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Fiche explicative de la leçon : Lumière cohérente Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer si deux ou plusieurs ondes électromagnétiques sont susceptibles d’interagir pour former une lumière cohérente ou incohérente.

Une onde lumineuse, ou onde électromagnétique, est une onde transversale, c’est-à-dire une onde qui oscille suivant une direction perpendiculaire à la direction dans laquelle elle se propage. Nous pouvons décrire ces ondes lumineuses comme étant « sinusoïdales », ce qui signifie qu’elles ressemblent à une fonction sinus ou cosinus.

Imaginons que nous avons une onde lumineuse qui se propage de gauche à droite dans le vide, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Rappelons-nous qu’une onde est caractérisée par son amplitude, sa longueur d’onde et sa fréquence. L’amplitude et la longueur d’onde sont indiquées sur la figure ci-dessus.

L’amplitude d’une onde est le déplacement maximal de l’onde par rapport à la ligne médiane (la ligne en pointillée sur le schéma. C’est la hauteur au sommet d’une crête ou au fond d’un creux.

La longueur d’onde d’une onde est la distance entre deux points voisins équivalents de l’onde. Ceci est aussi égal à la distance spatiale sur laquelle s’étend un cycle complet d’ondulation.

La fréquence d’une onde est le nombre de cycles complets de l’onde par seconde passant par un point donné de l’espace.

Rappelons-nous également que la fréquence 𝑓 et la longueur d’onde 𝜆 d’une onde lumineuse sont liés par la formule 𝑐=𝑓𝜆,𝑐 est la vitesse de la lumière.

Comme la vitesse de la lumière dans un milieu donné est la même pour toutes les ondes lumineuses, nous pouvons à partir de cette équation dire que deux ondes lumineuses qui ont la même longueur d’onde doivent aussi avoir la même fréquence.

Si nous voulons comparer deux ou plusieurs ondes similaires, nous devons encore considérer une autre propriété. Cette propriété est la phase de l’onde.

La phase d’une onde est une mesure de l’état d’évolution d’un cycle en un point particulier de l’espace. Il est courant de commencer un cycle à partir du point indiqué sur le schéma ci-dessous, où le déplacement est nul.

À cette position, on dit que l’onde a une phase égale à zéro.

Maintenant, considérons la position indiquée par la ligne rose dans le schéma ci-dessous.

À la position indiquée par la ligne rose, l’onde est au quart de l’évolution d’un cycle. En termes de phase, nous disons que l’onde a une phase d’un quart de cycle ou, de manière équivalente, d’un quart de longueur d’onde.

De manière similaire, la phase d’une onde peut être définie en n’importe quelle position le long de celle-ci.

Il convient de noter que nous mesurons la phase par rapport au début d’un cycle. Comme les deux points de l’onde indiqués sur le schéma ci-dessous sont identiques, le point de gauche définit le début d’un cycle, tandis que le point de droite définit le début du cycle suivant. Ces deux points ont une différence d’une longueur d’onde entre eux. Deux points séparés par 1 longueur d’onde ont la même phase l’un de l’autre - dans ce cas, une phase égale à zéro.

Nous avons dit que comprendre ce qu’est la phase était nécessaire pour pouvoir comparer différentes ondes entre elles. Voyons maintenant comment cela fonctionne.

Imaginons que deux ondes lumineuses se propagent de gauche à droite dans le vide, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

Pour comparer ces deux ondes, nous pouvons mesurer la distance entre les pics adjacents de chaque onde pour déterminer la longueur d’onde, comme indiqué ci-dessous.

Sur la figure, nous avons marqué la longueur d’onde de l’onde du haut par 𝜆 et la longueur d’onde de l’onde du bas par 𝜆. On peut voir sur le schéma que la distance entre deux sommets adjacents de l’onde supérieure est la même que la distance entre deux sommets adjacents de l’onde inférieure. C’est-à-dire que ces deux ondes ont la même longueur d’onde. On peut l’exprimer mathématiquement en écrivant 𝜆=𝜆.

Rappelons que deux ondes de même longueur d’onde ont également la même fréquence. Cela signifie que les deux ondes sur le schéma doivent avoir la même fréquence.

Il reste à comparer les phases de ces deux ondes.

