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Fiche explicative de la leçon : Loi normale Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la loi normale pour calculer des probabilités et déterminer des variables et paramètres inconnus.

Pour des variables concrètes comme le poids des nouveau-nés ou le salaire des employés d’une grande entreprise, on s’attend à ce qu’elles aient une loi de probabilité symétrique et concentrée près de la moyenne. Par exemple, l’histogramme ci-dessous montre un ensemble de données symétriques et concentrées près de la moyenne.

Lorsqu’un ensemble de données est symétrique et concentré près de la moyenne, on dit qu’il suit une loi normale. Pour des séries de données suivant une loi normale, la règle des 3 sigmas (également appelée règle 689599,7) donne des estimations utiles.

Théorème : Règle des 3 sigmas

Si un ensemble de données suit une loi normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 𝜎, alors

  • environ 68% des données se situent à ±𝜎 de 𝜇;
  • environ 95% des données se situent à ±2𝜎 de 𝜇;
  • environ 99,7% des données se situent à ±3𝜎 de 𝜇.

Comme les séries de données, la représentation graphique de la fonction de densité d’une variable aléatoire continue qui suit une loi normale est symétrique et concentrée près de la moyenne. Si 𝑋 est une variable aléatoire normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 𝜎, on pose 𝑋𝑁𝜇;𝜎. On précise que le second paramètre noté 𝜎 représente la variance plutôt que l’écart-type.

La forme de la représentation graphique de la fonction de densité d’une variable aléatoire normale est appelée courbe en cloche. L’aire totale sous la courbe en cloche est égale à 1 ou 100% et la règle 689599,7 s’applique également à l’aire sous la courbe comme illustré ci-dessous.

Étudions quelques exemples de la règle des 3 sigmas.

Exemple 1: Estimer l’aire sous la courbe de densité d’une loi normale

Pour la loi normale ci-dessous, quel est le pourcentage approximatif de points de données dans la région colorée?

Réponse

On rappelle la règle 689599,7:

  • environ 68% des données se situent à ±𝜎 de 𝜇;
  • environ 95% des données se situent à ±2𝜎 de 𝜇;
  • environ 99,7% des données se situent à ±3𝜎 de 𝜇.

La région colorée se situe entre 𝜎 et 𝜇, elle est donc exactement égale à la moitié de l’aire à ±𝜎 de 𝜇. Comme on sait qu’environ 68% des données devraient se situer à ±𝜎 de 𝜇, environ la moitié de ces données doivent se situer entre 𝜎 et 𝜇.

Environ 34% des données se situent dans la région colorée.

Exemple 2: Estimer l’aire sous la courbe de densité d’une loi normale

Pour un ensemble de données suivant une loi normale de moyenne 32,1 et d’écart-type 2,8, entre quelles valeurs estimez-vous que 95% des données se situent?

Réponse

On rappelle la règle 689599,7

  • environ 68% des données se situent à ±𝜎 de 𝜇;
  • environ 95% des données se situent à ±2𝜎 de 𝜇;
  • environ 99,7% des données se situent à ±3𝜎 de 𝜇.

Environ 95% des données suivant une loi normale se situent à 2𝜎 de 𝜇.

La borne inférieure de 2𝜎 à partir de 𝜇 est 𝜇2𝜎=32,122,8=26,5.

La borne supérieure de 2𝜎 à partir de 𝜇 est 𝜇+2𝜎=32,1+22,8=37,7.

On s’attend donc à ce que 95% des données se situent entre 26,5 et 37,7.

Pour des variables aléatoires normales, on peut utiliser la table de la loi normale centrée réduite pour calculer la probabilité d’un événement donné. Cette approche permet de calculer les probabilités d’événements plus généraux par rapport à l’approche par la règle des 3 sigmas.

La table de la loi normale centrée réduite donne les valeurs de la probabilité de la variable aléatoire normale centrée réduite. La variable normale centrée réduite est une variable aléatoire continue de moyenne 𝜇=0 et d’écart-type 𝜎=1. On désigne cette variable par 𝑍. On note donc 𝑍𝑁0;1.

