Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à soustraire un vecteur à un autre en deux dimensions, en utilisant des méthodes graphiques et algébriques.
Considérons les vecteurs et illustrés sur le graphique ci-dessous.
Rappelons que l’on peut calculer le résultat de graphiquement en déplaçant le vecteur de sorte que “l’origine” du vecteur soit positionné à la “pointe” du vecteur . Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous, et le résultat de l’addition des deux vecteurs est :
Mais quel serait le résultat si on soustrait de ? Quel serait le résultat de ?
Rappelons que le négatif d’un vecteur est un vecteur qui a la même intensité mais une direction opposée. Le graphique ci-dessous montre un vecteur, , et son négatif, .
Avec des nombres ordinaires, soustraire un nombre revient à ajouter le négatif de ce nombre. Par exemple, est la même chose que
Il en va de même pour les vecteurs : est la même chose que
On peut donc soustraire un vecteur à un autre en déterminant d’abord la valeur négative du vecteur que l’on veut soustraire, puis en ajoutant les deux vecteurs.
Revenons au premier graphique et changeons en .
On peut maintenant ajouter simplement ces deux vecteurs en plaçant l’origine de à la pointe de . Le résultat est un vecteur illustré sur le graphique ci-dessous.
Ce que nous venons de montrer est une façon de soustraire graphiquement les vecteurs, mais il y a une autre façon, qui est en général plus rapide. Considérons à nouveau les deux vecteurs et , illustrés sur le graphique ci-dessous.
Le résultat de est un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur (dans ce cas ) et qui va jusqu’ à la pointe du premier vecteur (dans ce cas ). C’est le vecteur , illustré sur le graphique ci-dessous.
Si on pense aux vecteurs et comme des vecteurs de position des points et , alors le résultat de peut être considéré comme un vecteur qui va “ de à ”, comme on peut le voir ci-dessous :
Notons que, pour cette raison, le résultat de n’est pas égal au résultat de . Le résultat de est un vecteur qui va de jusqu’à , comme on peut l’observer ci-dessous.
Comme on peut le voir sur le graphique, changer l’ordre des deux vecteurs dans la soustraction produit le résultat négatif. On peut écrire cela algébriquement :
Exemple 1: Soustraire graphiquement des vecteurs
Le graphique montre sept vecteurs : , , , , , et .
- Lequel des vecteurs est égal à ?
- Lequel des vecteurs est égal à ?
Réponse
Partie 1
Rappelons que l’on peut trouver le résultat de en traçant un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur, , et qui va jusqu’à la pointe du premier vecteur, . Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous.
En le comparant aux autres vecteurs illustrés sur le graphique de la question, on voit que le résultat de correspond au vecteur .
Partie 2
Rappelons que lorsque l’on inverse l’ordre des vecteurs dans une soustraction de vecteurs, on obtient le résultat négatif. Si on exprime cela algébriquement, on a
On peut donc utiliser notre réponse de la partie 1 pour calculer rapidement la réponse à cette partie. Si , alors
En revenant sur le graphique de la question, on peut voir que le vecteur qui est le négatif du vecteur est le vecteur .
Exemple 2: Soustraire graphiquement des vecteurs
Lequel des vecteurs, , , , , ou , représenté sur le graphique est égal à ?
Réponse
Rappelons que l’on peut trouver le résultat de en traçant un vecteur qui part de la pointe du deuxième vecteur, , et qui va jusqu’à la pointe du premier vecteur, . Ceci est illustré sur le graphique ci-dessous.
En comparant cela aux autres vecteurs illustrés sur le graphique de la question, on voit que le résultat de correspond au vecteur .
Jusqu’à présent, nous avons vu comment soustraire graphiquement des vecteurs, mais on peut également le faire algébriquement.
Rappelons que tout vecteur peut être représenté par une somme de plusieurs vecteurs unitaires le long des axes et . Si la composante horizontale de est , la composante verticale de est , est un vecteur unitaire selon l’axe et est un vecteur unitaire selon l’axe , on a donc
De même, si on dit que alors
Si on développe les parenthèses, on obtient
On peut alors rassembler des termes pour obtenir
De cette façon, si on connaît les composantes de deux vecteurs, on peut utiliser cette formule pour soustraire un vecteur à l’autre, et obtenir les composantes du vecteur résultant.
Exemple 3: Soustraire deux vecteurs en utilisant leurs composantes
Considérons les deux vecteurs et , avec et . Calcule .
Réponse
On peut utiliser la formule pour trouver le résultat de , avec et les composantes horizontales des deux vecteurs et et les composantes verticales des deux vecteurs.
En remplaçant par les valeurs données dans la question, on obtient
Le résultat de est .
Exemple 4: Soustraire deux vecteurs en utilisant leurs composantes
Considérons les deux vecteurs et . et . Lequel des cinq vecteurs sur le graphique est égal à ?
Réponse
Dans cette question, on doit calculer le résultat de la soustraction du vecteur de manière algébrique, puis identifier le vecteur résultant sur le graphique.
On peut utiliser la formule pour trouver le résultat de , avec et les composantes horizontales des deux vecteurs et et les composantes verticales des deux vecteurs.
En remplaçant par les valeurs données dans la question, on obtient
Le résultat de est . En regardant le graphique, on voit que cela correspond au vecteur .
Points clés
- Pour deux vecteurs et , on peut calculer le résultat de graphiquement en déterminant d’abord le négatif de puis en l’ajoutant simplement à .
- Une autre façon de penser graphiquement la soustraction de vecteurs est de tracer un nouveau vecteur qui part de la »pointe« du vecteur et qui va jusqu’ à la pointe » du vecteur .
- Si on nous donne et sous forme de composantes, on peut utiliser la formule pour trouver le résultat de .
