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Fiche explicative de la leçon : Soustraction de vecteurs Physique

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à soustraire un vecteur à un autre en deux dimensions, en utilisant des méthodes graphiques et algébriques.

Considérons les vecteurs 𝐴 et 𝐵 illustrés sur le graphique ci-dessous.

Rappelons que l’on peut calculer le résultat de 𝐴+𝐵 graphiquement en déplaçant le vecteur 𝐵 de sorte que “l’origine” du vecteur 𝐵 soit positionné à la “pointe” du vecteur 𝐴. Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous, et le résultat de l’addition des deux vecteurs est 𝑉:

Mais quel serait le résultat si on soustrait 𝐵 de 𝐴?Quel serait le résultat de 𝐴𝐵?

Rappelons que le négatif d’un vecteur est un vecteur qui a la même intensité mais une direction opposée. Le graphique ci-dessous montre un vecteur, 𝐵, et son négatif, 𝐵.

Avec des nombres ordinaires, soustraire un nombre revient à ajouter le négatif de ce nombre. Par exemple, 124 est la même chose que 12+(4).

Il en va de même pour les vecteurs:𝐴𝐵 est la même chose que 𝐴+𝐵.

On peut donc soustraire un vecteur à un autre en déterminant d’abord la valeur négative du vecteur que l’on veut soustraire, puis en ajoutant les deux vecteurs.

Revenons au premier graphique et changeons 𝐵 en 𝐵.

On peut maintenant ajouter simplement ces deux vecteurs en plaçant l’origine de 𝐵 à la pointe de 𝐴. Le résultat est un vecteur 𝑉 illustré sur le graphique ci-dessous.

Ce que nous venons de montrer est une façon de soustraire graphiquement les vecteurs, mais il y a une autre façon, qui est en général plus rapide. Considérons à nouveau les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵, illustrés sur le graphique ci-dessous.

Le résultat de 𝐴𝐵 est un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur (dans ce cas 𝐵) et qui va jusqu’ à la pointe du premier vecteur (dans ce cas 𝐴). C’est le vecteur 𝑉, illustré sur le graphique ci-dessous.

Si on pense aux vecteurs 𝐴 et 𝐵 comme des vecteurs de position des points 𝐴 et 𝐵, alors le résultat de 𝐴𝐵 peut être considéré comme un vecteur qui va “ de 𝐵 à 𝐴”, comme on peut le voir ci-dessous:

Notons que, pour cette raison, le résultat de 𝐴𝐵 n’est pas égal au résultat de 𝐵𝐴. Le résultat de 𝐵𝐴 est un vecteur qui va de 𝐴 jusqu’à 𝐵, comme on peut l’observer ci-dessous.

Comme on peut le voir sur le graphique, changer l’ordre des deux vecteurs dans la soustraction produit le résultat négatif. On peut écrire cela algébriquement:𝐵𝐴=𝐴𝐵.

Exemple 1: Soustraire graphiquement des vecteurs

Le graphique montre sept vecteurs:𝐴, 𝐵, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 et 𝑇.

  1. Lequel des vecteurs est égal à 𝐴𝐵?
  2. Lequel des vecteurs est égal à 𝐵𝐴?

Réponse

Partie 1

Rappelons que l’on peut trouver le résultat de 𝐴𝐵 en traçant un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur, 𝐵, et qui va jusqu’à la pointe du premier vecteur, 𝐴. Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous.

En le comparant aux autres vecteurs illustrés sur le graphique de la question, on voit que le résultat de 𝐴𝐵 correspond au vecteur 𝑄.

Partie 2

Rappelons que lorsque l’on inverse l’ordre des vecteurs dans une soustraction de vecteurs, on obtient le résultat négatif. Si on exprime cela algébriquement, on a 𝐵𝐴=𝐴𝐵.

On peut donc utiliser notre réponse de la partie 1 pour calculer rapidement la réponse à cette partie. Si 𝐴𝐵=𝑄, alors 𝐵𝐴=(𝑄)𝐵𝐴=𝑄.

En revenant sur le graphique de la question, on peut voir que le vecteur qui est le négatif du vecteur 𝑄 est le vecteur 𝑆.