Les tables de la loi normale centrée réduite (également appelées tables de 𝑍) sont utilisées pour obtenir des probabilités de la variable normale centrée réduite 𝑍. On doit d’abord comprendre quel type de probabilités la table de 𝑍 fournit. La table peut donner des probabilités sous la forme 𝑃(0𝑍𝑧) ou sous la forme 𝑃(𝑍𝑧). Si la valeur de la probabilité pour z égal à 0,00 est égale à 0,5, alors la table est du deuxième type (c.à.d. 𝑃(𝑍𝑧)). Si la valeur de probabilité pour z égal à 0,00 est égale à 0, alors la table est du premier type (c.à.d 𝑃(0𝑍𝑧)). La différence entre ces deux tables est indiquée dans les figures ci-dessous.

On suppose que l’on souhaite calculer 𝑃(𝑍0,54) en utilisant la table 𝑃(𝑍𝑧). On doit localiser la borne supérieure 0,54 en trouvant 0,5 sur la colonne de gauche et 0,04 sur la ligne du haut.

Cela donne la valeur 0,7054 qui est égale à la probabilité 𝑃(𝑍0,54).

En revanche, lorsque l’on utilise la table 𝑃(0𝑍𝑧), on doit d’abord diviser la région en {𝑍<0} et {0𝑍0,54}, comme indiqué sur les figures ci-dessous.

On rappelle ensuite que 𝑃(𝑍<0)=0,5 et que 𝑃(0𝑍0,54) peut être localisé sur la table comme indiqué ci-dessous.

Donc, 𝑃(0𝑍0,54)=0,2054. En les additionnant, on obtient 𝑃(𝑍0,54)=𝑃(𝑍<0)+𝑃(0𝑍0,54)=0,5+0,2054=0,7054, qui est la même valeur que l’on avait obtenue en utilisant l’autre table de 𝑍. En général, on peut utiliser l’une ou l’autre table de 𝑍 pour déterminer des probabilités de la variable normale centrée réduite 𝑍. Dans la suite de cette fiche explicative, on utilisera la table de 𝑍 représentant les probabilités sous la forme 𝑃(0𝑍𝑧).

Parfois, la borne supérieure contient une inconnue, auquel cas, la probabilité est fournie. Par exemple, pour trouver 𝑧 qui satisfait 𝑃(0𝑍𝑧)=0,2673, on commence par localiser 0,2673 dans la table de la loi normale centrée réduite et on recherche les valeurs sur les côtés donnant 𝑧.

On utilise cette méthode pour identifier que 𝑧=0,73. Cela signifie que 𝑃(0𝑍0,73)=0,2673, 𝑍𝑁0;1.

Comme 𝑍 est une variable aléatoire continue, on se souvient que 𝑃(𝑍=𝑧)=0 pour toute valeur de 𝑧. L’inégalité large et l’inégalité stricte < sont donc interchangeables. Par exemple, 𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍=𝑧)+𝑃(𝑍<𝑧)=0+𝑃(𝑍<𝑧)=𝑃(𝑍<𝑧).

Lorsque l’on travaille sur les probabilités d’une loi normale, on utilise généralement par défaut la notation d’inégalité large. On doit garder à l’esprit qu’elle est équivalente à l’inégalité stricte.

On a observé ci-dessus que 𝑃(𝑍0)=0,5. Par symétrie de la courbe en cloche, on a aussi 𝑃(𝑍0)=0,5.

La symétrie de la loi normale joue un rôle important lors du calcul des probabilités impliquant des valeurs négatives. Si un événement inclut des valeurs négatives, on le divise d’abord en deux parties, positive et négative. Ensuite, en utilisant la courbe en cloche, on peut identifier un événement positif qui a la même probabilité que la partie négative. Cette opération est représentée par les étapes ci-dessous.

