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Fiche explicative de la leçon : Première loi de Newton Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des problèmes en utilisant la première loi de Newton.

Commençons par définir la première loi de Newton.

Définition : Première loi de Newton

Un corps en mouvement uniforme continuera dans ce mouvement uniforme à moins qu’une force non nulle agisse sur lui.

Pour que le mouvement d’un corps soit uniforme, la vitesse du corps doit être constante. Un corps au repos est un cas particulier d’un corps en mouvement uniforme, où la vitesse du corps est constamment nulle.

Si plusieurs forces agissent sur un corps, la force résultante due à ces forces peut être nulle. Un exemple commun de cela est le cas d’un corps au repos sur une surface lisse et horizontale. Les forces agissant sur un tel corps sont représentées sur la figure suivante.

La force 𝑃 est le poids du corps et la force 𝑅 est la force de la réaction normale due au contact du corps et de la surface. Pour un corps au repos, les normes de 𝑃 et 𝑅 doivent être égales, et 𝑃 et 𝑅 doivent agir dans des sens opposés avec la même direction.

Le phénomène d’un corps restant au repos ou à une vitesse uniforme lorsqu’aucune force résultante n’agit sur lui, ou bien la première loi de Newton, c’est connu sous le nom d’inertie.

Définition : Inertie

L’inertie est une propriété de toute matière par laquelle un objet conserve son état de repos actuel ou un mouvement rectiligne uniforme à moins d’avoir une force externe agissant sur lui.

Il y a une relation entre la quantité d’inertie d’un corps et la masse de ce corps.

Imagine que tu as des balles devant toi. L’une est une balle de ping-pong ayant une masse de 3 grammes et l’autre est une boule de bowling ayant une masse de 8 kilogrammes. Si vous deviez rouler les deux balles loin de vous, il serait beaucoup plus difficile de rouler la boule de bowling que la balle de ping-pong. En d’autres termes, la force nécessaire pour commencer à déplacer la boule de bowling est plus grande que celle requise pour commencer à déplacer la balle de ping-pong.

Cela se produit parce que la balle de bowling s’efforce de maintenir son état de repos actuel plus que la balle de ping-pong. En d’autres termes, elle a une plus grande inertie, ce qui est dû au fait qu’il a une plus grande masse.

Propriété : La relation entre l’inertie et la masse

Plus la masse d’un corps est grande, plus la force nécessaire pour le déplacer à partir du repos est grande. Autrement dit, plus la masse du corps est grande, plus l’inertie du corps est grande.

Étudions un exemple de corps en mouvement uniforme soumis à des forces multiples

Exemple 1: Déterminer la norme des forces agissant sur un corps se déplaçant à une vitesse constante en utilisant la première loi de Newton

Sur la figure, le corps se déplace avec un vecteur vitesse constant 𝑣 sous l’action d’un système de forces. Sachant que les forces sont mesurées en newtons, déterminer les normes de 𝐹 et 𝐾.

Réponse

Le corps se déplace avec un vecteur vitesse constant, la force résultante agissant sur lui doit donc être nulle.

Les forces résultantes agissant sur le corps parallèlement et perpendiculairement à 𝑣 peuvent être considérées séparément.

Perpendiculairement à 𝑣, une force de 20 N et une force de 31 N agissent dans le même sens. La norme de 𝐹 doit être la somme de ces forces, donc 𝐹=20+31=51.N

Parallèlement à 𝑣, les forces agissant sur le corps sont la force de 79 N et 𝐾. La norme de 𝐾 doit donc être 79 N.

Étudions un autre exemple.

Exemple 2: Déterminer la norme des forces agissant sur un corps se déplaçant à une vitesse constante en utilisant la première loi de Newton

Sur la figure donnée, le corps est soumis à l’action d’un système de forces. Sachant qu’il se déplace avec un vecteur vitesse constant 𝑣 et que les forces sont mesurées en newtons, déterminez 𝐹 et 𝐾.

Réponse

Le corps se déplace avec un vecteur vitesse constant, et la force résultante agissant sur lui doit être nulle.

Les forces résultantes agissant sur le corps parallèlement et perpendiculairement à 𝑣 peuvent être considérées séparément.

Perpendiculairement à 𝑣, une force de 35 N et une force de 31 N agissent dans des sens opposés. La norme 2𝐹 doit être la différence entre ces forces, soit 2𝐹=3531=4𝐹=2.N

Parallèlement à 𝑣, les forces agissant sur le corps sont la force de 56 N et la force de 8𝐾. La norme 8𝐾 est donnée par 8𝐾=56𝐾=7.N

Étudions maintenant un exemple où plusieurs forces agissent sur un corps en mouvement uniforme et où l’une des forces agit dans une direction ni parallèle ni perpendiculaire à la vitesse du corps.

