Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le rang d’une matrice à l’aide de déterminants, et à l’utiliser pour déterminer le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires.
Définition : Rang d’une matrice
Le « rang » d’une matrice , noté , est le nombre de lignes ou de colonnes , de la plus grande sous-matrice carrée de la matrice de déterminant non nul.
La plus grande sous-matrice carrée d’un d’une matrice de taille est de taille le minimum entre et . Par exemple, dans le cas de la matrice de taille suivante la plus grande sous-matrice carrée est de taille . Et de même, pour une matrice de taille , telle que la plus grande sous-matrice carrée est de taille .
Ainsi, la taille maximale d’une sous-matrice carrée est donnée par le minimum du nombre de ligne et de colonnes.
La plus petite valeur possible pour le rang est 0, mais elle ne peut être atteinte que dans le cas où il est impossible de trouver une matrice de déterminant non nul, c’est-à-dire dans le cas où la matrice a tous ses coefficients nuls.
Théorème : Bornes inférieures et supérieures du rang d’une matrice
Pour une matrice , notée , le rang de la matrice, noté est borné inférieurement et supérieurement de la sorte
Théorème : Rang d’une matrice nulle
On a si et seulement si est la matrice zéro .
Par conséquent, le rang d’une matrice peut être déterminé simplement en calculant son déterminant.
Corollaire : Le rang d’une matrice 2 × 2
Une matrice de taille , appelée , telle que , est de rang si et seulement si elle vérifie .
Nous pouvons prouver ce corollaire comme suit.
La seule sous-matrice de est cette matrice elle-même. Si , alors la plus grande sous-matrice carrée de déterminant non nul possible est une matrice de taille . Par ailleurs, donc il existe au moins une sous-matrice de taille dans de déterminant non nul ; par conséquent, .
Réciproquement, si , alors tout sous matrice de est de déterminant nul. La seule sous-matrice de est cette matrice elle-même ; par conséquent, .
Le rang d’une matrice de taille peut donc être calculé en suivant le diagramme ci-dessous :
Étudions un exemple dans lequel on calcule le rang d’une matrice en utilisant le déterminant.
Exemple 1: Calcul du rang d’une matrice
Calculez le rang de la matrice .
Réponse
Rappelons que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes / colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de taille de déterminant non nul.
Puisque cette matrice est de taille , la plus grande sous-matrice carrée de cette matrice est elle-même. Ainsi, le rang de cette matrice est compris entre 0 et 2 inclus. On remarque immédiatement que la matrice n’est pas la matrice nulle, par conséquent, son rang est différent de zéro. On calcule le déterminant de la matrice
Ce dernier étant nul, le rang de la matrice ne peut pas être égal au nombre de lignes/colonnes, c’est-à-dire 2.
Ainsi, la seule possibilité est que cette matrice est de rang 1, et il est inutile de chercher à vérifier cela par le calcul d’autres déterminants.
Par conséquent, la matrice est de rang 1.
Nous allons à présent étudier la façon dont cette approche de calcul du rang par les déterminants peut être généralisée au cas de matrices de tailles plus grandes.
Exemple 2: Calcul du rang d’une matrice
Calculez le rang de la matrice suivante en utilisant les déterminants :
Réponse
Rappelons que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes / colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de de déterminant non nul.
Cette matrice est de taille , donc sa plus grande sous-matrice carrée est de taille , et par conséquent son rang est compris entre 0 et 2. Cette matrice n’est pas la matrice nulle, donc son rang est non nul.
Considérons la sous-matrice de taille obtenue en « supprimant » la dernière colonne
On calcule le déterminant de cette sous-matrice
Nous avons trouvé une sous-matrice de taille de déterminant non nul ; par conséquent, la matrice originale est de rang 2.
On peut résumer les techniques abordées jusqu’ici en une succession de trois étapes.
Comment : Déterminer le rang d’une matrice 𝐴
- Choisissez une sous-matrice carrée de de taille maximale. Calculez le déterminant de cette sous-matrice. Si le déterminant est non nul, alors la matrice originale est de rang égal à la taille de la sous-matrice.