Les figures ci-dessus donnent l’équation 𝑃(𝑎𝑍𝑏)=𝑃(𝑎𝑍0)+𝑃(0𝑍𝑏)=𝑃(0𝑍|𝑎|)+𝑃(0𝑍𝑏), où les deux probabilités de la dernière ligne peuvent être obtenues en utilisant la table de la loi normale centrée réduite. Il est souvent utile de penser à ces étapes avant d’écrire les équations correspondantes.

Les opérations sur les ensembles sont un bon outil du calcul de probabilités. Pour calculer 𝑃(𝑍1), on observe les graphiques suivants.

On peut donc obtenir l’aire sur l’intervalle {𝑍1} en soustrayant l’aire sur l’intervalle {0𝑍1} à l’aire sur {𝑍0}. Cela donne 𝑃(𝑍1)=𝑃(𝑍0)𝑃(0𝑍1).

On sait que 𝑃(𝑍0)=0,5 et 𝑃(0𝑍1)=0,3413 peut être trouvé dans la table de la loi normale centrée réduite. On obtient 𝑃(𝑍1)=0,50,3413=0,1587.

Étudions un exemple sur les probabilités de la loi normale centrée réduite.

Exemple 3: Calculer la probabilité d’un intervalle de longueur finie pour une variable aléatoire normale centrée réduite

Soit 𝑍 une variable aléatoire normale centrée réduite. Calculez 𝑃(0,54𝑍2,33).

Réponse

On remarque que l’intervalle donné pour 𝑍 inclut des valeurs négatives. On commence par se rappeler le processus en utilisant les figures ci-dessous.

En équation, cela donne 𝑃(0,54𝑍2,33)=𝑃(0,54𝑍0)+𝑃(0𝑍2,33)=𝑃(0𝑍0,54)+𝑃(0𝑍2,33).

On peut maintenant trouver les deux probabilités de la dernière ligne en utilisant la table de la loi normale centrée réduite.

D’après la figure ci-dessus, on obtient 𝑃(0𝑍0,54)=0,2054 et 𝑃(0𝑍2,33)=0,4901. En calculant la somme des probabilités, on obtient 𝑃(0,54𝑍2,33)=0,2054+0,4901=0,6955.

Par conséquent, la probabilité 𝑃(0,54𝑍2,33) est égale à 0,6955.

Pour calculer les probabilités de variables normales générales (c’est-à-dire celles qui ne sont pas encore sous la forme 𝑍𝑁0;1), nous devons d’abord les transformer en variables normales centrées réduites 𝑍. Ce processus est connu sous le nom de standardisation de la loi normale. Si 𝑋 est une variable aléatoire normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 𝜎, alors 𝑍=𝑋𝜇𝜎 est la variable aléatoire normale centrée réduite de moyenne 0 et d’écart-type 1.

Comment standardiser une loi normale pour calculer une probabilité

Soit 𝑋 une variable aléatoire normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 𝜎. Pour calculer la probabilité 𝑃(𝑎𝑋𝑏), on doit

  1. soustraire 𝜇 à tous les termes:𝑃(𝑎𝜇𝑋𝜇𝑏𝜇);
  2. diviser tous les termes par 𝜎:𝑃𝑎𝜇𝜎𝑋𝜇𝜎𝑏𝜇𝜎;
  3. remplacer l’expression centrale par 𝑍𝑃𝑎𝜇𝜎𝑍𝑏𝜇𝜎;
  4. utiliser la table de la loi normale centrée réduite pour obtenir la probabilité impliquant 𝑍.

On donne ci-dessous une brève justification de cette transformation.

Si 𝑋 suit une loi normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 𝜎, alors 𝐸(𝑍)=𝐸𝑋𝜇𝜎.

Par linéarité de l’espérance, le membre droit est donc égal à 1𝜎𝐸(𝑋)𝜇𝜎, qui est égal à zéro car 𝐸(𝑋)=𝜇. Donc, comme indiqué plus tôt, 𝐸(𝑍)=0. On se penche maintenant sur l’écart-type VarVarVarVar(𝑍)=𝑋𝜇𝜎=1𝜎(𝑋𝜇)=1𝜎(𝑋), qui est égal à 1 car Var(𝑋)=𝜎. L’écart-type de 𝑍 est donc égal à (𝑍)=1Var. Enfin, on remarque que la normalité de 𝑍 est héritée de la normalité de 𝑋 car la transformation 𝑍=𝑋𝜇𝜎 est linéaire. En conclusion, la variable 𝑍 suit une loi normale de moyenne 0 et d’écart-type 1.

