Fiche explicative de la leçon: Équations de droites parallèles et perpendiculaires Mathématiques • Troisième préparatoire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment écrire l'équation d'une droite parallèle ou perpendiculaire à une autre droite.

Il y a plusieurs façons de décrire les droites qui peuvent être utiles selon les circonstances. L’expression la plus classique d’une droite utilise la formule

à partir de laquelle on tracerait ce graphique dans le plan , avec représentant le coefficient directeur de la droite et représentant l’ordonnée à l’origine. Le coefficient directeur nous indique la pente de la droite, et l’ordonnée à l’origine l’endroit où elle croise l’axe des ordonnées . Ces deux informations sont suffisantes pour définir entièrement une droite et pour la tracer en tout point du plan , nous nous référons à l’équation(1) comme étant l’équation réduite d’une droite. Le plus souvent, lors de la résolution d’un problème impliquant une droite, nous chercherons à écrire la solution sous cette forme, où et sont calculés dans le cadre de la résolution du problème.

La valeur du coefficient directeur détermine la « direction » générale de la droite. En lisant de gauche à droite, si est positif, alors la pente de la droite est ascendante et si est négatif, alors la pente est descendante. Nous pouvons le démontrer en prenant deux droites, comme suit : 

Les deux droites ont la même ordonnée à l’origine mais leurs coefficients directeurs sont de signes opposés. Ces deux fonctions sont tracées dans le graphique ci-dessous, où est représentée en rouge et est représentée en vert. La droite représentant se dirige vers le haut lorsque nous nous déplaçons de gauche à droite, ce qui est dû au coefficient directeur positif, tandis que se dirige vers le bas en raison du coefficient directeur négatif. Ceci est une propriété fondamentale relative aux droites et nous y reviendrons plus tard lorsque nous parlerons des droites perpendiculaires.

Pour le moment, il est bon de se rappeler que l’équation réduite n’est qu’une manière d’écrire l’équation d’une droite, même si c’est la plus courante. Généralement, on pourrait nous fournir n’importe quelle équation linéaire pour décrire une droite, par exemple dans le plan où , , et sont des nombres réels. Cette expression est moins fréquente que celle donnée sous forme réduite(1), mais est néanmoins parfaitement valable. En effet, calculer dans l’équation ci-dessus nous conduira à la forme réduite traditionnelle (à condition que ). Parfois, on nous donnera l’équation d’une droite sous la forme ci-dessus plutôt que sous forme réduite et on nous demandera de travailler avec cette expression initiale.

Il existe deux autres façons d’écrire l’équation d’une droite qui seront particulièrement utiles. Supposons qu’on nous dise qu’il y a une droite de coefficient directeur passant par le point particulier . Alors, l’équation de la droite vérifiant ces propriétés est donnée par qui peut bien entendu être transformée sous la forme réduite de l’équation(1). Pour que ce résultat soit directement applicable, le coefficient directeur doit d’abord être déterminé en premier et il y a de nombreux exemples où ce sera le cas, comme nous le verrons dans le reste de cette fiche explicative.

Le résultat final est le plus pertinent pour discuter du coefficient directeur, en effet il exprime l’équation d’une droite qui passe par les deux points et . Dans ce cas, l’équation de la droite est donnée par la formule

Dans ce cas, nous choisirons en fait de réécrire l’expression ci-dessus sous la forme réduite en calculant , car cela servira à rappeler le calcul du coefficient directeur de n’importe quelle droite passant par deux points. Supposons que nous devons prendre l’équation ci-dessus et multiplier ses deux membres par . Cela simplifierait efficacement ce terme au dénominateur du membre de gauche, fournissant le nouveau résultat

À titre d’étape intermédiaire, nous pouvons modifier légèrement l’équation ci-dessus, comme suit : 

En développant le membre droit de l’équation, on obtient puis finalement, en calculant nous obtenons

Ce n’est pas la façon la plus simple d’écrire l’équation précédente, mais cela nous permet de la comparer directement à l’équation réduite d’une droite telle que décrite dans l’équation (1). En comparant les termes en de cette équation et de celle directement au-dessus, nous déduisons que nous pouvons écrire le coefficient directeur comme ce qui confirme ce que nous savons à propos du calcul du coefficient directeur d’une droite donnée connaissant deux points lui appartenant.