Plus précisément, nous choisissons un point le long de la direction de la propagation des ondes et regardons à quel état d’évolution du cycle chacune des ondes se trouve à ce point. Ceci est illustré pour deux points différents dans le schéma ci-dessous.

À la position marquée par la ligne pointillée orange, nous pouvons voir que chacune des ondes est au début d’un cycle. À la position marquée par la ligne pointillée rose, chaque onde a fait trois quarts d’un cycle. Ainsi, à ces deux positions, les deux ondes ont la même phase l’une par rapport à l’autre.

En fait, il est facile de vérifier que nous pouvons tracer une ligne verticale à n’importe quelle position le long des ondes, et nous constaterons que les deux ondes auront la même phase l’une à l’autre à la position considérée.

Lorsque deux ondes ont la même phase en un point donné de l’espace, on dit qu’elles ont un déphasage nul en ce point.

Plus généralement, la différence de phase entre deux ondes est la différence entre la phase d’une onde et la phase de l’autre.

Supposons que nous avons deux ondes telles qu’indiqué ci-dessous.

À la position marquée par la ligne pointillée orange, l’onde du haut a une phase égale à zéro car elle est au début d’un cycle. Tandis que l’onde du bas est à un quart du cycle. Par conséquent, la différence de phase entre ces deux ondes à cette position est un quart de cycle.

Si nous regardons maintenant la ligne pointillée rose, nous voyons que l’onde du haut est aux trois quarts d’un cycle. L’onde du bas a fait un cycle complet, ou de manière équivalente, est au début d’un nouveau cycle. Par conséquent, la différence de phase entre ces ondes correspond également à un quart de cycle à cette position.

Comme avec nos deux ondes qui avaient un déphasage nul, nous pouvons vérifier que la différence de phase entre ces deux ondes est égale à un quart de cycle, peu importe où nous traçons notre ligne verticale.

Lorsque la différence de phase entre deux ondes est la même pour toutes les positions le long de leur propagation, on dit que ces deux ondes ont une différence de phase constante entre elles. Ici, « constante » signifie que le déphasage ne change pas en fonction de la position le long des ondes.

Chaque fois que nous avons deux ondes qui ont la même fréquence, nous savons qu’elles ont aussi la même longueur d’onde. Cela signifie que les deux ondes prennent la même distance pour compléter un cycle. Dans ce cas, quelle que soit la différence de phase entre les deux ondes en un point particulier, cette différence de phase sera la même si nous regardons un deuxième point en une autre position le long des ondes. Cela est vrai quel que soit le deuxième point choisi pour observer la différence de phase. La différence de phase entre deux ondes de même fréquence sera la même en toutes les positions le long des ondes.

Ce fait nous amène à la définition de la cohérence.

Définition : Cohérence

Deux ou plusieurs ondes sont dites cohérentes si elles ont la même fréquence et, par conséquent, une différence de phase constante l’une de l’autre.

Il est important de noter que, si la différence de phase entre deux ondes doit être constante pour qu’elles soient cohérentes, cette différence de phase constante ne doit pas nécessairement être nulle. Par conséquent, les deux paires d’ondes que nous avons considérées jusqu’à présent sont cohérentes entre elles.

Visuellement, le moyen le plus simple d’identifier si deux ondes sont cohérentes est de regarder la distance que chaque onde parcourt pour compléter un cycle d’oscillation. Si nous voyons que deux ondes complètent un cycle sur une même distance, alors nous savons que ces deux ondes ont la même longueur d’onde. Ceci nous indique que les ondes doivent aussi avoir la même fréquence l’une de l’autre et une différence de phase constante entre elles;c’est-à-dire que les deux ondes correspondent à notre définition des ondes cohérentes.

Regardons à nouveau les deux ondes qui ont un quart de cycle de différence entre elles.

Sur le schéma, nous avons indiqué la distance sur laquelle chacune des ondes complète un cycle d’oscillation. Nous avons marqué cette distance avec 𝜆 dans chaque cas, elle est égale à leur longueur d’onde. On voit que c’est la même distance pour les deux ondes. Ceci fournit donc une confirmation visuelle que les deux ondes sont cohérentes.

Il convient de rappeler que nous pouvons mesurer la distance d’une oscillation complète entre deux quelconques points équivalents successifs de l’onde. Ici, nous avons choisi la position correspondant au début d’un cycle. Cependant, nous aurions pu également choisir de mesurer la distance entre deux sommets, ou la distance entre deux creux.

