Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’énergie cinétique d’objets de différentes masses, se déplaçant à différentes vitesses.
L’énergie cinétique (EC) est l’énergie qu’a un objet en conséquence de son mouvement. Cette quantité d’énergie augmente en fonction de la masse et de la vitesse de l’objet, et s’il ne se déplace pas, il n’a pas de EC.
Définition : énergie cinétique
L’équation est où est la masse et est la vitesse..
Voyons à quoi ressemble le calcul de l’énergie cinétique en la déterminant pour une pastèque que l’on projette dans le vide, où la gravité et les frottements ne l’affectent pas. La pastèque a une masse de 10 kg et se déplace vers la droite avec une vitesse constante de 10 m/s.
En insérant la masse et la vitesse dans l’équation pour l’énergie cinétique, nous avons
Notez que toute l’expression est au carré. Cela signifie que le produit des vitesses sera positif quel que soit le signe de la vitesse lorsqu’elle sera élevée au carré. De plus, car les masses négatives n’existent pas, l’énergie cinétique sera toujours positive , ce qui signifie à son tour qu’il s’agit d’une quantité scalaire.
La vitesse étant au carré signifie également qu’elle donnera des mètres carrés par seconde carrée ( m2/s2 ). Cependant, lorsque l’on multiplie cela par des kilogrammes nous avons , qui est l’unité SI de l’énergie : joules. En faisant le calcul (ne pas oublier le facteur de au début), on voit que l’énergie cinétique de cette pastèque est
Nous voyons que tandis la masse et la vitesse augmentent tous les deux l’EC, la vitesse est au carré.. Cela signifie que doubler la masse doublera l’énergie cinétique, mais doubler la vitesse quadruplera l’énergie. Démontrons cela avec d’autres pastèques. Par rapport à la pastèque précédente, celle de gauche a la même vélocité, mais le double de la masse, et celle de droite a la même masse, mais le double de la vitesse.
Comparons l’énergie cinétique de chacune d’elles, en commençant par la plus grande pastèque à gauche. La masse de la plus grande pastèque est de 20 kg et sa vitesse est de 10 m/s. En les mettant dans l’équation, on obtient ce qui devient
Ainsi, la plus grande pastèque a 1 000 J d’énergie cinétique, deux fois plus que la pastèque d’origine 500 J.
Regardons maintenant le plus petit pastèque, celui de droite. Sa masse est de 10 kg et sa vitesse est de 20 m/s. En les mettant dans l’équation, on obtient ce qui devient
La plus petite pastèque a 2 000 J d’énergie cinétique, quatre fois ce qu’a la pastèque d’origine, soit 500 J. Alors regardons un exemple.
Exemple 1: Déterminer l’énergie cinétique en fonction de la masse et de la vitesse
Un objet avec une masse de 1,25 kg a une vitesse de 12 m/s. Quelle est l’énergie cinétique de l’objet ?
Réponse
Regardons à nouveau l’équation pour l’EC :
La masse de l’objet est de 1,25 kg , et la vitesse est de 12 m/s. En les insérant dans l’équation, on obtient ce qui devient par simplification.
N’oubliez pas le facteur de au début lors de la multiplication ! Cet objet a donc une énergie cinétique de 90 J.
Parfois, un problème fournit l’énergie cinétique directement mais recherche une autre variable. Dans ces cas, il devient nécessaire d’utiliser l’algèbre pour isoler la variable. Regardons une autre pastèque, mais cette fois on ne nous donne que sa énergie cinétique et sa vitesse.
Nous sommes ensuite chargés de déterminer sa masse. Il devient nécessaire de manipuler l’équation de l’énergie cinétique, alors regardons comment le faire, en commençant par l’équation de base :
Nous voulons isoler la masse toute seule. On peut commencer par multiplier les deux côtés par 2 pour éliminer le facteur de sur le côté droit : ce qui devient par simplification.
