Fiche explicative de la leçon: Croissance et décroissance exponentielles Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à poser et résoudre des équations de croissance et de décroissance exponentielles, et à interpréter leurs solutions.

La croissance et la décroissance exponentielle sont toutes deux basées sur la fonction exponentielle, mais ont un comportement différent en ce qui concerne leurs taux de variation. Le terme de croissance exponentielle décrit une évolution mathématique où une certaine quantité varie de plus en plus vite au cours du temps et atteint une limite divergente. À l'inverse, le terme de décroissance exponentielle décrit une évolution mathématique où une certaine quantité varie de moins en moins vite au cours du temps jusqu'à converger vers une limite finie. Ces variations peuvent se produire pour des valeurs positives ou négatives, selon le signe de la valeur de départ.

Les équations de croissance et de décroissance exponentielles ont de nombreuses applications : par exemple, en physique avec la loi de refroidissement de Newton ou la demi-vie, la datation par le radiocarbone et la désintégration d'éléments radioactifs, en électronique avec la décharge d’un condensateur électrique dans une résistance, en informatique avec la loi de Moore décrivant la croissance du nombre de transistors dans un circuit intégré dense et la puissance de traitement des ordinateurs, ainsi qu'en finance avec les intérêts composés, pour en citer quelques-uns.

Les exemples en biologie incluent la modélisation de la concentration sanguine de médicaments, la propagation de maladies (telles que COVID-19) ou la croissance du cancer. Les modèles de croissance et de traitement des tumeurs ont une très longue histoire, modélisés par l’équation de croissance exponentielle, où et est le nombre de cellules clonogéniques dans une tumeur au temps . Ces modèles mathématiques peuvent être utilisés pour comprendre comment le cancer se développe et croît. Ils peuvent également être utilisés pour optimiser ou personnaliser un traitement, prédire l’efficacité de différentes combinaisons ou de nouveaux traitements, et donner un aperçu du développement de la résistance au traitement.

On peut voir la nature surprenante de la croissance exponentielle avec une histoire de grains de riz sur un échiquier. Selon la légende, le grand vizir Sissa Ben Dahir a inventé le jeu d’échecs et a donné un échiquier au roi indien Shiram. En guise de gratitude pour le cadeau, le grand vizir a reçu le droit d'obtenir toute récompense qu’il demande, aussi longtemps que cela semble raisonnable pour le roi. Le grand vizir fit une demande apparemment humble avec du riz sur un échiquier. Il a demandé qu’un grain de riz soit placé sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la quatrième, et ainsi de suite, en doublant le nombre de riz à partir de la case précédente, jusqu’à la fin de l’échiquier (qui a 64 cases).

Le roi, impressionné par la demande modeste et, afin de tenir sa promesse, ordonne que le riz soit apporté dans des sacs. Pour les premières cases, tout semble bien se passer, mais arrivé à la 21ème case, il y a plus d’un million (1‎ ‎048‎ ‎576) de grains de riz ; le sac est vidé et un autre doit être apporté qui est immédiatement vidé sur la case suivante. Arrivé à la 41ème case, il y a plus d’un milliard (1‎ ‎099‎ ‎511‎ ‎627‎ ‎776) de grains de riz, et au fur et à mesure que l'on avance, en doublant à chaque nouvelle case, il finira par y avoir plus de grains de riz dans les dernières cases que dans le monde entier, sans même compter tout le riz des cases précédentes. Rien que le nombre de grains placés sur la dernière case dépasse la production mondiale de riz pendant plus de 1‎ ‎000 ans.

En fin de compte, la demande faite par le grand vizir n’était pas du tout modeste, et cela montre à quel point les êtres humains ont du mal à comprendre la croissance exponentielle, et ont tendance à sous-estimer son évolution.

Une situation similaire se pose lorsque l’on considère la croissance de la population de lapins. Si une population de lapins double chaque mois, en supposant qu'il n'y ait pas de mort, il y en aura 2 dans le premier mois, 4 dans le deuxième, 8 dans le troisième, puis 16, 32, 64, 128, et ainsi de suite.

