Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité de la différence de deux événements.
Nous commençons par rappeler les opérations sur les événements que vous avez apprises jusqu’à présent.
Définition : Complémentaire, intersection et union d’événements
Les opérations sur les événements et sont définies comme suit, la région colorée sur le diagramme de Venn représentant respectivement le résultat de chaque opération.
- Le complémentaire d’un événement est noté et contient les éléments qui n’appartiennent pas à .
- L’intersection des événements et est notée et contient les éléments qui appartiennent à la fois à et .
- L’union des événements et est notée et contient les éléments qui appartiennent à ou ou les deux.
La nouvelle opération que nous introduisons dans cette fiche explicative est la différence de deux événements et comme définie ci-dessous.
Définition : Différence d’événements
La différence de deux événements et est notée et est illustrée par la région colorée dans le diagramme de Venn ci-dessous. Elle contient les éléments qui appartiennent à mais pas à .
En utilisant la compréhension des diagrammes de Venn, on peut calculer la formule de la différence de deux événements.
En considérant l’aire de la région colorée de , elle est équivalente à l’aire de moins l’aire de comme on le voit ci-dessous.
Par conséquent, . Nous pouvons ensuite utiliser cela pour calculer la probabilité de la différence de deux événements.
Formule de la probabilité de la différence de deux événements
La probabilité de la différence de deux événements et est
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de probabilité ci-dessus afin de déterminer la probabilité de la différence de deux événements.
Exemple 1: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements
Soient et deux événements. Sachant que et , déterminez .
Réponse
On rappelle que la formule de la probabilité de la différence de deux événements et est
En substituant et dans la formule ci-dessus, on obtient
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de la probabilité de la différence de deux événements afin de déterminer la probabilité d’un événement connaissant les probabilités de la différence et de l’intersection.
Exemple 2: Déterminer la probabilité d’un événement à partir des probabilités de la différence et de l’intersection de deux événements
Soient et deux événements. Sachant que et , déterminez .
Réponse
La formule de la probabilité de la différence de deux événements et est
En substituant et , on obtient l’équation suivante :
Si on réarrange pour déterminer , on obtient
Par conséquent, .
Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer la probabilité de la différence de deux événements dans un contexte.
Exemple 3: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements dans un contexte
Une bille est tirée au hasard dans un sac contenant 12 billes ayant chacune un numéro unique de 1 à 12. Soit l’événement consistant à tirer un nombre impair et l’événement consistant à tirer un nombre premier. Trouvez .
Réponse
Pour trouver , on utilise la formule de la probabilité de la différence de deux événements et , qui est
Pour ce faire, on doit déterminer et .
Pour trouver , on identifie d’abord l’ensemble . On sait que est l’événement consistant à tirer un nombre impair dans un sac avec des billes numérotées de 1 à 12. Par conséquent, est l’ensemble .
Comme le nombre d’issues dans est 6 et le nombre total d’issues est 12 (car il y a 12 billes dans le sac), la probabilité de est donc
Afin de trouver , on commence par identifier les ensembles , et . On sait que est l’ensemble (comme indiqué ci-dessus). L’ensemble est l’événement de tirer un nombre premier dans un sac avec des billes numérotées de 1 à 12. Par conséquent, est l’ensemble .
On peut voir que , l’intersection de et , est l’ensemble qui contient les éléments appartenant à a fois à et . Dans ce cas, . La probabilité de est
On peut maintenant substituer et dans la formule afin de trouver :
Par conséquent, .
Nous allons ensuite déterminer la probabilité de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre.
Rappelons que si est un sous-ensemble de , alors tous les éléments de appartiennent à et l’intersection de et est , ou . Cela peut être vu dans le diagramme de Venn ci-dessous :
Nous pouvons alors utiliser cela pour déterminer les formules de probabilité de la différence entre deux événements.
Définition : Probabilités de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre
Pour deux événements et , où est un sous-ensemble de , noté , les probabilités de la différence des deux événements sont les suivantes :
- , car ;
- , car .
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements quand un des événements est un sous-ensemble de l’autre.
Exemple 4: Déterminer la probabilité d’un événement à partir de la probabilité de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre
Soient et deux événements. Sachant que , et , déterminez .
Réponse
Pour deux événements et où , on sait que . Pour la différence de deux événements, cela donne
Comme et , on peut former l’équation suivante par substitution
Par conséquent, en réarrangeant pour déterminer on obtient
Par conséquent, .
Nous pouvons utiliser plusieurs formules de probabilité d’opérations sur des événements afin de résoudre des problèmes. Nous allons ensuite considérer deux de ces formules de probabilité : le complémentaire et l’union d’événements. Rappelons ces formules.
Définition : Formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements
- La probabilité du complémentaire d’un événement est
- La probabilité de l’union des événements et est
L’exemple suivant utilise les formules de probabilité de l’union et de la différence de deux événements.
Exemple 5: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements en utilisant la formule de l’union d’événements
Soient et deux événements de probabilité et . Sachant que , déterminez .
Réponse
Comme on cherche à déterminer , on doit utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements suivante :
On ne connaît pas , on doit donc utiliser une autre formule pour la déterminer. Comme on connaît , et , on peut utiliser la formule de la probabilité de l’union de deux événements :
En substituant , et , on obtient une équation avec :
Réarranger pour déterminer donne
Maintenant que l’on a trouvé , on peut le substituer ainsi que dans la formule
En remplaçant, on peut donc déterminer :
Par conséquent, .
L’exemple suivant utilise les formules de probabilité du complémentaire d’un événement, de l’union de deux événements et de la différence de deux événements.
Exemple 6: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements en utilisant les formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements
Soient et des événements dans une expérience aléatoire. Sachant que , et , déterminez .
Réponse
Comme on cherche à déterminer , on doit utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements suivante :
Les événements et sont échangés dans cette formule, on doit donc la reformuler par car .
Comme on connaît , et mais pas ou , on doit utiliser les formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements. On commence par utiliser la formule de la probabilité du complémentaire d’un événement .
On sait que
Pour trouver , on substitue et on détermine :
Ayant déterminé , on peut utiliser la formule de la probabilité de l’union de deux événements pour trouver . La formule est
En substituant , et puis en isolant , on obtient
Maintenant que l’on a trouvé , on peut l’utiliser avec pour trouver . On les substitue dans la formule et on détermine :
Par conséquent, .
Dans cette fiche explicative, nous avons appris la formule de la probabilité de la différence de deux événements et . Nous avons vu des exemples où cette formule était appliquée seule ou avec d’autres formules, telles que celles du complémentaire ou de l’union d’événements.
Points clés
- La différence de deux ensembles et est notée et est représentée sur le diagramme de Venn ci-dessous :
- La formule de la probabilité de la différence de deux événements et est
- Les formules de la probabilité de la différence de deux événements lorsque est un sous-ensemble de sont
- ;
- .