Nous devons ensuite nous débarrasser de sur le côté droit. Nous pouvons faire cela en divisant les deux côtés par comme suit :
A droite, donne 1 , ce qui nous laisse simplement avec :
Maintenant, nous pouvons commencer à insérer nos variables connues dans l’équation pour la résoudre. Nous savons que l’EC est de 800 J et la vitesse est , de sorte que l’équation ressemblera à
Même si la vitesse est négative, comme elle est au carré, le résultat sera positif. La quadrature s’applique également aux unités de vitesse, transformant des m/s en des m2/s2 :
Prenons le produit du facteur 2 et l’énergie cinétique (en les multipliant simplement ensemble en haut) :
Les joules peuvent aussi être exprimés par :
Vu que nous avons des m2/s2 en haut et en bas, ils s’annulent, ne laissant que des kg. On peut alors facilement diviser pour donner
La masse de la pastèque est de 6,25 kg.
Regardons un autre exemple.
Exemple 2: Déterminer la masse en fonction de l’énergie cinétique et de la vitesse
Un objet qui a 9 J d’énergie cinétique se déplace à 3 m/s. Quelle est la masse de l’objet ?
Réponse
Nous cherchons à isoler la masse de l’objet, étant donné son énergie cinétique et sa vitesse. Dans l’exemple ci-dessus, nous avons déjà résolu l’équation de l’énergie cinétique en termes de la masse comme suit :
L’énergie cinétique de l’objet est de 9 J , et la vitesse est de 3 m/s. En les insérant dans l’équation, on obtient
En faisant le calcul, on obtient
Les unités dans lesquelles sont exprimés les joules sont , ce qui signifie que les m2/s2 sur le côté gauche de l’équation s’ annulent par division, laissant derrière des kg. Ainsi, l’équation finale ressemble à
La masse de l’objet est de 2 kg.
D’autres fois, l’énergie cinétique et la masse sont données, mais pas la vitesse. Déterminer la vélocité à partir de l’équation nécessite quelques étapes supplémentaires par rapport à la recherche de la masse, car il y a une racine carrée à prendre en compte.
Vous ne pouvez pas calculer : vous devez calculer seul, ce qui nécessite de prendre une racine carrée pour le simplifier à la forme . Regardons une autre pastèque pour voir comment cela fonctionnerait.
On nous donne l’énergie cinétique de cette pastèque comme étant de, 1 080 J , et sa masse, 15 kg , mais pas sa vélocité. Commençons par écrire à nouveau l’équation pour l’énergie cinétique :
Nous voulons isoler d’un côté de l’équation, donc nous pouvons commencer par nous débarrasser du terme terme sur le côté droit en multipliant les deux côtés par 2 : ce qui devient par simplification.
Diviser les deux côtés par va nous débarrasser de sur le côté droit : ce qui devient
Nous n’avons pas encore fini ! Encore une fois, nous ne pouvons pas simplement prendre comme terme de vélocité, nous devons nous débarrasser du carré. Nous devons prendre la racine carrée des deux côtés :
La racine carrée annule ensuite le carré de , ce qui rend l’équation
Maintenant, nous pouvons insérer nos valeurs pour l’énergie cinétique et la masse dans l’équation pour déterminer la vélocité. L’énergie cinétique de cette pastèque est de 1 080 J et sa masse est de 15 kg :
Prenons le produit du facteur 2 et de l’énergie cinétique. Nous exprimons aussi l’unité des joules , :
La division donne
Cela laisse simplement des m2/s2 :
Lorsque l’on prend la racine carrée, cela élimine également les carrés des unités, nous laissant avec des m/s : l’unité de vitesse :
La vélocité de cette pastèque est ainsi de 12 m/s.
Regardons un autre exemple.
Exemple 3: Déterminer la vitesse en fonction de la masse et de l’énergie cinétique
Un objet a 75 J d’énergie cinétique et une masse de 1,5 kg. Quelle est la vitesse de l’objet ?