Exemple 3: Déterminer la norme des forces agissant sur un corps se déplaçant à une vitesse constante en utilisant la première loi de Newton

Un corps de masse 20 kg est tiré le long d’un plan horizontal par une corde qui forme un angle 𝜃 avec le plan, où tan𝜃=512. Lorsque la tension dans la corde est de 91 N, le corps se déplace avec une vitesse uniforme. Déterminer la résistance totale au mouvement 𝐹, et la réaction normale, 𝑅. Utiliser 𝑔=9,8/ms.

Réponse

Les forces agissant sur le corps sont représentées sur la figure suivante.

Le corps a un vecteur vitesse constant, la force résultante agissant sur le corps est donc nulle.

Pour que la force résultante exercée sur le corps parallèlement au vecteur vitesse du corps soit nulle, il faut que 𝐹=91(𝜃).cos

Pour que la force résultante exercée sur le corps perpendiculairement au vecteur vitesse du corps soit nulle, il faut que 𝑅+91(𝜃)=20(9,8)=196𝑅=19691(𝜃).sinsin

La corde qui fournit la force de 91 N agit selon un angle 𝜃 avec l’horizontale. Comme indiqué, tan(𝜃)=512.

La corde correspond à l’hypoténuse d’un triangle rectangle avec les dimensions indiquées sur la figure suivante.

La longueur de l’hypoténuse, 𝐻, est donnée par 𝐻=5+12=169𝐻=169=13.

À partir de là, on peut déterminer que sin(𝜃)=513 et cos(𝜃)=1213.

Ces valeurs permettent de déterminer les normes de 𝐹 et 𝑅 comme suit:𝐹=911213=84,𝑅=19691513=161.NN

La première loi de Newton peut être appliquée dans un contexte où une force variable doit prendre une valeur particulière pour pouvoir produire un mouvement uniforme. Étudions un tel exemple.

Exemple 4: Déterminer la vitesse maximale pour une situation réelle à l’aide de la première loi de Newton

Un soldat a sauté d’un avion avec un parachute. Après avoir ouvert son parachute, la résistance à son mouvement était directement proportionnelle au cube de sa vitesse. Quand sa vitesse était 19 km/h, la résistance à son mouvement était 127 du poids total de son corps et de son parachute. Déterminer la vitesse maximale de sa descente.

Réponse

Le soldat qui tombe est accéléré vers le bas par la force gravitationnelle agissant sur lui, augmentant son vecteur vitesse vers le bas. La résistance au mouvement du soldat agissant vers le haut varie avec le vecteur vitesse du soldat.

Lorsque le soldat tombe et accélère vers le bas, la résistance à son mouvement augmente, diminuant la force résultante vers le bas sur lui, diminuant également son accélération vers le bas, ralentissant ainsi l’augmentation de son vecteur vitesse descendant.

La vitesse maximale de descente du soldat est atteinte à l’instant où son vecteur vitesse de descente devient constant. À cet instant, l’accélération du soldat doit être nulle, et selon la première loi de Newton, la force résultante exercée sur le soldat à cet instant doit donc être nulle.

Il est indiqué que lorsque la vitesse du soldat est 19 km/h, la norme de la force de résistance produite est 𝑃27,𝑃 est le poids total du soldat avec le parachute.

Il est indiqué que la résistance agissant sur le soldat avec le parachute est directement proportionnelle au cube de la vitesse du soldat, ce qui nous donne 𝑅=𝑃27=𝐾𝑣=𝐾19=𝐾(6859),𝐾 est une constante de proportionnalité.

À l’instant où la norme de la résistance agissant sur le soldat avec le parachute est égale à la norme du poids du soldat avec le parachute, la norme de la force de résistance, 𝑅max, est égale à 𝑃, soit 27 fois la norme de la force de résistance à 19 km/h. Lorsque la résistance augmente d’un facteur 27, 𝑣 augmente également d’un facteur 27 pour donner la vitesse maximale, 𝑣max. Cela nous donne 𝑅=27𝑅=27(𝐾)19=𝐾𝑣𝐾𝑣=27(𝐾)19=𝐾(185193).maxmaxmax

La valeur de 𝑣 est obtenue en divisant les deux côtés de l’équation par 𝐾 et en prenant la racine cubique du résultat:𝑣=185193𝑣=185193=57/.maxmaxkmh

Points clés

  • Un corps en mouvement uniforme continuera dans ce mouvement uniforme à moins qu’une force non nulle agisse sur lui.
  • Un corps au repos est un cas particulier de mouvement uniforme pour lequel la vitesse du corps est constamment nulle.
  • Si plusieurs forces agissent sur un corps en mouvement uniforme, la résultante de ces forces doit être nulle.

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