Fiche explicative de la leçon: Transformations de fonctions: Symétrie Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment obtenir le symétrique d’une représentation graphique par rapport à l’axe des ou des , à la fois graphiquement et algébriquement.

Un des concepts fondamentaux de la géométrie est la transformation d’une figure avec les actions standard de translation, rotation, symétrie et dilatation. Ces concepts sont souvent illustrés à l’aide de polygones, généralement avec des figures familières et courantes telles que les triangles et les cercles. Une fois ces notions comprises de manière intuitive, on commence usuellement à traiter le sujet un peu plus précisément dans le but de comprendre exactement ce qui arrive à une figure lorsqu’elle subit une combinaison de transformations. On peut par exemple l’illustrer en faisant référence aux sommets d’une figure qui peuvent être exprimés en utilisant des coordonnées précises et on peut donc suivre leurs mouvements à la suite de transformations. Aborder le sujet de cette manière permet d’associer la compréhension visuelle des transformations avec les concepts tirés de la géométrie analytique.

À bien des égards, comprendre les effets de la transformation sur une fonction peut être considéré comme une généralisation de l’approche ci-dessus. Si une fonction est définie (algébriquement ou avec une représentation graphique suffisamment détaillée), alors son comportement qualitatif peut être connu en tout point et on peut s’intéresser à son comportement lorsqu’elle est soumise à diverses transformations. Sachant qu’une fonction est idéalement écrite sous la forme d’une formule ou d’une expression algébrique, il est naturel de se demander comment la transformation de la fonction peut être représentée dans ce cadre. Heureusement, de nombreuses transformations sont facilement représentables à l’aide de formules algébriques intuitives, en particulier pour certains types de translations, de symétries et de dilatations.

Cette fiche explicative se concentrera sur ce qui arrive à une représentation graphique lorsque l’on trace son symétrique par rapport à l’axe des ou à l’axe des . On peut construire le symétrique de n’importe quelle fonction par rapport à n’importe quelle droite, telle que la droite ou toute autre de la forme . Celles-ci peuvent toutes être comprises algébriquement et visuellement bien que le cas le plus simple soit la symétrie par rapport à l’un des axes du repère. Comme nous le verrons, ces deux types de symétries sont faciles à comprendre visuellement et ont une interprétation algébrique tout aussi simple.

On peut vérifier la définition ci-dessus avec un simple contrôle. Par exemple, on pourrait s’attendre à ce que tracer le symétrique d’une fonction par rapport à l’axe des puis tracer à nouveau le symétrique de la nouvelle fonction par rapport à l’axe des ait pour résultat la fonction d’origine. L’argument serait de même pour une double symétrie par rapport à l’axe des . On peut voir que cette propriété est respectée par les formules algébriques données dans la définition ci-dessus. On suppose que l’on prend une fonction et que l’on trace son symétrique par rapport à l’axe des pour obtenir . En utiliser la définition, cela donne . Si on trace alors le symétrique de par rapport à l’axe des pour obtenir une nouvelle fonction , alors on constate que et que l’on est donc revenu à la fonction d’origine, comme attendu. Des opérations similaires montrent que le même résultat est valable lorsque l’on effectue une double symétrie par rapport à l’axe des .

On montre un exemple de ces deux types de symétries en utilisant une fonction du second degré. On utilise la fonction

Cette fonction a deux racines, que l’on peut déterminer par factorisation ou par la formule quadratique, qui sont et . Tracer cette fonction dans l’intervalle produit le graphique ci-dessous, que l’on peut vérifier en créant un tableau de valeurs ou en utilisant un logiciel de représentation graphique. Notez que les zéros sont indiqués par des points rouges.

On cherche maintenant à tracer le symétrique de cette fonction par rapport à l’axe des , c’est-à-dire à effectuer une symétrie par rapport à la droite horizontale . Sachant que la fonction est assez simple, on peut prédire que l’effet sera celui donné dans la figure suivante. Remarquez que les zéros sont inchangés et que l’on a, en substance, juste « retourné » la fonction autour de l’axe des abscisses.

