Fiche explicative de la leçon : المتغيِّر العشوائي المتقطِّع | Nagwa Fiche explicative de la leçon : المتغيِّر العشوائي المتقطِّع | Nagwa

Fiche explicative de la leçon : المتغيِّر العشوائي المتقطِّع Mathématiques

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُحدِّد المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، ونستخدم جدول ودالة التوزيع الاحتمالي له.

لفهم المقصود بالمتغيِّر العشوائي المتقطِّع، من المفيد أن نتناول أولًا معنى المتغيِّر العشوائي.

تعريف: المتغيِّر العشوائي

المتغير العشوائي المتقطع هو متغيِّر يمكن أن يأخذ قيمًا مختلفة متعدِّدة (محدَّدة عشوائيًّا)، يرتبط كلٌّ منها باحتمال.

وكما هو الحال مع احتمالات الأحداث المتنافية، فإن الاحتمالات المرتبطة بجميع القيم التي يأخذها المتغيِّر العشوائي لا بد أن يكون مجموعها ١. علاوةً على ذلك، لا بد أن يقع كل احتمال ضمن الفترة [٠،١].

المتغيِّر العشوائي يمكن أن يكون متقطِّعا أو متصلًا. بالنسبة إلى المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، فإن القيم الخاصة بالقيمة العشوائية يجب أن تكون متقطِّعة. وعادةً ما تأخذ أعدادًا صحيحة، ولكن ذلك ليس ضروريًّا.

تعريف: المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هو متغيِّر عشوائي يأخذ قيمًا متقطِّعة متعدِّدة ومختلفة، يرتبط كلٌّ منها باحتمال.

تتضمَّن أمثلة المتغيِّر العشوائي المتقطِّع نواتج إلقاء حجر نرد منتظم. فنجد أن القيم التي يمكن أن يأخذها المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هي: ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦؛ حيث يمثِّل ١٦ الاحتمال المرتبط بكل قيمة.

يمكننا تمثيل المتغيِّر العشوائي المتقطِّع باستخدام دالة التوزيع الاحتمالي. وهي دالة تربط قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع بالاحتمالات المرتبطة بها.

تعريف: دالة التوزيع الاحتمالي

دالة التوزيع الاحتمالي هي دالة يَنتج عنها احتمالات لقيمة 󰎨(𞸎) بمعلومية ناتج القيمة 𞸎، ويجب أن تحقِّق الخاصيتين الآتيتين:

  • 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓 لجميع قيم 𞸎 في مجال دالة التوزيع الاحتمالي.
  • كل قيمة لـ 󰎨(𞸎) يجب أن تقع ضمن الفترة [٠،١].

وكما يمكننا تمثيل مدخلات الدالة ومخرجاتها بطرق مختلفة، يمكننا أيضًا تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي بصور مختلفة. في أول مثالين، نتناول سؤالين يتضمَّنان دالة التوزيع الاحتمالي ممثَّلة في جدول. يوضِّح السؤال الأول كيفية التحقُّق ممَّا إذا كانت الدالة دالة توزيع احتمالي أو لا، باستخدام الحقائق المرتبطة بالاحتمال.

مثال ١: التحقُّق ممَّا إذا كانت الدالة في الجدول دالة توزيع احتمالي أو لا

هل يمكن اعتبار الدالة في الجدول المُعطى دالة توزيع احتمالي؟

𞸎𞸓٠١٤٥
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٠٫١٧٠٫٤٣٠٫٦٩٠٫٣٦

الحل

نحن نعلم أنه لأيِّ دالة توزيع احتمالي، يكون 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓. ومن ثَمَّ، إذا كانت الدالة في الجدول دالة احتمال، فإن مجموع كل الاحتمالات في الجدول يساوي ١: ٧١٫٠+٣٤٫٠+٩٦٫٠+٦٣٫٠=٥٦٫١.

وبما أن هذا لم يتحقَّق هنا؛ لأن مجموع الاحتمالات هو ١٫٦٥، فإن 󰎨(𞸎) ليست دالة توزيع احتمالي.

لاحظ أنه حتى إذا كان مجموع كل الاحتمالات يساوي ١، فسيكون علينا أيضًا التحقُّق من أن كل احتمال يقع ضمن الفترة [٠،١].

