueur, le mètre, et du temps, la seconde, le membre droit et donc l’unité de 𝑇, la joule, a pour unité:1=1=1/.Jkgmskgms

Donc, la réponse est (C).

Les unités de grandeurs qui ne font partie ni des 7 grandeurs de base ni des 22 grandeurs dérivées peuvent être exprimées comme un produit d’unités de base, d’unités dérivées ou des deux. Par exemple, l’unité du moment d’une force par rapport à un point 𝜏 peut être exprimée comme suit:𝜏==/.Nmkgms

Bien sûr, il est parfois plus pratique d’utiliser des unités différentes. Par exemple, l’unité SI de la vitesse est le mètres par seconde, mais si on considère la vitesse d’un véhicule en mouvement, le kilomètres par heure est plus pratique.

Il est cependant souvent nécessaire de travailler avec des grandeurs données dans différentes unités. Dans ce cas, on commence généralement par convertir toutes les grandeurs en unités SI. Étudions un exemple de conversion de différentes unités en unités SI.

Exemple 4: Convertir des dynes en newtons

Que vaut 2,87×10dynes en newtons?

Réponse

Pour commencer, on rappelle que 1 dyne ( dyn) est définie par 1=1/.dyngcms

Comme le newton est une unité dérivée SI où 1=1/Nkgms, on peut maintenant convertir toutes les unités du membre droit de l’équation en unités SI:1=10,1=10.gkgcmm

On a donc 1=1010/.dynkgms

En regroupant les puissances de 10, 1=10/=10.dynkgmsN

En multipliant les deux membres par la quantité donnée, 2,87×10=2,87×10×10=287.dynNN

Parfois, convertir des unités en unités SI peut ne pas être aussi simple que de le multiplier par une puissance de 10. Dans le dernier exemple, étudions comment convertir des unités non standard en unités SI, et inversement.

Exemple 5: Convertir des unités de vitesse

Laquelle des expressions suivantes est fausse?

  1. 72 km/h = 20 m/s
  2. 3 km/min = 50 cm/s
  3. 15 m/s = 54 km/h
  4. 42 m/min = 70 cm/s

Réponse

Pour vérifier chaque équation, on peut convertir les unités du membre gauche en unités du membre droit.

En commençant par (A), on doit convertir des kilomètres par heure en mètres par seconde. Il peut être utile d’écrire les unités sous forme de fraction:72/=72=72103600=720003600=20/.kmhkmhmsmsms

Donc, (A) est vraie.

Pour (B), on doit ensuite convertir des kilomètres par minute en centimètres par seconde:3/=3=31060=300060=30001060=5000/.kmminkmminmsmscmscms

Donc, (B) est fausse. On vérifie les deux autres pour confirmer qu’elles sont vraies.

Pour (C), on doit convertir des mètres par seconde en kilomètres par heure:15/=15=1510=3600×15×10=54/.msmskmhkmhkmh

Donc, (C) est vraie.

Enfin pour (D), on doit convertir des mètres par minute en centimètres par seconde:42/=42=421060=420060=70/.mminmmincmscmscms

Donc, (D) est vraie.

On conclut en récapitulant certains points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le Système international d’unités (SI) se compose de 7 unités de base de grandeurs physiques. L’unité de toute autre grandeur physique peut être exprimée comme produit de puissances de ces 7 unités de base.
  • L’unité de toute grandeur exprimé par des unités SI peut être trouvée à partir d’une équation de cette grandeur en convertissant toutes les grandeurs du membre droit de l’équation en grandeurs de base et en les remplaçant par leurs unités SI pour obtenir un produit de puissances.
  • Les unités non standard peuvent être converties en unités SI en les multipliant par le facteur de conversion approprié. Par exemple, les heures peuvent être transformées en secondes en les multipliant par 3 600.

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