Deux ondes non cohérentes sont dites incohérentes. Dans ce cas, les ondes n’ont pas la même fréquence l’une de l’autre, ce qui signifie aussi que leur déphasage est non constant.

Alors, à quoi pourraient ressembler deux ondes incohérentes?Comme toutes ondes qui ne correspondent pas à la définition des ondes cohérentes sont automatiquement incohérentes, il se trouve qu’il y a beaucoup de possibilités. Les deux ondes en question ne doivent pas nécessairement être sinusoïdales ni même avoir des fréquences constantes.

Cependant, nous nous intéressons ici aux rayonnements électromagnétiques. Dans ce cas, nous aurons toujours des ondes sinusoïdales, et ces ondes auront des fréquences constantes. Un exemple de deux ondes sinusoïdales incohérentes est illustré sur le schéma ci-dessous.

Dans ce cas, nous pouvons voir que les deux ondes ont des longueurs d’onde différentes. Par conséquent, ces ondes ont des fréquences différentes et une différence de phase non constante, donc nous savons que les deux ondes ne peuvent pas être cohérentes.

Nous pouvons également confirmer que la différence de phase entre les deux ondes n’est pas constante en considérant deux positions horizontales différentes sur les ondes comme suit.

Si nous regardons la position marquée par la ligne orange, nous voyons que les deux ondes sont au début d’un cycle. Par conséquent, les deux ondes ont la même phase à cette position, et la différence de phase entre elles est nulle. À la position marquée par la ligne rose, l’onde du haut est à la moitié du cycle, tandis que l’onde du bas est aux trois quarts du cycle. Ainsi, à cette position, la différence de phase entre les ondes est d’un quart de cycle.

Comme les différences de phase ne sont pas les mêmes à deux positions différentes le long des ondes, nous pouvons dire que le déphasage n’est pas constant entre les deux ondes.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1: Identifier l’onde incohérente dans un groupe

La figure montre cinq ondes lumineuses. Quelle onde lumineuse n’est pas cohérente avec les quatre autres?

Réponse

Pour cette question, nous avons cinq ondes lumineuses et nous souhaitons déterminer laquelle d’entre elles n’est pas cohérente avec les autres.

On se rappelle que pour que les ondes soient cohérentes, elles doivent avoir la même fréquence et une différence de phase constante les unes des autres.

On se rappelle en outre que deux ondes de même fréquence ont aussi la même longueur d’onde, et on doit donc chercher l’onde qui n’a pas la même longueur d’onde que les quatre autres.

Nous pouvons le voir plus facilement en traçant deux lignes verticales sur le schéma, comme indiqué ci-dessous.

À la position 1, marquée par la ligne orange, les cinq ondes sont au début d’un cycle.

À la position de la ligne rose marquée 2, les ondes i, ii, iii et v ont toutes terminé un cycle et sont au début du cycle suivant. Cependant, l’onde iv n’a terminé qu’un demi-cycle entre les deux lignes, à la position de la ligne rose, il est à mi-chemin d’un cycle.

L’onde iv a une longueur d’onde différente des quatre autres, de sorte que l’onde iv n’est pas cohérente avec les quatre autres.

Il est également utile de noter que les cinq ondes ont des amplitudes différentes les unes des autres;c’est-à-dire que les hauteurs maximale et minimale entre lesquelles elles oscillent diffèrent. Bien que cela signifie que toutes les ondes sont différentes les unes des autres, cette propriété n’est pas pertinente pour la cohérence des ondes.

Exemple 2: Déterminer quel groupe contient une onde lumineuse incohérente

Sur chacune des figures suivantes, cinq ondes lumineuses sont représentées. Laquelle des figures montre une lumière incohérente?

Réponse

Cette question nous montre cinq figures différentes, chacune montrant cinq ondes lumineuses différentes, et nous demande laquelle de ces cinq figures contient une lumière incohérente.

On se rappelle que pour que deux ou plusieurs ondes lumineuses soient cohérentes, elles doivent avoir la même fréquence et une différence de phase constante les unes des autres. Lorsque nous avons des ondes lumineuses qui ne répondent pas à ces critères, elles sont alors incohérentes.

On se rappelle aussi qu’une manière d’identifier visuellement les ondes cohérentes est de voir si elles ont toutes la même longueur d’onde.