في المثال الثاني أيضًا، لدينا جدول لتمثيل دالة توزيع احتمالي، لكنه يوضِّح كيفية إيجاد قيمة مجهولة في الجدول باستخدام حقائق مرتبطة بالاحتمال.

مثال ٢: إيجاد قيمة مجهولة لدالة توزيع احتمالي في جدول

الدالة في الجدول المُعطى هي دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎. أوجد قيمة 󰏡.

𞸎𞸓١٢٣٤٥
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٥١٠١٣٠١١٠١󰏡

الحل

نحن نعلم أنه لأيِّ دالة توزيع احتمالي، يكون 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓؛ ومن ثَمَّ، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد القيمة المجهولة لـ 󰏡: ١٥+١٠١+٣٠١+١٠١+󰏡=١٧٠١+󰏡=١󰏡=٣٠١.

وبما أن قيمة 󰏡 تقع ضمن الفترة [٠،١]، إذن نحن نعلم أن ٣٠١ قيمة صحيحة.

بالإضافة إلى تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي في جدول، يمكننا تمثيل كل قيمة والاحتمال المرتبط بها باستخدام الصيغة 𞸋󰁓𞹎=𞸎󰁒=𞸋𞸓؛ حيث يمثِّل 𞸎 قيمة المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، ويمثِّل 𞸋 الاحتمال المرتبط بهذه القيمة. باستخدام هذه الصيغة، يمكننا القول إن 󰌇𞸋(𞹎=𞸎)=١، وإن جميع قيم 𞸋 يجب أن تقع ضمن الفترة [٠،١].

في المثال التالي، نتناول كيفية إيجاد احتمال مجهول عند تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي على الصورة 𞸋(𞹎=𞸎)=𞸋.

مثال ٣: إيجاد قيمة مجهولة بمعلومية القيم الأخرى لدالة التوزيع الاحتمالي

افترض أن 𞹎 يشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٠، ١، ٢، ٣. إذا كان 𞸋(𞹎=٠)=١٩، 𞸋(𞹎=١)=٤٩، 𞸋(𞹎=٢)=󰏡، 𞸋(𞹎=٣)=٣󰏡، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

بما أن جميع احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي مجموعها يساوي ١، إذن نعرف أن: 𞸋(𞹎=٠)+𞸋(𞹎=١)+𞸋(𞹎=٢)+𞸋(𞹎=٣)=١.

بالتعويض بالاحتمالات المرتبطة، نحصل على: ١٩+٤٩+󰏡+٣󰏡=١.

وبالتبسيط وإعادة الترتيب ثم الحل لإيجاد قيمة 󰏡، نحصل على: ٥٩+٤󰏡=١٤󰏡=٤٩󰏡=١٩.

وبما أن قيمة 󰏡 تقع ضمن الفترة [٠،١]، إذن ١٩ إجابة صحيحة.

كما رأينا في مثال ٢، يمكن تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي على صورة دالة في المتغيِّر 𞸎؛ حيث يمثِّل 𞸎 القيمة التي يأخذها المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، ويمثِّل 󰎨(𞸎) الاحتمال المرتبط بها. وبناءً على ذلك، نعرف أن 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓 لجميع قيم 𞸎 التي يأخذها المتغيِّر العشوائي. بالإضافة إلى ذلك، كل قيم 󰎨(𞸎) يجب أن تقع ضمن الفترة [٠،١].

يستخدم المثال التالي الخاصيتين اللتين تنصان على أن 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓، وأن جميع قيم 󰎨(𞸎) تقع ضمن الفترة [٠،١]، لتحديد إذا ما كانت دالة التوزيع الاحتمالي صحيحة أو لا لمجموعة قيم 𞸎 المُعطاة.

مثال ٤: تحديد دالة التوزيع الاحتمالي التي تمثِّل متغيِّرا عشوائيًّا متقطِّعًا

افترِض أن 𞹎 يُشير إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ٣، ٥، ٦. أيُّ الدوال الآتية يمكن أن تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر 𞹎؟

  1. 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٠١٢
  2. 󰎨(𞸎)=𞸎٢٨
  3. 󰎨(𞸎)=٤٥𞸎+٢
  4. 󰎨(𞸎)=٤𞸎+٥٢

الحل

لكي تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، الذي يمكن أن يأخذ القيم ٣، ٥، ٦، فلا بد أن يكون 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓 ولا بد أن تقع جميع قيم 󰎨(𞸎) ضمن الفترة [٠،١]. سنتحقَّق من كل دالة على حِدَةٍ.

