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Fiche explicative de la leçon : Propriétés de la matrice inverse Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser quelques propriétés de la matrice inverse.

Une matrice 𝑛×𝑛, notée 𝐴, est dite inversible s’il existe une matrice 𝑛×𝑛, notée 𝐵, telle que le produit de 𝐴 et 𝐵 est 𝐼, 𝐼 est la matrice identité de taille 𝑛×𝑛Sialors𝐴𝐵=𝐼,𝐵=𝐴.

Si 𝐵 existe, on dit qu’elle est l’inverse de 𝐴, notée 𝐴.

On remarque qu’il est implicite dans cette définition qu’une matrice doit être carrée pour être inversible, mais être carrée ne garantit pas que l’inverse existe.

Pour déterminer l’inverse d’une matrice 2×2, notée 𝐴, telle que 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑, on applique la formule 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎,detdet𝐴=𝑎𝑑𝑏𝑐. On remarque que si le déterminant de la matrice 𝐴 est nul, l’inverse ne peut pas exister. Si le déterminant n’est pas nul, la matrice 𝐴 a une inverse. On appelle alors la matrice 𝐴 inversible ou non singulière. Les propriétés des inverses de matrices que nous allons examiner dans cette fiche explicative s’appliquent à toutes les matrices inversibles.

Utilisons la définition de l’inverse d’une matrice pour en déduire certaines des propriétés clés des matrices inverses.

Exemple 1: Identifier une expression matricielle équivalente en utilisant les propriétés des matrices inverses

Soit 𝐴 une matrice, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝐴?

  1. 𝐴
  2. 𝐴
  3. 𝐴
  4. 𝐴

Réponse

Comme 𝐴 existe, 𝐴 doit être une matrice carrée. On imagine que 𝐴 est une matrice 2×2 telle que 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑.

D’après la définition de l’inverse d’une matrice 2×2, 𝐴=1𝐴𝑑𝑏𝑐𝑎.det

Si on élève au carré l’inverse de 𝐴, on a 𝐴=1(𝐴)𝑑𝑏𝑐𝑎𝑑𝑏𝑐𝑎=1(𝐴)𝑑+𝑏𝑐𝑏𝑑𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎𝑐𝑏𝑐+𝑎.detdet

On souhaite ensuite calculer 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎𝑏𝑐𝑑=𝑎+𝑏𝑐𝑎𝑏+𝑏𝑑𝑎𝑐+𝑐𝑑𝑏𝑐+𝑑.

En calculant l’inverse du carré de la matrice 𝐴, on a 𝐴=1(𝐴)𝑑+𝑏𝑐𝑏𝑑𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎𝑐𝑏𝑐+𝑎.det

On remarque que la propriété des déterminants, detdetdet(𝐴𝐵)=(𝐴)(𝐵), permet de calculer le déterminant de 𝐴 par (𝐴)det.

Comme l’expression de l’inverse du carré de la matrice 𝐴 est la même que l’expression du carré de l’inverse de la matrice 𝐴, on a montré que pour une matrice inversible 2×2, notée 𝐴, 𝐴=𝐴.

Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que 𝐴=𝐴. Cela peut être généralisé pour des puissances plus élevées de l’inverse d’une matrice de sorte que, pour toute matrice inversible 𝐴 avec 𝑛𝑁, 𝐴=(𝐴).

Dans notre prochain exemple, nous allons examiner la relation entre la transposée d’une inverse et l’inverse d’une transposée.

Exemple 2: Identifier une expression matricielle équivalente en utilisant les propriétés des matrices inverses

Soit 𝐴 une matrice, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝐴?

  1. 𝐴
  2. 𝐴
  3. 𝐴
  4. 𝐴
  5. 𝐴

Réponse

On rappelle que la lettre majuscule, 𝑇, écrite en exposant est la notation de la transposée d’une matrice. Cela signifie que les lignes et les colonnes sont échangées. Lorsque l’on transpose une matrice, les valeurs le long de la diagonale ne changent pas.

Comme 𝐴 existe, 𝐴 doit être une matrice carrée. On imagine que 𝐴 est une matrice 2×2 telle que 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑.

D’après la définition de l’inverse d’une matrice 2×2, 𝐴=1𝑎𝑑𝑏𝑐𝑑𝑏𝑐𝑎.

Si on prend la transposée de l’inverse de la matrice 𝐴, on a 𝐴=1𝑎𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑏𝑎.

On remarque que comme la fraction peut être distribuée sur la totalité de la matrice, prendre la transposée ne l’affecte pas et on peut donc la laisser à l’extérieur de la matrice.

On souhaite ensuite calculer la transposée de la matrice 𝐴, ce qui donne 𝐴=𝑎𝑐𝑏𝑑.

Calculer l’inverse de la transposée de la matrice 𝐴 donne alors 𝐴=1𝑎𝑑𝑏𝑐𝑑𝑐𝑏𝑎.

On vient de démontrer que pour une matrice inversible 2×2, 𝐴=𝐴.

Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que 𝐴=𝐴 pour une matrice 2×2. Cela peut être généralisé pour toutes les matrices inversibles 𝐴:𝐴=𝐴.

Dans l’exemple suivant, nous allons explorer ce qui se passe lorsque nous cherchons l’inverse de l’inverse d’une matrice.

Exemple 3: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème

On considère la matrice 𝐴=3125. Déterminez 𝐴.

Réponse

Pour déterminer l’inverse de l’inverse de la matrice 𝐴, on souhaite d’abord trouver l’inverse de la matrice 𝐴. Pour une matrice de la forme 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑, son inverse est égal à 𝐴=1𝑎𝑑𝑏𝑐𝑑𝑏𝑐𝑎.