Ces résultats ont été inclus à titre de rappel des techniques connues que nous pouvons utiliser lorsque nous travaillons avec des droites et nous les utiliserons toutes tout dans cette fiche explicative comme partie intégrante de nos travaux. Bien que nous donnions quelques aperçus du travail dans de nombreux exemples, il est généralement admis que vous êtes suffisamment à l’aise avec ces techniques pour que de nombreuses étapes du travail ne soient pas trop mystérieuses ! De ce fait, espérons-le, nous allons introduire le premier des deux concepts clés de cette fiche explicative : les droites parallèles.

Nous allons l’illustrer avec un exemple. Supposons que nous ayons la droite qui a déjà été écrite sous la forme réduite comme suit : 

Nous savons que le coefficient directeur est égal à 3, ce qui signifie que la pente est ascendante lorsqu’on se déplace de la gauche vers la droite. De plus, la droite a une ordonnée à l’origine de . Cette information est suffisante pour nous permettre d’obtenir le graphique suivant.

Supposons maintenant que nous prenions la seconde droite qui est régie par l’équation

Les deux droites ont clairement le même coefficient directeur mais des ordonnées à l’origine différentes. D’après la définition donnée ci-dessus, cela signifie que les deux droites sont parallèles entre elles, ce qui peut être illustré lorsque nous représentons la nouvelle droite ci-dessous en vert.

Par définition du parallélisme, ces deux droites ne se croiseront jamais. Ceci peut être observé algébriquement si l’on tente de résoudre le système d’équations et , conduisant rapidement à une erreur mathématique.

La situation ci-dessus est probablement la circonstance la plus simple pour déterminer si deux droites sont parallèles car elles sont toutes les deux écrites sous la forme réduite, ce qui signifie que nous pouvons comparer directement les coefficients directeurs ainsi que l’ordonnée à l’origine. Dans les exemples suivants, nous verrons que nous devons approfondir et utiliser plusieurs des résultats introduits dans cette fiche explicative avant même de commencer à parler de droites parallèles.

Exemple 1: Déterminer l’équation d’une droite parallèle à une droite donnée

Écrivez, sous la forme , l’équation de la droite passant par et parallèle à la droite .

Réponse

On commence par réécrire l’équation sous la forme standard d’une équation réduite. Cela donne l’équation indiquant que le coefficient directeur de cette droite est . La droite que nous devons déterminer est parallèle à la droite ci-dessus, ce qui signifie que nous pouvons écrire que le coefficient directeur de la nouvelle droite est égal à . On nous dit également que la nouvelle droite doit passer par le point , ce qui, connaissant le coefficient directeur, est suffisant pour déterminer complètement la droite. Dans le cas général d’une droite de coefficient directeur passant par le point , nous pouvons utiliser la formule

En substituant et dans cette équation, nous obtenons ce que nous pouvons résoudre pour calculer et trouver

Nous pouvons vérifier que ces droites sont parallèles entre elles en les traçant toutes les deux, comme nous l’avons fait ci-dessous. La première droite est tracée en vert et la seconde est tracée en rouge. Nous pouvons voir que la droite rouge passe par le point , qui est représenté en violet.

Il n’est pas toujours nécessaire de tracer les droites, ni d’y penser d’un point de vue géométrique, si tout ce qui nous intéresse est de savoir si elles sont parallèles ou non. Les conditions dans la définition ci-dessus sont des conditions algébriques sur les relations entre les deux coefficients directeurs et les deux ordonnées à l’origine. De ce fait, tracer des droites peut parfois être considéré comme une technique utile plutôt que vu comme une étape nécessaire, bien qu’évidemment, il soit généralement recommandé de représenter graphiquement un problème afin de bien le comprendre et d’aider à vérifier les résultats. Dans les deux exemples suivants, nous répondrons aux questions en utilisant des moyens purement algébriques, puis réaliserons un graphique pour vérifier notre travail.

Exemple 2: Déterminer les valeurs des coefficients inconnus dans les équations de deux droites parallèles

Les droites et sont parallèles. Quelle est la valeur de  ? 

Réponse

Pour que les deux droites soient parallèles, nous avons besoin que leurs coefficients directeurs soient égaux. Réécrire les deux équations données en calculant donnera les deux résultats

Les deux coefficients directeurs seront égaux si , ce qui implique également que les ordonnées à l’origine soient différentes (ayant également des signes opposés). Cela correspond aux deux exigences pour que les droites soient parallèles, ce qui signifie que la deuxième ligne est écrite en entier comme suit : 

Nous avons tracé, ci-dessous ces deux droites pour montrer qu’elles sont parallèles, la première est en rouge et la seconde est en vert. Cela confirme que la réponse est correcte.

