Fiche explicative de la leçon: Trigonométrie dans un triangle rectangle : déterminer la mesure d’un angle | Nagwa Fiche explicative de la leçon: Trigonométrie dans un triangle rectangle : déterminer la mesure d’un angle | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: Trigonométrie dans un triangle rectangle : déterminer la mesure d’un angle Mathématiques • Première secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer une mesure d’angle manquante dans un triangle rectangle en utilisant la fonction trigonométrique inverse appropriée pour les longueurs de deux côtés.

Lorsque l’on travaille avec des triangles rectangles, on rappelle que l’on peut utiliser le théorème de Pythagore ou les formules trigonométriques pour calculer des longueurs de côtés ou des mesures d’angles inconnus. Si on connaît les longueurs de deux côtés et que l’on doit calculer la longueur du troisième, on utilise le théorème de Pythagore. Si on connaît une longueur et une mesure d’angle, on peut calculer la longueur d’un autre côté en utilisant une des formules trigonométriques. Rappelons-les ci-dessous.

Définition : Formules trigonométriques

Soit un triangle rectangle avec un angle aigüe 𝜃, où on désigne l’hypoténuse par H, le côté opposé à 𝜃 par O et le côté adjacent à 𝜃 par A, comme illustré ci-dessous;les formules trigonométriques sont les suivantes:sinOHcosAHtanOA𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Par exemple, si on connaît la mesure d’un angle 𝜃 et la longueur de son côté adjacent A, et que l’on souhaite calculer la longueur du côté opposé O, on utilise la formule trigonométrique tanOA𝜃= pour obtenir OAtan=𝜃.

En plus du calcul de longueurs inconnues, on peut utiliser les formules trigonométriques pour calculer la mesure d’angles inconnus à partir des longueurs de deux côtés. On utilise pour cela les fonctions trigonométriques réciproques de sinus, cosinus et tangente permettant de calculer la mesure de l’angle.

Définition : Fonctions trigonométriques réciproques

Pour déterminer l'angle 𝜃 le rapport de deux longueurs étant connu on utilise les fonctions réciproques du sinus, du cosinus et de la tangente comme suit:

  • pour sinOH𝜃=, la réciproque du sinus est 𝜃=sinOH.
  • pour cosAH𝜃=, la réciproque du cosinus est 𝜃=cosAH.
  • pour tanOA𝜃=, la réciproque de la tangente est 𝜃=tanOA.

Comme pour la recherche de la longueur d’un côté, la première chose à faire lorsque que l’on recherche la mesure d’un angle est d’identifier les côtés du triangle par rapport à cet angle. Ainsi, pour un angle 𝜃 dans un triangle rectangle, on désigne l’hypoténuse par H, le côté opposé à l’angle 𝜃 par O et le côté adjacent à l’angle 𝜃 par A. Une fois les côtés identifiés, on peut déterminer quelle formule utiliser et substituer les longueurs correspondantes. On applique ensuite la réciproque de la fonction trigonométrique pour calculer l’angle.

Nous allons maintenant voir avec le premier exemple comment calculer la mesure d’un angle à partir d’une figure.

Exemple 1: Utiliser la réciproque de la fonction sinus pour calculer la mesure d’un angle

À partir du schéma ci-dessous, calculez la mesure de l’angle 𝜃 en degrés au centième près.

Réponse

La figure présente un triangle rectangle avec deux côtés connus et un angle inconnu. On nous demande de calculer la mesure d’un angle et nous allons pour cela utiliser la trigonométrie.

La première chose à faire est d’identifier les côtés afin de déterminer quelle formule trigonométrique appliquer. On identifie les côtés par rapport à l’angle connu ou dont on cherche la mesure, 𝜃 dans ce cas. On connaît la longueur du côté opposé à l’angle droit, qui est l’hypoténuse, et la longueur du côté opposé à l’angle 𝜃. On les désigne donc par H et O respectivement, comme indiqué ci-dessous.

On voit sur la figure que Ocm=5 et Hcm=11. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et H. Il s’agit de sinOH𝜃=.

