Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment représenter une relation à l'aide d'un diagramme ou d'un graphique, en connaissant les valeurs d'entrée et les valeurs de sortie d'une relation donnée.
La théorie des ensembles est une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’étude de collections, appelées ensembles, d’objets appelés éléments de cet ensemble. Un outil important utilisé dans cette théorie est la notion de relation. Commençons par définir la signification de ce terme.
Définition : Relation
Une relation est une propriété qui associe les éléments d’un ensemble aux éléments d’un autre. Les relations peuvent être représentées par des diagrammes sagittaux, des couples, des tableaux de valeurs, des équations ou des graphiques.
Pour simplifier, une relation associe une ou plusieurs valeurs de sortie à chaque valeur d’entrée. Par exemple, on considère la collection suivante : des élèves dans une école. Il existe par exemple une relation entre chaque élève et le nombre de sœurs qu’il a. Si l’élève A a 1 sœur, l’élève B a 3 sœurs, l’élève C a 0 sœur et l’élève D a 1 sœur, ces informations peuvent être représentées par une liste de couples comme suit : et par un diagramme sagittal comme suit :
On peut voir que les éléments de l’ensemble de départ sont situés à gauche de la relation tandis que les éléments de l’ensemble d’arrivée sont situés à droite.
Dans le premier exemple, nous allons montrer comment former des couples afin de représenter une relation à l’aide d’un tableau de valeurs.
Exemple 1: Représenter des informations sous la forme d’un ensemble de couples
Au basketball, chaque panier marqué depuis l’extérieur de la ligne des 3 points vaut 3 points. Le tableau montre cette relation. Représentez ces informations sous la forme de couples (nombre de paniers à 3 points marqués ; nombre total de points).
Réponse
On rappelle qu’une relation associe des valeurs de sortie à chaque valeur d’entrée. Cela signifie que le tableau ci-dessus représente une relation : il associe à la valeur d’entrée, le nombre de paniers à 3 points marqués, une valeur de sortie, le nombre total de points.
Par conséquent, les informations dans le tableau peuvent être représentées comme un groupe de couples, où la première valeur de chaque couple est la valeur d’entrée et la deuxième valeur est la valeur de sortie. Commençons par regarder la première colonne.
Le nombre de paniers marqués est 0 et le nombre total de points est 0. Le couple est .
De même, en observant la deuxième colonne, on voit que lorsque le nombre de paniers marqués est 1, le nombre total de points est 3.
Le deuxième couple est .
En répétant ce processus pour les deux dernières colonnes, on voit que lorsque le nombre de paniers marqués est 2, le nombre total de points est 6, et lorsque le nombre de paniers marqués est 3, le nombre total de points est 9.
Les couples correspondants sont et .
Par conséquent, les couples sont , , et .
Dans cet exemple, on a vu comment représenter une relation à l’aide d’une liste de couples. On peut également noter que l’on aurait pu décrire la relation par une phrase. Le nombre total de points est obtenu en multipliant par 3 le nombre de paniers à 3 points marqués :
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment former une liste de couples à l’aide d’un diagramme sagittal.
Exemple 2: Écrire les couples correspondants à une relation représentée par un diagramme sagittal
Écrivez la relation du diagramme sagittal correspondant au schéma suivant :
Réponse
Le schéma ci-dessus représente un diagramme sagittal. Il relie les éléments d’un ensemble de départ, , aux éléments d’un ensemble d’arrivée, . On peut définir la relation représentée par ce diagramme sagittal en l’écrivant comme une liste de couples dans un ensemble, .
La première valeur d’entrée est 6, et la flèche indique comme valeur de sortie, 8. Le premier couple est donc . De même, la deuxième valeur d’entrée, 10, a une flèche qui la relie à la valeur 12, le deuxième couple est donc . La troisième valeur d’entrée, 11, a une flèche la reliant à la valeur de sortie 13, le troisième couple est donc . Comme la dernière valeur n’a pas de valeur d’entrée correspondante, on ne l’inclut pas dans un couple.