Exemple 2: Soustraire graphiquement des vecteurs

Lequel des vecteurs, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, ou 𝑇 , représenté sur le graphique est égal à 𝐴𝐵?

Réponse

Rappelons que l’on peut trouver le résultat de 𝐴𝐵 en traçant un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur, 𝐵, et qui va jusqu’à la pointe du premier vecteur, 𝐴. Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous.

En comparant cela aux autres vecteurs illustrés sur le graphique de la question, on voit que le résultat de 𝐴𝐵 correspond au vecteur 𝑃.

Jusqu’à présent, nous avons vu comment soustraire graphiquement des vecteurs, mais on peut également le faire algébriquement.

Rappelons que tout vecteur 𝐴 peut être représenté par une somme de plusieurs vecteurs unitaires le long des axes 𝑥 et 𝑦. Si la composante horizontale de 𝐴 est 𝐴, la composante verticale de 𝐴 est 𝐴, 𝑖 est un vecteur unitaire selon l’axe 𝑥 et 𝑗 est un vecteur unitaire selon l’axe 𝑦, on a donc 𝐴=𝐴𝑖+𝐴𝑗.

De même, si on dit que 𝐵=𝐵𝑖+𝐵𝑗, alors 𝐴𝐵=𝐴𝑖+𝐴𝑗𝐵𝑖+𝐵𝑗.

Si on développe les parenthèses, on obtient 𝐴𝐵=𝐴𝑖+𝐴𝑗𝐵𝑖𝐵𝑗.

On peut alors rassembler des termes pour obtenir 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗.

De cette façon, si on connaît les composantes de deux vecteurs, on peut utiliser cette formule pour soustraire un vecteur à l’autre, et obtenir les composantes du vecteur résultant.

Exemple 3: Soustraire deux vecteurs en utilisant leurs composantes

Considérons les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵, avec 𝐴=8𝑖+10𝑗 et 𝐵=3𝑖+2𝑗. Calcule 𝐴𝐵.

Réponse

On peut utiliser la formule 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 pour trouver le résultat de 𝐴𝐵, avec 𝐴 et 𝐵 les composantes horizontales des deux vecteurs et 𝐴 et 𝐵 les composantes verticales des deux vecteurs.

En remplaçant par les valeurs données dans la question, on obtient 𝐴𝐵=(83)𝑖+(102)𝑗𝐴𝐵=5𝑖+8𝑗.

Le résultat de 𝐴𝐵 est 5𝑖+8𝑗.

Exemple 4: Soustraire deux vecteurs en utilisant leurs composantes

Considérons les deux vecteurs 𝐴 et 𝐵. 𝐴=4𝑖9𝑗 et 𝐵=1𝑖12𝑗. Lequel des cinq vecteurs sur le graphique est égal à 𝐴𝐵?

Réponse

Dans cette question, on doit calculer le résultat de la soustraction du vecteur de manière algébrique, puis identifier le vecteur résultant sur le graphique.

On peut utiliser la formule 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 pour trouver le résultat de 𝐴𝐵, avec 𝐴 et 𝐵 les composantes horizontales des deux vecteurs et 𝐴 et 𝐵 les composantes verticales des deux vecteurs.

En remplaçant par les valeurs données dans la question, on obtient 𝐴𝐵=(41)𝑖+((9)(12))𝑗𝐴𝐵=(41)𝑖+(9+12)𝑗𝐴𝐵=3𝑖+3𝑗.

Le résultat de 𝐴𝐵 est 3𝑖+3𝑗. En regardant le graphique, on voit que cela correspond au vecteur 𝑄.

Points clés

  • Pour deux vecteurs 𝐴 et 𝐵, on peut calculer le résultat de 𝐴𝐵 graphiquement en déterminant d’abord le négatif de 𝐵 puis en l’ajoutant simplement à 𝐴.
  • Une autre façon de penser graphiquement la soustraction de vecteurs est de tracer un nouveau vecteur qui part de la  »pointe«  du vecteur 𝐵 et qui va jusqu’ à la pointe » du vecteur 𝐴.
  • Si on nous donne 𝐴 et 𝐵 sous forme de composantes, on peut utiliser la formule 𝐴𝐵=(𝐴𝐵)𝑖+𝐴𝐵𝑗 pour trouver le résultat de 𝐴𝐵.

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