C’est une situation similaire aux grains de riz sur un échiquier, ce qui suggère que l’équation la décrivant sera également similaire.

Notons le nombre de grains de riz sur la case . Comme le nombre de grains de riz est le double par rapport au nombre précédent, , et prenant un seul grain de riz sur la première case, , on a la relation

En utilisant cette relation, on peut exprimer le nombre de grains de riz sur la case à l'aide d'une formule en terme de uniquement, puisqu'en effet on a ce qui donne une croissance décrite par

De même, en notant le nombre de lapins au , et en prenant 2 lapins au premier mois, , on a

On peut aussi décrire la croissance des lapins à l'aide de la fonction où pour la case ou pour chaque . Cette fonction est plus générale que la formule que nous avons obtenue pour ou , car elle est définie pour des valeurs non entières de et conserve les mêmes résultats pour les valeurs entières.

Le nombre initial de grains de riz sur l’échiquier, sur la première case , ou la population initiale de lapins, le premier , correspond à ou , et donc à et respectivement. Cette fonction exponentielle décrit l'évolution de la quantité à un temps après la mesure initiale.

En général, on peut décrire la croissance ou la décroissance exponentielle d’une quantité en utilisant une fonction exponentielle, auquel cas la variable et son image par la fonction exponentielle peuvent prendre des valeurs non entières.

Par exemple, l’équation exponentielle décrit une croissance exponentielle, car , tandis que l’équation exponentielle décrit une décroissance exponentielle, car . Notons que l'on exclut , car on aurait , qui est une fonction constante et donc ne change pas.

Considérons un exemple où l'on cherche à trouver l’équation de croissance exponentielle pour modéliser le nombre de bactéries dans un laboratoire au temps .

Exemple 1: Trouver une expression exponentielle pour représenter un modèle de croissance exponentielle

Le nombre de bactéries dans un laboratoire quadruple chaque heure. Il y a initialement 200 bactéries. Trouver une expression pour , le nombre de bactéries après la mesure initiale.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons trouver une expression pour le nombre de bactéries après la mesure initiale.

On rappelle que la croissance exponentielle peut être modélisée par la fonction où est la valeur initiale de et représente la croissance.

Pour le nombre de bactéries, on nous dit qu’il y a initialement 200 bactéries et le nombre de bactéries quadruple chaque heure. Une expression pour le nombre de bactéries après la mesure initiale est

Le graphique pour la fonction de la croissance exponentielle a la forme suivante.

Et le graphique pour la fonction de décroissance exponentielle a la forme suivante.

Les graphiques montrent des cas où les valeurs de départ sont telles que puisqu'on traite principalement des fonctions exponentielles où la valeur de départ de la quantité est positive, surtout lors des applications de la vie courante et pour les exemples de cette fiche explicative, mais cela n’est pas une condition nécessaire pour la définition.

Notons que le comportement asymptotique de la fonction exponentielle est différent selon qu’il y a croissance ou décroissance.

Pour une croissance exponentielle , la limite dépend de la valeur de départ . En particulier, en supposant , la valeur absolue ou la norme de la fonction diverge lorsque tend vers l’infini. Cela signifie que la quantité croît ou décroît sans limite pour un temps arbitrairement grand ; et donc, sa norme augmente avec le temps.

Pour la décroissance exponentielle , la fonction tend vers zéro lorsque tend vers l’infini. Cela signifie que la quantité s'approche arbitrairement proche de zéro pour un suffisamment grand ; et donc, sa norme diminue avec le temps.

En général, on peut avoir dans l’exposant ce qui signifie que la quantité est multipliée par toutes les unités de temps ou, de manière équivalente, la quantité est multipliée par à chaque unité du temps .

À titre d’exemple, la loi de Moore affirme que le nombre de transistors dans un circuit intégré dense double environ tous les deux ans, ce qui augmente la puissance de traitement des ordinateurs.