- Si le déterminant de la sous-matrice est nul, répétez l’étape 1 pour d’autres sous-matrices de même taille.
- Si aucune sous-matrice de déterminant non nul n’a été trouvée, alors on répète les étapes 1 et 2 mais cette fois-ci avec des sous-matrice avec une ligne et une colonne en moins, et on réitère jusqu’à trouver une sous-matrice de déterminant non nul. La matrice originale est de rang égal au nombre de lignes ou de colonnes de cette sous-matrice de déterminant non nul.
On rencontre très fréquemment des matrices de taille en raison notamment de leur utilisation dans des problèmes dans des espaces tridimensionnels.
Ainsi, il est important de pouvoir déterminer rapidement le rang d’une matrice .
Posons la matrice suivante
On doit d’abord considérer la plus grande sous-matrice carrée de . Puisque est elle-même une matrice carrée, la plus grande sous-matrice carrée de est simplement la matrice elle-même.
Une fois une sous-matrice choisie, on peut calculer le déterminant de cette sous-matrice. Si le déterminant est non nul, alors le rang de la matrice originale est égal au nombre de lignes et de colonnes de la sous-matrice.
On calcule le déterminant de la matrice de l’exemple, , en développant par rapport à la première ligne, et on trouve que
Ainsi, le déterminant de cette sous-matrice de taille (dans ce cas, elle-même) est égal à zéro. Il n’y a pas d’autre sous-matrice de taille de ; par conséquent, d’après la définition du rang, ne peut pas être égal à 3.
L’étape suivante consiste à considérer des sous-matrices de tailles plus petites ; dans ce cas, des sous-matrices de taille . Si on prend la sous-matrice de taille obtenue en « supprimant » la dernière ligne et la dernière colonne de , matrice que nous appellerons , on a
En calculant le déterminant de , on obtient
Nous avons donc trouvé une sous-matrice de taille , notée de déterminant non nul ; par conséquent, .
Étudions un autre exemple simple dans lequel nous calculer le rang d’une autre matrice de taille .
Exemple 3: Calcul du rang d’une matrice donnée
Calculez le rang de la matrice
Réponse
On rappelle que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de de déterminant non nul.
Cette matrice étant de taille , son rang est compris entre 0 et 3. Par ailleurs, cette matrice n’étant pas la matrice nulle, son rang est différent de 0.
La plus grande sous-matrice carrée de cette matrice est cette matrice elle-même, on va donc calculer le déterminant de cette matrice en développant par rapport à la première ligne :
Le déterminant de cette matrice étant non nul, elle est de rang 3.
On doit parfois être vigilant lorsque l’on choisit une sous-matrice carrée de la matrice originale. Il est en effet possible de trouver une sous-matrice de taille de déterminant , tandis qu’une autre de même taille aura un déterminant . Considérons, par exemple, la matrice
On calcule le déterminant de en faisant un développement par rapport à la première ligne :
Par conséquent, . Considérons maintenant la sous-matrice , notée , obtenue en « supprimant » la dernière ligne et la dernière colonne de , c’est-à-dire
En calculant le déterminant de , on trouve
Il serait toutefois prématuré de conclure que . En effet, considérons la matrice , notée , obtenue en « supprimant » la première ligne et la dernière colonne , c’est-à-dire
Le calcul du déterminant de cette matrice nous donne alors
Ainsi, il existe une sous-matrice de taille de la matrice de déterminant non nul ; par conséquent, .
Cette propriété semble suggérer que nous devons tester différentes sous-matrices de mêmes tailles avant de pouvoir conclure sur le rang de la matrice. Heureusement, cela n’est pas nécessaire, puisque nous pouvons sauter cette étape en remarquant une propriété de la matrice :
On remarque que la deuxième ligne de est un multiple de la première. Plus précisément, chaque élément de la deuxième ligne est égal à l’élément au-dessus.
Lemme : Déterminant d’une matrice 2 × 2 avec lignes ou colonnes multiples l’une de l’autre
Une matrice , notée , a un déterminant si et seulement si les lignes/colonnes de sont des multiples l’une de l’autre.