Par conséquent,
Nous avons vu un type de diagramme, le diagramme sagittal. Il existe plusieurs manières de représenter des relations à l’aide de diagrammes de correspondance, comme utiliser des flèches sur une droite numérique. Nous allons en voir un exemple dans la question suivante.
Exemple 3: Écrire les couples correspondants à une relation représentée dans un diagramme sagittal
Laquelle des relations suivantes correspond à la relation illustrée sur la figure ci-dessous ?
Réponse
Afin de représenter un diagramme de correspondance sous forme de liste de couples, on doit examiner toutes les valeurs d’entrée possibles de la relation et suivre la flèche vers la valeur de sortie correspondante. Chaque couple aura ensuite la forme générale
On procède de gauche à droite. La première flèche part de et pointe vers 18. Par conséquent, la valeur d’entrée est , la valeur de sortie est 18 et le couple correspondant est donc .
La valeur d’entrée suivante est et la flèche pointe vers la valeur de sortie correspondante 9. Cela signifie que le couple est .
La relation suivante semble un peu étrange, mais on la traite de la même manière.
La valeur d’entrée est 0 et la valeur de sortie est 0. Le couple est .
De la même manière, les deux derniers couples sont et .
Par conséquent, la réponse correcte est la réponse A, .
Il est assez intuitif que si nous pouvons représenter une relation en utilisant une liste de couples, nous pouvons également représenter une relation à l’aide d’un repère cartésien. Montrons cela dans le prochain exemple.
Exemple 4: Écrire les couples correspondants à une relation représentée dans un repère cartésien.
Écrivez la relation représentée dans le graphique suivant.
Réponse
On rappelle que l’on peut représenter un diagramme de correspondance sous la forme d’une liste de couples sous la forme générale
Pour des points sur un repère cartésien, les couples sont alors de la forme
On peut donc écrire la relation du graphique ci-dessus en déterminant d’abord le couple pour chaque point.
En travaillant de gauche à droite et en lisant l’abscisse en premier, on voit que le premier couple est .
De même, le deuxième couple est .
Les trois derniers couples sont enfin , et .
Par conséquent, la relation est donnée par .
Nous avons déjà montré qu’une relation peut être représentée de plusieurs façons, y compris algébriquement. Dans le prochain exemple, nous allons voir comment écrire une équation pour décrire une relation représentée sous la forme d’un diagramme sagittal.
Exemple 5: Écrire une équation à partir d’un diagramme sagittal
Sachant que est une relation de vers , où et , laquelle des équations suivantes décrit correctement la relation ?
Réponse
Le diagramme sagittal ci-dessus prend les valeurs d’entrée dans l’ensemble et les associe aux valeurs de sortie de l’ensemble . Par exemple, la valeur d’entrée donne une valeur de sortie 0, tandis que la valeur d’entrée 4 donne la valeur de sortie 10.
Afin de trouver l’équation correcte qui représente la relation , on substitue ces valeurs dans chaque équation. Attention : on a et , donc est la valeur d’entrée (ou la variable indépendante) et est la valeur de sortie (ou la variable dépendante).
On commence par l’équation . Soit :
Comme la valeur d’entrée donne la valeur de sortie 0, cette équation vérifie le premier couple de valeurs du diagramme. On répète ce processus avec :
Comme la valeur d’entrée 4 correspond à la valeur de sortie de 10, cette équation n’est pas satisfaite pour tous les couples de notre diagramme.
Essayons l’équation suivante, . Quand ,
Cette équation ne représente pas la relation décrite dans le diagramme, ce n’est donc pas la bonne.
On essaie maintenant l’équation en donnant les résultats dans un tableau.
| 4 | 5 | ||
Comme chaque couple de valeur d’entrée et de valeur de sortie correspond au diagramme sagittal, il s’agit de la bonne équation. Il est à noter que comme est la valeur d’entrée et non la valeur de sortie, on néglige les deux options restantes.
La réponse correcte est la C, .