Étudions quelques exemples pour nous familiariser avec différents contextes.

Exemple 4: Déterminer la probabilité d’une loi normale à partir de sa moyenne et de sa variance

Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne de 63 et de variance 144. Déterminez 𝑃(37,56𝑋57,36).

Réponse

On commence par standardiser la loi normale. On rappelle que si 𝑋𝑁𝜇;𝜎, alors 𝑍=𝑋𝜇𝜎 est la variable normale centrée réduite 𝑍𝑁0;1.

On a 𝑋𝑁(63;144). On rappelle que l’écart-type est égal à la racine carrée positive de la variance, donc 𝜎=144=12.

En soustrayant 𝜇=63 à chaque terme de l’inégalité, on obtient 𝑃(37,56𝑋57,36)=𝑃(25,44𝑋𝜇5,64).

On divise ensuite chaque membre par 𝜎=12 et on remplace 𝑋𝜇𝜎 par 𝑍, ce qui donne 𝑃25,4412𝑋𝜇𝜎5,6412=𝑃(2,12𝑍0,47).

Comme 𝑍 inclut des valeurs négatives, on utilise la symétrie de la courbe en cloche pour identifier une région positive équivalente.

On doit donc calculer 𝑃(0,47𝑍2,12). En utilisant la courbe en cloche, on remarque que 𝑃(0,47𝑍2,12)=𝑃(0𝑍2,12)𝑃(0𝑍0,47).

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on obtient 𝑃(0𝑍2,12)=0,4830 et 𝑃(0𝑍0,47)=0,1808. Puis 𝑃(0,47𝑍2,12)=0,48300,1808=0,3022.

Donc, 𝑃(37,56𝑋57,36)=0,3022.

Exemple 5: Déterminer la probabilité d’une loi normale à partir de sa moyenne et de son écart-type

Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 68 et d’écart-type 3. Déterminez 𝑃(𝑋61,7).

Réponse

On commence par standardiser la loi normale. On se souvient que si 𝑋𝑁𝜇;𝜎, alors 𝑍=𝑋𝜇𝜎 est la variable normale centrée réduite. On a 𝑋𝑁68;3.

On soustrait d’abord 𝜇=68 à chaque terme de l’inégalité, puis on divise chaque terme par 𝜎=3, ce qui donne 𝑃(𝑋61,7)=𝑃(𝑋𝜇6,3)=𝑃𝑋𝜇𝜎2,1.

On rappelle que la variable aléatoire normale standardisée 𝑋𝜇𝜎 peut être remplacée par la variable aléatoire normale centrée réduite 𝑍. La probabilité ci-dessus est donc égale à 𝑃(𝑍2,1).

On trace la courbe en cloche pour déterminer cette probabilité.

Cela donne 𝑃(𝑍2,1)=𝑃(2,1𝑍0)+𝑃(𝑍0)=𝑃(0𝑍2,1)+0,5.

En utilisant la table de la loi normale centrée réduite, on obtient 𝑃(0𝑍2,1)=0,4821, donc 𝑃(𝑍2,1)=0,4821+0,5=0,9821.

Par conséquent, 𝑃(𝑋61,7) est égale à 0,9821.

Dans nos deux derniers exemples, nous allons montrer comment utiliser la probabilité pour calculer des valeurs inconnues.

Exemple 6: Utiliser la probabilité d’une loi normale pour évaluer une inconnue

Soit 𝑋 une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne 𝜇=75 et d’écart-type 𝜎=6. Sachant que 𝑃(𝑋𝑘)=0,9938, déterminez 𝑘.

Réponse

On sait que 𝑋𝑁75;6 et que 𝑃(𝑋𝑘)=0,9938. Si on standardise la loi normale, on obtient 𝑃(𝑋𝑘)=𝑃(𝑋𝜇𝑘75)=𝑃𝑋𝜇𝜎𝑘756=𝑃𝑍𝑘756.