En substituant O=5 et H=11, on obtient sin𝜃=511.

Maintenant que nous connaissons le sinus nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝜃. On applique la réciproque du sinus, sin, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi sinsin𝜃=511𝜃=511.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=27,03569.

Par conséquent, la mesure de l’angle 𝜃 en degrés est 27,04 au centième près.

Dans l’exemple suivant, nous allons à nouveau calculer la mesure d’un angle à partir d’une figure où l’angle est exprimé en fonction de son sommet.

Exemple 2: Utiliser la réciproque de la tangente pour calculer la mesure d’un angle inconnu

À partir du schéma ci-dessous, calculez la mesure de 𝐵𝐴𝐶 en, degrés, au centième près.

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer la mesure de 𝐵𝐴𝐶 à partir de la figure indiquant les longueurs de deux côtés du triangle rectangle. Nous devons donc utiliser la trigonométrie pour calculer cette mesure.

On désigne l’angle inconnu par 𝜃 puis on identifie les côtés connus par rapport à cet angle pour pouvoir utiliser la trigonométrie. On connaît les longueurs du côté opposé à 𝐵𝐴𝐶 et du côté adjacent à 𝐵𝐴𝐶. On désigne donc 𝐵𝐴𝐶 par 𝜃. Le côté opposé par O et le côté adjacent par A, comme illustré ci-dessous.

On voit sur le schéma que Ocm=7 et Acm=5. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant A et O. Il s’agit de tanOA𝜃=.

En substituant O=7 et A=5, on obtient tan𝜃=75.

Maintenant que nous connaissons la tangente nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝜃. On applique donc la réciproque de la tangente, tan, aux deux membres de l’équation. On obtient alors tantan𝜃=75𝜃=75.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=54,4623.

Par conséquent, la mesure de 𝐵𝐴𝐶, au centième près, est 54,46.

Dans l’exemple suivant, nous devons cette fois calculer les mesures de deux angles.

Exemple 3: Calculer des mesures d’angles dans un triangle rectangle à l’aide de la trigonométrie

À partir du schéma ci-dessous, calculez les mesures de 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐶𝐵 en degrés au centième près.

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer les mesures de deux angles dans un triangle rectangle à partir d’un schéma indiquant les longueurs de deux côtés. Nous devons utiliser la trigonométrie pour calculer ces mesures.

On désigne donc l’angle inconnu par 𝜃 puis on identifie les côtés connus par rapport à cet angle pour pouvoir utiliser la trigonométrie. Comme nous recherchons les mesures de deux angles, nous allons commencer par essayer de calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. On connaît la longueur du côté opposé à l’angle droit, l’hypoténuse, et la longueur du côté adjacent à l’angle 𝐴𝐵𝐶. On désigne donc 𝐴𝐵𝐶 par 𝜃, l’hypoténuse par H et le côté adjacent par A, comme indiqué ci-dessous.

On voit sur le schéma que Acm=4 et Hcm=9. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant A et H. Il s’agit de cosAH𝜃=.

En substituant A=4 et H=9, on obtient cos𝜃=49.

Maintenant que nous connaissons le cosinus, nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝜃. On applique donc la réciproque du cosinus, cos, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi coscos𝜃=49𝜃=49.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=63,6122.

Par conséquent, la mesure de 𝐴𝐵𝐶, au centième près, est 63,61.

Pour calculer la mesure de 𝐴𝐶𝐵, on rappelle que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180. Cela nous donne 𝑚𝐴𝐶𝐵+63,61+90=180𝑚𝐴𝐶𝐵=1809063,61𝑚𝐴𝐶𝐵=26,39.arrondiaucentième

Par conséquent, au centième près, 𝐴𝐵𝐶 mesure 63,61 et 𝐴𝐶𝐵 mesure 26,39.

Dans l’exemple suivant, nous devrons calculer la longueur d’un côté et la mesure d’un angle à partir des longueurs de deux côtés sans figure.

