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Fiche explicative de la leçon : Milieu dans un repère Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les coordonnées du milieu de deux points ou celles d'une extrémité dans un repère.

En géométrie et dans de nombreux autres domaines mathématiques, on a souvent besoin de trouver le centre d’un segment, c’est-à-dire le point appartenant au segment équidistant des deux extrémités. C’est ce qu’on appelle le milieu du segment. Par exemple, le centre d’un cercle est le milieu de tous ses diamètres. On peut également l’utiliser lorsque l’on recherche les médianes de triangles connaissant les coordonnées des sommets.

Avant d’apprendre comment trouver le milieu d’un segment, nous commençons par le définir formellement.

Définition : Milieu d’un segment.

Le milieu d’un segment 𝐴𝐵 est le point 𝑀 situé sur le segment qui est équidistant (à égale distance) de 𝐴 et 𝐵. En d’autres termes, 𝑀𝐴𝐵 et 𝐴𝑀=𝐵𝑀.

Par exemple, on recherche le milieu du segment entre (1;1) et (1;5). On trace ce segment comme suit.

Le milieu de ce segment est le point situé à égale distance de ses deux extrémités;en d’autres termes, il est à mi-chemin entre les deux. Comme ce segment est vertical, on peut déterminer la longueur du segment en calculant la différence entre les ordonnées 𝑦;le segment a une longueur de 4. La moitié de cette valeur est 2, donc le milieu se situe à 2 unités des deux extrémités.

Il s’agit du point (1;3);on peut voir qu’il est à une distance de 2 des deux extrémités. Une autre façon d’exprimer cela est que l’on a pris la moyenne des ordonnées 𝑦:on a 3=5+12 donc il est à mi-chemin entre ces valeurs.

On peut utiliser le même raisonnement pour déterminer le milieu d’un segment horizontal. Par exemple, pour déterminer le milieu du segment entre (𝑥;𝑎) et (𝑥;𝑎), on prend la moyenne des abscisses 𝑥 et on trouve que le milieu est 𝑥+𝑥2;𝑎.

On peut alors poser la question plus généralement:comment trouver le milieu d’un segment qui n’est ni vertical ni horizontal?Pour ce faire, on considère le segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) qui n’est ni horizontal ni vertical. On appelle son milieu 𝑀(𝑚;𝑚), comme illustré.

On note que comme 𝑀 est le milieu du segment, les deux moitiés du segment sont de longueur égale. Pour déterminer les coordonnées de 𝑀, on construit les triangles rectangles suivants en utilisant des segments verticaux et horizontaux.

En remarquant que les segments horizontaux sont parallèles et que les segments verticaux sont parallèles, on peut utiliser le segment dont on recherche le milieu comme une droite coupant des droites parallèles pour trouver les angles correspondants suivants.

Ces triangles rectangles ont les mêmes angles et leurs hypoténuses sont de même longueur, ils doivent donc être superposables. Comme ces triangles sont superposables, leurs bases et leurs hauteurs sont aussi égales. On ajoute les segments et points suivants.

On voit que (𝑚;𝑦) est le milieu du segment horizontal entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), donc 𝑚 est égal à la moyenne des abscisses 𝑥, ce qui donne 𝑚=𝑥+𝑥2.

De même, (𝑥;𝑚) est le milieu du segment vertical entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦), donc 𝑚 est égal à la moyenne des ordonnées 𝑦, ce qui donne 𝑚=𝑦+𝑦2.

On a montré que le milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Il convient de noter que cette formule fonctionne même si le segment est vertical ou horizontal. Par exemple, si on applique la formule à l’exemple précédent du segment entre (1;1) et (1;5), on a 𝑥=1, 𝑦=1, 𝑥=1 et 𝑦=5, le milieu est donc 1+12,1+52=22,62=(1,3).

Notez que comme les abscisses 𝑥 sont égales, calculer leur moyenne ne change pas cette valeur, la formule fonctionne donc pour tout segment. Nous pouvons résumer ce résultat comme suit.

Théorème : Formule du milieu d’un segment

Le milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Il convient également de noter que l’on se réfère souvent au milieu du segment entre 𝐴 et 𝐵 comme simplement le milieu de 𝐴 et 𝐵. Étudions maintenant quelques exemples d’application de cette formule pour déterminer le milieu de deux points.

Exemple 1: Déterminer le milieu de deux point

Sur le graphique, quel point est à mi-chemin entre (1;8) et (5;2)?

