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Fiche explicative de la leçon : Opérations sur les évènements : différence Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la probabilité de la différence de deux événements.

Nous commençons par rappeler les opérations sur les événements que vous avez apprises jusqu’à présent.

Définition : Complémentaire, intersection et union d’événements

Les opérations sur les événements 𝐴 et 𝐵 sont définies comme suit, la région colorée sur le diagramme de Venn représentant respectivement le résultat de chaque opération.

  • Le complémentaire d’un événement 𝐴 est noté 𝐴 et contient les éléments qui n’appartiennent pas à 𝐴.
  • L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴𝐵 et contient les éléments qui appartiennent à la fois à 𝐴 et 𝐵.
  • L’union des événements 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴𝐵 et contient les éléments qui appartiennent à 𝐴 ou 𝐵 ou les deux.

La nouvelle opération que nous introduisons dans cette fiche explicative est la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 comme définie ci-dessous.

Définition : Différence d’événements

La différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴𝐵 et est illustrée par la région colorée dans le diagramme de Venn ci-dessous. Elle contient les éléments qui appartiennent à 𝐴 mais pas à 𝐵.

En utilisant la compréhension des diagrammes de Venn, on peut calculer la formule de la différence de deux événements.

En considérant l’aire de la région colorée de 𝐴𝐵, elle est équivalente à l’aire de 𝐴 moins l’aire de 𝐴𝐵 comme on le voit ci-dessous.

Par conséquent, 𝐴𝐵=𝐴(𝐴𝐵). Nous pouvons ensuite utiliser cela pour calculer la probabilité de la différence de deux événements.

Formule de la probabilité de la différence de deux événements

La probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de probabilité ci-dessus afin de déterminer la probabilité de la différence de deux événements.

Exemple 1: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que 𝑃(𝐴)=0,3 et 𝑃(𝐴𝐵)=0,03, déterminez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

On rappelle que la formule de la probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

En substituant 𝑃(𝐴)=0,3 et 𝑃(𝐴𝐵)=0,03 dans la formule ci-dessus, on obtient 𝑃(𝐴𝐵)=0,30,03=0,27.

Par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=0,27.

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer la formule de la probabilité de la différence de deux événements afin de déterminer la probabilité d’un événement connaissant les probabilités de la différence et de l’intersection.

Exemple 2: Déterminer la probabilité d’un événement à partir des probabilités de la différence et de l’intersection de deux événements

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que 𝑃(𝐴𝐵)=27 et 𝑃(𝐴𝐵)=16, déterminez 𝑃(𝐴).

Réponse

La formule de la probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

En substituant 𝑃(𝐴𝐵)=27 et 𝑃(𝐴𝐵)=16, on obtient l’équation suivante:27=𝑃(𝐴)16.

Si on réarrange pour déterminer 𝑃(𝐴), on obtient 27+16=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴)=12+742=1942.

Par conséquent, 𝑃(𝐴)=1942.

Dans l’exemple suivant, nous devons déterminer la probabilité de la différence de deux événements dans un contexte.

Exemple 3: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements dans un contexte

Une bille est tirée au hasard dans un sac contenant 12 billes ayant chacune un numéro unique de 1 à 12. Soit 𝐴 l’événement consistant à tirer un nombre impair et 𝐵 l’événement consistant à tirer un nombre premier. Trouvez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Pour trouver 𝑃(𝐴𝐵), on utilise la formule de la probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵, qui est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

Pour ce faire, on doit déterminer 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐴𝐵).

Pour trouver 𝑃(𝐴), on identifie d’abord l’ensemble 𝐴. On sait que 𝐴 est l’événement consistant à tirer un nombre impair dans un sac avec des billes numérotées de 1 à 12. Par conséquent, 𝐴 est l’ensemble {1;3;5;7;9;11}.

