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Fiche explicative de la leçon: Coordonnées d’un vecteur Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les coordonnées d’un vecteur en deux dimensions.

Un vecteur est une quantité défini par une direction, un sens et une norme. Géométriquement, on le représente par une flèche (ou un segment dirigé, la flèche indiquant le sens) reliant son origine à son extrémité. Le sens du vecteur est le sens du déplacement de son origine vers son extrémité et sa norme est la distance entre les deux points (ou la longueur du segment entre les deux points).

Sur la figure ci-dessous, les vecteurs 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont respectivement représentés par des flèches entre le point 𝐴 et le point 𝐵, et entre le point 𝐶 et le point 𝐷.

Représenter les vecteurs dans un repère du plan nous permet de décrire les vecteurs beaucoup plus facilement grâce à leurs coordonnées. Voyons donc ce que sont les coordonnées de vecteurs.

Dans le repère ci-dessus, on peut décrire complètement le vecteur 𝐴𝐵 par « 4 unités vers la droite, 2 unités vers le haut » qui indique la direction, le sens et la distance:si on commence en 𝐴, ces instructions nous amènent directement à 𝐵. De même, le vecteur 𝐶𝐷 peut être décrit par « 1 unité vers la gauche, 1 unité vers le haut ».

Ces descriptions sont la base de ce que l’on appelle les coordonnées d’un vecteur. On rappelle que les coordonnées de points à gauche / droite et en bas / haut de l’origine sont décrites avec des nombres négatifs / positifs. De la même manière, on utilise des nombres positifs et négatifs pour décrire les vecteurs avec leurs coordonnées. Si le vecteur

  • va vers la gauchedroite/, sa première coordonnée (horizontale) est négativepositive/;
  • va vers le bashaut/, sa deuxième coordonnée (verticale) est négativepositive/.

Définition : Coordonnées d’un vecteur

Les coordonnées d’un vecteur sont notées (𝑎,𝑏), 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical de l’origine à l’extrémité du vecteur.

La figure suivante représente plusieurs vecteurs et leurs coordonnées.

Voyons avec l’exemple suivant comment trouver les coordonnées d’un vecteur représenté sur un repère.

Exemple 1: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur

Soit le vecteur 𝐴𝐵 pour 𝐴(3;2) et 𝐵(6;9). Exprimez 𝐴𝐵 sous la forme (𝑎,𝑏).

Réponse

Pour déterminer les coordonnées horizontale et verticale de 𝐴𝐵, c’est-à-dire pour trouver 𝑎 et 𝑏 tels que 𝐴𝐵=(𝑎,𝑏), on peut étudier les distances horizontale et verticale de 𝐴 à 𝐵. Une autre façon d’aborder cela est de déterminer la distance que l’on doit parcourir dans la direction horizontale (𝑎) et dans la direction verticale (𝑏) pour aller de 𝐴 à 𝐵.

La distance horizontale est égale à la différence entre les abscisses 𝑥, qui est 63=3. La distance verticale est égale à la différence entre les ordonnées 𝑦, qui est 92=7.

On peut donc noter le vecteur de 𝐴 à 𝐵 comme 𝐴𝐵=(3,7).

La méthode que nous avons employée pour déterminer les coordonnées du vecteur dans l’exemple précédent utilisant les coordonnées de l’origine et de l’extrémité du vecteur peut être résumée comme suit.

Comment exprimer un vecteur en fonction de ses coordonnées

Pour exprimer un vecteur 𝐴𝐵 sous la forme (𝑎,𝑏), 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦), on calcule d’abord la différence entre les abscisses 𝑥 pour obtenir 𝑎, puis on calcule la différence entre les ordonnées 𝑦 pour obtenir 𝑏:𝐴𝐵=(𝑎,𝑏),𝑎=𝑥𝑥𝑏=𝑦𝑦.oùet

Exemple 2: Déterminer les coordonnées horizontale et verticale d’un vecteur

Soit le vecteur sur la figure ci-dessous.