Exemple 3: Déterminer l’équation d’une droite parallèle à une autre droite donnée

Déterminer l’équation réduite d’une droite passant par le point et parallèle à la droite passant par les deux points et .

Réponse

Nous commençons par calculer l’équation de la deuxième ligne de sorte que nous pouvons trouver le coefficient directeur dans le cadre de ce procédé. Pour une droite passant par les deux points et , nous pouvons utiliser la formule

En posant et dans l’équation ci-dessus, nous obtenons

Cela se simplifie légèrement pour donner que nous pouvons résoudre pour et trouver

Maintenant que la deuxième droite a été écrite sous la forme réduite, nous pouvons voir que le coefficient directeur est . Pour qu’une droite soit parallèle à cette droite, son coefficient directeur devra être le même, ce qui signifie que .

Maintenant que le coefficient directeur de la nouvelle droite est connu, on peut rappeler la formule pour une droite de coefficient directeur et passant par le point  : 

En prenant le coefficient directeur calculé et le point donné , nous les substituons tous les deux dans l’équation ci-dessus pour obtenir

Calculer fournit l’équation sous forme réduite : 

Pour vérifier que nous avons effectué les calculs correctement, nous avons représenté la courbe ci-dessous. Les deux points et sont représentés en violet, et la première droite passant par ces deux points est tracée en rouge. Le point est représenté en noir, et la ligne parallèle passant par ce point est tracée en vert.

Dans les deux exemples précédents, nous avons vu à quel point nous avions besoin d’une compréhension solide des techniques de base qui pourraient être utilisées pour obtenir l’équation d’une droite, en fonction des deux informations qui nous sont données initialement. Idéalement, il s’agirait du coefficient directeur et de l’ordonnée à l’origine , permettant l’écriture immédiate de l’équation réduite. Cependant, ce n’est généralement pas le cas, et on nous fournit à la place des informations obligeant à effectuer un travail préalable pour comprendre pleinement le problème. Ces mêmes principes seront valables dans la seconde moitié de cette fiche explicative où nous nous focaliserons sur les droites perpendiculaires et où nous supposerons que les principales techniques impliquant des droites ont été entièrement acquises.

Pour illustrer cette idée, nous reviendrons sur les deux droites que nous avons données au tout début de cette fiche explicative. Celles-ci ont été définies par

Nous avons observé que le coefficient directeur de la première droite était positif, signifiant qu’elle « montait », et que le coefficient directeur de la seconde droite était négatif, signifiant qu’elle « descendait ». Pour rappel, une fois tracées, ces deux droites sont les suivantes.

Ce que nous n’avons pas encore dit, c’est que, visuellement, ces deux droites semblent perpendiculaires l’une à l’autre et se croisent en angle droit au point , qui se trouve être aussi l’ordonnée à l’origine. Si le coefficient directeur de la première droite est donné par et celui de la seconde par , alors nous déduisont que ceux-ci vérifient la relation donnée . Ainsi, selon notre définition, ces droites sont perpendiculaires.

Si deux droites sont perpendiculaires, alors , ce qui signifie que les coefficients directeurs sont de signes opposés. Par conséquent, si est positif, alors doit être négatif, et inversement. Géométriquement parlant, si la première ligne est ascendante, alors la second ligne (perpendiculaire) est descente et inversement. Cette compréhension géométrique fournit une méthode pour vérifier si deux droites données sont perpendiculaires. Cependant, il convient de noter, que deux droites ayant des coefficients directeurs de signe opposé ne sont pas nécessairement perpendiculaires. Par exemple, si une droite avait un coefficient directeur de 10 000 et qu’une autre avait un coefficient directeur de , alors celles-ci ne seraient certainement pas perpendiculaires ! 