Réponse

On rappelle que le milieu de deux points est le point situé sur le segment entre eux qui est équidistant des deux points. Le milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Dans ce cas, on définit 𝑥=1, 𝑦=8, 𝑥=5 et 𝑦=2, ce qui donne 1+52,8+22=62,102=(3,5).

On peut ajouter ce point au schéma.

On note que le point (3;5) est à trois unités vers le haut et à deux unités à gauche de l’extrémité (5;2) et qu’il y a également trois unités vers le haut et deux unités à gauche de différence entre le point (3;5) et l’autre extrémité. Cela confirme que la distance entre (3;5) et chaque extrémité est la même.

Par conséquent, le milieu a pour coordonnées (3;5).

Exemple 2: Déterminer le milieu à partir des extrémités

Soient 𝐴(4;8) et 𝐵(6;6), quelles sont les coordonnées du milieu de 𝐴𝐵?

Réponse

On rappelle que le milieu d’un segment est le point situé sur le segment à égale distance des extrémités, donc le milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Pour déterminer le milieu entre 𝐴(4;8) et 𝐵(6;6), on définit 𝑥=4, 𝑦=8, 𝑥=6 et 𝑦=64+62,8+62=102,142=(5,7).

Par conséquent, le milieu de 𝐴𝐵 a pour coordonnées (5;7).

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser le milieu et une extrémité pour déterminer les coordonnées de l’autre extrémité.

Exemple 3: Déterminer l’extrémité d’un segment

Soient 𝐴(8;3) et 𝑀(4;1), quelles sont les coordonnées de 𝐵 si 𝑀 est le milieu de 𝐴𝐵?

Réponse

On rappelle que le milieu d’un segment est le point situé à égale distance des deux extrémités. On peut utiliser deux méthodes pour trouver les coordonnées de 𝐵. La première méthode utilise le fait que la distance horizontale et la distance verticale entre 𝐴 et 𝑀 doivent être respectivement égales à la distance horizontale et verticale entre 𝑀 et 𝐵.

La distance horizontale entre 𝐴 et 𝑀 est égale à la différence de leurs abscisses 𝑥:𝑥𝑥=4(8)=12.

Elle doit être égale à la distance horizontale entre 𝑀 et 𝐵:12=𝑥𝑥12=𝑥416=𝑥.

De même, la distance verticale entre 𝐴 et 𝑀 est donnée par 𝑦𝑦=1(3)=4.

Elle est égale à la distance verticale entre 𝑀 et 𝐵:4=𝑦𝑦4=𝑦15=𝑦.

Cela donne 𝐵(𝑥;𝑦)=𝐵(16;5), et on peut le voir sur le schéma suivant.

Alternativement, on peut utiliser la formule du milieu entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) suivante:𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

On connaît les coordonnées d’une extrémité du segment et du milieu, et on doit déterminer les coordonnées de l’autre extrémité. On définit 𝐴(𝑥;𝑦), donc 𝑥=8 et 𝑦=3, et 𝐵(𝑥;𝑦). On peut substituer ces valeurs dans la formule du milieu, et la rendre égal à 𝑀(4;1):(4,1)=8+𝑥2,3+𝑦2.

Pour que les abscisses 𝑥 soient égales, on a 4=8+𝑥2.

Multiplier par 2 donne 8=8+𝑥.

Ajouter 8 aux deux membres donne 𝑥=16.

De même, pour que les ordonnées 𝑦 soient égales, 1=3+𝑦2.

Multiplier par 2 donne 2=3+𝑦.

Ajouter 3 aux deux membres donne 𝑦=5.

Par conséquent, 𝐵 a pour coordonnées (16;5).

Dans le prochain exemple, nous allons utiliser la formule du milieu pour déterminer des valeurs inconnues dans les coordonnées d’un milieu.

Exemple 4: Déterminer les inconnues des coordonnées d’un point à l’aide de la formule du milieu

Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 telles que (2𝑎;2𝑎+𝑏) est le milieu du segment de (2;3) à (2;11).

Réponse

On rappelle que le milieu de 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Si on définit 𝐴(2;3) et 𝐵(2;11), alors on peut substituer les coordonnées de ces points dans la formule du milieu et l’égaliser à (2𝑎;2𝑎+𝑏) pour obtenir (2𝑎,2𝑎+𝑏)=2+22,3+112(2𝑎,2𝑎+𝑏)=02,82(2𝑎,2𝑎+𝑏)=(0,4).

En égalisant les abscisses 𝑥, on a 2𝑎=0𝑎=0.

