Fiche explicative de la leçon: Fonctions polynomiales Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment identifier et écrire une function polynomiale à une variable, et comment déterminer sa valeur et indiquer son degré et son coefficient dominant.

Les fonctions polynomiales sont omniprésentes en sciences et ont de nombreuses applications dans le monde réel, notamment en mécanique et en finance. Par exemple, l’aire et le volume d'un grand nombre de figures peuvent être calculés à l’aide de fonctions polynomiales. Si l’on considère la fonction , celle-ci peut être utilisée pour calculer l’aire d’un carré de côté . Dans ce cas, la valeur de la fonction est égale à l’aire d’un carré de côté .

Pour bien comprendre ce que l’on entend par polynôme, voyons d'abord quels sont les éléments constitutifs d'un polynôme ; on les appelle monômes.

Par exemple, est un monôme car il s’agit d’un seul terme dans lequel chaque variable n’a que des puissances entières et positives. Pour mieux comprendre ce que l’on entend par monôme, voyons une liste d’expressions et identifions les monômes : 

4. 0

On peut réécrire l’option A comme , où la puissance est un entier positif, donc il s’agit d’un monôme.

L’option B contient la variable élevé à la puissance trois. Le choix de notation de nos variables n'a pas d'importance, donc c'est également un monôme.

Dans l’option C, on rappelle que l'on peut écrire une racine carrée comme une puissance de  ; cela nous permet d’écrire l’option C comme . Puisque la puissance n’est pas un entier, on peut dire que cette expression n’est pas un monôme.

Dans l’option D, on note que 0 est un exemple de monôme car on peut écrire 0 comme . De même, 1 est un exemple de monôme car 1 peut s'écrire comme . En fait, toute valeur constante est un monôme, car elle peut être écrite comme .

Dans l’option E, on peut déduire que n’est pas un monôme car l’expression contient plusieurs termes ; c’est cependant une somme de monômes.

Dans l’option F, on voit que contient une puissance négative, donc ce n’est pas un monôme.

Enfin, dans l’option G on note que est un monôme car il s’agit d’un seul terme où chaque variable est élevée à une puissance entière. Le fait que la constante n’est pas un entier n’a pas d’importance car il est seulement nécessaire que les puissances des variables soient des entiers.

Nous sommes maintenant prêts à définir ce qu'est un polynôme en utilisant notre compréhension des monômes.

Par exemple, on a vu que n’est pas un monôme, mais c’est un polynôme car c’est la somme de deux monômes. On peut aussi dire que est une fonction polynomiale, où l'on omet souvent le mot fonction pour dire simplement que est un polynôme. On appelle aussi cela un polynôme à une variable, car il n’y a qu’une seule variable qui apparaît dans le polynôme. Pour le reste de cette fiche explicative, nous allons nous concentrer entièrement sur des polynômes à une variable ; chaque terme est un produit de constantes et d’une seule variable, où la variable doit avoir une puissance entière positive ou nulle.

Remarquons que toute fonction sous la forme pour une valeur constante est un cas particulier de polynôme à une variable, car elle peut s'écrire comme une fonction d’une seule variable. Par exemple, peut être écrit comme

Pour s'aider à comprendre le concept de polynôme, identifions parmi les expressions suivantes lesquelles sont des polynômes : 

3. 2

Dans les options A et B, chaque terme est un monôme, donc ce sont deux polynômes. On note que tout monôme est un polynôme particulier contenant un seul terme. Dans l’option C, on sait que , donc c’est aussi un polynôme.

Dans l’option D, on peut écrire le terme comme . Puisque l’exposant est négatif, ce terme n’est pas un monôme, et l’expression n’est donc pas un polynôme. Enfin, dans l’option E, est un polynôme à une variable notée .

Voyons maintenant un exemple pour déterminer quelles fonctions parmi une liste de fonctions sont polynomiales.

Dans notre prochain exemple, nous allons construire une fonction polynomiale à partir d’informations données sur un problème réel.

Dans notre prochain exemple, nous allons évaluer une fonction polynomiale en une valeur donnée. Pour ce faire, on rappelle que l'on peut évaluer toute fonction en une valeur et ce par substitution. Pour une fonction , on évalue en prenant dans la fonction .

Avant de passer à d’autres exemples de fonctions polynomiales, nous allons définir quelques termes qui seront utiles pour décrire les différentes fonctions polynomiales avec lesquelles on travaille.

Par exemple, considérons la fonction polynomiale

Puisqu’il s’agit d’un polynôme à une variable, son degré est la plus grande puissance parmi tous les termes non nuls. On peut utiliser les règles de calcul sur les puissances pour écrire chaque terme en fonction d’une puissances de  : 

Premièrement, on note que , donc ce terme n'intervient pas dans le calcul du degré. On réécrit la fonction comme

Ensuite, l'exposant le plus grand est 3, alors on dit que ce polynôme est de degré 3. Le terme contenant est donc le terme dominant ; c’est . Enfin, le facteur constant de ce terme, 5, est le coefficient dominant.

Il y a certains types de polynômes où il peut être difficile de déterminer ces valeurs. Par exemple, considérons la fonction polynomiale

On peut faire apparaître la variable comme suit

Alors, le plus grand exposant de parmi les termes non nuls est 0, donc le degré du polynôme est 0. Le terme dominant est le seul terme, , et le coefficient dominant est aussi .

Enfin, il faut traiter à part le cas du polynôme nul, qui, en tant que fonction polynomiale à une variable, peut être écrit comme suit : 

Le degré de ce polynôme est la plus grande puissance d’une variable parmi tout terme non nul. Or, chaque terme de cette fonction est égal à zéro, donc le degré de ce polynôme n’est pas défini.

Le degré d’un polynôme nous donne des informations sur sa forme et sa complexité, et pour cette raison, on donne des noms aux familles de polynômes en fonction de leur degré.

Les fonctions polynomiales de degré 0 sont appelées fonctions constantes car elles ne varient pas en fonction de la valeur de la variable ; dans un polynôme à une variable, elles sont toutes de la forme étant donné une constante . Il est également utile de noter qu’il existe des noms pour les polynômes de degrés supérieurs, mais au-delà du degré 5, ces noms ne sont pas couramment utilisés.

Voyons maintenant un exemple d’utilisation de ces définitions pour déterminer le degré et le coefficient dominant d’une fonction polynomiale donnée.

Dans notre prochain exemple, nous allons déterminer le type de fonction polynomiale qui nous est donnée.

Dans notre dernier exemple, nous allons évaluer une fonction polynomiale en une expression algébrique.

Finissons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.