Corollaire : Déterminants de matrices avec des lignes/colonnes redondantes
Une matrice carrée dont une des lignes (respectivement colonnes) est un multiple d’une autre de ses lignes (respectivement colonnes) est de déterminant nul, et toute sous-matrice de prise en conservant ces lignes/colonnes, est également de déterminant nul.
Étudions à présent un exemple dans lequel nous mettons en œuvre toutes les techniques exposées jusque-là afin de calculer le rang d’une matrice .
Exemple 4: Le rang d’une matrice 3 × 3
Calculez le rang de la matrice suivante :
Réponse
Rappelons que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes / colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de de déterminant non nul.
Puisque la matrice étudiée est de taille , son rang est compris entre 0 et 3. Par ailleurs, puisque cette matrice n’est pas la matrice nulle, elle est de rang différent de 0.
La plus grand sous matrice possible est la sous-matrice originale elle-même. On calcule le déterminant de cette matrice en faisant un développement par rapport à la première ligne et on obtient
Cette matrice étant la seule sous-matrice de taille , et son déterminant étant nul, la matrice n’est pas de rang 3.
On peut remarquer que la dernière ligne est un multiple non-nul de la première ligne . Ainsi, le déterminant de toute sous-matrice contenues dans ces deux lignes est de déterminant égal à 0. On peut vérifier cela directement :
Cela ne signifie pas pour autant que toutes les sous-matrices de la matrice d’origine ont un déterminant nul. La deuxième ligne de la matrice originale n’est le multiple d’aucune des deux autres, ainsi le déterminant d’une sous-matrice dont les coefficients incluent ceux de la deuxième ligne est non nul.
On considère la sous-matrice obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne
En calculant le déterminant de cette sous-matrice, , on trouve
On a donc trouvé une sous-matrice de la matrice étudiée dont le déterminant est non nul, ainsi la matrice de cet exemple est de rang 2.
Nous avons vu dans l’exemple précédent que nous devons faire attention lorsque l’on choisir une sous-matrice, de veiller à ne pas prendre une sous-matrice dont les lignes/colonnes sont multiples les unes des autres.
De fait, dans le cas de matrices ou de taille plus petite, si on remarque qu’au moins une des lignes/colonnes est un multiple d’une autre, il n’est pas nécessaire de choisir une quelconque sous-matrice. Nous pouvons au lieu de cela directement conclure sur le rang de la matrice, en fonction du nombre de lignes/colonnes multiples les unes des autres.
Théorème : Rang d’une matrice 3 × 3 dont deux lignes/colonnes sont multiples l’une de l’autre
Si une matrice , que l’on appelle , ne comportant pas de ligne ni de colonne nulle, contient exactement deux lignes/colonnes qui sont des multiples l’une de l’autre, alors .
Il peut aussi arriver que certaines matrices aient toutes leurs lignes/colonnes multiples les unes des autres.
Théorème : Rang d’une matrice 3 × 3 avec trois lignes/colonnes multiples les unes des autres
Une matrice , notée , où , est de rang si et seulement si elle contient trois lignes/colonnes qui sont des multiples les unes des autres.
Corollaire : Le rang d’une matrice 3 × 3 sans lignes / colonnes multiples l’une de de l’autre.
Si une matrice , notée , ne contient pas de lignes/colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres et si , alors .
Grâce à ces propriétés, on peut calculer le rang de n’importe quelle matrice beaucoup plus rapidement en suivant les étapes du diagramme suivant :
Étudions sur un exemple comment appliquer cette méthode pour calculer rapidement les rangs de plusieurs matrices .
On considère les matrices suivantes
Aucune de ces matrices n’est la matrice nulle, elles ont donc toutes un rang compris entre 1 et 3.
Les lignes (ou colonnes) de la matrice sont toutes des multiples les unes des autres, ainsi .
Ensuite, la matrice ne comporte pas de lignes multiples l’une de l’autre mais la première colonne et la troisième colonne sont multiples l’une de l’autre, et la deuxième colonne ne l’est pas, donc .