Exemple 4: Utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle avec des angles en degrés

Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est rectangle en 𝐵, 𝐵𝐶=10cm et 𝐴𝐶=18cm. Calculez la longueur 𝐴𝐵 en donnant votre réponse au centimètre près et la mesure des angles en 𝐴 et en 𝐶 au degré près.

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer la longueur d’un côté et deux mesures d’angle dans un triangle rectangle. Il peut être utile de commencer par faire une figure représentant les informations fournies. On trace donc ci-dessous le triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 et on indique les côtés connus, 𝐵𝐶=10cm et 𝐴𝐶=18cm.

On peut répondre à cette question en utilisant la trigonométrie. Comme nous connaissons les longueurs de deux côtés, nous allons commencer par calculer les mesures des angles inconnus. Calculons d’abord la mesure de l’angle en 𝐴.

On désigne alors l’angle en 𝐴 par 𝜃, 𝐴𝐶 par l’hypoténuse, H, et, 𝐵𝐶 par le côté opposé, O. Le schéma ci-dessous représente le triangle avec 𝜃, H et O.

Sur le schéma, on voit que Ocm=10 et Hcm=18. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et H, c’est-à-dire sinOH𝜃=.

En substituant O=10 et H=18, on obtient sin𝜃=1018.

Maintenant que nous connaissons le sinus, nous pouvons calculer la mesure de l’angle inconnu 𝜃. On applique donc la réciproque du sinus, sin, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi sinsin𝜃=1018𝜃=1018.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=33,749.

Par conséquent, 𝑚𝐴 mesure 34 au degré près.

Pour calculer ensuite la mesure de l’angle en 𝐶, on rappelle que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180. Comme on connaît les mesures des deux autres angles, on a 𝑚𝐶+33,749+90=180𝑚𝐶=1809033,749𝑚𝐶=56,251.

Par conséquent, 𝑚𝐶 mesure 56 au degré près.

Nous devons enfin calculer la longueur du côté 𝐴𝐵. En utilisant la trigonométrie, on peut utiliser un des côtés connus et un des angles connus pour cela. Nous connaissons deux longueurs de côtés et deux mesures d’angles, nous pouvons donc choisir la formule trigonométrique à utiliser. Comme nous avons trouvé 𝑚𝐴 en premier, nous allons utiliser cet angle pour 𝜃. Nous allons également utiliser le côté opposé O pour pouvoir calculer la longueur du côté adjacent A. Comme c'est illustré ci-dessous.

Nous savons déjà que Ocm=10 et 𝜃=33,749, et nous essayons de calculer la longueur A. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et A. Il s’agit de tanOA𝜃=.

En substituant O=10 et 𝜃=33,749, on obtient tanA(33,749)=10.

En isolant A, on a AtanAtan(33,749)=10=10(33,749).

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient Acm=14,9666.

Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐵 est 15 cm arrondie au cm près.

Par conséquent, la longueur de 𝐴𝐵 au centimètre près est 15 cm, la mesure de l’angle en 𝐴 au degré près est 34 et la mesure de l’angle en 𝐶 au degré près est 56.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment calculer la mesure d’un angle dans un contexte concret.

Exemple 5: Résoudre un problème concret avec la trigonométrie

Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical telle que ses pieds sont à 2 m du mur. Calculez la mesure de l’angle entre l’échelle et le sol en donnant votre réponse au centième près.

Réponse

Cette question nous donne des informations sur la longueur d’une échelle et sur la distance entre ses pieds et un mur. Pour résoudre ce problème, nous allons commencer par dessiner un schéma représentant les informations fournies.

Comme la question demande la mesure de l’angle entre l’échelle et le sol et que nous connaissons la longueur de deux des côtés, nous allons utiliser la trigonométrie. On peut désigner l’angle inconnu par 𝜃, le côté opposé à l’angle droit, l’hypoténuse, par H et le côté adjacent à l’angle par A.

Sur le schéma, on voit que Am=2 et Hm=5. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant A et H. Il s’agit de cosAH𝜃=.