بالنسبة إلى 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٠١٢، نحسب أولًا الاحتمالات المرتبطة بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع؛ وذلك بالتعويض بالقيم ٣، ٥، ٦ في 󰎨(𞸎).

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=٣+٣٠١=٢١٠١.٢

وبما أن ٢١٠١ يقع خارج الفترة [٠،١]، إذن نستنتج أن 󰎨(𞸎)=𞸎+٣٠١٢ ليست دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎.

وبالمثل، بالنسبة إلى 󰎨(𞸎)=𞸎٢٨، نحسب أولًا الاحتمالات المرتبطة بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع، وهي ٣، ٥، ٦؛ وذلك بالتعويض في 󰎨(𞸎).

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=٣٢٨=١٨.

عندما يكون 𞸎=٥، فإن: 󰎨(٥)=٥٢٨=٣٨.

عندما يكون 𞸎=٦، فإن: 󰎨(٦)=٦٢٨=٤٨.

وبما أن كل قيمة تقع ضمن الفترة [٠،١]، إذن حتى الآن، 󰎨(𞸎)=𞸎٢٨ دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎.

سنتحقَّق الآن ممَّا إذا كان 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓: 󰎨(٣)+󰎨(٥)+󰎨(٦)=١٨+٣٨+٤٨=١.

بما أن 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓، إذن 󰎨(𞸎)=𞸎٢٨ دالة توزيع احتمالي صحيحة للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎.

ملاحظة:

يمكننا التحقُّق من الدالتين الأخريين، لكن بما أننا أوجدنا الإجابة الصحيحة بالفعل، إذن هذا ليس ضروريًّا.

في المثال التالي، يمكننا استخدام الخاصيتين اللتين تشيران إلى أن 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓 وأن جميع قيم 󰎨(𞸎) تقع ضمن الفترة [٠،١]، لإيجاد قيمة معامل مجهول في الدالة 󰎨(𞸎) بمعلومية القيم التي يمكن أن يأخذها المتغيِّر العشوائي.

مثال ٥: إيجاد معامل مجهول في دالة توزيع احتمالي بمعلومية القيم التي يأخذها المتغيِّر العشوائي المتقطِّع

افترض أن 𞹎 يرمز إلى متغيِّر عشوائي متقطِّع يمكن أن يأخذ القيم ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦. إذا كان 𞹎 له دالة التوزيع الاحتمالي 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٥، فأوجد قيمة 󰏡.

الحل

لكي تمثِّل دالة التوزيع الاحتمالي المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، الذي يأخذ القيم ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، يجب أن يكون 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓، ولا بد أن تقع جميع قيم 󰎨(𞸎) ضمن الفترة [٠،١].

بدايةً، علينا التعويض بـ ١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦ في 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٥.

عندما يكون 𞸎=١، فإن: 󰎨(١)=󰏡×١٥=󰏡٥.

عندما يكون 𞸎=٢، فإن: 󰎨(٢)=󰏡×٢٥=٢󰏡٥.

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=󰏡×٣٥=٣󰏡٥.

عندما يكون 𞸎=٤، فإن: 󰎨(٤)=󰏡×٤٥=٤󰏡٥.

عندما يكون 𞸎=٥، فإن: 󰎨(٥)=󰏡×٥٥=٥󰏡٥.

عندما يكون 𞸎=٦، فإن: 󰎨(٦)=󰏡×٦٥=٦󰏡٥.

ثمّ، نستخدم الخاصية 󰌇󰎨󰁓𞸎󰁒=١𞸓 لكتابة معادلة بدلالة 󰏡: 󰎨(١)+󰎨(٢)+󰎨(٣)+󰎨(٤)+󰎨(٥)+󰎨(٦)=١،󰏡٥+٢󰏡٥+٣󰏡٥+٤󰏡٥+٥󰏡٥+٦󰏡٥=١.

بعد ذلك، بالتبسيط وإعادة الترتيب والحل لإيجاد قيمة 󰏡، نحصل على: ١٢󰏡٥=١󰏡=٥١٢.