En utilisant la loi de Moore, on peut trouver une formule explicite pour le nombre de transistors d'un seul circuit dans une . En supposant qu'en 1971 un circuit avait 4‎ ‎004 transistors, on a , et comme le nombre double tous les deux ans, on a où est le nombre d'ans écoulées depuis 1971. Notons que l'on a dans l’exposant, ce qui indique que le nombre de transistors double tous les 2 ans ou, de manière équivalente, est multiplié par chaque an. On peut représenter cette croissance sous forme de tableau, où les valeurs du nombre de transistors sont données tous les deux ans.

Une équation similaire peut être utilisée pour un modèle simple de croissance d'une population connu sous le nom de loi de Malthusian, où est remplacé par , la population au temps , qui peut représenter la croissance ou la propagation de bactéries, virus, plantes, animaux ou personnes.

Par ailleurs, si décrit une quantité qui n’a de sens que lorsqu'elle prend des valeurs entières, alors on peut arrondir la valeur, aux temps pertinents, à l’entier supérieur ou inférieur, selon le modèle mathématique en question. Par exemple, si l'on trouve qu’à un certain temps, on a personnes dans une population, il est logique d’arrondir à , car on ne peut pas avoir 0,48 d’une personne.

Considérons un exemple où la croissance de la population de lapins est donnée par une fonction exponentielle semblable à celle discutée ci-dessus, et il faut déterminer le nombre de lapins après un certain temps.

Exemple 2: Évaluer des équations exponentielles présentant une croissance exponentielle

Simon a 73 lapins. Il pense qu’il aura lapins après . Combien de lapins est-ce qu'il s'attend à avoir après 2 mois ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous allons déterminer le nombre de lapins attendu après 2 mois en utilisant l’expression donnée pour modéliser la population.

Un graphique de cette fonction est donné ci-dessous.

On rappelle que la croissance exponentielle peut être modélisée par la fonction où est la valeur initiale de et représente une croissance exponentielle.

Dans l’expression donnée on a , donc la quantité va croître de manière exponentielle, et , qui représente le nombre initial de lapins que Simon a.

Puisque , la population est multipliée par 4,23 tous les 3 mois ou, de manière équivalente, par chaque mois.

Puisque représente le nombre de mois, le nombre de lapins après 2 mois peut être trouvé en remplaçant dans l’expression : 

Il n'est pas possible d'avoir 0,9339 lapins, donc il faut tronquer la réponse à l’unité c'est-à-dire à 190 lapins.

Par conséquent, le nombre de lapins attendu après 2 mois est 190 lapins.

Les équations de croissance et de décroissance exponentielles peuvent également être réécrites sous une forme équivalente à partir du nombre d’Euler selon où est la valeur initiale et est le taux de croissance dans le cas où , correspondant à , ou de décroissance lorsque , qui correspond à .

Par exemple, s’il y a une population initiale de bactéries et une constante de croissance de , cela peut être décrit par

Dans de nombreuses situations réelles, il est commode de remplacer le paramètre par , où indique de quelle proportion la quantité change après chaque unité de temps . Ainsi, si une quantité augmente exponentiellement de , alors , tandis que pour une quantité qui décroît exponentiellement de on a .

À titre d’exemple, considérons la fonction de décroissance où la formule générale prend les valeurs et . On peut réécrire cette expression sous la forme en déterminant le taux de variation comme suit : 

Ainsi, l’équation exponentielle peut être écrite comme

Le taux de variation est , ce qui représente un pourcentage de décroissance de après chaque unité de .

Considérons un exemple de la vie courante où nous allons déterminer de quel pourcentage la concentration d'un médicament diminue chaque heure en déterminant le taux de variation à partir de l’expression donnée.

Exemple 3: Interpréter des paramètres d’une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte

La figure donnée représente la concentration , en microgrammes par litre, d’un certain médicament dans du plasma sanguin humain mesuré à différents instants. Tenant compte du fait que la concentration après peut être modélisé par la fonction , de quel pourcentage la concentration du médicament diminue-t-elle chaque heure ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous allons déterminer de quel pourcentage la concentration diminue chaque heure à partir de l’expression donnée pour modéliser une concentration dans du plasma sanguin humain.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être modélisée par la fonction où et est le taux de variation de la quantité . Pour la concentration du médicament, on a et et donc un taux de variation

Cela signifie que la concentration du médicament diminue d'un taux de 0,25 par heure, c'est-à-dire d'un pourcentage de .

