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Fiche explicative de la leçon: Décomposition de forces Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des problèmes de décomposition d’une force selon deux directions.

La force est une quantité vectorielle, et une force peut donc être représentée par une flèche dans la direction et le sens de la force avec une longueur proportionnelle à l’intensité de la force.

Le sens d’une force peut être exprimé en fonction d’un repère. L’exemple le plus intuitif d’un tel système est probablement un système à deux dimensions avec des axes perpendiculaires. La convention usuelle est de nommer ces axes 𝑥 et 𝑦, comme indiqué sur la figure suivante.

La direction d’une force peut être parallèle à l’un des axes du repère. Cela est illustré par la figure suivante pour une force dont le point d’application est l’origine du système.

Lorsque la ligne d’action d’une force est parallèle à un axe d’un tel système de coordonnées, elle est nécessairement perpendiculaire à l’autre axe du système.

La direction de la force peut toutefois former un angle arbitraire avec des droites parallèles à l’un des axes du système, comme illustré sur la figure suivante.

La ligne d’action de la force illustrée forme un angle 𝜃 avec l’axe 𝑥 des abscisses du système et forme un angle 𝜙 avec l’axe 𝑦 des ordonnées du système.

Une force agissant dans un sens arbitraire peut être exprimée en fonction de deux composantes. Chaque composante est parallèle à l’un des axes du système et perpendiculaire à l’autre axe. Les directions de ces composantes sont donc perpendiculaires. Les composantes perpendiculaires d’une force et la force elle-même sont représentées sur la figure suivante.

Les intensités des composantes perpendiculaires d’une force peuvent être déterminées à partir des formules trigonométriques des triangles rectangles. On considère la figure suivante d’un triangle rectangle qui a un angle 𝜃.

Les rapports des longueurs des côtés opposés et adjacents sur la longueur de l’hypoténuse sont déterminés par les équations suivantes:sincôtéopposéhypoténuse𝜃= et coscôtéadjacenthypoténuse𝜃=.

Une force 𝐹 et ses composantes forment un triangle rectangle, comme illustré sur la figure suivante.

On suppose que les flèches représentant la force et ses composantes sont dans un repère où l’angle 𝜃 est l’angle par rapport à l’axe 𝑥 des abscisses du repère.

Les rapports des intensités des composantes de la force sur la force sont donc donnés par sin𝜃=𝐹𝐹; donc, 𝐹=𝐹𝜃sin et cos𝜃=𝐹𝐹; donc, 𝐹=𝐹𝜃.cos

Les composantes perpendiculaires d’une force sont souvent représentées agissant sur le point sur lequel la force s’applique. La figure suivante montre que représenter les composantes de la force de cette manière équivaut à représenter la force comme la somme de ses composantes perpendiculaires.

Étudions un exemple de décomposition d’une force en composantes perpendiculaires.

Exemple 1: Décomposer une force en deux composantes perpendiculaires

Décomposez une force de 81 N en deux composantes perpendiculaires d'intensités 𝐹 et 𝐹 comme indiqué sur la figure. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

La composante 𝐹 est donnée par 𝐹=81(54).cos

Au centième près, 𝐹=47,61N.

La composante 𝐹 est donnée par 𝐹=81(54).sin

Au centième près, 𝐹=65,53N.

Il est intéressant de remarquer que les intensités des composantes d’une force dépendent du système de coordonnées choisi pour représenter les vecteurs de force.

Par exemple, une force, qui agit le long de l’axe 𝑥 des abscisses d’un repère, a deux composantes non nulles dans un autre repère, comme le montre la figure pour un repère tourné d’un angle 𝜃 par rapport au repère dans lequel 𝐹 est parallèle à l’axe des abscisses 𝑥.

Les lignes d’action des composantes 𝐹 et 𝐹 sont le long des axes 𝑥 des abscisses et 𝑦 des ordonnées de ce repère tourné.

Étudions un exemple de décomposition d’une force en composantes perpendiculaires par rapport à une direction arbitraire.