بالرغم من أننا أوجدنا قيمة 󰏡، من الجيد التأكُّد من أن الاحتمال المرتبط بكل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي يقع ضمن الفترة [٠،١]. ونفعل ذلك بالتعويض بـ 󰏡=٥١٢ في 󰎨(١)، 󰎨(٢) وهكذا.

عندما يكون 𞸎=١، فإن: 󰎨(١)=×١٥=١١٢.٥١٢

عندما يكون 𞸎=٢، فإن: 󰎨(٢)=×٢٥=٢١٢.٥١٢

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=×٣٥=٣١٢.٥١٢

عندما يكون 𞸎=٤، فإن: 󰎨(٤)=×٤٥=٤١٢.٥١٢

عندما يكون 𞸎=٥، فإن: 󰎨(٥)=×٥٥=٥١٢.٥١٢

عندما يكون 𞸎=٦، فإن: 󰎨(٦)=×٦٥=٦١٢.٥١٢

وبما أن كل قيمة لـ 󰎨(𞸎) لجميع قيم المتغيِّر العشوائي تقع ضمن الفترة [٠،١]، نعلم إذن أن 󰎨(𞸎)=󰏡𞸎٥؛ حيث 󰏡=٥١٢ دالة توزيع احتمالي صحيحة.

تناولنا حتى الآن أمثلة بدون سياق. ولكن في الجزء الأخير من الشارح، سوف نتناول أمثلة تتضمَّن سياقًا.

في المثال التالي، نتناول كيف نستخدم المعلومات من التوزيع الاحتمالي للإجابة عن أسئلة ضمن السياق.

مثال ٦: حل مسائل تتضمن سياق عن متغيِّرات عشوائية متقطِّعة بمعلومية دالة التوزيع الاحتمالي

افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي يمثِّل عدد المرضى الذين يزورون عيادة أسنان في كل ساعة. توزيع احتمال المتغيِّر 𞹎 موضَّح في الجدول الآتي:

𞸎𞸓١٠١١١٢١٣١٤١٥
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٠٫٢٠٫١٠٫١٥٠٫٠٥٠٫٣٠٫٢

أوجد احتمال ما يأتي.

  1. أن يزور ١٣ مريضًا بالضبط العيادة في ساعة معيَّنة.
  2. أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة.
  3. أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة.

الحل

الجزء الأول

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا بالضبط العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي.

في هذه الحالة، يمثِّل 𞹎 عدد المرضى الذين يزورون عيادة أسنان في كل ساعة، وهذا يعني أن 𞸎=٣١. ومن ثَمَّ، فإن احتمال 𞸎=٣١ يُعطى بواسطة قيمة 󰎨(𞸎) المناظرة في الجدول، وهي ٠٫٠٥.

الجزء الثاني

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي مرةً أخرى.

في هذه الحالة، يأخذ 𞸎 قيمًا متعدِّدة؛ وذلك لأننا نوجد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة. إذن 𞸎 يمكن أن يكون أيَّ عدد صحيح أكبر من أو يساوي ١٣؛ أي 𞸎٣١. كما رأينا في الجدول، يمكن أن يأخذ 𞹎 القيم الصحيحة من ١٠ إلى ١٥ فقط، وبذلك، فإن 𞸎 يمكن أن يكون ١٣ أو ١٤ أو ١٥.

لإيجاد احتمال 𞸎 يساوي ١٣ أو ١٤ أو ١٥، نُوجِد قيم 󰎨(𞸎) المناظرة في الجدول ثم نجمعها.

عندما يكون 𞸎=٣١، فإن: 󰎨(٣١)=٥٠٫٠.

عندما يكون 𞸎=٤١، فإن: 󰎨(٤١)=٣٫٠.

عندما يكون 𞸎=٥١، فإن: 󰎨(٥١)=٢٫٠.

إذن 󰎨(٣١)+󰎨(٤١)+󰎨(٥١)=٥٠٫٠+٣٫٠+٢٫٠=٥٥٫٠.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأقل العيادة في ساعة معيَّنة يساوي ٠٫٥٥.

الجزء الثالث

لإيجاد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة، نستخدم جدول التوزيع الاحتمالي مرة أخرى.