Ensuite, aucune des lignes/colonnes de la matrice ne sont multiples les unes des autres. On calcule le déterminant de en développant par rapport à la première ligne est on trouve
La matrice a un déterminant non nul, donc elle est de rang 3
Finalement, les lignes/colonnes de la matrices ne sont pas non plus multiples les unes des autres. On calcule le déterminant de la matrice en développant par rapport à la première ligne et on trouve
La matrice ayant un déterminant égal à 0, elle est de rang 2.
Nous allons voir dans l’exemple suivant comment étendre ces techniques générales pour calculer le rang d’une matrice afin de résoudre des problèmes algébriques.
Exemple 5: Le rang d’une matrice
Quelle valeur ne peut pas prendre si la matrice est de rang 3 ?
Réponse
Le rang d’une matrice est égal à si et seulement si le déterminant de la matrice est non nul. Par conséquent, si le rang de la matrice ci-dessus est égal à 3 (rang ), alors . Ainsi, en calculant le déterminant de cette matrice en fonction de , puis en cherchant les valeurs de qui annulent l’expression obtenue, on détermine les valeurs que cette variable ne peut pas prendre.
On calcule le déterminant de cette matrice en développant par rapport à la deuxième colonne, et on trouve
Si on pose maintenant , on a
En résolvant cette équation en , on trouve
Ainsi, si cette matrice est de rang 3, ne peut pas être égal à 1.
L’une des conséquences les plus importantes de la valeur du rang d’une matrice est que celui-ci donne le nombre de solutions du système d’équations associé à la matrice.
Théorème : Théorème de Rouché – Capelli
Un système d’équations linéaires avec variable a au moins une solution si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients, notée , est égal au rang de sa matrice augmentée, notée .
Si , le système d’équations n’a pas de solutions.
Si , le système a une unique solution.
Si , le système a une infinité de solutions.
Considérons le système d’équations linéaires suivant :
On peut représenter ce système d’équations par l’équation matricielle
Ainsi, la matrice des coefficients est et la matrice augmentée est donnée par
On calcule le déterminant de en développant par rapport à la première ligne, et on obtient
Par conséquent, contient une sous-matrice de taille (dans ce cas, elle-même) de déterminant non nul ; elle est donc de rang 3. Puisque contient la sous-matrice , celle-ci est elle aussi de rang 3.
Par conséquent, , donc ce système d’équation a au moins une solution. Par ailleurs, , donc ce système a de fait une unique solution.
Il est bon de remarquer par ailleurs que nous pouvons gagner du temps en calculant le rang de la matrice augmentée, à partir du moment où nous pouvons prouver que celui-ci est supérieur ou égal au rang de la matrice des coefficients.
Théorème : rang de la matrice augmentée
Pour tout système d’équations linéaires, le rang de la matrice augmentée, est supérieur ou égal au rang de la matrice des coefficients . Autrement dit,
Ce théorème est aisément démontré. Puisque la matrice des coefficients , est elle-même une sous-matrice de la matrice augmentée, , toute sous-matrice de est aussi une sous-matrice de ; par conséquent, toute sous-matrice carrée de avec un déterminant non nul doit aussi être une sous-matrice de . Par conséquent, est au moins égal à .
Étudions un exemple dans lequel on détermine le nombre de solutions d’un système d’équations linéaires en calculant les déterminant des matrices des coefficients et augmentée, et on illustrera à quel point cette stratégie consistant à calculer leurs rangs en utilisant les déterminants accélère la recherche du nombre de solutions d’un système d’équations linéaires.
Exemple 6: Calcul du nombre de solutions d’un système d’équations linéaires
Déterminez le nombre de solutions du système suivant :
Réponse
On rappelle que, d’après le théorème de Rouché-Capelli, un système d’équations linéaires a des solutions si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients est égal au rang de sa matrice augmentée.
Dans notre cas, la matrice des coefficients, , est la matrice dans le membre de gauche de l’équation
La matrice augmentée, , est obtenue en ajoutant le vecteur du membre de droite de l’équation en tant que colonne à droite de la matrice des coefficients :
On rappelle que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de de déterminant non nul.