Regardons chacune des figures tour à tour pour déterminer si les ondes sont cohérentes ou non.

Nous commençons par la figure A.

Nous pouvons voir que la distance parcourue pour un cycle complet est la même pour toutes les ondes. Sur la distance marquée par les deux lignes pointillées orange, chaque onde va du pic d’un cycle au pic du cycle suivant. Cela signifie que les ondes de la figure A sont cohérentes.

Regardons maintenant la figure B.

Dans ce cas, les deux ondes du haut et les deux ondes du bas ont toutes la même longueur d’onde. Cependant, l’onde du milieu n’a terminé qu’environ les trois quarts d’une oscillation quand les autres ont terminé un cycle complet. Par conséquent, l’onde du milieu de cette figure n’est pas cohérente avec les quatre autres, et donc cette figure montre une lumière incohérente.

Nous devons encore vérifier si les autres figures montrent des lumières cohérentes.

Regardons la figure C.

La distance parcourue pour un cycle complet est la même pour toutes les ondes. Cela signifie que les ondes de la figure C sont cohérentes.

Regardons maintenant la figure D.

Encore une fois, toutes les ondes prennent la même distance pour compléter un cycle. Par conséquent, les ondes de la figure D sont cohérentes.

Enfin, nous allons regarder la figure E.

Une fois encore, les ondes prennent toutes la même distance pour compléter un cycle. Par conséquent, les ondes de la figure E sont cohérentes. En fait, dans ce cas, les ondes semblent aussi avoir la même amplitude les unes des autres. Ainsi, non seulement ces ondes sont cohérentes, mais elles sont aussi identiques.

En résumé, nous avons trouvé que les ondes des figures A, C, D et E sont cohérentes. Tandis que l’onde du milieu de la figure B est incohérente avec les quatre autres, alors la figure B montre une lumière incohérente.

Nous avons vu comment nous pouvons examiner la forme d’une onde pour déterminer ses propriétés, et comment nous pouvons comparer deux formes d’ondes afin de déterminer si deux ondes sont cohérentes ou incohérentes.

Nous pouvons également le faire d’une autre manière.

Nous avons dit au début de cette fiche explicative que les ondes lumineuses oscillent de manière sinusoïdale. Cela signifie que nous pouvons les décrire mathématiquement en utilisant la fonction sinus.

Considérons les deux fonctions suivantes:𝑦=(𝑥),𝑦=2(𝑥).sinsin

En traçant ces deux fonctions, on obtient les graphiques suivants.

On voit que le graphique de 𝑦=(𝑥)sin (la ligne en rouge) oscille entre un déplacement de 1 et un déplacement de 1. Tandis que le graphique de 𝑦=2(𝑥)sin (la ligne bleue) oscille avec le double de l’amplitude, entre un déplacement de 2 et un déplacement de 2.

Plus généralement, une fonction 𝑦=𝐴(𝑥)sin décrit une onde sinusoïdale qui oscille entre 𝐴 et 𝐴.

Lorsque l’on utilise une fonction sinus pour décrire une onde lumineuse, on peut voir que la valeur de 𝐴 dans cette fonction décrirait l’amplitude de l’onde.

Maintenant, considérons les deux fonctions suivantes:𝑦=(𝑥),𝑦=(2𝑥).sinsin

Si on trace ces deux fonctions, on obtient les graphiques suivants.

Le graphique de 𝑦=(𝑥)sin (la ligne en rouge) prend 360 pour compléter un cycle d’oscillation. Tandis que le graphique de 𝑦=(2𝑥)sin (la ligne violette) prend la moitié de cette distance, soit 180 , pour terminer un cycle.

Plus généralement, pour une fonction 𝑦=(𝑘𝑥),sin plus la valeur de 𝑘 est grande, plus l’onde sinusoïdale complète les cycles sur une distance petite.

Lorsque l’on utilise une fonction sinus pour décrire une onde lumineuse, on peut voir que la valeur de 𝑘 est liée à la longueur de l’onde. Plus la valeur de 𝑘 est grande, plus la longueur d’onde est courte.

En combinant ces deux éléments d’information, nous pouvons décrire mathématiquement une onde lumineuse comme suit.

