Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les coordonnées d’un vecteur en deux dimensions.
Un vecteur est une quantité défini par une direction, un sens et une norme. Géométriquement, on le représente par une flèche (ou un segment dirigé, la flèche indiquant le sens) reliant son origine à son extrémité. Le sens du vecteur est le sens du déplacement de son origine vers son extrémité et sa norme est la distance entre les deux points (ou la longueur du segment entre les deux points).
Sur la figure ci-dessous, les vecteurs et sont respectivement représentés par des flèches entre le point et le point , et entre le point et le point .
Représenter les vecteurs dans un repère du plan nous permet de décrire les vecteurs beaucoup plus facilement grâce à leurs coordonnées. Voyons donc ce que sont les coordonnées de vecteurs.
Dans le repère ci-dessus, on peut décrire complètement le vecteur par « 4 unités vers la droite, 2 unités vers le haut » qui indique la direction, le sens et la distance : si on commence en , ces instructions nous amènent directement à . De même, le vecteur peut être décrit par « 1 unité vers la gauche, 1 unité vers le haut ».
Ces descriptions sont la base de ce que l’on appelle les coordonnées d’un vecteur. On rappelle que les coordonnées de points à gauche / droite et en bas / haut de l’origine sont décrites avec des nombres négatifs / positifs. De la même manière, on utilise des nombres positifs et négatifs pour décrire les vecteurs avec leurs coordonnées. Si le vecteur
- va vers la , sa première coordonnée (horizontale) est ;
- va vers le , sa deuxième coordonnée (verticale) est .
Définition : Coordonnées d’un vecteur
Les coordonnées d’un vecteur sont notées , où décrit le déplacement et le déplacement de l’origine à l’extrémité du vecteur.
La figure suivante représente plusieurs vecteurs et leurs coordonnées.
Voyons avec l’exemple suivant comment trouver les coordonnées d’un vecteur représenté sur un repère.
Exemple 1: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur
Soit le vecteur pour et . Exprimez sous la forme .
Réponse
Pour déterminer les coordonnées horizontale et verticale de , c’est-à-dire pour trouver et tels que , on peut étudier les distances horizontale et verticale de à . Une autre façon d’aborder cela est de déterminer la distance que l’on doit parcourir dans la direction horizontale () et dans la direction verticale () pour aller de à .
La distance horizontale est égale à la différence entre les abscisses , qui est . La distance verticale est égale à la différence entre les ordonnées , qui est .
On peut donc noter le vecteur de à comme
La méthode que nous avons employée pour déterminer les coordonnées du vecteur dans l’exemple précédent utilisant les coordonnées de l’origine et de l’extrémité du vecteur peut être résumée comme suit.
Comment exprimer un vecteur en fonction de ses coordonnées
Pour exprimer un vecteur sous la forme , où et , on calcule d’abord la différence entre les abscisses pour obtenir , puis on calcule la différence entre les ordonnées pour obtenir :
Exemple 2: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur
Soit le vecteur sur la figure ci-dessous.
- Quelles sont les coordonnées de son extrémité ?
- Quelles sont les coordonnées de son origine ?
- Quelles sont les coordonnées du vecteur ?
Réponse
Partie 1
Lorsqu’un vecteur est représenté sur un repère, l’extrémité du vecteur est le point vers lequel se dirige la flèche. On peut la considérer comme l’endroit vers lequel pointe le vecteur. D’après la figure, on voit que est l’extrémité.
Partie 2
L’origine est le point de départ de la flèche. En observant la figure, on peut ainsi voir que est l’origine.
Partie 3
On peut trouver la première coordonnée du vecteur en calculant la différence entre les abscisses de l’extrémité et de l’origine ; la première coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en ) du vecteur est . Quant à la deuxième coordonnée, elle est égale à la différence entre les ordonnées de l’extrémité et de l’origine. La deuxième coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en ) est donc . Pour exprimer le vecteur en fonction de ses coordonnées, on utilise la notation .
Nous allons maintenant définir deux vecteurs spéciaux de norme 1. Le vecteur représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des et le vecteur représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des .
Définition : Vecteurs unitaires
En utilisant la notation décrite précédemment, on peut définir où représente le déplacement de 1 unité dans la direction des et de 0 unité dans la direction des , et représente le déplacement de 0 unité dans la direction des et de 1 unité dans la direction des .
Il est important de noter que ces vecteurs ne doivent pas nécessairement être issus de l’origine. Ces vecteurs unitaires décrivent simplement le déplacement d’une distance de 1 unité dans la direction horizontale ou verticale, leur origine peut varier.
Sur la figure ci-dessous par exemple, le vecteur unitaire peut représenter le déplacement de à comme l’abscisse augmente de 1 et l’ordonnée ne change pas.
Le vecteur unitaire peut représenter le déplacement de à comme l’abscisse ne change pas et l’ordonnée augmente de 1.
Le vecteur représente le déplacement de instances de . On peut écrire ce qui signifie que l’on se déplace de unités dans la direction horizontale et de 0 unité dans la direction verticale.
Le vecteur représente le déplacement de instances de . On peut écrire ce qui signifie que l’on se déplace de unités dans la direction verticale et de 0 unité dans la direction horizontale.
Le vecteur est par exemple représenté en bleu sur la figure ci-dessous.