Comme le nombre d’issues dans 𝐴 est 6 et le nombre total d’issues est 12 (car il y a 12 billes dans le sac), la probabilité de 𝐴 est donc 𝑃(𝐴)=𝐴=612=12.nombredissuesdansnombretotaldissues

Afin de trouver 𝑃(𝐴𝐵), on commence par identifier les ensembles 𝐴, 𝐵 et 𝐴𝐵. On sait que 𝐴 est l’ensemble {1;3;5;7;9;11} (comme indiqué ci-dessus). L’ensemble 𝐵 est l’événement de tirer un nombre premier dans un sac avec des billes numérotées de 1 à 12. Par conséquent, 𝐵 est l’ensemble {2;3;5;7;11}.

On peut voir que 𝐴𝐵, l’intersection de 𝐴 et 𝐵, est l’ensemble qui contient les éléments appartenant à a fois à 𝐴 et 𝐵. Dans ce cas, 𝐴𝐵={3;5;7;11}. La probabilité de 𝐴𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝐴𝐵=412=13.nombredissuesdansetnombretotaldissues

On peut maintenant substituer 𝑃(𝐴)=12 et 𝑃(𝐴𝐵)=13 dans la formule 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵) afin de trouver 𝑃(𝐴𝐵):𝑃(𝐴𝐵)=1213=326=16.

Par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=16.

Nous allons ensuite déterminer la probabilité de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre.

Rappelons que si 𝐵 est un sous-ensemble de 𝐴, alors tous les éléments de 𝐵 appartiennent à 𝐴 et l’intersection de 𝐴 et 𝐵 est 𝐵, ou 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵). Cela peut être vu dans le diagramme de Venn ci-dessous:

Nous pouvons alors utiliser cela pour déterminer les formules de probabilité de la différence entre deux événements.

Définition : Probabilités de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre

Pour deux événements 𝐴 et 𝐵, 𝐵 est un sous-ensemble de 𝐴, noté 𝐵𝐴, les probabilités de la différence des deux événements sont les suivantes:

  • 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵), car 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵);
  • 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐵)=0, car 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵).

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements quand un des événements est un sous-ensemble de l’autre.

Exemple 4: Déterminer la probabilité d’un événement à partir de la probabilité de la différence de deux événements quand un événement est un sous-ensemble de l’autre

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. Sachant que 𝐵𝐴, 𝑃(𝐵)=49 et 𝑃(𝐴𝐵)=15, déterminez 𝑃(𝐴).

Réponse

Pour deux événements 𝐴 et 𝐵𝐵𝐴, on sait que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵). Pour la différence de deux événements, cela donne 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).

Comme 𝑃(𝐴𝐵)=15 et (𝐴𝐵)=𝑃(𝐵)=49, on peut former l’équation suivante par substitution 15=𝑃(𝐴)49.

Par conséquent, en réarrangeant pour déterminer 𝑃(𝐴) on obtient 𝑃(𝐴)=15+49=9+2045=2945.

Par conséquent, 𝑃(𝐴)=2945.

Nous pouvons utiliser plusieurs formules de probabilité d’opérations sur des événements afin de résoudre des problèmes. Nous allons ensuite considérer deux de ces formules de probabilité:le complémentaire et l’union d’événements. Rappelons ces formules.

Définition : Formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements

  • La probabilité du complémentaire d’un événement 𝐴 est 𝑃(𝐴)=1𝑃(𝐴).
  • La probabilité de l’union des événements 𝐴 et 𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

L’exemple suivant utilise les formules de probabilité de l’union et de la différence de deux événements.

Exemple 5: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements en utilisant la formule de l’union d’événements

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements de probabilité 𝑃(𝐴)=57 et 𝑃(𝐵)=47. Sachant que 𝑃(𝐴𝐵)=67, déterminez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Comme on cherche à déterminer 𝑃(𝐴𝐵), on doit utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements suivante:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

On ne connaît pas 𝑃(𝐴𝐵), on doit donc utiliser une autre formule pour la déterminer. Comme on connaît 𝑃(𝐴𝐵), 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐵), on peut utiliser la formule de la probabilité de l’union de deux événements:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

En substituant 𝑃(𝐴)=57, 𝑃(𝐵)=47 et 𝑃(𝐴𝐵)=67, on obtient une équation avec 𝑃(𝐴𝐵):67=57+47𝑃(𝐴𝐵).