Comme indiqué dans la définition ci-dessus, on peut comprendre cette transformation au sens algébrique en créant la fonction . Cela équivaut à un changement de signe de chaque terme de la fonction ; comme on a défini , pour définir son symétrique par rapport à l’axe des , on prend simplement

Si on le souhaitait, on pourrait vérifier que cette expression algébrique produit bien la représentation graphique ci-dessus et que les racines sont inchangées. Pour confirmer ce résultat, on peut maintenant voir que le terme de l’ordonnée à l’origine a changé de signe, ce qui est attendu d’une symétrie par rapport à l’axe des . On peut également voir que la forme de la fonction du second degré est passée d’une forme en « u » à une forme en « n », ce qui est cohérent avec le changement de signe du terme en .

Ce type de symétrie est normalement considéré comme étant légèrement le plus facile des deux. Géométriquement parlant, les deux types de symétries sont faciles à visualiser, bien que l’on doive être un peu plus prudent lorsque l’on effectue une symétrie par rapport à l’axe des . On suppose maintenant que l’on souhaite tracer le symétrique de la fonction d’origine par rapport à l’axe des , ce qui signifie que l’on effectue une symétrie par rapport à la droite verticale . Appliquer cette transformation à la fonction d’origine donne la représentation graphique suivante.

Remarquez que l’ordonnée à l’origine est inchangée mais que les racines ont changé de signe. La forme générale de la fonction du second degré est toujours une forme en « u », ce qui signifie que le coefficient du terme du second degré doit être positif. Pour comprendre comment exprimer cette nouvelle fonction de manière algébrique et explicite, on peut effectuer le changement de variable dans la fonction d’origine. Cela conduit à l’expression suivante : 

Ce résultat est de la forme attendue avec une ordonnée à l’origine et le signe du coefficient du terme du second degré inchangés. Le seul terme qui a changé est le terme de degré 1, bien que cela soit suffisant pour provoquer le changement de forme que l’on observe. On peut vérifier que la courbe correspond à l’équation ci-dessus et que les racines sont exactement et .

Bien que l’on ait choisi d’utiliser une fonction du second degré pour donner un exemple de ces deux symétries, on aurait pu choisir n’importe quel autre type de fonction qui peut être décrite explicitement. On utilise souvent des fonctions polynomiales (généralement linéaires, du second degré ou cubiques) pour illustrer ces transformations bien que l’on puisse utiliser n’importe quelle fonction pour cela. Nous allons maintenant étudier une série d’exemples pour illustrer les notions présentées ci-dessus.

Exemple 1: Identifier la représentation graphique d’une fonction après une symétrie par rapport à un axe du repère

On considère la fonction , où .

1. Laquelle des représentations graphiques correspond à la fonction  ? 
2. Laquelle des représentations graphiques suivantes est le symétrique de par rapport à l’axe des  ? 
3. Laquelle des représentations graphiques suivantes est le symétrique de par rapport à l’axe des  ? 

Réponse

Partie 1

Il est indiqué que , ce qui signifie que la fonction n’est pas définie lorsque est strictement inférieur à 1. Cela signifie que l’on peut exclure les options B et D qui semblent toutes deux définies sur l’intervalle .

On peut ensuite essayer d’étudier le comportement de la fonction en une valeur donnée. On commence généralement par les valeurs limites, on étudie donc la fonction lorsque . La définition de donne ce qui signifie que la représentation graphique de la fonction doit passer par le point . Parmi les options restantes A, C et E, la seule représentation graphique qui possède cette propriété est l’option C.

Partie 2

On a déjà effectué la plus grande partie du travail en déterminant que correspond à la courbe C. En vérifiant la représentation graphique ci-dessus, on peut voir qu’une symétrie par rapport à l’axe des donne la courbe A et qu’il n’y a pas d’autre possibilité. Sachant que la nouvelle fonction serait déterminée par et que est entièrement positive sur l’ensemble de définition donné, le symétrique de la fonction doit être entièrement négatif sur le même ensemble de définition. Cela confirme que la seule option est A.