Une fois que nous avons des vecteurs de la forme et nous pouvons les additionner pour décrire tout vecteur de la forme .
Comment noter un vecteur en fonction des vecteurs unitaires
Si on se déplace d’un point de départ jusqu’à un point d’arrivée , cela décrit un vecteur qui représente un déplacement d’une distance de dans la direction des , puis d’une distance de dans la direction des .
On peut noter ce vecteur de deux façons : ou
Exemple 3: Exprimer des vecteurs comme la somme de vecteurs unitaires
Sachant que chaque carré de la grille a une longueur de 1, exprimez le vecteur sous la forme , puis sous la forme .
Réponse
À partir de l’origine , on se déplace de unités dans la direction horizontale (qui représente le vecteur ), puis on se déplace de unités dans la direction verticale (qui représente le vecteur ), pour aller au point .
Le vecteur , qui représente un déplacement direct de à , est alors égal à la somme de ces vecteurs unitaires.
Par conséquent,
Utiliser les vecteurs et permet de décrire le vecteur en fonction du nombre de pas horizontaux et verticaux de longueur 1 que l’on doit effectuer pour aller de l’origine à l’extrémité.
Notez que des coefficients négatifs de et représentent respectivement un déplacement vers la gauche ou vers le bas.
Par exemple, le vecteur ci-dessus, qui représente le déplacement de -2 unités dans la direction des et de -3 unités dans la direction des , peut être noté ou
Nous devons parfois résoudre des problèmes de vecteurs pour lesquels la compétence principale est l’interprétation de l’énoncé de la question et sa traduction en termes mathématiques.
Exemple 4: Problème impliquant des coordonnées de vecteurs
Un corps s’est déplacé de 190 cm vers l’est, où et sont deux vecteurs unitaires pointant respectivement dans les directions est et nord. Exprimez son déplacement en fonction des deux vecteurs unitaires et .
Réponse
Il est indiqué que représente la direction est et la direction nord. Le corps s’est déplacé vers l’est. Le vecteur représentant ce déplacement n’aura donc pas de coordonnée nord. Le coefficient de est par conséquent nul. On sait qu’il s’est déplacé de 190 cm vers l’est, donc le coefficient de est 190. Par conséquent, le déplacement du corps peut être représenté par
Rappelez-vous que des vecteurs équivalents sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même norme.
Considérons maintenant les vecteurs , , et sur la figure suivante.
On peut voir que tous les vecteurs sont situés sur la même droite ou sur des droites parallèles. Le vecteur n’est cependant pas dans le même sens que les trois autres car il pointe vers la droite et vers le haut, tandis que les autres pointent vers la gauche et vers le bas.
Notons ici que pour que des vecteurs soient situés sur la même droite ou sur des droites parallèles, les quotients de leur coordonnée en sur leur coordonnée en doivent être égaux ; ils correspondent alors à la pente de la droite.
On peut calculer les normes des quatre vecteurs en formant des triangles rectangles dont chaque vecteur est l’hypoténuse et dont les deux autres côtés sont parallèles aux axes des et des , comme illustré ci-dessus pour , et en appliquant ensuite le théorème de Pythagore. Les longueurs des côtés sont égales aux valeurs absolues des coordonnées des vecteurs. On trouve
On remarque que les coordonnées de sont les opposées des coordonnées de et , ce qui signifie que les vecteurs ont la même norme mais des sens opposés.
Les deux vecteurs de même direction, sens et norme sont et puisqu’ils ont les mêmes coordonnées. Ils sont équivalents.
On peut facilement montrer que la réciproque est vraie : des vecteurs équivalents (c’est-à-dire des vecteurs de même norme, direction et sens) doivent avoir les mêmes coordonnées. Soient deux vecteurs équivalents et . Comme et ont la même direction et le même sens, les quotients de leurs coordonnées doivent être égaux et leurs coordonnées doivent avoir le même signe. Par conséquent,
De plus, et ont la même norme. En utilisant les triangles rectangles vus ci-dessus, cela signifie que
En substituant les expressions de et dans cette équation, on a
Par conséquent, et
Propriété : Vecteurs équivalents et coordonnées
Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents : ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
Réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.
Utilisons cette propriété dans le dernier exemple pour déterminer les coordonnées d’un point sachant qu’il s’agit de l’extrémité d’un vecteur équivalent à un autre vecteur.
Exemple 5: Vecteurs équivalents sur un repère du plan
Les points , et ont les coordonnées respectives , et . Sachant que et sont des vecteurs équivalents, déterminez les coordonnées de .
Réponse
On sait que et sont des vecteurs équivalents, ce qui signifie qu’ils ont les mêmes coordonnées. Calculons donc les coordonnées de :
On peut vérifier que ce résultat est correct sur la figure : on se déplace de 5 unités vers la droite et de 3 unités vers le haut pour aller de à .
Puisque et ont les mêmes coordonnées,
Comme , cela nous donne
En substituant les valeurs de et , on obtient et
Les coordonnées du point sont donc .
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Les coordonnées d’un vecteur sont notées , où décrit le déplacement et le déplacement de l’origine à l’extrémité du vecteur.
- Les coordonnées du vecteur , où et , sont définies par
- Les vecteurs unitaires sont définis par
- Tout vecteur de coordonnées peut être écrit en fonction des vecteurs unitaires et :
- Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents et réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.