Réarranger pour déterminer 𝑃(𝐴𝐵) donne 𝑃(𝐴𝐵)+67=57+47𝑃(𝐴𝐵)=57+4767=37.

Maintenant que l’on a trouvé 𝑃(𝐴𝐵)=37, on peut le substituer ainsi que 𝑃(𝐴)=57 dans la formule 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

En remplaçant, on peut donc déterminer 𝑃(𝐴𝐵):𝑃(𝐴𝐵)=5737=27.

Par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=27.

L’exemple suivant utilise les formules de probabilité du complémentaire d’un événement, de l’union de deux événements et de la différence de deux événements.

Exemple 6: Déterminer la probabilité de la différence de deux événements en utilisant les formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements

Soient 𝐴 et 𝐵 des événements dans une expérience aléatoire. Sachant que 𝑃(𝐴)=0,71, 𝑃(𝐵)=0,47 et 𝑃(𝐴𝐵)=0,99, déterminez 𝑃(𝐵𝐴).

Réponse

Comme on cherche à déterminer 𝑃(𝐵𝐴), on doit utiliser la formule de la probabilité de la différence de deux événements suivante:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).

Les événements 𝐴 et 𝐵 sont échangés dans cette formule, on doit donc la reformuler par 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵) car 𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐴𝐵).

Comme on connaît 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵) et 𝑃(𝐴𝐵) mais pas 𝑃(𝐴𝐵) ou 𝑃(𝐵), on doit utiliser les formules de probabilité du complémentaire et de l’union d’événements. On commence par utiliser la formule de la probabilité du complémentaire d’un événement 𝑃(𝐵).

On sait que 𝑃(𝐵)=1𝑃(𝐵).

Pour trouver 𝑃(𝐵), on substitue 𝑃(𝐵)=0,47 et on détermine 𝑃(𝐵):0,47=1𝑃(𝐵)0,47+𝑃(𝐵)=1𝑃(𝐵)=10,47𝑃(𝐵)=0,53.

Ayant déterminé 𝑃(𝐵), on peut utiliser la formule de la probabilité de l’union de deux événements pour trouver 𝑃(𝐴𝐵). La formule est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

En substituant 𝑃(𝐴)=0,71, 𝑃(𝐵)=0,53 et 𝑃(𝐴𝐵)=0,99 puis en isolant 𝑃(𝐴𝐵), on obtient 0,99=0,71+0,53𝑃(𝐴𝐵)0,99+𝑃(𝐴𝐵)=0,71+0,53𝑃(𝐴𝐵)=0,71+0,530,99=0,25.

Maintenant que l’on a trouvé 𝑃(𝐴𝐵)=0,25, on peut l’utiliser avec 𝑃(𝐵)=0,53 pour trouver 𝑃(𝐵𝐴). On les substitue dans la formule et on détermine 𝑃(𝐵𝐴):𝑃(𝐵𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵𝐴)=0,530,25=0,28.

Par conséquent, 𝑃(𝐵𝐴)=0,28.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris la formule de la probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵. Nous avons vu des exemples où cette formule était appliquée seule ou avec d’autres formules, telles que celles du complémentaire ou de l’union d’événements.

Points clés

  • La différence de deux ensembles 𝐴 et 𝐵 est notée 𝐴𝐵 et est représentée sur le diagramme de Venn ci-dessous:
  • La formule de la probabilité de la différence de deux événements 𝐴 et 𝐵 est 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵).
  • Les formules de la probabilité de la différence de deux événements lorsque 𝐵 est un sous-ensemble de 𝐴 sont
    • 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵);
    • 𝑃(𝐵𝐴)=0.

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