La plupart du temps, soit l'énoncé indique, soit il faut déterminer de quel pourcentage la quantité croît ou décroît exponentiellement. Pour une quantité qui croît de façon exponentielle, on peut représenter le taux de variation en fonction d’un pourcentage de croissance. Puisque pour une croissance exponentielle, on a où est le pourcentage de croissance. L’équation de la croissance exponentielle peut être exprimée par

Le pourcentage de croissance peut être écrit en fonction de comme

De même, pour une quantité qui décroît de façon exponentielle, on peut représenter le taux de variation en fonction d’un pourcentage de décroissance. Puisque pour une décroissance exponentielle, on a où est le pourcentage de décroissance. L’équation de la décroissance exponentielle peut être exprimée par

Le pourcentage de décroissance peut être écrit en fonction de comme

Par exemple, si l’équation dénote une augmentation de à chaque unité de temps , alors .

Voyons cela avec un exemple concret. Supposons que le marché immobilier dans une certaine ville soit en baisse et que la valeur attendue des propriétés après soit donnée par l’expression où est la valeur initiale. Le pourcentage de réduction de la valeur de la propriété par mois serait de

Maintenant, voyons quelques exemples pour mettre en pratique et approfondir notre compréhension des équations de croissance et de décroissance exponentielles et interpréter leurs solutions.

Dans le premier exemple, nous allons interpréter les paramètres d'une fonction exponentielle donnée et déterminer le pourcentage de décroissance .

Exemple 4: Interprétation des paramètres d’une fonction linéaire ou exponentielle dans un contexte donné

La population d’éléphants en Asie après l'an 1900 est donnée par .

1. Quelle était la population d’éléphants en Asie en 1900 ? 
2. Selon ce modèle, de quel pourcentage la population d’éléphants en Asie a diminué au cours d’un siècle ? 

Réponse

Partie 1

Dans cet exemple, nous allons interpréter les paramètres d’une fonction exponentielle et déterminer la population d’éléphants en Asie à un temps donné.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être représentée par la fonction où est la valeur initiale de et précise qu'il y a décroissance exponentielle.

Dans l’expression donnée on a , donc la quantité , correspondant à la population d’éléphants en Asie, va en effet diminuer exponentiellement et la valeur correspond au nombre initial d’éléphants de l'an 1900. En effet, on peut remplacer dans l’expression donnée pour obtenir cette même valeur.

Ainsi, la population d’éléphants en Asie en 1900 était de 100‎ ‎000.

Partie 2

Maintenant, nous allons déterminer le taux de variation, puis le pourcentage de décroissance.

La population d'éléphants peut aussi être exprimée comme où est le taux de décroissance de la quantité que l'on peut déterminer à partir de comme

Cela signifie que la population d’éléphants diminue à un taux de 0,75 chaque an (après 1900 ), ce qui équivaut à une diminution de chaque an. On peut aussi voir cela en utilisant un pourcentage de décroissance .

Puisque le taux de variation comme attendu pour une décroissance exponentielle, et que la quantité diminue, on peut représenter ce taux de variation comme un pourcentage de réduction donné par où est le pourcentage de réduction. Dans notre cas, le pourcentage vaut .

Ainsi, en pourcentage, la population d’éléphants a diminué de .

Maintenant, voyons un exemple où il faut écrire une équation de décroissance exponentielle pour un fabricant de céréales qui décide de réduire la quantité de sucre dans ses produits. Nous allons également déterminer une équation qui peut être utilisée pour trouver le pourcentage .

Exemple 5: Poser des équations exponentielles à une variable pour résoudre des problèmes

Un fabricant de céréales décide de rendre ses produits plus sains en réduisant la quantité de sucre qu’ils contiennent. L'objectif est de réduire de la quantité de sucre dans leur gamme de produits. Ils prévoient d’atteindre leur objectif en 4 ans.