  1. Quelles sont les coordonnées de son extrémité?
  2. Quelles sont les coordonnées de son origine?
  3. Quelles sont les coordonnées du vecteur?

Réponse

Partie 1

Lorsqu’un vecteur est représenté sur un repère, l’extrémité du vecteur est le point vers lequel se dirige la flèche. On peut la considérer comme l’endroit vers lequel pointe le vecteur. D’après la figure, on voit que (7;1) est l’extrémité.

Partie 2

L’origine est le point de départ de la flèche. En observant la figure, on peut ainsi voir que (1;2) est l’origine.

Partie 3

On peut trouver la première coordonnée du vecteur en calculant la différence entre les abscisses 𝑥 de l’extrémité et de l’origine;la première coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en 𝑥) du vecteur 𝑣 est 7(1)=6. Quant à la deuxième coordonnée, elle est égale à la différence entre les ordonnées 𝑦 de l’extrémité et de l’origine. La deuxième coordonnée (ou de manière équivalente, la coordonnée en 𝑦) est donc 12=3. Pour exprimer le vecteur en fonction de ses coordonnées, on utilise la notation (6;3).

Nous allons maintenant définir deux vecteurs spéciaux de norme 1. Le vecteur 𝑖 représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des 𝑥 et le vecteur 𝑗 représente un déplacement d’une distance d’une unité dans la direction des 𝑦.

Définition : Vecteurs unitaires

En utilisant la notation décrite précédemment, on peut définir 𝑖=(1,0)𝑗=(0,1),et(1;0) représente le déplacement de 1 unité dans la direction des 𝑥 et de 0 unité dans la direction des 𝑦, et (0;1) représente le déplacement de 0 unité dans la direction des 𝑥 et de 1 unité dans la direction des 𝑦.

Il est important de noter que ces vecteurs ne doivent pas nécessairement être issus de l’origine. Ces vecteurs unitaires décrivent simplement le déplacement d’une distance de 1 unité dans la direction horizontale ou verticale, leur origine peut varier.

Sur la figure ci-dessous par exemple, le vecteur unitaire 𝑖 peut représenter le déplacement de (2,5;2) à (3,5;2) comme l’abscisse 𝑥 augmente de 1 et l’ordonnée 𝑦 ne change pas.

Le vecteur unitaire 𝑗 peut représenter le déplacement de (4;3) à (4;4) comme l’abscisse 𝑥 ne change pas et l’ordonnée 𝑦 augmente de 1.

Le vecteur 𝑎𝑖 représente le déplacement de 𝑎 instances de 𝑖. On peut écrire 𝑎𝑖=(𝑎,0) ce qui signifie que l’on se déplace de 𝑎 unités dans la direction horizontale et de 0 unité dans la direction verticale.

Le vecteur 𝑏𝑗 représente le déplacement de 𝑏 instances de 𝑗. On peut écrire 𝑏𝑗=(0,𝑏) ce qui signifie que l’on se déplace de 𝑏 unités dans la direction verticale et de 0 unité dans la direction horizontale.

Le vecteur 2𝑖=(2;0) est par exemple représenté en bleu sur la figure ci-dessous.

Une fois que nous avons des vecteurs de la forme 𝑎𝑖 et 𝑏𝑗 nous pouvons les additionner pour décrire tout vecteur de la forme 𝑎𝑖+𝑏𝑗.

Comment noter un vecteur en fonction des vecteurs unitaires

Si on se déplace d’un point de départ 𝐶(𝑥;𝑦) jusqu’à un point d’arrivée 𝐷(𝑥;𝑦), cela décrit un vecteur 𝐶𝐷 qui représente un déplacement d’une distance de (𝑥𝑥) dans la direction des 𝑥, puis d’une distance de 𝑦𝑦 dans la direction des 𝑦.

On peut noter ce vecteur de deux façons:𝐶𝐷=(𝑥𝑥,𝑦𝑦) ou 𝐶𝐷=(𝑥𝑥)𝑖+(𝑦𝑦)𝑗.