La seule sous-matrice de la matrice des coefficients est la matrice elle-même. On calcule le déterminant de en développant par rapport à la première ligne
Nous avons trouvé une sous-matrice de la matrice des coefficients, (dans ce cas, elle-même) de déterminant non-nul. Par conséquent, .
Puisque la matrice augmentée, , est une matrice , son rang est au plus 3, et puisque celle-ci est de rang supérieur ou égal au rang de la matrice des coefficients , elle est également de rang 3. Par conséquent, .
On a donc qui est le nombre de variables du système d’équations. Ce système d’équations a donc une unique solution.
Dans l’exemple suivant, nous allons étudier un système d’équations dans lequel le rang de la matrice des coefficients est différent du rang de la matrice augmentée.
Exemple 7: Calcul du nombre de solutions d’un système d’équations linéaires
Calculez le nombre de solutions du système d’équations linéaires :
Réponse
On rappelle que, d’après le théorème de Rouché-Capelli, un système d’équations linéaires a au moins une solution si et seulement si le rang de la matrice des coefficients est égal au rang de la matrice augmentée.
Dans notre cas, la matrice des coefficients est la matrice dans le membre de gauche de l’équation
La matrice augmentée, , est obtenue en « ajoutant » le vecteur du membre de droite de l’équation comme colonne supplémentaire de la matrice des coefficient :
Rappelons que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande sous-matrice carrée de de déterminant non nul.
La seule sous-matrice de la matrice des coefficients, , est elle-même. On calcule le déterminant de en le développant par rapport à la première ligne, et on obtient
Cette matrice étant la seule sous-matrice de , et celle-ci étant de déterminant nul, cette matrice n’est pas de rang 3. n’a pas non plus de lignes ou de colonnes qui sont des multiples les unes des autres ; par conséquent, cette matrice est de rang 2.
On doit maintenant calculer le rang de la matrice augmentée . Puisqu’il s’agit d’une matrice son rang est, au plus, égal au minimum entre 3 et 4 ; ainsi, .
On cherche donc une sous-matrice de de déterminant non nul. Une sous-matrice évidente de est bien sûr la matrice des coefficients, , mais nous avons déjà montré que celle-ci avait un déterminant égal à zéro ; nous devons choisir une autre sous-matrice.
On considère la matrice obtenue en « supprimant » la première colonne de :
On calcule le déterminant de en le développant par rapport à la première ligne et on obtient
On a donc trouvé une sous-matrice de de déterminant non nul ; par conséquent, .
Ainsi, , et d’après le théorème de Rouché-Capelli, le système d’équations n’a pas de solutions.
Dans l’exemple que nous venons de traiter, le rang de la matrice augmentée était strictement plus grand que le rang de la matrice des coefficients, et nous n’avons besoin de calculer qu’un seul déterminant pour établir que la matrice augmentée était bien de rang égal à 3.
Il est cependant possible que l’on ne puisse pas calculer le rang d’une matrice augmentée en calculant seulement un déterminant. Pour une matrice augmentée de taille , comme dans l’exemple précédent, il nous faudra, dans le pire des cas, calculer déterminants, en plus du déterminant de la matrice des coefficients de taille .
Pour éviter d’avoir à faire ce travail fastidieux, on peut appliquer le théorème suivant.
Théorème : Rang d’une matrice avec lignes/colonnes linéairement liées
Si une matrice , notée , contient une ligne/colonne qui est une combinaison linéaire des autres lignes/colonnes, alors le rang de est strictement inférieure au minimum de et de . Ainsi,
Voyons un dernier exemple dans lequel nous trouvons le nombre de solutions d’un système d’équation linéaires en appliquant ce théorème pour gagner du temps.
Exemple 8: Calcul du nombre de solutions d’un système d’équations linéaires
Déterminez le nombre de solutions du système d’équations linéaires suivant :
Réponse
Rappelons que, d’après le théorème de Rouché-Capelli, un système d’équations linéaires a au moins une solution si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients est égal au rang de sa matrice augmentée.