Poser une équation qu’ils pourraient utiliser pour trouver , le pourcentage annuel de réduction de sucre requis pour atteindre leur objectif.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite déterminer l’équation exponentielle pour un fabricant de céréales qui décide de réduire la quantité de sucre dans ses produits avec un objectif précis. Nous allons déterminer une équation que le fabricant peut utiliser pour trouver , le pourcentage annuel de réduction de sucre requis pour atteindre leur objectif.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être représentée par la fonction où est le montant initial de la quantité , et est le taux de variation de la quantité . Sachant que la quantité diminue, on peut représenter ce taux de décroissance par un pourcentage :  où est le pourcentage de réduction, et la fonction peut être écrite comme

D'après l'énoncé, le fabricant de céréales souhaite réduire la quantité de sucre de en 4 ans dans sa gamme de produits ; en d’autres termes, la quantité de sucre sera du montant initial . Cela signifie qu'on a la condition

On peut aussi remplacer dans la fonction ci-dessus pour obtenir

Ainsi, afin de déterminer le pourcentage de réduction , il faut résoudre

Dans l’exemple suivant, nous allons trouver une équation exponentielle pour modéliser la diminution de la valeur d’une voiture en fonction du temps. Nous allons également déterminer le pourcentage de décroissance à l’entier près, en utilisant l'information selon laquelle la valeur de la voiture est divisée par deux au cours d’un temps donné.

Exemple 6: Poser et évaluer des fonctions exponentielles pour modéliser la décroissance exponentielle dans un contexte de la vie courante

La valeur d’une voiture diminue de chaque an. Une nouvelle voiture coûte .

1. Écrire une fonction qui peut être utilisée pour calculer , la valeur de la voiture en dollars, après .
2. Quelle est la valeur de pour laquelle la valeur de la voiture est divisée par deux en 3 ans ? Donner la réponse à l’entier près.

Réponse

Partie 1

Dans cet exemple, nous allons déterminer la fonction exponentielle pour décrire la valeur d’une voiture après , valeur qui diminue chaque an.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être représentée par la fonction où est le montant initial de la quantité , et est le taux de variation de la quantité .

Puisque la valeur de la voiture baisse chaque an, on peut représenter le taux de décroissance en termes du pourcentage  : 

Une nouvelle voiture coûte , ce qui correspond à la valeur initiale de , et donc . Ainsi, la fonction qui peut être utilisée pour calculer la valeur de la voiture en dollars, après , est donnée par

Partie 2

Maintenant, déterminons le taux de variation , en utilisant le fait que la valeur de la voiture est divisée par deux en 3 ans.

Si la valeur de la voiture est divisée par deux après 3 ans, on a , et en remplaçant dans la fonction, on trouve

Afin de déterminer le pourcentage , il faut résoudre

Ainsi, on a , et à l’entier près la valeur de est .

Maintenant, considérons un exemple où il faut déterminer l’équation exponentielle pour une balle qui perd de l’énergie cinétique chaque fois qu’elle rebondit. En utilisant les informations données, nous allons également déterminer de quelle hauteur, au centimètre près, la balle doit être lâchée pour rebondir jusqu'à une hauteur donnée en un rebond particulier.

Exemple 7: Poser des équations exponentielles d'une variable pour résoudre des problèmes

La balle d’un enfant perd de son énergie chaque fois qu’elle rebondit. En considérant que l’énergie cinétique de la balle est proportionnelle à la hauteur à partir de laquelle elle est tombée, déterminer de quelle hauteur, au centimètre près, la balle doit être lâchée afin qu’elle rebondisse à 20 cm de haut au cinquième rebond.