Exemple 3: Exprimer des vecteurs comme la somme de vecteurs unitaires

Sachant que chaque carré de la grille a une longueur de 1, exprimez le vecteur 𝐴𝐵 sous la forme 𝑎𝑖+𝑏𝑗, puis sous la forme (𝑎,𝑏).

Réponse

À partir de l’origine 𝐴, on se déplace de +2 unités dans la direction horizontale (qui représente le vecteur 2𝑖), puis on se déplace de +3 unités dans la direction verticale (qui représente le vecteur 3𝑗), pour aller au point 𝐵.

Le vecteur 𝐴𝐵, qui représente un déplacement direct de 𝐴 à 𝐵, est alors égal à la somme de ces vecteurs unitaires.

Par conséquent, 𝐴𝐵=2𝑖+3𝑗=(2,3).

Utiliser les vecteurs 𝑖 et 𝑗 permet de décrire le vecteur en fonction du nombre de pas horizontaux et verticaux de longueur 1 que l’on doit effectuer pour aller de l’origine à l’extrémité.

Notez que des coefficients négatifs de 𝑖 et 𝑗 représentent respectivement un déplacement vers la gauche ou vers le bas.

Par exemple, le vecteur 𝐴𝐵=(2;3) ci-dessus, qui représente le déplacement de -2 unités dans la direction des 𝑥 et de -3 unités dans la direction des 𝑦, peut être noté (2𝑖)+(3𝑗) ou 𝐴𝐵=2𝑖3𝑗.

Nous devons parfois résoudre des problèmes de vecteurs pour lesquels la compétence principale est l’interprétation de l’énoncé de la question et sa traduction en termes mathématiques.

Exemple 4: Problème impliquant des coordonnées de vecteurs

Un corps s’est déplacé de 190 cm vers l’est, où 𝑖 et 𝑗 sont deux vecteurs unitaires pointant respectivement dans les directions est et nord. Exprimez son déplacement en fonction des deux vecteurs unitaires 𝑖 et 𝑗.

Réponse

Il est indiqué que 𝑖 représente la direction est et 𝑗 la direction nord. Le corps s’est déplacé vers l’est. Le vecteur représentant ce déplacement n’aura donc pas de coordonnée nord. Le coefficient de 𝑗 est par conséquent nul. On sait qu’il s’est déplacé de 190 cm vers l’est, donc le coefficient de 𝑖 est 190. Par conséquent, le déplacement du corps peut être représenté par 190𝑖+0𝑗=190𝑖.cm

Rappelez-vous que des vecteurs équivalents sont des vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même norme.

Considérons maintenant les vecteurs 𝐴𝐵=(2;1), 𝐶𝐷=(4;2), 𝐸𝐹=(4;2) et 𝐺𝐻=(4;2) sur la figure suivante.

On peut voir que tous les vecteurs sont situés sur la même droite ou sur des droites parallèles. Le vecteur 𝐺𝐻 n’est cependant pas dans le même sens que les trois autres car il pointe vers la droite et vers le haut, tandis que les autres pointent vers la gauche et vers le bas.

Notons ici que pour que des vecteurs soient situés sur la même droite ou sur des droites parallèles, les quotients de leur coordonnée en 𝑦 sur leur coordonnée en 𝑥 doivent être égaux;ils correspondent alors à la pente de la droite.

On peut calculer les normes des quatre vecteurs en formant des triangles rectangles dont chaque vecteur est l’hypoténuse et dont les deux autres côtés sont parallèles aux axes des 𝑥 et des 𝑦, comme illustré ci-dessus pour 𝐴𝐵, et en appliquant ensuite le théorème de Pythagore. Les longueurs des côtés sont égales aux valeurs absolues des coordonnées des vecteurs. On trouve 𝐴𝐵=2+1=5,𝐶𝐷=4+2=20=25,𝐸𝐹=4+2=20=25,𝐺𝐻=4+2=20=25.