Définition : description mathématique d’une onde lumineuse

On peut décrire une onde lumineuse mathématiquement en utilisant l’équation suivante:𝑦=𝐴(𝑘𝑥).sin

Dans cette équation, 𝐴 est l’amplitude de l’onde et 𝑘 est liée à la longueur d’onde - plus la valeur de 𝑘 est grande , plus la longueur d’onde de l’onde est courte.

En étudiant les fonctions mathématiques décrivant deux ou plusieurs ondes, nous sommes en mesure de déterminer si ces ondes sont cohérentes ou non. Voyons comment cela fonctionne en considérant deux ondes lumineuses décrites par les fonctions suivantes:𝑦=𝐴(𝑘𝑥),𝑦=𝐴(𝑘𝑥).sinsin

On se rappelle que pour que deux ondes soient cohérentes, elles doivent avoir la même fréquence et une différence de phase constante entre elles. Nous avons déjà vu que deux ondes lumineuses qui ont la même longueur d’onde ont la même fréquence, tandis que deux ondes lumineuses avec des longueurs d’onde différentes ont des fréquences différentes.

Nous savons que les 𝑘 dans ces fonctions déterminent les longueurs d’onde des ondes. Par conséquent, pour que les deux ondes soient cohérentes, il faut que 𝑘=𝑘.

Par extension, si 𝑘 n’est pas égal à 𝑘 , alors les deux ondes sont incohérentes.

La définition de la cohérence ne dépend pas des amplitudes des ondes, les valeurs de 𝐴 et 𝐴 n’ont pas d’effet sur la cohérence des ondes.

Terminons par un exemple de description mathématique d’ondes lumineuses.

Exemple 3: Déterminer quelle onde n’est pas cohérente en utilisant les fonctions descriptives des ondes

Les cinq fonctions suivantes sont utilisées pour modéliser cinq ondes lumineuses:

  1. 𝑦=(𝑥)sin
  2. 𝑦=2(𝑥)sin
  3. 𝑦=(2𝑥)sin
  4. 𝑦=3(𝑥)sin
  5. 𝑦=0,75(𝑥)sin

Laquelle des cinq ondes n’est pas cohérente avec les quatre autres?

Réponse

On nous demande de déterminer laquelle des fonctions qui nous sont données décrit une onde non cohérente avec les quatre autres.

Rappelons que pour être cohérentes, les ondes doivent avoir la même fréquence et une différence de phase constante les unes des autres.

On peut aussi rappeler que le facteur par lequel 𝑥 est multiplié à l’intérieur de la fonction sinusoïdale est liée à la longueur d’onde et que les ondes avec la même longueur d’onde les unes des autres ont également la même fréquence.

Pour les ondes i, ii, iv et v, les facteurs multiplicatifs de 𝑥 sont tous égalent à 1. Elles doivent donc toutes avoir la même longueur d’onde. Par conséquent, ils doivent aussi avoir la même fréquence les unes des autres, ce qui signifie qu’elles sont cohérentes.

Cependant, pour l’onde iii, 𝑥 est multipliée par 2. Cela signifie que la longueur d’onde de l’onde iii n’est pas la même que pour les quatre autres, et nous savons donc que cette onde a aussi une fréquence différente des autres. Par conséquent, elle n’est pas cohérente avec les autres.

Ainsi, notre réponse à la question est que c’est l’onde iii qui n’est pas cohérente avec les quatre autres ondes.

Points clés

  • La phase d’une onde est une mesure de l’état d’évolution du cycle à un point particulier de l’espace et du temps.
  • Deux ou plusieurs ondes sont cohérentes si elles ont la même fréquence et si la différence de phase entre elles est constante.
  • Deux ondes non cohérentes sont dites incohérentes.
  • On peut déterminer si deux ondes sont cohérentes en observant les formes d’onde. Dans ce cas, nous pouvons tracer des lignes de repère perpendiculairement à la direction de propagation, et de vérifier si les ondes ont un déphasage constant d’une ligne de repère à l’autre.
  • On peut aussi déterminer si deux ondes sont cohérentes en étudiant les fonctions décrivant ces ondes. Soit deux ondes décrites par les fonctions 𝑦=𝐴(𝑘𝑥)sin et 𝑦=𝐴(𝑘𝑥)sin , alors ces deux ondes sont cohérentes si 𝑘=𝑘. Si cette condition n’est pas remplie, les ondes sont alors incohérentes.

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