En égalisant les ordonnées 𝑦, on a 2𝑎+𝑏=42(0)+𝑏=4𝑏=4.

Par conséquent, 𝑎=0 et 𝑏=4.

Dans le prochain exemple, nous allons appliquer la formule du milieu à un problème de la vie courante impliquant la distance entre une fontaine, une maison et une route.

Exemple 5: Déterminer le milieu dans un problème de la vie courante

Un jardin rectangulaire est situé à côté d’une maison le long d’une route. Dans le jardin, il y a un oranger à 7 m de la maison et à 3 m de la route. Il y a aussi un pommier situé à 5 m de la maison et à 9 m de la route. Une fontaine est placée à mi-chemin entre les arbres. À quelle distance de la maison et de la route se trouve la fontaine?

Réponse

On commence par tracer un schéma contenant les informations données. On dessine d’abord le jardin rectangulaire, la route et la maison.

On sait qu’il y a deux arbres:un oranger à 7 m de la maison et 3 m de la route et un pommier à 5 m de la maison et 9 m de la route, avec une fontaine placée à mi-chemin entre les arbres comme indiqué ci-dessous.

Pour déterminer la distance entre la fontaine et la maison, on désigne tout point du jardin comme un couple de coordonnées de la forme (distance à la maison;distance à la route). Par exemple, le point 𝑂(0;0) est le point dans le jardin qui touche la maison et la route. Le pommier a donc pour coordonnées (5;9) et l’oranger a pour coordonnées (7;3). Comme la fontaine est à mi-chemin entre ces points, il s’agit de leur milieu et on rappelle que le milieu de 𝐴(𝑥;𝑦) et 𝐵(𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

Substituer 𝑥=5, 𝑦=9, 𝑥=7 et 𝑦=3 dans la formule du milieu donne fontaine=5+72,9+32=(6,6).

Par conséquent, la fontaine est à 6 m de la maison et à 6 m de la route.

Exemple 6: Déterminer l’extrémité d’un segment à partir du milieu et de l’autre extrémité

L’origine est le milieu du segment 𝐴𝐵. Déterminez les coordonnées du point 𝐵 si les coordonnées du point 𝐴 sont (6;4).

Réponse

On rappelle que le milieu d’un segment est le point situé à égale distance de ses deux extrémités. On peut utiliser deux méthodes pour trouver les coordonnées de 𝐵. La première méthode utilise le fait que la distance horizontale et la distance verticale de 𝐴 à 𝑂 doivent être respectivement égales à la distance horizontale et verticale de 𝑂 à 𝐵.

On voit que la distance horizontale de 𝐴 à 𝑂 est donnée par l’abscisse 𝑥 de 𝐴, |6|=6.

De même, la distance verticale est donnée par l’ordonnée 𝑦 de 𝐴 et est égale à 4 unités. Comme 𝐴 est à 6 unités à gauche du milieu 𝑂 et à 4 unités au-dessus de 𝑂, 𝐵 doit être à 6 unités à droite de 𝑂 et à 4 unités en dessous de 𝑂, au point de coordonnées (6;4). On peut le voir sur la figure suivante.

Alternativement, on peut trouver les coordonnées de 𝐵 à partir de la formule du milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) suivante:𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

On connaît les coordonnées d’une extrémité du segment et du milieu et on doit déterminer les coordonnées de l’autre extrémité. On définit 𝐴(𝑥;𝑦), donc 𝑥=6 et 𝑦=4, et 𝐵(𝑥;𝑦). On peut substituer ces valeurs dans la formule du milieu et l’égaliser avec l’origine (0;0):(0,0)=6+𝑥2,4+𝑦2.

Pour que les abscisses 𝑥 soient égales, on a 0=6+𝑥2.

Multiplier par 2 donne 0=6+𝑥.

Ajouter 6 aux deux membres donne 𝑥=6.

De même, pour que les ordonnées 𝑦 soient égales, 0=4+𝑦2.

Multiplier par 2 donne 0=4+𝑦.

En soustrayant 4 aux deux membres, on obtient 𝑦=4.

Par conséquent, 𝐵 a pour coordonnées (6;4).

Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Le milieu d’un segment 𝐴𝐵 est le point 𝑀 situé sur le segment équidistant de 𝐴 et 𝐵. En d’autres termes, 𝑀𝐴𝐵 et 𝐴𝑀=𝐵𝑀. On l’appelle également le milieu de 𝐴 et 𝐵.
  • Le milieu du segment entre (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) a pour coordonnées 𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2.

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