Partie 3

En observant la courbe C représentant la fonction d’origine , la symétrie par rapport à l’axe des donne visiblement l’option B. Pour confirmer cela, on rappelle qu’on peut trouver le symétrique de la fonction en traçant . On rappelle que la fonction est définie sur l’ensemble de définition , ce qui signifie que le symétrique de la fonction est défini sur l’ensemble de définition . Les deux seules options avec cet ensemble de définition sont B et D. Sachant que est entièrement positive, cela doit aussi être le cas pour , ce qui élimine l’option D.

Les élèves doivent être en mesure d’effectuer une symétrie par rapport à l’axe des ou l’axe des en reconnaissant les deux transformations et sans qu’il soit nécessairement mentionné que cela correspond à une symétrie. Il vous sera parfois demandé d’identifier visuellement ces transformations sans disposer d’une formule explicite pour la fonction elle-même ou sans qu’il soit indiqué explicitement qu’il s’agit d’une symétrie. Nous allons le voir dans l’exemple suivant.

Exemple 2: Identifier la représentation graphique d’une fonction donnée algébriquement, à la suite d’une symétrie

La représentation graphique de est tracée ci-dessous.

Laquelle des représentations graphiques suivantes correspond à  ? 

Réponse

On sait que la fonction correspond à une symétrie par rapport à l’axe des . En d’autres termes, on doit effectuer une symétrie par rapport à la droite . Cela entraîne un changement de signe des racines mais laisse l’ordonnée à l’origine inchangée. Pour , il semble y avoir une racine en et une racine double en , ce qui signifie que la fonction doit avoir une racine en et une racine double en . La seule option répondant à cette propriété tout en maintenant l’intersection avec l’axe des est l’option (b).

Pour développer l’exemple précédent, il est utile de noter que la représentation graphique (a) a été visiblement obtenue par le symétrique de la fonction par rapport à l’axe des , ce qui correspond à la courbe . En aparté, il semble que la représentation graphique (c) soit la fonction d’origine suite à une symétrie par rapport à l’axe des puis une autre par rapport à l’axe des (ou inversement). On pourrait tracer cette fonction à l’aide de la transformation  ; nous en discuterons à nouveau dans un exemple ultérieur.

Exemple 3: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de la représentation graphique de son symétrique par rapport à un axe du repère

La représentation graphique linéaire suivante représente une fonction après une symétrie par rapport à l’axe des . Déterminez l’expression de la fonction d’origine .

Réponse

Deux étapes sont nécessaires pour la résolution de ce problème. On commence par déterminer l’équation de la droite tracée ci-dessus. On utilise ensuite les propriétés algébriques connues pour retrouver la fonction . Il est indiqué que a été obtenue par une symétrie de la fonction par rapport à l’axe des . Cela signifie que l’on a tracé le symétrique par rapport à la droite , ce qui donne donc la relation qui sera utile plus tard.

La fonction a visiblement une ordonnée à l’origine de et une racine simple lorsque . En termes de coordonnées, cela signifie que la droite passe par les points et , que l’on désigne respectivement par et . On peut calculer l’équation de cette droite de plusieurs façons au vu des informations dont on dispose, une méthode consiste à déterminer grâce à l’équation suivante : 

En substituant les valeurs connues, on obtient qui peut être résolu pour obtenir . Cela signifie que la fonction étudiée est . Cela complète la première partie de la réponse.

On peut maintenant donner la deuxième partie de la réponse en rappelant que la fonction résulte d’une autre fonction après une symétrie par rapport à l’axe des . En d’autres termes, on a . En substituant dans , on obtient

Remarquez que la valeur de l’ordonnée à l’origine n’a pas changé mais qu’il y a eu un changement de signe de la racine. La seule racine de est alors que la seule racine de est .