Exemple 2: Décomposer le poids d’une particule dans les directions parallèles et perpendiculaires au plan

Un corps pesant 72 N est placé sur un plan incliné de 45 par rapport à l’horizontale. Décomposez son poids en deux composantes d’intensité 𝐹 et 𝐹, 𝐹 est l’intensité de la composante dans la direction du plan et 𝐹 est l’intensité de la composante perpendiculaire au plan.

Réponse

La figure suivante montre les forces agissant sur le corps, où le poids du corps 𝑃 est de 72 N.

Les composantes du poids parallèles et perpendiculaires au plan sont perpendiculaires entre elles;donc, 𝑃=𝐹=𝑃(45)=𝑃(45)=722=362,sincos et 𝑃=𝐹=𝑃(45)=𝑃(45)=722=362.cossin

Étudions maintenant un autre exemple similaire.

Exemple 3: Décomposer le poids d’un corps sur un plan incliné

Une particule pesant 69 N est placée sur un plan incliné selon un angle 𝜃 par rapport à l’horizontale, où tan𝜃=43. Décomposez le poids de la particule en deux composantes, 𝐹 et 𝐹, 𝐹 est parallèle à la pente et 𝐹 est perpendiculaire à 𝐹.

Réponse

La figure suivante montre la force du poids de la particule et ses composantes parallèles et perpendiculaires au plan. Une section du plan qui correspond à un triangle rectangle est représentée.

La question stipule que tan(𝜃)=43.

On peut en déduire que les longueurs des côtés du triangle opposés et adjacents à l’angle 𝜃 ont un rapport de 34. Pour un triangle rectangle dont les côtés ont ce rapport de longueurs, le rapport du côté adjacent à 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse est 35, et le rapport du côté opposé 𝜃 sur la longueur de l’hypoténuse est 45.

On en déduit que cossin(𝜃)=35,(𝜃)=45.

La composante du poids de la particule perpendiculaire au plan, 𝐹 forme un angle 𝜃 avec le sens du poids de la particule, l’intensité 𝐹 est donc 𝐹=69(𝜃)=6935=41,4.cosN

Inversement, l’intensité de la composante du poids de la particule parallèle au plan, 𝐹, est donnée par 𝐹=69(𝜃)=6945=55,2.sinN

Jusqu’à présent, nous avons considéré des composantes perpendiculaires d’une force. On peut considérer une force comme étant constituée de deux composantes non perpendiculaires. La figure suivante montre une force 𝐹 et deux composantes non perpendiculaires 𝐹 et 𝐹, 𝐹=𝐹+𝐹.

Pour une force 𝐹, il y a une infinité de paires de composantes dont la somme est égale à 𝐹. 𝐹 et 𝐹 ne sont qu’un exemple d’une telle paire de composantes.

Pour les composantes non perpendiculaires d’une force, on doit utiliser des règles trigonométriques différentes de celles des triangles rectangles.

Les composantes 𝐹 et 𝐹 peuvent être représentées comme s’appliquant sur le même point que 𝐹, comme illustré sur la figure suivante.

On peut tracer les segments de l’extrémité de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹, et de l’extrémité de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹. Ces segments complètent un parallélogramme, comme le montre la figure suivante.

Le segment allant de l’extrémité de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹 est parallèle à 𝐹. Le segment allant de l’extrémité de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹 est parallèle à 𝐹. La ligne d’action de 𝐹 est une droite à partir de laquelle deux angles peuvent être définis pour le parallélogramme, comme illustré sur la figure suivante.

Le parallélogramme est constitué de deux triangles semblables, pour lesquels l’angle inconnu 𝛼 est donné par 𝛼=180(𝜃+𝜙), comme illustré sur la figure suivante.

On considère un des triangles du parallélogramme, comme indiqué sur la figure suivante.

Les longueurs des côtés d’un triangle 𝐴𝐵𝐶 sont liées aux angles du triangle par la loi des sinus 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶,sinsinsin𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les longueurs des côtés opposés aux angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶.