Si on définit 𝑧=𝑘756, alors on doit trouver 𝑧 qui satisfait 𝑃(𝑍𝑧)=0,9938. Comme 0,9938 est supérieur à 0,5, 𝑧 doit être négatif.

En utilisant l’illustration ci-dessus, on obtient l’équation suivante:𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍0)+𝑃(0𝑍𝑧).

Comme on sait que 𝑃(𝑍𝑧)=0,9938 et 𝑃(𝑍0)=0,5, on obtient 0,9938=0,5+𝑃(0𝑍𝑧)𝑃(0𝑍𝑧)=0,4938.

D’après la table de la loi normale centrée réduite, on obtient 𝑃(0𝑍2,50)=0,4938. Donc, 𝑧=2,5, ou, de manière équivalente, 𝑧=2,5.

On rappelle que l’on a défini 𝑧=𝑘756, donc 𝑘756=2,5𝑘75=15.

Résoudre cette équation pour déterminer 𝑘 donne 𝑘=60.

Exemple 7: Calculer la moyenne d’une variable aléatoire normale

On suppose que 𝑋 suit une loi normale de moyenne 𝜇 et de variance 196. Sachant que 𝑃(𝑋40)=0,0668, déterminez la valeur de 𝜇.

Réponse

On note que la moyenne 𝜇 est un paramètre inconnu. Comme 𝑋 suit une loi normale de moyenne 𝜇 et de variance 196, on peut écrire 𝑋𝑁(𝜇;196). On rappelle que l’écart-type est la racine carrée de la variance, donc 𝜎=196=14. En standardisant la loi normale avec ces valeurs, on trouve 𝑃(𝑋40)=𝑃(𝑋𝜇40𝜇)=𝑃𝑋𝜇𝜎40𝜇14=𝑃𝑍40𝜇14.

On commence par définir 𝑧=40𝜇14. Donc, 𝑧 satisfait 𝑃(𝑍𝑧)=0,0668. Comme 0,0668 est inférieur à 0,5, 𝑧 doit être négatif. En utilisant la symétrie de la courbe en cloche, on en déduit l’équation suivante:𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍𝑧)=𝑃(𝑍0)𝑃(0𝑍𝑧).

On sait que 𝑃(𝑍𝑧)=0,0668 et 𝑃(𝑍0)=0,5. Donc, 0,0668=0,5𝑃(0𝑍𝑧)𝑃(0𝑍𝑧)=0,4332.

À partir de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve 𝑃(0𝑍1,50)=0,4332 donc 𝑧=1,5. Comme on a défini 𝑧=40𝜇14, on a 40𝜇14=1,540𝜇=21. Résoudre cette équation pour déterminer 𝜇 donne 𝜇=61.

Points clés

  • La règle des 3 sigmas stipule que si 𝑋𝑁𝜇;𝜎, alors
    • environ 68% des données se situent à ±𝜎 de 𝜇;
    • environ 95% des données se situent à ±2𝜎 de 𝜇;
    • environ 99,7% des données se situent à ±3𝜎 de 𝜇.
  • La variable normale centrée réduite est notée 𝑍𝑁0;1.
  • Par symétrie, 𝑃(𝑍0)=0,5 et 𝑃(𝑍0)=0,5.
  • Une table de la loi normale centrée réduite peut présenter des probabilités sous la forme 𝑃(0𝑍𝑧) ou sous la forme 𝑃(𝑍𝑧).
  • Si l’intervalle des valeurs de 𝑍 inclut des valeurs négatives et positives, alors on divise l’événement en deux parties positive et négative.
  • On trace la courbe en cloche et on utilise sa symétrie pour calculer les probabilités qui ne sont pas sous la forme 𝑃(0𝑍𝑧).
  • Si 𝑋𝑁𝜇;𝜎, alors on commence par standardiser la loi en définissant 𝑍=𝑋𝜇𝜎.

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