Réponse

Dans cet exemple, nous allons déterminer de quelle hauteur une balle doit être lâchée pour rebondir jusqu'à une autre hauteur de 20 cm au cinquième rebond en utilisant les informations données dans la question.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être représentée par la fonction où est le montant initial de la quantité , et est le taux de variation de la quantité . Sachant que la quantité diminue, on peut représenter ce taux de décroissance par un pourcentage :  où est le pourcentage de réduction, et la fonction peut être écrite comme

Puisque la balle de l’enfant perd de son énergie à chaque rebond,

Étant donné que, d'après l'énoncé l’énergie cinétique de la balle est proportionnelle à la hauteur à partir de laquelle elle tombe, on a pour une constante (de proportionnalité) telle que car la hauteur et l’énergie cinétique sont toujours positives, et est la hauteur à laquelle la balle rebondit après le rebond. L’énergie cinétique initiale peut également être écrite comme où est la hauteur initiale à partir de laquelle la balle tombe.

L’énergie après rebonds peut être écrite en fonction de la hauteur initiale comme

En utilisant l’expression pour en terme de , cela peut être écrit comme

Or, d'après l'énoncé, la balle rebondit à 20 cm de haut au cinquième rebond ; par conséquent, on a . On peut remplacer pour obtenir l’expression

Ainsi, la hauteur initiale vaut ce qui donne, lorsqu'on arrondit au centimètre près, 45 cm.

Jusqu’à présent, nous avons considéré les fonctions exponentielles de la forme où . On peut aussi transformer les courbes de ces fonctions par une translation de constante comme

Pour la décroissance exponentielle , lorsque devient arbitrairement grand, la fonction tend vers la constante , car le deuxième terme tend vers zéro. Cela signifie qu’après un temps suffisamment grand, la quantité atteint une limite fixe .

Enfin, considérons un exemple où l'on examine cette fonction exponentielle transformée et l'on détermine la fonction à partir des valeurs de la population initiale et des limites données.

Exemple 8: Transformer des graphes de fonctions exponentielles

Une population qui augmente au cours du temps vers une limite positive fixe peut être modélisée par une fonction exponentielle transformée pour , et bien choisis. Le graphique suivant montre une telle courbe.

Si les populations initiale et limite sont et respectivement, quelle serait une fonction appropriée ? 

Réponse

Dans cet exemple, nous allons examiner la fonction exponentielle transformée, pour décrire une population qui croît au cours du temps vers une limite positive, et déterminer , et , en utilisant des informations sur la population initiale et sa limite.

Rappelons qu’une décroissance exponentielle peut être représentée par la fonction où est la valeur initiale de et représente le taux de décroissance. La fonction exponentielle modifiée a la forme de la fonction exponentielle habituelle translatée d'une constante .

Puisque la population initiale est donnée par , on a et on peut remplacer dans la fonction modifiée pour obtenir

Ainsi, on a . La population limite est le comportement après un temps arbitrairement grand, ou lorsque , qui est seulement bien défini pour la fonction exponentielle transformée lorsque , car pour , la fonction diverge à l’infini.

Prenant cette limite pour dans la fonction modifiée, on a car le deuxième terme tend vers zéro lorsque devient arbitrairement grand (c’est-à-dire tend vers l’infini). Ainsi, avec , la fonction modifiée peut s’écrire

Cela fonctionne pour tout et donc en particulier on peut choisir c'est-à-dire

C’est l’option D.

Jusqu’à présent, nous avons examiné des problèmes où l'on détermine la valeur d’une quantité à un moment donné, mais on peut également faire l’inverse. En utilisant les équations de croissance et de décroissance exponentielles, on peut déterminer à quel instant une quantité donnée atteint une valeur spécifique, ce qui est utile pour de nombreuses applications telles que le calcul de la demi-vie en physique, en particulier pour la matière radioactive, qui peut être décrite par où est positif et appelé constante de décroissance du nombre de noyaux radioactifs.

La demi-vie, est le temps nécessaire pour qu'exactement la moitié de la quantité initiale se désintègre, et satisfait ainsi .

On peut déterminer la demi-vie en remplaçant dans l’équation pour la décroissance radioactive comme suit : 

Puisque , on peut diviser par pour obtenir l’expression

Afin de résoudre cette équation pour trouver , il faut appliquer le logarithme. Cependant, cela dépasse la portée de cette fiche explicative et sera traité ailleurs.