Pour 𝐹, 𝐹 et 𝐹, 𝐹𝜙=𝐹𝜃=𝐹𝛼.sinsinsin

Étudions un exemple de décomposition d’une force en composantes non perpendiculaires.

Exemple 4: Décomposer une force en deux composantes illustrées par un diagramme

Une force d’intensité 41 N agit plein sud. Elle se décompose en deux composantes comme indiqué sur le schéma. Déterminez les intensités de 𝐹 et 𝐹. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Un parallélogramme peut être tracé avec des longueurs de côtés proportionnelles aux intensités de 𝐹 et 𝐹. Un segment peut être tracé du sommet en lequel ces côtés se rencontrent au sommet opposé du parallélogramme. Ce segment a une longueur de 41 unités, comme indiqué sur la figure suivante.

Si on considère un des triangles de ce parallélogramme, il contient un angle 𝜃, comme indiqué sur la figure suivante.

L’angle 𝜃 est donné par 𝜃=180(60+45)=75.

Les intensités de 𝐹 et 𝐹 peuvent être déterminées en appliquant la loi des sinus dans le triangle:𝐹(45)=𝐹(60)=41(75).sinsinsin

On a donc 𝐹=41(45)(75).sinsin

Au centième près, 𝐹=30,01N.

On a aussi 𝐹=41(60)(75).sinsin

Au centième près, 𝐹=36,76N.

Étudions un autre exemple.

Exemple 5: Décomposer des forces dans un contexte réel

La figure montre un corps de poids 69 N suspendu par 2 cordes légères inextensibles, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶. Les deux cordes forment un angle de 37 avec l’horizontale. Décomposez le poids du corps en deux composantes dans le sens de 𝐴𝐶 et dans le sens de 𝐵𝐶. Donnez vos réponses au newton près.

Réponse

Les cordes forment le même angle avec l’horizontale donc les intensités des composantes 𝑃 et 𝑃 sont égales. La ligne d’action du poids du corps est perpendiculaire à 𝐴𝐵.

La figure suivante illustre deux triangles rectangles. Pour chaque triangle, les angles non droits sont 37 et 𝜃.

L’angle entre chaque composante et le poids est également 𝜃 et est donc donné par 𝜃=9037=53.

On peut définir un parallélogramme dont un sommet est 𝐶 et un autre sommet est verticalement en dessous de 𝐶 proportionnel au poids, où les longueurs de chaque côté du parallélogramme sont proportionnelles à l’intensité de l’une des composantes. Un triangle de ce parallélogramme est représenté sur la figure suivante.

De là, on peut voir que 69(74)=𝑃(53),𝑃=69(53)(74).sinsinsinsin

Au newton près, 𝑃=57N.

Chaque composante a une intensité de 57 N.

Résumons maintenant ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Une force en deux dimensions, 𝐹, peut être décomposée en composantes, 𝐹 et 𝐹. Si ces composantes sont perpendiculaires entre elles dans un repère utilisé pour représenter la force, alors les intensités de ces composantes sont 𝐹=𝐹𝜃cos et 𝐹=𝐹𝜃,sin𝜃 est l’angle entre 𝐹 et l’axe 𝑥 des abscisses du repère.
  • Une force peut être décomposée en des composantes qui ne sont pas perpendiculaires. Un parallélogramme peut être formé avec une diagonale de longueur proportionnelle à l’intensité de la force, et des côtés proportionnels aux intensités des composantes de la force qui agissent selon des angles avec la force proportionnels aux angles internes du parallélogramme. Les longueurs des côtés du parallélogramme peuvent être déterminées en utilisant la loi des sinus 𝑎𝐴=𝑏𝐵=𝑐𝐶,sinsinsin𝐴𝐵𝐶 est un triangle du parallélogramme avec les côtés 𝑎, 𝑏 et 𝑐, 𝑎, 𝑏, et 𝑐 sont les longueurs des côtés du triangle opposés aux angles 𝐴, 𝐵 et 𝐶.

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