Des problèmes tels que celui-ci se retrouvent dans plusieurs domaines mathématiques mais se résolvent à l’aide d’un seul processus global. Dans cet exemple, nous avons dû trouver l’équation d’une droite à partir de deux points, utiliser le changement de variable correct pour obtenir une symétrie appropriée puis produire une nouvelle fonction en conséquence. Si nous travaillons avec des droites, cela ne sera jamais une expérience trop délicate car il existe de nombreuses méthodes pour trouver l’équation d’une droite. De plus, effectuer un changement de variable puis en déduire la nouvelle fonction est rarement beaucoup plus compliqué que dans l’exemple précédent. Dans l’exemple suivant, nous devons résoudre un problème similaire, impliquant cette fois une fonction du second degré dont nous devons déterminer l’équation avant de pouvoir répondre au reste de la question. Une fois encore, il existe de nombreuses techniques pour obtenir l’expression exacte de la fonction du second degré.

Exemple 4: Déterminer l’expression d’une fonction à partir de la représentation graphique de son symétrique par rapport à un axe du repère

La représentation graphique parabolique suivante correspond à une fonction après une symétrie par rapport à l’axe des . Déterminez l’expression de la fonction d’origine .

Réponse

On va répondre à cette question en deux parties. On commerce par déterminer l’expression de la fonction du second degré tracée ci-dessus. On utilisera ensuite nos connaissances sur les transformations de fonctions pour déterminer l’expression de .

On peut déterminer l’équation de la fonction du second degré tracée ci-dessus de plusieurs manières. On peut voir que la fonction a une ordonnée à l’origine de , ce qui signifie que l’on peut utiliser le point . De plus, il semble qu’il y ait un maximum local au point . On peut aussi voir que la courbe représentative passe par le point . On peut utiliser ces trois points pour retrouver l’équation de .

Sachant que est une parabole (ou une fonction du second degré), on commence par rappeler la forme générale d’une fonction du second degré où , et sont des nombres réels. On sait que la courbe représentative passe par le point , ce qui signifie que l’on doit avoir . Substituer cela dans l’équation du second degré ci-dessus donne ce qui donne le résultat .

Avec cette connaissance, on peut maintenant utiliser le prochain point connu . On doit donc avoir , ce qui donne où on a substitué le résultat . En simplifier, cela donne .

Cette équation fait intervenir les coefficients inconnus et et on peut obtenir une deuxième équation avec ces coefficients en utilisant le point . On définit pour obtenir

En réarrangeant, cela donne . On peut alors utiliser cette équation avec l’équation pour résoudre ce système et trouver que et .

Maintenant que l’on connaît , et , on a . En écrivant l’équation sous forme canonique ou en se rappelant comment l’abscisse du minimum/maximum d’une équation du second degré est liée aux coefficients , et , on peut en déduire l’expression plus utile qui confirme en effet que le maximum est atteint lorsque . Maintenant que l’on a trouvé , on peut obtenir sachant que cette fonction est obtenue après une symétrie de par rapport à l’axe des . Pour trouver la formule exacte de , on utilise la relation correspondante : . Cela donne la réponse finale : 

On a évoqué précédemment la symétrie d’une fonction par rapport à l’axe des puis par rapport à l’axe des (ou inversement). Pour une fonction , on sait qu’on peut obtenir une nouvelle fonction en prenant le symétrique de par rapport à l’axe des en définissant . Si on prend cette nouvelle fonction et que l’on construit son symétrique par rapport à l’axe des pour obtenir une nouvelle fonction , cela est alors équivalent à effectuer le changement de variable dans . En d’autres termes, on a , que nous pouvons simplement écrire comme . Si on avait effectué les étapes dans l’ordre inverse (en prenant d’abord le symétrique par rapport à l’axe des puis par rapport à l’axe des ), on aurait obtenu exactement le même résultat mais avec des étapes intermédiaires légèrement différentes.

Cet exemple introduit l’idée d’une symétrie par rapport à des droites qui ne sont ni l’axe des ni l’axe des . La principale façon d’aborder ces problèmes consiste à exprimer la fonction d’origine puis à utiliser une matrice pour transformer la fonction selon les besoins. Cela dépasse manifestement le cadre de cette fiche explicative, mais il convient de mentionner que la symétrie par rapport à des droites autres que les axes du repère a une structure algébrique très différente qui n’est pas toujours possible à exprimer. Par exemple, effectuer une symétrie d’une représentation graphique par rapport à la droite revient à trouver la réciproque de la fonction d’origine, qui n’est pas toujours définie. En fait, ce n’est généralement possible que si la fonction d’origine est injective.

