Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser quelques propriétés de la matrice inverse.
Une matrice , notée , est dite inversible s’il existe une matrice , notée , telle que le produit de et est , où est la matrice identité de taille
Si existe, on dit qu’elle est l’inverse de , notée .
On remarque qu’il est implicite dans cette définition qu’une matrice doit être carrée pour être inversible, mais être carrée ne garantit pas que l’inverse existe.
Pour déterminer l’inverse d’une matrice , notée , telle que , on applique la formule où . On remarque que si le déterminant de la matrice est nul, l’inverse ne peut pas exister. Si le déterminant n’est pas nul, la matrice a une inverse. On appelle alors la matrice inversible ou non singulière. Les propriétés des inverses de matrices que nous allons examiner dans cette fiche explicative s’appliquent à toutes les matrices inversibles.
Utilisons la définition de l’inverse d’une matrice pour en déduire certaines des propriétés clés des matrices inverses.
Exemple 1: Identifier une expression matricielle équivalente en utilisant les propriétés des matrices inverses
Soit une matrice, laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
Comme existe, doit être une matrice carrée. On imagine que est une matrice telle que
D’après la définition de l’inverse d’une matrice ,
Si on élève au carré l’inverse de , on a
On souhaite ensuite calculer
En calculant l’inverse du carré de la matrice , on a
On remarque que la propriété des déterminants, , permet de calculer le déterminant de par .
Comme l’expression de l’inverse du carré de la matrice est la même que l’expression du carré de l’inverse de la matrice , on a montré que pour une matrice inversible , notée ,
Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que . Cela peut être généralisé pour des puissances plus élevées de l’inverse d’une matrice de sorte que, pour toute matrice inversible avec ,
Dans notre prochain exemple, nous allons examiner la relation entre la transposée d’une inverse et l’inverse d’une transposée.
Exemple 2: Identifier une expression matricielle équivalente en utilisant les propriétés des matrices inverses
Soit une matrice, laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
On rappelle que la lettre majuscule, , écrite en exposant est la notation de la transposée d’une matrice. Cela signifie que les lignes et les colonnes sont échangées. Lorsque l’on transpose une matrice, les valeurs le long de la diagonale ne changent pas.
Comme existe, doit être une matrice carrée. On imagine que est une matrice telle que
D’après la définition de l’inverse d’une matrice ,
Si on prend la transposée de l’inverse de la matrice , on a
On remarque que comme la fraction peut être distribuée sur la totalité de la matrice, prendre la transposée ne l’affecte pas et on peut donc la laisser à l’extérieur de la matrice.
On souhaite ensuite calculer la transposée de la matrice , ce qui donne
Calculer l’inverse de la transposée de la matrice donne alors
On vient de démontrer que pour une matrice inversible ,
Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que pour une matrice . Cela peut être généralisé pour toutes les matrices inversibles :
Dans l’exemple suivant, nous allons explorer ce qui se passe lorsque nous cherchons l’inverse de l’inverse d’une matrice.
Exemple 3: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème
On considère la matrice . Déterminez .
Réponse
Pour déterminer l’inverse de l’inverse de la matrice , on souhaite d’abord trouver l’inverse de la matrice . Pour une matrice de la forme son inverse est égal à
Par conséquent, dans cet exemple, l’inverse est
En déterminant alors l’inverse de , on obtient ce qui se simplifie par
On multiplie ensuite par le scalaire
On vient de démontrer que l’inverse de l’inverse d’une matrice est la matrice d’origine. Cependant, il n’est pas nécessaire de faire tous ces calculs pour résoudre ce problème car cette propriété est vraie pour toutes les matrices inversibles.
Une fois que l’on a montré que la matrice a un déterminant non nul, les propriétés des matrices inverses indiquent que l’inverse de l’inverse est la matrice d’origine,
Dans l’exemple précédent, nous avons démontré que pour une matrice . Cela peut être généralisé à toutes les matrices inversibles :
Dans l’exemple suivant, nous allons étudier comment utiliser les propriétés des matrices inverses et de la matrice identité pour simplifier la résolution de problèmes.
Exemple 4: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème
- Soient les matrices et , où et , déterminez .
- Sans effectuer de nouveaux calculs, déterminez .
Réponse
Partie 1
La première partie de cette question demande de multiplier la matrice par la matrice . Comme ces deux matrices sont des matrices carrées , elles peuvent être multipliées ensemble, en se souvenant que le produit matriciel n’est pas commutatif. Pour multiplier des matrices, on calcule le produit scalaire des lignes de la première matrice et des colonnes de la deuxième :
Lorsque l’on détermine la valeur de chacune de ces expressions, on trouve
Partie 2
La deuxième partie de la question demande de trouver l’inverse de la matrice sans faire de calculs supplémentaires. Lorsque l’on a multiplié les matrices et , la matrice résultante était la matrice identité. On rappelle que toute matrice carrée (avec un déterminant non nul) a une inverse telle que . Comme le produit de la matrice et de la matrice est la matrice identité, la matrice doit être l’inverse de la matrice .
Par conséquent,
Nous pouvons utiliser une autre propriété plus avancée : la relation entre le produit de deux matrices et leur inverse.
Pour deux matrices inversibles et ,
Dans notre dernier exemple, nous allons étudier comment appliquer cette relation entre l’inverse du produit de deux matrices et le produit de leurs matrices inverses respectives.
Exemple 5: Utiliser les propriétés des matrices inverses pour résoudre un problème
Sachant que déterminez .
Réponse
On rappelle que pour deux matrices inversibles et , . Cela signifie que l’on peut réécrire la première équation comme
On a maintenant besoin d’une stratégie pour « annuler » des deux membres de cette équation. Pour ce faire, on utilise une propriété clé de la matrice identité. On sait que . Cela signifie que l’on peut multiplier les deux membres de cette équation par la matrice donnée, en se rappelant que le produit matriciel n’est pas commutatif, on doit multiplier dans le bon ordre
On applique ensuite les règles du produit de matrices et on trouve
Sur le membre gauche de cette équation, on voit que l’on a multiplié l’inverse de la matrice par la matrice . On sait que cela est égal à la matrice identité. On peut ainsi réécrire le membre gauche de l’équation comme
En rappelant que le produit d’une matrice par la matrice identité est égal à elle-même, on peut dire
La dernière étape est de multiplier par le scalaire , ce qui donne
Terminons par récapituler les propriétés clés que nous utilisons lorsque nous travaillons avec des matrices inverses.
Points clés
- Le produit d’une matrice et de son inverse est la matrice identité :
- L’inverse de l’inverse d’une matrice est la matrice elle-même :
- L’inverse d’une matrice à la -ième puissance est égale à la -ième puissance de l’inverse de la matrice :
- L’inverse du produit de la matrice et de la matrice est égale au produit de l’inverse de la matrice et de l’inverse de la matrice :
- La transposée de l’inverse d’une matrice est égale à l’inverse de la transposée de la matrice :
