Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser les diagrammes de Venn pour organiser des informations et calculer des probabilités.
En probabilité, un diagramme de Venn est une figure avec un ou plusieurs cercles à l’intérieur d’un rectangle qui décrit les relations logiques entre les évènements. Le rectangle dans un diagramme de Venn représente l’espace échantillon ou l’ensemble universel, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues possibles. Un cercle à l’intérieur du rectangle représente un évènement, c’est-à-dire un sous-ensemble de l’espace échantillon.
On considère le diagramme de Venn suivant impliquant deux évènements, et .
Dans le diagramme ci-dessus, nous avons deux évènements et dans l’espace échantillon (ou l’ensemble universel) . Parfois, l’espace échantillon est désigné par ou au lieu de . Les régions colorées dans ce diagramme de Venn représentent les évènements suivants :
Définition : Diagrammes de Venn à deux évènements
Soit et des évènements décrits dans un diagramme de Venn. Alors,
- les cercles ne se chevauchent pas si et sont des évènements incompatibles, c’est-à-dire, ;
- les cercles se chevauchent si auquel cas l’intersection est représentée par la région de chevauchement ;
- la région en dehors des deux cercles mais à l’intérieur du rectangle représente le complémentaire de l’union des deux évènements, c’est-à-dire, ou, alternativement, .
Dans chaque région divisée d’un diagramme de Venn, nous pouvons ajouter des données de l’une des façons suivantes :
- les résultats de l’évènement,
- le nombre de résultats dans l’évènement,
- la probabilité de l’évènement.
Dans le premier exemple, nous utiliserons un diagramme de Venn pour organiser nos données et nous l’utiliserons pour calculer la probabilité d’un évènement.
Exemple 1: Organisation des données à l’aide de diagrammes de Venn pour déterminer des probabilités
Une classe contient 100 élèves ; 70 d’entre eux aiment les mathématiques, 60 aiment la physique, et 40 aiment les deux. Si un élève est choisi au hasard, en utilisant un diagramme de Venn, déterminer la probabilité qu’il aime les mathématiques mais pas la physique.
Réponse
Nous commençons par dessiner un diagramme de Venn vide pour représenter cet exemple.
Nous savons que la région de chevauchement dans un diagramme de Venn représente l’intersection des évènements. On nous dit que 40 élèves appartiennent à cette intersection, car ils aiment à la fois les mathématiques et la physique.
70 élèves aiment les mathématiques, et 40 d’entre eux aiment aussi la physique. Cela nous indique que le nombre d’élèves qui aiment les mathématiques seulement est . De même, on peut en déduire que élèves aiment la physique seulement. Ceci conduit au diagramme de Venn suivant.
Nous notons que le nombre 10 à l’extérieur est pour assurer que la somme de toutes les valeurs dans le diagramme de Venn est égale à 100, car la classe contient 100 élèves au total. Nous cherchons la probabilité qu’un élève choisi au hasard aime les mathématiques mais pas la physique. La région du diagramme de Venn représentant cet évènement est mise en évidence ci-dessous.
D’après le diagramme de Venn, 30 élèves aiment les mathématiques mais pas la physique. Puisqu’un élève est sélectionné au hasard, nous pouvons obtenir la probabilité de cet évènement en divisant ce nombre par le nombre total d’élèves, qui est 100.
Ainsi, la probabilité qu’un élève choisi au hasard aime les mathématiques mais pas la physique est .
Dans notre prochain exemple, nous utiliserons un diagramme de Venn pour calculer la probabilité d’un évènement.
Exemple 2: Utiliser les diagrammes de Venn pour calculer une probabilité
Mathilde a tracé ce diagramme de Venn pour enregistrer le résultat de la sélection aléatoire d’un nombre compris entre 1 et 12.
- Quelle est la probabilité de choisir un nombre qui est un diviseur de 20 ? Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
- Quelle est la probabilité de choisir un nombre qui est un diviseur de 20 et un multiple de 3 ? Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
- Quelle est la probabilité de choisir un nombre qui n’est pas un multiple de 3 ? Donner la réponse sous forme de fraction irréductible.