Dans notre cas, la matrice des coefficients, , est la matrice dans le membre de gauche de l’équation :
La matrice augmentée, , est obtenue en « ajoutant » le vecteur du membre de droite comme dernière colonne à la matrice des coefficient :
On rappelle que le rang d’une matrice est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grande de ses sous-matrices carrées de déterminant non nul.
On remarque aussi que l’une des lignes de la matrice peut être obtenue comme combinaison linéaire des deux autres lignes. Plus précisément, la ligne 2 est égale à la somme des lignes 1 et 3 :
Puisqu’une des lignes est une combinaison linéaire des deux autres, le rang de est strictement inférieur à 3. On pourrait le vérifier directement. La seule sous-matrice de la matrice des coefficients est la matrice elle-même. On calcule le déterminant de en le développant par rapport à la première ligne, et on obtient
Puisque c’est la seule sous-matrice de , et qu’elle est de déterminant nul, le rang de ne peut pas être 3. La matrice n’a pas non plus de lignes ou de colonnes qui sont des multiples scalaires les unes des autres ; par conséquent, son rang doit être 2.
Ensuite, nous avons besoin de calculer le rang de la matrice augmentée, . Puisqu’il s’agit d’une matrice , son rang est majoré par le minimum entre 3 et 4 ; par conséquent, .
Nous avons montré que la deuxième ligne de la matrice était la somme de la première et de la troisième ligne. Si cela reste vrai dans le cas de la matrice augmentée , alors elle est elle aussi de rang strictement inférieur à 3.
En sommant la première et troisième ligne de la matrice , on constate que tel est bien le cas :
Par conséquent, le rang de la matrice augmentée , ne peut pas être égal à 3. Bien que cela ne soit pas nécessaire et chronophage, nous pouvons vérifier cela directement en calculer le déterminant de toutes les sous-matrices de et en montrant qu’elles sont toutes nulles. En effet, on trouve
Comme le rang de la matrice augmentée est supérieur ou égal au rang de la matrice des coefficients, nous devons avoir .
Par conséquent, le rang de la matrice des coefficients est égal au rang de la matrice augmentée ; ainsi, le système d’équations linéaires a au moins une solution. Puisque le rang de la matrice des coefficients est strictement inférieur au nombre de variables du système , le système admet une infinité de solutions.
Nous terminons cette fiche explicative en rappelant certains points clés derrière les notions de déterminants et de rangs de matrices.
Points clés
- Le rang d’une matrice de taille , , noté, , est égal au nombre de lignes/colonnes de la plus grand sous-matrice carrée de (qui peut être elle-même) de déterminant non nul.
- .
- On a si et seulement si est la matrice nulle .
- Une matrice de taille , que l’on appelle , telle que , a rang si et seulement si.
- On peut calculer le rang de toute matrice grâce au procédé suivant :
- Considérez la plus grande sous-matrice carrée possible de . Calculez le déterminant de cette sous-matrice. Si le déterminant est non nul, le rang de la matrice d’origine est donné par le nombre de lignes de la sous-matrice.
- Si le déterminant de la sous-matrice est nul, répétez l’étape 1 pour d’autres sous-matrices possibles de même taille.
- Si une sous-matrice avec un déterminant non nul n’a pas été trouvée, répétez les étapes 1 et 2 pour des sous-matrices carrées comportant une ligne et une colonne de moins.
- Le rang d’une matrice , notée , peut être déterminé en suivant le diagramme suivant :
- Le rang d’une matrice , notée , peut être déterminé en suivant le diagramme suivant :
- Le théorème de Rouché-Capelli affirme qu’un système d’équations linéaires de variable a au moins une solution si et seulement si le rang de sa matrice des coefficients, notée , est égal au rang de sa matrice augmentée, notée . Si , le système d’équations n’a pas de solutions. Si , le système a une unique solution. Si , le système admet une infinité de solutions.
- Le rang de la matrice augmentée, notée , d’un système d’équations linéaires est supérieur ou égal au rang de la matrice des coefficients . Autrement dit, .