On remarque que les coordonnées de 𝐺𝐻 sont les opposées des coordonnées de 𝐸𝐹 et 𝐶𝐷, ce qui signifie que les vecteurs ont la même norme mais des sens opposés.

Les deux vecteurs de même direction, sens et norme sont 𝐶𝐷 et 𝐸𝐹 puisqu’ils ont les mêmes coordonnées. Ils sont équivalents.

On peut facilement montrer que la réciproque est vraie:des vecteurs équivalents (c’est-à-dire des vecteurs de même norme, direction et sens) doivent avoir les mêmes coordonnées. Soient deux vecteurs équivalents 𝑣=(𝑎,𝑏) et 𝑣=(𝑐,𝑑). Comme 𝑣 et 𝑣 ont la même direction et le même sens, les quotients de leurs coordonnées doivent être égaux et leurs coordonnées doivent avoir le même signe. Par conséquent, 𝑐=𝑘𝑎𝑑=𝑘𝑏𝑘>0.etpour

De plus, 𝑣 et 𝑣 ont la même norme. En utilisant les triangles rectangles vus ci-dessus, cela signifie que 𝑎+𝑏=𝑐+𝑑.

En substituant les expressions de 𝑐 et 𝑑 dans cette équation, on a 𝑎+𝑏=(𝑘𝑎)+(𝑘𝑏)𝑎+𝑏=𝑘𝑎+𝑘𝑏𝑎+𝑏=𝑘(𝑎+𝑏)𝑎+𝑏=𝑘(𝑎+𝑏).

Par conséquent, 𝑘=1, et (𝑎,𝑏)=(𝑐,𝑑).

Propriété : Vecteurs équivalents et coordonnées

Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents:ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.

Utilisons cette propriété dans le dernier exemple pour déterminer les coordonnées d’un point sachant qu’il s’agit de l’extrémité d’un vecteur équivalent à un autre vecteur.

Exemple 5: Vecteurs équivalents sur un repère du plan

Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ont les coordonnées respectives (7;1), (2;4) et (4;1). Sachant que 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont des vecteurs équivalents, déterminez les coordonnées de 𝐷.

Réponse

On sait que 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 sont des vecteurs équivalents, ce qui signifie qu’ils ont les mêmes coordonnées. Calculons donc les coordonnées de 𝐴𝐵:𝐴𝐵=(𝑥𝑥,𝑦𝑦)𝐴𝐵=(2(7),41)𝐴𝐵=(5,3).

On peut vérifier que ce résultat est correct sur la figure:on se déplace de 5 unités vers la droite et de 3 unités vers le haut pour aller de 𝐴 à 𝐵.

Puisque 𝐴𝐵 et 𝐶𝐷 ont les mêmes coordonnées, 𝐶𝐷=(5,3).

Comme 𝐶𝐷=(𝑥𝑥,𝑦𝑦), cela nous donne 𝑥𝑥=5,𝑦𝑦=3.

En substituant les valeurs de 𝑥 et 𝑦, on obtient 𝑥(4)=5𝑥=5+(4)=1, et 𝑦(1)=3𝑦=3+(1)=2.

Les coordonnées du point 𝐷 sont donc (1;2).

Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les coordonnées d’un vecteur sont notées (𝑎,𝑏), 𝑎 décrit le déplacement horizontal et 𝑏 le déplacement vertical de l’origine à l’extrémité du vecteur.
  • Les coordonnées (𝑎,𝑏) du vecteur 𝐴𝐵, 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦), sont définies par (𝑎,𝑏)=(𝑥𝑥,𝑦𝑦).
  • Les vecteurs unitaires sont définis par 𝑖=(1,0)𝑗=(0,1).et
  • Tout vecteur 𝑣 de coordonnées (𝑎,𝑏) peut être écrit en fonction des vecteurs unitaires 𝑖 et 𝑗:𝑣=𝑎𝑖+𝑏𝑗.
  • Des vecteurs de mêmes coordonnées sont équivalents et réciproquement, des vecteurs équivalents ont les mêmes coordonnées.

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