Réponse
Dans le diagramme de Venn donné, deux évènements sont représentés par des cercles : « Facteur de 20 » et « Multiple de 3. » L’espace échantillon de ce diagramme de Venn est l’ensemble des entiers compris entre 1 et 12. En d’autres termes, l’espace échantillon (ou l’ensemble universel) est donné par
Partie 1
Étant donné que nous sélectionnons de manière aléatoire un nombre compris entre 1 et 12, la probabilité d’un évènement peut être obtenue en divisant la taille de l’évènement par la taille de l’espace échantillon, qui est 12. En d’autres termes,
On peut voir sur le diagramme de Venn qu’il y a 5 facteurs différents de 20 entre 1 et 12.
Ainsi, la probabilité de sélectionner un nombre compris entre 1 et 12 qui est un diviseur de 20 est .
Partie 2
Nous notons que les deux évènements sont incompatibles car les cercles du diagramme de Venn ne se chevauchent pas. En d’autres termes, il n’y a pas de nombre compris entre 1 et 12 qui soit à la fois un facteur de 20 et un multiple de 3.
Par conséquent, la probabilité de cet évènement est égale à 0.
Partie 3
D’après le diagramme de Venn, les nombres entre 1 et 12 qui ne sont pas un multiple de 3 se situent à l’extérieur du cercle. Nous pouvons voir qu’il y a 8 nombres qui appartiennent à ce cas.
Ainsi, la probabilité qu’un nombre choisi au hasard entre 1 et 12 ne soit pas un multiple de 3 est , qui peut être simplifié pour donner .
On peut aussi utiliser un diagramme de Venn pour calculer des probabilités conditionnelles. Dans notre prochain exemple, nous allons organiser les données à l’aide d’un diagramme de Venn et l’utiliser pour calculer la probabilité d’un évènement étant donné une condition.
Exemple 3: Déterminer la probabilité conditionnelle d’un évènement
Lors des examens finaux, des élèves ont échoué en chimie, ont échoué en physique, et ont échoué à la fois en chimie et en physique. Quelle est la probabilité qu’un élève sélectionné au hasard ait échoué en physique s’il a réussi en chimie ?
Réponse
Commençons par dessiner un diagramme de Venn vide.
Nous pouvons utiliser les informations données pour ajouter la proportion relative de chaque région. Puisque des élèves ont échoué en chimie alors que ont échoué à la fois en chimie et en physique, on peut en déduire que des élèves ont seulement échoué en chimie. De même, on peut obtenir que des élèves ont seulement échoué en physique. Alors, on a les données suivantes :
- des élèves ont échoué en chimie mais pas en physique ;
- des élèves ont échoué en physique mais pas en chimie ;
- des élèves ont échoué à la fois en physique et en chimie.
Maintenant, la proportion relative restante est pour les élèves qui ont réussi les deux matières. Étant donné que la somme de toutes les proportions relatives doit être égale à , le pourcentage d’élèves qui ont réussi les deux matières est donné par
Nous ajoutons ces pourcentages sur le diagramme de Venn, comme suit.
Nous voulons déterminer la probabilité qu’un élève sélectionné au hasard ait échoué en physique sachant qu’il a réussi la chimie. Le pourcentage d’élèves ayant réussi en chimie est indiqué en dehors du cercle « Échec chimie » dans le diagramme de Venn ci-dessus. C’est la région colorée en violet ci-dessous. De plus, nous savons que la région ombrée en vert représente les élèves qui ont échoué en physique et réussi en chimie.
Notez que l’élève sélectionné a réussi la chimie. Cela signifie que nous sélectionnons un élève du groupe d’élèves ayant réussi la chimie plutôt que de toute la classe. En d’autres termes, notre espace échantillon (ou ensemble universel) est la région colorée en violet ci-dessus, et non le rectangle.
Le pourcentage des élèves qui ont réussi la chimie est donné en additionnant les pourcentages dans la région violette, ce qui conduit à . Parmi les élèves qui ont réussi la chimie, le pourcentage d’élèves qui ont échoué en physique se trouve dans la région colorée en vert, qui est . Ainsi, la probabilité de sélectionner au hasard un élève qui a échoué en physique dans le groupe d’élèves qui ont réussi la chimie est donnée par
Vérifions cette réponse en utilisant la formule de la probabilité conditionnelle de l’évènement sachant :
Dans notre exemple, cette formule peut être écrite comme
À partir des régions colorées en vert et violet du diagramme de Venn ci-dessus, nous pouvons obtenir
En substituant ces valeurs à l’équation ci-dessus, on obtient
Par conséquent, la probabilité qu’un élève sélectionné au hasard ait échoué en physique sachant qu’il a réussi la chimie est égale à 0,1.