Jusqu’à présent, nous avons travaillé sur des fonctions exprimées par une formule algébrique explicite. Nous avons vu que pour une fonction , nous pouvons effectuer une symétrie par rapport à l’axe des en définissant la nouvelle fonction et une symétrie par rapport à l’axe des en définissant la nouvelle fonction . Sachant que ces relations sont vraies pour toutes les valeurs de , elles doivent aussi être vraies pour des valeurs spécifiques. En d’autres termes, si nous avons un tableau de valeurs d’une fonction, alors nous devrions être en mesure d’utiliser scs informations pour comprendre comment tracer le symétrique de cette fonction par rapport à l’axe des ou à l’axe des .

Par exemple, on suppose que l’on a la fonction définie par le tableau de valeurs suivant.

On peut transformer ces couples de coordonnées en points, en définissant , sans essayer de joindre les points par une courbe ou une droite, comme le montre la figure ci-dessous. Bien que cette fonction ne soit pas continue, on peut construire son symétrique par rapport à l’axe des ou l’axe des .

On rappelle qu’une symétrie par rapport à l’axe des est la même transformation qu’une symétrie par rapport à la droite , ce qui signifie qu’aucune racine de la fonction ne sera affectée. On définit une nouvelle fonction qui représente cette symétrie. On sait que , ce qui doit être vrai pour toutes les valeurs connues. En d’autres termes, on sait que , , , et . Cela permet de créer le nouveau tableau de valeurs.

Tracer ces points donne la représentation graphique suivante et on peut voir qu’il s’agit bien du symétrique de la représentation graphique originale par rapport à l’axe des . Notez que le point n’est pas affecté car il se trouve sur la droite par rapport à laquelle on vient d’effectuer la symétrie. Cela revient à dire que les racines d’une fonction continue ne sont pas affectés par une symétrie par rapport à l’axe des .

On montre maintenant comment effectuer une symétrie par rapport à l’axe des . On crée une nouvelle fonction et on définit , ce qui donnera la symétrie recherchée. Cela signifie que , , , et . En utilisant le tableau de valeurs initial de , on peut alors produire le nouveau tableau de valeurs de comme suit.

En traçant ces points, on obtient la représentation graphique ci-dessous, qui est en effet le symétrique de la fonction d’origine par rapport à l’axe des . Le point est inchangé par une symétrie par rapport à l’axe des car il s’agit d’une symétrie par rapport à la droite sur laquelle ce point se situe. Cela revient à dire que l’ordonnée à l’origine d’une fonction continue est inchangée après une symétrie par rapport à l’axe des .

Exemple 7: Utiliser un tableau de valeurs pour identifier le symétrique d’une fonction par rapport à un axe du repère

On considère le tableau suivant de la fonction .

	1	2	3	4
	1	2	3	4

Identifiez le tableau de la fonction qui est son symétrique par rapport à l’axe des .

1. 	1	2	3	4

3. 	1	2	3	4
   	1	2	3	4

4. 	1	2	3	4

5. 	1		3	4
   	1		3	4

Réponse

On commence par représenter les valeurs du tableau sous forme de points dans le plan cartésien, comme indiqué sur le schéma de gauche. La fonction après symétrie par rapport à l’axe des , , est tracée sur le schéma de droite.

Cette seule information devrait suffire à répondre complètement à la question, mais on va montrer le processus détaillé. On rappelle que la symétrie de par rapport à l’axe des pour obtenir une nouvelle fonction s’exprime algébriquement par la relation . Cela doit être vrai pour toutes les valeurs de et on ne dispose des images que pour les quatre antécédents , 2, 3 et 4. Cela signifie que les seules images que l’on peut obtenir pour sont celles des quatre antécédents , , et . On trouve donc que , , et . En les entrant dans le nouveau tableau de valeurs de , on obtient le tableau suivant.

	1	2	3	4

Cela correspond à la réponse D.