مثل الجزء السابق، يمكن أن يأخذ 𞸎 قيمًا متعدِّدة. ولأننا نُوجِد احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة، إذن 𞸎 يمكن أن يكون أيَّ عدد صحيح أصغر من أو يساوي ١٣؛ أي 𞸎٣١. كما رأينا في الجدول، يمكن أن يأخذ 𞹎 القيم الصحيحة من ١٠ إلى ١٥ فقط، وبذلك، فإن 𞸎 يمكن أن يكون ١٠ أو ١١ أو ١٢ أو ١٣.

لإيجاد احتمال 𞸎 يساوي ١٠ أو ١١ أو ١٢ أو ١٣، نُوجِد قيم 󰎨(𞸎) المناظرة في الجدول ثم نجمعها.

عندما يكون 𞸎=٠١، فإن: 󰎨(٠١)=٢٫٠.

عندما يكون 𞸎=١١، فإن: 󰎨(١١)=١٫٠.

عندما يكون 𞸎=٢١، فإن: 󰎨(٢١)=٥١٫٠.

عندما يكون 𞸎=٣١، فإن 󰎨(٣١)=٥٠٫٠.

إذن 󰎨(٠١)+󰎨(١١)+󰎨(٢١)+󰎨(٣١)=٢٫٠+١٫٠+٥١٫٠+٥٠٫٠=٥٫٠.

ومن ثَمَّ، فإن احتمال أن يزور ١٣ مريضًا على الأكثر العيادة في ساعة معيَّنة يساوي ٠٫٥.

في المثال الأخير، سنُحدِّد التوزيع الأنسب للسياق المُعطى.

مثال ٧: اختيار توزيع متغيِّر عشوائي متقطِّع بمعلومية السياق

في تجربة ألقيت فيها عُملة معدنية منتظمة خمس مرات متتالية، افترض أن 𞹎 متغيِّر عشوائي متقطِّع يعبِّر عن عدد مرات الحصول على الصورة ناقص عدد مرات الحصول على الكتابة. أوجد التوزيع الاحتمالي للمتغيِّر 𞹎.

  1. 𞸎𞸓٥٣١١٣٥
    󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٢٣٥٢٣٠١٢٣٠١٢٣٥٢٣١٢٣
  2. 𞸎𞸓٥٣١٠١٣٥
    󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٢٣٥٢٣٩٢٣٢٢٣٩٢٣٥٢٣١٢٣
  3. 𞸎𞸓٣١٠١٣
    󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓٥٢٣٠١٢٣٢٢٣٠١٢٣٥٢٣
  4. 𞸎𞸓٤٣١١٣٤
    󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٢٣٥٢٣٠١٢٣٠١٢٣٥٢٣١٢٣
  5. 𞸎𞸓٥٣١١٣٥
    󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٢٣٠١٢٣٥٢٣٥٢٣٠١٢٣١٢٣

الحل

لإيجاد دالة التوزيع الاحتمالي 󰎨(𞸎) للمتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، نُحدِّد أولًا جميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها 𞹎، ثم نُوجِد الاحتمال، 󰎨(𞸎)، لكل قيمة لـ 𞹎.

يخبرنا السؤال أن عُملة معدنية منتظمة قد ألقيت ٥ مرات، وأن 𞹎 هو المتغيِّر العشوائي المتقطِّع الذي يعبِّر عن عدد مرات الحصول على الصورة ناقص عدد مرات الحصول على الكتابة. إذن القيم الممكنة لـ 𞹎 هي كالآتي:

  • ٥ للصورة، ٠ للكتابة: ٥٠=٥
  • ٤ للصورة، ١ للكتابة: ٤١=٣
  • ٣ للصورة، ٢ للكتابة: ٣٢=١
  • ٢ للصورة، ٣ للكتابة: ٢٣=١
  • ١ للصورة، ٤ للكتابة: ١٤=٣
  • ٠ للصورة، ٥ للكتابة: ٠٥=٥

إذن القيم التي يمكن أن يأخذها 𞹎 هي ٥، ٣، ١، ١، ٣، ٥.

بعد ذلك، نحسب الاحتمال، 󰎨(𞸎)، لكل من قيم 𞹎.

لحساب الاحتمال، من المفيد كتابة النواتج الممكنة لكل متغيِّر عشوائي متقطِّع 𞹎، ثم حساب الاحتمال بعد إيجاد جميع النواتج.