Dans notre exemple précédent, nous avons calculé une probabilité conditionnelle en utilisant un diagramme de Venn. En général, la probabilité conditionnelle de l’évènement compte tenu d’un autre évènement peut être calculée en utilisant un diagramme de Venn et en suivant des étapes similaires.
Comment calculer des probabilités conditionnelles à l’aide de diagrammes de Venn
Pour calculer la probabilité conditionnelle de l’évènement sachant un autre évènement en utilisant un diagramme de Venn, nous devons
- identifier la région représentant l’évènement à partir du diagramme de Venn et calculer la probabilité de ,
- identifier la région représentant l’intersection et calculer la probabilité de ,
- calculer .
Nous notons que ce processus conduit à la formule standard où est la probabilité conditionnelle de l’évènement sachant un autre évènement .
On peut aussi utiliser un diagramme de Venn pour décrire les relations entre trois évènements. Dans deux des situations spéciales listées ci-dessous, nous avons une représentation spéciale d’un diagramme de Venn à trois évènements.
Considérons un exemple où nous utilisons un diagramme de Venn à trois évènements, où l’un des évènements est incompatible avec les deux autres évènements.
Exemple 4: Utiliser le diagramme de Venn pour déterminer la probabilité de l’union de deux évènements
Utiliser le diagramme de l’espace échantillon pour déterminer .
Réponse
D’après le diagramme de Venn donné, nous pouvons dire que cet évènement est incompatible avec les évènements et . On rappelle que la probabilité d’un évènement peut être obtenue en utilisant un diagramme de Venn en calculant la proportion relative de l’évènement par rapport à l’espace échantillon.
Dans le diagramme de Venn, l’espace échantillon est noté et contient 10 issues différentes. Ainsi, nous pouvons calculer la probabilité de notre évènement en divisant le nombre d’issues de l’évènement par 10. L’évènement est indiqué en violet ci-dessous.
D’après le diagramme ci-dessus, nous notons qu’il y a 6 issues distinctes dans la région représentant .
Ainsi, la probabilité est donnée par
À moins que l’un des trois évènements ne soit incompatible avec les deux autres évènements, nous utilisons la convention suivante pour un diagramme de Venn à trois évènements.
Nous notons que les trois cercles se chevauchent au milieu du diagramme standard de Venn à trois évènements. Cette région représente l’intersection des trois évènements, .
Considérons un exemple de calcul d’une probabilité en utilisant un diagramme standard de Venn à trois évènements.
Exemple 5: Utiliser un diagramme de Venn pour déterminer une intersection d’évènements
271 étudiants ont voté pour les types de musique qu’ils voulaient à la danse de l’école. Les résultats sont présentés dans le diagramme de Venn. Déterminer la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard ait voté pour le rock et non pour le jazz.
Réponse
Dans cet exemple, nous avons un diagramme de Venn à trois évènements. Puisqu’un étudiant est sélectionné au hasard, nous savons que la probabilité d’un évènement est donnée en divisant le nombre d’étudiants pour l’évènement par le nombre total d’étudiants, qui est 271. En d’autres termes,
Nous devons donc déterminer le nombre d’étudiants qui ont voté pour le rock mais pas pour le jazz. D’après le diagramme de Venn donné, la région représentant cet évènement est représentée en noir :
En utilisant le diagramme de Venn, nous pouvons voir que le nombre d’étudiants pour cet évènement est . En divisant ce nombre par 271, on obtient la probabilité que cet évènement se produise.
Ainsi, la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard ait voté pour le rock et non pour le jazz est .
Dans notre dernier exemple, nous organiserons des données impliquant trois évènements en utilisant un diagramme de Venn standard à trois évènements et les utiliserons pour déterminer une probabilité.