Par conséquent, dans cet exemple, l’inverse est 𝐴=1(3)(5)(1)(2)5123=1135123=513113213313.

En déterminant alors l’inverse de 𝐴, on obtient 1313113213513, ce qui se simplifie par 13313113213513.

On multiplie ensuite par le scalaire 133125.

On vient de démontrer que l’inverse de l’inverse d’une matrice est la matrice d’origine. Cependant, il n’est pas nécessaire de faire tous ces calculs pour résoudre ce problème car cette propriété est vraie pour toutes les matrices inversibles.

Une fois que l’on a montré que la matrice 𝐴 a un déterminant non nul, les propriétés des matrices inverses indiquent que l’inverse de l’inverse est la matrice d’origine, 3125.

Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que 𝐴=𝐴 pour une matrice 2×2. Cela peut être généralisé à toutes les matrices inversibles:𝐴=𝐴.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier comment utiliser les propriétés des matrices inverses et de la matrice identité pour simplifier la résolution de problèmes.

Exemple 4: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème

  1. Soient les matrices 𝐴 et 𝐵, 𝐴=123014001 et 𝐵=125014001, déterminez 𝐴𝐵.
  2. Sans effectuer de nouveaux calculs, déterminez 𝐴.

Réponse

Partie 1

La première partie de cette question demande de multiplier la matrice 𝐴 par la matrice 𝐵. Comme ces deux matrices sont des matrices carrées 3×3, elles peuvent être multipliées ensemble, en se souvenant que le produit matriciel n’est pas commutatif. Pour multiplier des matrices, on calcule le produit scalaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la deuxième:𝐴𝐵=(1)(1)+(2)(0)+(3)(0)(1)(2)+(2)(1)+(3)(0)(1)(5)+(2)(4)+(3)(1)(0)(1)+(1)(0)+(4)(0)(0)(2)+(1)(1)+(4)(0)(0)(5)+(1)(4)+(4)(1)(0)(1)+(0)(0)+(1)(0)(0)(2)+(0)(1)+(1)(0)(0)(5)+(0)(4)+(1)(1).

Lorsque l’on détermine la valeur de chacune de ces expressions, on trouve 𝐴𝐵=100010001.

Partie 2

La deuxième partie de la question demande de trouver l’inverse de la matrice 𝐴 sans faire de calculs supplémentaires. Lorsque l’on a multiplié les matrices 𝐴 et 𝐵, la matrice résultante était la matrice identité. On rappelle que toute matrice carrée (avec un déterminant non nul) a une inverse telle que 𝐴𝐴=𝐼. Comme le produit de la matrice 𝐴 et de la matrice 𝐵 est la matrice identité, la matrice 𝐵 doit être l’inverse de la matrice 𝐴.

Par conséquent, 𝐴=125014001.

Nous pouvons utiliser une autre propriété plus avancée:la relation entre le produit de deux matrices et leur inverse.

Pour deux matrices inversibles 𝐴 et 𝐵, (𝐴𝐵)=𝐵𝐴.

Dans notre dernier exemple, nous allons étudier comment appliquer cette relation entre l’inverse du produit de deux matrices et le produit de leurs matrices inverses respectives.

Exemple 5: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème

Sachant que (𝐴𝐵)=16533321,𝐴=2132, déterminez 𝐵.

Réponse

On rappelle que pour deux matrices inversibles 𝐴 et 𝐵, (𝐴𝐵)=𝐵𝐴. Cela signifie que l’on peut réécrire la première équation comme 𝐵𝐴=16533321.

On a maintenant besoin d’une stratégie pour « annuler » 𝐴 des deux membres de cette équation. Pour ce faire, on utilise une propriété clé de la matrice identité. On sait que 𝐴𝐴=𝐼=𝐴𝐴. Cela signifie que l’on peut multiplier les deux membres de cette équation par la matrice 𝐴 donnée, en se rappelant que le produit matriciel n’est pas commutatif, on doit multiplier dans le bon ordre 𝐵𝐴𝐴=165333212132.

On applique ensuite les règles du produit de matrices 2×2 et on trouve 𝐵𝐴𝐴=16(5)(2)+(3)(3)(5)(1)+(3)(2)(33)(2)+(21)(3)(33)(1)+(21)(2)=161139.

Sur le membre gauche de cette équation, on voit que l’on a multiplié l’inverse de la matrice 𝐴 par la matrice 𝐴. On sait que cela est égal à la matrice identité. On peut ainsi réécrire le membre gauche de l’équation comme 𝐵𝐼=161139.

En rappelant que le produit d’une matrice par la matrice identité est égal à elle-même, on peut dire 𝐵=161139.

La dernière étape est de multiplier par le scalaire 16, ce qui donne 𝐵=16161232.

Terminons par récapituler les propriétés clés que nous utilisons lorsque nous travaillons avec des matrices inverses.

Points clés

  • Le produit d’une matrice et de son inverse est la matrice identité:𝐴𝐴=𝐼.
  • L’inverse de l’inverse d’une matrice est la matrice elle-même:𝐴=𝐴.
  • L’inverse d’une matrice à la 𝑛-ième puissance est égale à la 𝑛-ième puissance de l’inverse de la matrice:𝐴=(𝐴).
  • L’inverse du produit de la matrice 𝐴 et de la matrice 𝐵 est égale au produit de l’inverse de la matrice 𝐵 et de l’inverse de la matrice 𝐴:(𝐴𝐵)=𝐵𝐴.
  • La transposée de l’inverse d’une matrice est égale à l’inverse de la transposée de la matrice:𝐴=𝐴.

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