عندما يكون 𞸎=٥، يكون لدينا ٥ للصورة، ٠ للكتابة. من ثمّ، يكون الناتج الوحيد هو: ص ص ص ص ص.

عندما يكون 𞸎=٣، يكون لدينا ٤ للصورة، ١ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ٥ نواتج، وهي: ص ص ص ص ك، ص ص ص ك ص، ص ص ك ص ص، ص ك ص ص ص، ك ص ص ص ص.

عندما يكون 𞸎=١، يكون لدينا ٣ للصورة، ٢ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ١٠ نواتج، وهي: ص ص ص ك ك، ص ص ك ص ك، ص ك ص ص ك، ك ص ص ص ك، ص ص ك ك ص، ص ك ص ك ص، ك ص ص ك ص، ص ك ك ص ص، ك ص ك ص ص، ك ك ص ص ص.

عندما يكون 𞸎=١، يكون لدينا ٢ للصورة، ٣ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ١٠ نواتج، وهي: ص ص ك ك ك، ص ك ص ك ك، ك ص ص ك ك، ص ك ك ص ك، ك ص ك ص ك، ك ك ص ص ك، ص ك ك ك ص، ك ص ك ك ص، ك ك ص ك ص، ك ك ك ص ص.

عندما يكون 𞸎=٣، يكون لدينا ١ للصورة، ٤ للكتابة. من ثمّ، يكون لدينا ٥ نواتج، وهي: ص ك ك ك ك، ك ص ك ك ك، ك ك ص ك ك، ك ك ك ص ك، ك ك ك ك ص.

عندما يكون 𞸎=٥، يكون لدينا ٠ للصورة، ٥ للكتابة. من ثمّ، يكون الناتج الوحيد هو: ك ك ك ك ك.

بجمع كل النواتج معًا، نحصل على ١+٥+٠١+٠١+٥+١=٢٣؛ وبذلك، يكون إجمالي عدد النواتج لدينا هو ٣٢ ناتجًا.

ومن ثَمَّ، لإيجاد احتمال كل ناتج، نقسم عدد نواتج كل متغيِّر عشوائي متقطِّع على إجمالي عدد النواتج، كالآتي:

عندما يكون 𞸎=٥، فإن: 󰎨(٥)=١٢٣.

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=٥٢٣.

عندما يكون 𞸎=١، فإن: 󰎨(١)=٠١٢٣.

عندما يكون 𞸎=١، فإن: 󰎨(١)=٠١٢٣.

عندما يكون 𞸎=٣، فإن: 󰎨(٣)=٥٢٣.

عندما يكون 𞸎=٥، فإن: 󰎨(٥)=١٢٣.

عند عرض هذه القيم في جدول، نحصل على الآتي:

𞸎𞸓٥٣١١٣٥
󰎨󰁓𞸎󰁒𞸓١٢٣٥٢٣٠١٢٣٠١٢٣٥٢٣١٢٣

في هذا الشارح، تعرَّفنا على المتغيِّرات العشوائية المتقطِّعة ودوال التوزيع الاحتمالي لها. سنلخِّص النقاط الرئيسية.

النقاط الرئيسية

  • المتغيِّر العشوائي المتقطِّع هو متغيِّر يمكن أن يأخذ مجموعة من القيم المتقطِّعة، يرتبط كلٌّ منها باحتمال.
  • تربط دالة التوزيع الاحتمالي كل قيمة من قيم المتغيِّر العشوائي المتقطِّع باحتمال مناظر لهذه القيمة.
  • مجموع احتمالات دالة التوزيع الاحتمالي يجب أن يساوي ١، ويجب أن يقع كل احتمال ضمن الفترة [٠،١].
  • يمكن تمثيل دوال التوزيع الاحتمالي بطرق مختلفة تتضمَّن:
    • استخدام جدول.
    • استخدام الصيغة 𞸋(𞹎=𞸎)=𞸋؛ حيث يمثِّل 𞸎 قيمة المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، ويمثِّل 𞸋 الاحتمال المرتبط بهذه القيمة.
    • استخدام الدالة 󰎨(𞸎)؛ حيث يمثِّل 𞸎 قيمة المتغيِّر العشوائي المتقطِّع 𞹎، ويمثِّل 󰎨(𞸎) الاحتمال المرتبط بهذه القيمة.

Téléchargez l’appli Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ou votre classe et accéder à des questions en lien avec la classe. Téléchargez l’appli Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.