Exemple 6: Organisation des données à l’aide de diagrammes de Venn pour déterminer des probabilités
Dans un échantillon de 100 étudiants inscrits dans une université, un questionnaire indiquait que 45 d’entre eux ont étudié l’anglais, 40 ont étudié le français, 35 ont étudié l’allemand, 20 ont étudié l’anglais et le français, 23 ont étudié l’anglais et l’allemand, 19 ont étudié le français et l’allemand, et 12 ont étudié les trois langues.
En utilisant un diagramme de Venn, déterminer la probabilité qu’un étudiant choisi au hasard n’ait étudié qu’une seule des trois langues.
Réponse
Nous commençons par dessiner un diagramme de Venn à trois évènements standard vide.
Pour compléter ce diagramme, nous commençons par le milieu où les trois cercles se chevauchent. Le milieu du diagramme de Venn à trois évènements représente l’intersection des trois évènements. Dans notre exemple, cela représente les étudiants qui ont étudié les trois langues, et il y en a 12.
Ensuite, nous considérons les autres régions qui se chevauchent. Nous savons que 20 étudiants ont étudié l’anglais et le français, mais nous savons aussi que 12 d’entre eux ont étudié les trois matières, ce qui signifie qu’ils ont également étudié l’allemand. De là, on peut déduire que étudiants ont étudié l’anglais et le français, mais pas l’allemand. De même, nous pouvons recueillir les données suivantes :
- Les étudiants qui ont étudié l’anglais et l’allemand mais pas le français : étudiants ;
- Les étudiants qui ont étudié le français et l’allemand mais pas l’anglais : étudiants ;
Nous ajoutons maintenant ces chiffres dans leurs régions respectives.
On procède pour obtenir les valeurs pour la partie de chaque cercle qui ne chevauche pas les deux autres cercles. On nous donne que 45 étudiants ont étudié l’anglais, mais parmi eux ont également étudié le français ou l’allemand. Ainsi, le nombre d’étudiants qui ont étudié l’anglais mais pas le français ou l’allemand est donné par
De même, nous obtenons les données suivantes :
- Les étudiants qui ont étudié le français mais pas l’anglais ou l’allemand : étudiants ;
- Les étudiants qui ont étudié l’allemand mais pas l’anglais ou le français : étudiants ;
Nous ajoutons maintenant ces figures au diagramme de Venn.
Dans ce diagramme de Venn, la région représentant les étudiants qui ont étudié une seule des trois langues est colorée en jaune ci-dessous.
Ensuite, le nombre de ces étudiants est donné par
Étant donné que l’étudiant est sélectionné au hasard, nous pouvons obtenir la probabilité de notre évènement en divisant 32 par le nombre total d’étudiants, qui est 100.
La probabilité qu’un étudiant choisi au hasard n’ait étudié qu’une seule des trois langues est .
Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Chacune des régions divisées dans un diagramme de Venn peut contenir l’une des données suivantes :
- résultats d’un évènement,
- nombre de résultats dans un évènement,
- probabilité ou proportion relative d’un évènement.
- Un diagramme de Venn à deux évènements décrit la relation entre deux évènements de la manière suivante :
- Si les deux évènements sont incompatibles, alors les cercles représentant chaque évènement ne se chevauchent pas.
- Si les deux évènements ne sont pas incompatibles, alors les deux cercles se chevauchent. La région se chevauchant représente l’intersection des deux évènements.
- Pour calculer la probabilité conditionnelle de l’évènement sachant un autre évènement en utilisant un diagramme de Venn, nous devons
- identifier la région représentant l’évènement à partir du diagramme de Venn et calculer la probabilité de ,
- identifier la région représentant l’intersection et calculer la probabilité de ,
- calculer .
- Dans un diagramme de Venn à trois évènements, nous pouvons suivre la convention d’un diagramme de Venn à deux évènements lorsqu’un évènement est incompatible avec aux deux autres évènements. Sinon, nous utilisons le suivant diagramme standard de Venn à trois évènements.
- Le milieu d’un diagramme de Venn à trois évènements standard où les trois cercles se chevauchent représente l’intersection des trois évènements. Lors de l’organisation des données dans un diagramme de Venn à trois évènements standard, nous pouvons com encer par identifier le milieu.