En substituant A=2 et H=5, on obtient cos𝜃=25.

Maintenant que nous connaissons le cosinus, nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝜃. On applique donc la réciproque du cosinus, cos, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi coscos𝜃=25𝜃=25.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=66,4218.

Par conséquent, l’angle entre l’échelle et le sol mesure 66,42 au centième près.

Dans le dernier exemple, nous allons à nouveau calculer la mesure d’un angle dans le cadre d’un problème concret.

Exemple 6: Calculer la mesure d’un angle inconnu dans un problème concret à l’aide de la trigonométrie

Une voiture descend une rampe haute de 10 mètres et mesurant 71 mètres long. Calculez la mesure de l’angle entre la rampe et l’horizontale, en donnant votre réponse à la seconde près.

Réponse

Dans cette question, nous devons calculer la mesure de l’angle entre la rampe et l’horizontale sachant que la rampe a une hauteur de 10 mètres et mesure 71 mètres de long. On peut tracer un triangle rectangle de hauteur 10 mètres et d’hypoténuse 71 mètres pour illustrer cela.

On identifie ensuite l’angle à calculer, qui est l’angle entre la rampe et l’horizontale. On le désigne par 𝜃 sur le schéma ci-dessous.

Comme nous connaissons les longueurs de deux côtés et que devons calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle, nous pouvons utiliser la trigonométrie. On désigne alors la hauteur, qui est le côté opposé à l’angle, par O, et la rampe, qui est l’hypoténuse, par H.

On voit alors sur le schéma que Om=10 et Hm=71. Nous devons donc utiliser la formule trigonométrique impliquant O et H. Il s’agit de sinOH𝜃=.

En substituant O=10 et H=71, on obtient sin𝜃=1071.

Maintenant que nous connaissons le sinus, nous pouvons calculer la mesure de l’angle 𝜃. On applique donc la réciproque du sinus, sin, aux deux membres de l’équation. On obtient ainsi sinsin𝜃=1071𝜃=1071.

On utilise ensuite une calculatrice et on obtient 𝜃=8,09674.

Comme la question demande une réponse à la seconde près, nous devons calculer le nombre de minutes et de secondes au lieu de donner une réponse en degré décimaux.

En prenant la partie décimale 0,09674degrés et en la multipliant par 60, on obtient 5,805 minutes. Et en prenant la nouvelle partie décimale 0,805 minute et en la multipliant par 60, on obtient 48,3 secondes, soit 48 à la seconde près. On conclut donc que l’angle mesure 8 degrés, 5 minutes et 48 secondes à la seconde près, c’est-à-dire 8548.

Dans cette fiche explicative, nous avons appris à calculer la mesure d’un angle en utilisant la trigonométrie. Nous avons, pour cela, utilisé les réciproques des fonctions trigonométriques sinus, cosinus et tangente. Récapitulons les points clés.

Points clés

  • Pour calculer la mesure d’un angle dans un triangle rectangle à partir des longueurs de deux côtés, on peut utiliser la trigonométrie. Cela implique d’utiliser une des formules trigonométriques suivantes:
    • sinOH𝜃=;
    • cosAH𝜃=;
    • tanOA𝜃=,
    pour un angle non droit 𝜃, une hypoténuse de longueur H, le côté opposé à 𝜃 de longueur O et le côté adjacent à 𝜃 de longueur A, comme illustré ci-dessous.
  • Pour le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle 𝜃, on utilise la fonction réciproque pour calculer 𝜃:
    • pour sinOH𝜃=, la réciproque du sinus donne 𝜃=sinOH.
    • pour cosAH𝜃=, la réciproque du cosinus donne 𝜃=cosAH.
    • pour tanOA𝜃=, la réciproque de la tangente donne 𝜃=tanOA.
  • Pour résoudre des problèmes de trigonométrie, il est toujours utile de tracer un schéma s’il n’est pas fourni, puis d’identifier les côtés connus et l’angle inconnu afin de décider quelle formule trigonométrique utiliser.

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