Dans cet exemple, on a montré comment relier un diagramme sagittal et une formule algébrique. On peut aussi utiliser une formule algébrique pour déterminer les éléments d’un ensemble. Par exemple, on considère la relation de vers , , pour tous et . Cette relation prend des éléments de l’ensemble et génère des éléments dans l’ensemble . On suppose que . On détermine alors le premier élément de l’ensemble en substituant dans l’équation :
On trouve le deuxième élément en substituant dans la même équation :
Enfin, on trouve le troisième élément en substituant :
Par conséquent, les éléments de l’ensemble sont , 8 et 11 : .
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment utiliser la notion de relation pour résoudre des problèmes étant donnée une formule.
Exemple 6: Identifier tous les couples pour une relation donnée
Sachant que et que est une relation sur , où signifie que est un nombre pair pour tous et , déterminez cette relation, .
Réponse
Dans cet exemple, on a une formule qui associe les éléments de l’ensemble à d’autres éléments du même ensemble. La formule indique que la relation est constituée de valeurs et de l’ensemble pour lesquelles est pair.
On peut donc trouver les couples de cette relation en choisissant les valeurs de et dans l’ensemble donné et en les substituant dans l’équation . En fait, on peut également utiliser les propriétés des nombres impairs et pairs pour en déduire cette relation.
On commence par . Comme est un entier choisi parmi , l’expression sera toujours paire. La valeur est paire, et la somme de deux nombres pairs est paire. Par conséquent, sera toujours pair pour .
Les couples qui satisfont à cette relation sont , et .
On définit maintenant . La valeur est impaire et la somme d’un nombre impair et d’un nombre pair est impaire. Par conséquent, est impair quand et il n’y a pas de couple qui vérifie la relation avec une valeur d’entrée égale à 1.
On définit enfin . Comme dans le cas précédent, cette valeur est impaire, ce qui signifie que est impair si et il n’y a pas de couple qui vérifie la relation avec une valeur d’entrée égale à 3.
La relation est .
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons un processus similaire pour trouver des inconnues dans un ensemble lorsque la règle d'une relation est donnée.
Exemple 7: Trouver des inconnues dans une relation sur des paires entre deux ensembles compte tenu de sa règle
La relation est définie sur les nombres réels positifs par , si et seulement si . Déterminez les valeurs de , , et , étant donné que , , , et appartiennent à .
Réponse
Dans cet exemple, on nous a donné une règle qui lie deux ensembles dont les éléments respectifs sont et . La règle nous dit que les éléments de chaque ensemble qui forment les couples donnés et appartiennent à la relation satisfont à l'équation . Dans cet exemple, , , , et appartiennent à la relation . Par conséquent, étant donné un élément dans chaque ensemble, nous pouvons établir l'élément correspondant dans l'autre ensemble en substituant cette valeur dans cette équation et en résolvant l'inconnue.
Commençons par le couple . Puisque la forme générale d'un couple est , nous pouvons remplacer et dans l'équation :
Pour résoudre pour , nous divisons par 4 :
Nous pouvons répéter ce processus pour le couple . Cette fois, nous substituons et dans l'équation :
Pour résoudre pour , nous prenons la racine carrée des deux membres de cette équation, sans oublier de prendre à la fois la racine carrée positive et négative de 36 :
Cependant, on nous dit que la relation lie des paires de nombres réels positifs, donc nous ne tenons pas compte de .
Par conséquent, .
Ensuite, pour le couple , on pose et :
Enfin, pour , nous substituons et pour obtenir
Puisque est positif, nous choisissons .
Par conséquent, les valeurs de , , et sont , , et .
Dans cette fiche explicative, nous nous sommes plongés dans le monde des relations, en les représentant à l’aide de diagrammes sagittaux, de listes de couples, de graphiques et de formules. Ce monde ne fera que s’étendre plus nous en apprendrons sur les fonctions, leur domaine de définition, leur ensemble image et les divers théorèmes qui en résultent.
Nous récapitulons pour l’instant les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Une relation est une propriété qui associe les éléments d’un ensemble aux éléments d’un autre ensemble. Les relations peuvent être représentées par des diagrammes sagittaux, des couples, des tableaux de valeurs, des équations ou des graphiques.
- Une relation associe chaque valeur d’entrée à une ou plusieurs valeurs de sortie.