Réponse
Comme nous cherchons la vitesse de l’objet, nous devons l’isoler dans l’équation de l’énergie cinétique. Nous l’avons fait dans l’exemple ci-dessus, ce qui a donné l’équation
Cet objet a une énergie cinétique de 75 J et une masse de 1,5 kg. En les mettant dans l’équation, on obtient
Le joules est . Étant donné que toutes les unités d’énergie cinétique et de masse sont sous la racine carrée, le kg peut s’annuler tout en restant dessous, nous laissant simplement avec des m2/s2. Multiplions aussi le facteur 2 à l’intérieur de la racine carrée :
Prendre la racine carrée de m2/s2 donne simplement des m/s : exactement l’unité dans laquelle la doit être exprimée la vitesse.. Ainsi,
La vélocité de l’objet est de 10 m/s.
L’équation de l’énergie cinétique utilise deux termes communs dans les équations cinétiques générales, la vitesse et la masse. Le fait de relier ces termes à d’autres équations ou entre différents objets est courant en physique en raison de la fréquence de ces termes.
Observez les deux pastèques ci-dessous.
Pour la grosse pastèque, on connaît la masse et la vitesse (et on peut donc trouver son énergie cinétique), mais pour la petite pastèque on ne connaît que sa vitesse. Nous avons cependant une autre relation : l’énergie cinétique de la petite pastèque est 3 fois celle du melon.
On peut utiliser cette relation pour trouver l’énergie cinétique et donc la masse de la plus petite pastèque ! Écrivons la relation sous forme d’équation : où est l’énergie cinétique de la grosse pastèque et est l’énergie cinétique de la petite pastèque.
Notez que le fait que la petite pastèque a3 fois l’EC par rapport à la grosse pastèque signifie la même chose que dire que la grosse pastèque a de l’EC de la petite pastèque. On peut aussi écrire l’équation sous la forme
Nous pouvons alors trouver l’énergie cinétique de la grosse pastèque et la mettre dans l’équation qui sera la plus pratique. Voici à quoi ressemblera l’équation d’énergie cinétique distincte :
La masse de la grosse pastèque est de 40 kg et sa vitesse est de 6 m/s. Nous les insérons dans l’équation comme suit :
Multipliant le par 40 kg et en mettant les 6 m/s au carré font de l’équation
En les multipliant, on obtient l’énergie cinétique en joules :
Donc l’énergie cinétique de la pastèque, , est de 720 J. Nous pouvons ensuite remettre cela dans notre première équation ci-dessus comme suit : ce qui devient
Nous connaissons l’énergie cinétique de la petite pastèque, 2 160 J ! Tout ce que nous devons faire maintenant, c’est de calculer sa masse. Son équation d’énergie cinétique est
On multiplie les deux côtés par 2 pour éliminer le facteur de :
Ensuite, on divise les deux côtés par pour enlever le sur le côté droit :
Insérons maintenant nos valeurs pour l’énergie cinétique, 2 160 J et la vélocité, 32 m/s :
Multipliant le facteur 2 et développant l’unité des joules ,
Ensuite, mettre au carré donne
La division fait s’annuler les m2/s2 nous laissant avec des kg. Arrondis à 2 décimales près, cela donne
La petite pastèque a une masse de 4,22 kg.
Regardons un autre exemple.
Exemple 4: Déterminer la vitesse d’une voiture en utilisant l’énergie cinétique comparée
Une moto de masse 250 kg se déplaçant à 32 m/s a quatre fois plus d’énergie cinétique qu’une voiture de masse 640 kg. Quelle est la vitesse de la voiture ?
Réponse
Commençons par écrire une relation entre l’énergie cinétique de la moto et celle de la voiture. Nous savons que la moto a 4 fois l’énergie de la voiture : où est l’énergie cinétique de la moto et est l’énergie cinétique de la voiture.