Notez que, contrairement aux critères pour les droites parallèles, pour les droites perpendiculaires il n’y a pas de conditions sur les ordonnées à l’origine des deux droites impliquées. En réalité, cela n’est absolument pas pertinent lorsqu’il s’agit de décider si deux droites sont perpendiculaires, ce qui dépend uniquement des deux coefficients directeurs des droites impliquées. Nous pouvons prouver que deux droites perpendiculaires se croiseront toujours. Supposons que nous prenions deux droites perpendiculaires avec deux ordonnées à l’origine différentes mais dont les coefficients directeurs vérifient la relation . Nous pouvons décrire les deux droites exprimées sous la forme réduite, comme suit : 

Nous pourrions calculer et pour savoir où ces deux droites se coupent en posant l’égalité

En regroupant les termes avec les coefficients directeurs dans le membre de gauche et les termes avec les ordonnées à l’origine dans le membre de droite, nous obtenons que nous choisissons d’écrire sous la forme équivalente

Calculer donne alors

Le point important est que nous pouvons toujours calculer l’abscisse du point d’intersection quelles que soient les valeurs de ou , bien que nous devions être vigilant à ce qu’aucun des coefficients directeurs des droites ne soit nul, sinon la relation initiale ne serait pas valable. En substituant par son expression ci-dessus dans l’équation , on trouverait (après quelques étapes de calcul) que ce qui signifie que nous avons toujours une expression pour l’ordonnée du point d’intersection.

Pour le moment, c’est tout ce que nous aurons besoin de comprendre à propos des droites perpendiculaires et nous allons maintenant procéder avec quelques exemples de ce type.

Nous allons maintenant donner deux derniers exemples qui nous obligeront à comprendre les critères pour que deux droites soient perpendiculaires ainsi que toutes les différentes formules pour les droites que nous avons données au début de cette fiche explicative. Pour les deux exemples, nous effectuerons le travail algébriquement, puis nous représenterons graphiquement les droites à titre d’étape de vérification. Sachant que nous parlerons toujours de droites perpendiculaires, nous nous attendrons à observer le comportement que nous avons remarqué plus tôt : si une droite a un coefficient directeur positif, alors l’autre aura un coefficient directeur négatif (et vice versa), ce qui signifie qu’une des droite ira toujours vers le haut, tandis que l’autre ira toujours vers le bas.

Exemple 5: Déterminer l’équation d’une droite perpendiculaire à une autre droite donnée

Déterminez l’équation réduite de la droite perpendiculaire à et qui passe par le point .

Réponse

On nous donne par commodité l’équation réduite de la première droite, ce qui signifie que nous pouvons lire directement son coefficient directeur comme étant . Pour que toute autre droite soit perpendiculaire, les deux coefficients directeurs doivent vérifier la relation , ce qui fournit le coefficient directeur de la deuxième droite comme étant . Nous choisirons d’écrire ceci comme .

L’équation d’une droite de coefficient directeur passant par le point est donnée par

En substituant et dans cette expression, nous obtenons

En réarrangeant et en calculant , cela nous mène à une équation sous forme réduite : 

Dans le graphique ci-dessous, nous avons tracé la première droite en rouge et la seconde, perpendiculaire, en vert. Comme nous pouvons le voir, les deux droites semblent perpendiculaires, et la deuxième passe par le point , comme indiqué en noir. Les deux coefficients directeurs sont de signes opposés ce qui est également visible sur la figure.

Exemple 6: Déterminer l’équation réduite d’une droite perpendiculaire à une droite donnée

Déterminez l’équation réduite d’une droite passant par et perpendiculaire à la droite passant par et .

Réponse

Nous allons d’abord calculer le coefficient directeur de la droite qui passe par les points et . Le coefficient directeur de la droite passant par les deux points et est donnée par la relation suivante : 

Nous substituons les valeurs et dans cette équation, ce qui nous donne

Avec ce résultat à présent établi, nous nous intéressons maintenant à l’équation de la droite qui est perpendiculaire à la droite initiale et qui passe par le point . Si le coefficient directeur de la deuxième droite est , alors nous devons avoir la relation , ce qui donne . Nous l’écrirons plus simplement comme . Nous pouvons maintenant trouver l’équation de cette droite en nous rappelant que l’équation d’une droite de coefficient directeur connu, passant par le point , est donnée par la formule

Maintenant, en substituant et dans cette équation, nous obtenons

En isolant ,cela nous donne l’équation réduite

Nous avons tracé ci-dessous la droite initiale en rouge, qui passe par les deux points et , représentés en violet. La seconde droite est tracée en vert et elle est clairement perpendiculaire à la la droite rouge, passant également par le point donné.