On peut alors déterminer la valeur de , puisque nous connaissons déjà la masse et la vitesse de la moto :
La masse de la moto, , est de 250 kg et sa vitesse, , est de 32 m/s. Ainsi, ce qui vaut
Maintenant, nous savons que l’énergie cinétique de la moto, , est de 128 000 J. Nous pouvons ensuite relier cela à notre première équation avec l’énergie cinétique de la voiture de sorte que
Regardons maintenant l’énergie cinétique de la voiture :
Cette fois, nous ne connaissons que la masse de la voiture, , qui est de 640 kg , mais pas la vitesse, . Insérons la masse dans l’équation et simplifions autant que possible :
Maintenant, nous pouvons remettre cette équation de l’énergie cinétique dans l’équation ci-dessus :
Multipliant les 320 kg par 4, nous avons
On peut alors isoler en divisant les deux côtés par 1 280 kg. Développons également l’unité des joules afin que nous puissions voir ce qui s’annule lors des prochaines étapes :
Les masses à droite s’annulent, et les kg à gauche s’annulent aussi, nous laissant avec
Maintenant, tout ce que nous avons à faire est de supprimer le carré de en prenant la racine carrée des deux côtés : ce qui pet être simplifié pour donner
Ainsi, la vitesse de la voiture est de 10 m/s.
Bien qu’elle ait moins que la moitié de la masse, il suffit que la moto roule à un peu plus de trois fois la vitesse de la voiture pour avoir quatre fois l’énergie cinétique de la voiture. Cela montre une fois encore l’influence que le terme de vitesse vélocité au carré a sur l’énergie cinétique par rapport à la masse.
Puisque l’énergie cinétique est une fonction de la vitesse, elle peut être liée à d’autres équations cinétiques telles que celles qui utilisent le temps ou l’accélération.
Regardons un exemple.
Exemple 5: La relation entre la distance et l’énergie cinétique
Un corps commence à se déplacer depuis son repos avec une accélération constante. Laquelle des expressions suivantes indique la relation entre la distance ( ) parcouru par le corps et son énergie cinétique (EC) ?
Réponse
Les graphiques présentés sont en termes de distance et d’énergie cinétique, observons donc la relation entre la distance et l’EC.
Le corps décrit dans ce problème a une accélération constante, ce qui signifie que sa vitesse augmente constamment. Lorsque la vitesse augmente, l’EC augmente à un taux exponentiel, en raison de la relation :
Maintenant, regardons l’équation complète pour la distance quand un objet accélère : où est la position initiale, est la vélocité initiale, est le temps, et est l’accélération.
La position initiale vaut 0, ce qui permet de l’éliminer de l’équation. De même, la vitesse initiale de l’objet est égale à 0, car il commence au repos. Cela fait que l’équation de distance se simplifie à
Maintenant, nous voyons que les deux EC et dépendent de relations au carré : la ressemblance des équations entre elles est apparente. Alors que augmente, la distance selon un carré. Alors que augmente, l’EC augmente selon un carré.
L’augmentation de dépend de l’augmentation de , et donc ni l’EC ni n’augmente plus vite que l’autre. En regardant A, augmente plus vite que l’EC, donc ça ne peut pas être celui-ci.
En regardant C, l’EC reste constante lorsque la distance augmente. Cela ne peut pas être vrai, car l’objet se déplaçant avec une accélération constante, il doit donc avoir une vélocité croissante, ce qui signifie que son énergie cinétique augmente de manière constante.
En regardant D, l’EC augmente beaucoup plus vite que . L’énergie cinétique d’un objet ne peut pas augmenter proportionnellement plus vite que la distance, car ils dépendent tous les deux de la vitesse de la même manière.
La bonne réponse est alors B, avec EC et augmentant régulièrement l’un par rapport à l’autre.
Points clés
- La formule de l’énergie cinétique est .
- L’énergie cinétique est due au mouvement et est une quantité scalaire.
- En doublant la masse, on double l’EC, et en doublant la vitesse on quadruple l’EC.
